Capítulo IV Transformações de Lorentz

Capítulo IV Transformações de Lorentz O Princípio da Relatividade de Einstein exige que as leis da física sejam as mesmas em todos os referenciais inerciais, não existindo, portanto, nenhum referencial inercial privilegiado. Consequência da homogeneidade e isotropia do espaço, leva à invariância das leis da física por translações e rotações, respectivamente. Além da translação e da rotação, os referenciais inerciais podem estar em movimentos relativos uniformes entre si. Na relatividade newtoniana, referenciais inerciais em movimentos relativos uniformes uns em relação aos demais estão ligados pelas transformações de Galileu. As transformações de Galileu são, na realidade, translações com dependência linear no tempo definidas pelas velocidades relativas uniformes. Assim, se é um referencial inercial e outro se deslocando em relação ao primeiro com velocidade uniforme ao longo do eixo comum, as coordenadas de e de estão conectados por =, (4.1) como facilmente mostram as relações geométricas entre as coordenadas dos dois referenciais (figura 4.1). Do ponto de vista do observador em, o referencial é que está com movimento uniforme em relação a com velocidade, de modo que = +. (4.2) Essas duas transformações, inversas uma da outra, implicam necessariamente, que =, (4.3) como requer o tempo absoluto da relatividade newtoniana. Deve-se lembrar que a transformação (4.1) compara as coordenadas e de uma mesma posição medidas em dois referenciais diferentes e, respectivamente, do ponto de vista do observador em, enquanto que a transformação (4.2) faz a mesma comparação, porém do ponto de vista do observador em, considerando a distância invariante. Figura 4.1 Referenciais inerciais R e R em movimento relativo uniforme ao longo do eixo comum. As coordenadas e são as distâncias de um mesmo ponto em relação às origens dos referenciais medidas nos referenciais e, respectivamente e, pela relatividade einsteiniana, deve-se considerar contração do espaço na direção do movimento. A distância 25

, coordenada de posição no referencial, do ponto de vista de um observador em corresponde a um valor contraído / que, geometricamente, corresponde a em vez da equação (4.1) e, reciprocamente, = = +. em vez da equação (4.2), do ponto de vista do observador em. Combinando essas duas equações, transformações inversas uma da outra, resultam as transformações entre os tempos e = = +. As coordenadas transversais e não são afetados pelo movimento ao longo do eixo. Dessas comparações resultam as transformações de Lorentz que relacionam as coordenadas do espaço e do tempo entre dois referenciais inerciais e em movimento relativo uniforme um em relação a outro com velocidade ao longo do eixo, e as respectivas transformações inversas onde =( ) = = =( ) =( + ) = = =( + ) (4.4) (4.5) = 1 <1 = 1. (4.6) 1 As transformações de Lorentz, como deduzidas acima, trazem embutida a constância da velocidade da luz, que pode ser expressa pela expressão invariante = + + (4.7) que descreve as superfícies das esferas concêntricas a cada instante definidas pela propagação da frente de onda, considerando que a velocidade da luz é a mesma em todas as direções do espaço. A constância da velocidade da luz implica que um observador em vê a mesma geometria definida pela propagação da frente de onda, 26

= + + (4.8) As transformações de Lorentz (4.4) e (4.5) são válidas quando as origens das coordenadas espaciais dos referenciais coincidem no instante =0, assim como as orientações dos eixos coordenados (,,). Transformações mais gerais podem ser obtidas por combinações de translações e rotações, lembrando que todas essas transformações definem uma estrutura de grupo, conhecida como o Grupo das Transformações Gerais de Lorentz ou, simplesmente, Grupo de Lorentz. Nesse contexto, as transformações de Lorentz definidas por movimentos relativos ao longo de um dos três eixos coordenados são conhecidas como transformações especiais de Lorentz. 4.1 Consequências imediatas A seguir serão examinadas as relações entre as transformações de Lorentz e as relatividades (1) da simultaneidade, (2) do tempo e (3) do espaço, já discutidas anteriormente como consequências da constância da velocidade da luz. Para dois eventos localizados em pontos diferentes do espaço e do tempo, as relações entre as distâncias e os intervalos de tempo vistos por observadores nos dois referenciais inerciais e são =( ) = = =( ) (4.9) Essas relações levam diretamente às relatividades da simultaneidade, do tempo e do espaço. 4.1.1 Relatividade da simultaneidade A simultaneidade de eventos localizados em locais diferentes pode ser aferida usando relógios sincronizados colocados nos locais dos eventos. No entanto, as transformações de Lorentz, equações (4.4) e (4.5), mostram que relógios sincronizados num referencial não estarão necessariamente sincronizados num outro referencial. Em consequência, eventos simultâneos num referencial não serão necessariamente simultâneos num outro referencial. Para verificar a relatividade da simultaneidade, considere os intervalos (,,,) que separam, no espaço e no tempo, dois eventos observados em. Se esses eventos ocorrerem simultaneamente nesse referencial, então =0. Para o observador em, pela equação (4.9), resulta = = = =. (4.10) 27

Assim, se os eventos ocorrerem em pontos diferentes do espaço em, especialmente 0, o observador em perceberá esses eventos separados no tempo pelo intervalo = 0. (4.11) Significa que eventos simultâneos em não são necessariamente simultâneos em se localizados em pontos diferentes do espaço. Por outro lado, eventos simultâneos em localizados num mesmo ponto do espaço, isto é, ===0, serão necessariamente simultâneos em qualquer outro referencial inercial. 4.1.2 Relatividade do tempo Para medir o intervalo de tempo entre dois eventos, deve-se certificar que o relógio esteja em repouso em relação ao observador. Para o observador em deve-se tomar, portanto, =0,=0,=0. Estas medidas relacionam-se com as medidas no referencial como = =0 =0 = (4.12) Obviamente, um relógio em repouso em relação a não estará em repouso para o observador em, que usará o seu próprio relógio para medir o intervalo de tempo. Comparado com o intervalo de tempo medido pelo observador em, resulta relação válida para o observador em. 4.1.3 Relatividade do espaço = >, (4.13) Considere uma régua de comprimento =, colocada em repouso ao longo do eixo, no referencial. Para determinar o comprimento desta régua no referencial, o observador em deve determinar as posições das extremidades da régua simultaneamente, de modo que =0. Das relações (4.9) resultam =( ) = = 0=( ) (4.14) As medidas das extremidades da régua feitas simultaneamente em não são percebidas como simultâneas pelo observador em, estando separadas temporalmente de =. Inserido na primeira relação da equação (4.14) resulta 28

=( ) ou, em termos dos comprimentos = e =, = 1 <, (4.15) onde é o comprimento da régua, em movimento, visto no referencial. Esta relação define a contração do espaço na direção do movimento relativo. 4.2 Referenciais próprios e impróprios A dilatação do tempo e a contração do espaço, equações (4.13) e (4.15), respectivamente, envolvem comparações de intervalos de tempo e de espaço medidos em um relógio e uma régua em repouso no referencial com as medidas realizadas por um observador no referencial, para quem esses objetos se encontram em movimento com velocidade uniforme V. Nesse caso, é o referencial próprio do relógio e da régua em questão, = e = o intervalo de tempo e o comprimento próprios, respectivamente. Assim, a dilatação de tempo e a contração do espaço podem ser indicadas, mais apropriadamente, explicitando as quantidades próprias, = = 1. (4.16) De forma recíproca, um relógio e uma régua em repouso no referencial indicarão o intervalo de tempo e o comprimento próprios, respectivamente = e = considerando que as quantidades próprias são invariantes. Essas quantidades, para o observador no referencial, estarão sujeitas à dilatação de tempo e à contração do espaço, = = 1. (4.17) Em resumo, um relógio em movimento marca intervalo de tempo menor que um similar em repouso. E um objeto em movimento estará contraído na direção do seu movimento comparado a um similar em repouso. Em notação usual, indica o referencial do observador ou de laboratório onde o mesmo está em repouso e os sistemas físicos observados evoluem. Para qualquer sistema físico, sempre é possível definir, a cada momento, o seu referencial próprio onde o sistema se encontra, instantaneamente, em repouso. As grandezas físicas que caracterizam as propriedades do sistema, como o tempo de decaimento das partículas elementares, por exemplo, são por definição grandezas próprias. Os efeitos relativísticos somente se tornam relevantes quando velocidades muito grandes, próximas à da luz, estiverem envolvidas. Em casos extremos, como nas colisões na alta atmosfera das partículas cósmicas (raios cósmicos) altamente energéticas com os núcleos dos átomos atmosféricos, a relativamente alta taxa de sobrevivência das partículas secundárias (píons e múons) que chegam até a superfície terrestre, onde são detectadas, somente pode ser compreendida se considerados os efeitos relativísticos (dilatação do tempo 29

e contração do espaço). Essas partículas secundárias são criadas com velocidades próximas à da luz, e são detectadas em regiões de altitudes mais baixas em muito maior número do que seria de se esperar se as mesmas decaíssem de acordo com o seu tempo próprio de meia-vida. Considere um feixe de píons criados num laboratório, possível ao se bombardear um alvo com prótons de alta energia. Os píons emergem com uma velocidade média da ordem de =0,99. Considerando o tempo de meia-vida dos píons, =1,77 10, a distância média percorrida até o seu decaimento resulta = =0,99 1,77 10 ⁸ 5,3. Na realidade, é o deslocamento do referencial de laboratório em relação ao píon, uma distância imprópria do ponto de vista do píon. Para determinar a distância percorrida observada no laboratório, deve-se levar em conta a dilatação do tempo. Para um observador no referencial de laboratório, o tempo de meia vida do píon fica = 1,3 10 ⁷ e, nesse intervalo de tempo, o píon percorre a distância =0,99 39, de acordo com o que se observa nos experimentos. No referencial próprio de um píon, o que se move é o referencial de laboratório, de modo que distância =39 é um comprimento próprio no referencial de laboratório. Para o píon, essa distância deve aparecer contraída, = 5,3. 4.3 Lei de adição das velocidades Considere as transformações de Lorentz, equação (4.4), ligando os referenciais inerciais e em movimento relativo uniforme, com velocidade, ao longo do eixo comum, na sua forma diferencial =( ) = = =( ) 30. (4.18) Dividindo cada uma das componentes espaciais pela componente temporal resulta na lei de adição das velocidades = 1 / = 1 (1 / ) = 1 (1 / ) (4.19)

onde,, =,, são as componentes da velocidade no referencial e,, =,, no referencial. Considere uma frente de onda esférica propagando-se com a velocidade da luz no referencial tal que + + =. Usando a lei de adição das velocidades, e após algumas operações matemáticas, chega-se mostrar que + + =, mostrando que no referencial também resulta uma frente de onda propagando-se com a velocidade da luz. 4.4 Eventos e intervalos entre eventos O conceito de eventos é muito importante na Relatividade Restrita - um evento é definido como um acontecimento localizado numa determinada posição do espaço num determinado instante. Assim, associa-se a cada evento o conjunto das coordenadas do espaço e do tempo, (,,,). Dados dois eventos, e, com as coordenadas do espaço-tempo (,,, ) e (,,, ), respectivamente, define-se o intervalo entre esses dois eventos como ( ) = ( ) ( ) ( ) + ( ) (4.20) isto é, Definidos dessa maneira, o intervalo entre dois eventos é uma invariante relativística, ( ) =( ). Usando o intervalo espacial (distância) entre esses eventos, ( ) =( ) +( ) +( ) (4.21) então ( ) = ( ) + ( ) = +. (4.22) No caso, define a separação espacial dos eventos e =( ) o intervalo de tempo entre os mesmos. A escolha dos sinais relativos entre as partes espacial,, e temporal, t₁₂, é uma questão de convenção, mas muitas das relações subsequentes podem apresentar sinais relativos positivos e negativos que dependem dessa escolha. 31

Os eventos podem ser independentes ou estarem relacionados por causa e efeito. E os intervalos entre os eventos são classificados, de acordo com as relações de causalidade, em intervalos do tipo tempo, do tipo espaço e do tipo luz. 4.4.1 Intervalo tipo tempo Intervalos do tipo tempo, definidos por ( ) = + >0 (4.23) separam eventos ligados por causa e efeito, que dependem da propagação de alguma informação entre os mesmos. Como a velocidade da luz define o limite superior da velocidade de propagação de quaisquer sinais, os eventos ligados por relações de causalidade devem estar contidos numa região do espaço definida por <. (4.24) Devido à invariância relativística, a relação de desigualdade acima indica que sempre pode existir algum referencial onde os eventos ocorram no mesmo ponto do espaço, isto é, =0. A linha que une os eventos causais é chamada linha do universo, e em nenhum referencial esses eventos podem ser tornados simultâneos. Consequentemente, a ordem temporal dos eventos não pode ser alterada por nenhuma mudança de referencial. 4.4.2 Intervalo tipo espaço Os intervalos do tipo espaço, definidos por ( ) = + <0, (4.25) separam eventos independentes, sem relação de causa e efeito. Ocorrem em pontos diferentes do espaço em qualquer referencial e não há nenhuma comunicação entre os mesmos devido à limitação da velocidade de propagação dos sinais. Como >, (4.26) deve existir algum referencial onde os eventos sejam simultâneos, isto é, =0. Tal possibilidade implica que a ordem temporal desses eventos não é relevante, podendo ser alterada por uma mudança de referencial. 4.4.3 Intervalo tipo luz Intervalos do tipo luz, definidos por =0, (4.27) separam eventos ligados por sinais que se propagam à velocidade da luz tal que =. (4.28) 32

A figura (4.2) mostra o diagrama de cone de luz separando as regiões conforme o tipo de intervalos em relação a uma partícula que descreve uma trajetória unindo os pontos, ou eventos, A (passado) e B (futuro), passando pela origem no presente (=0). Quaisquer eventos no interior do cone de luz, onde <, podem estar causalmente relacionados com o evento A, ao passo que eventos localizados fora do cone de luz são, necessariamente, eventos independentes de A. Figura 4.2 Diagrama de cone de luz (linha vermelha) associada a uma partícula localizada na origem (presente), a linha do universo (linha azul) conectando eventos A (no passado) e B (no futuro). Como uma partícula tem a sua velocidade limitada pela velocidade da luz, a sua trajetória, ou linha de universo, sempre estará dentro do cone de luz e terá uma orientação temporal absoluta. Eventos infinitesimalmente próximos definem o intervalo infinitesimal ²= +. (4.29) Se o intervalo for do tipo tempo ( >0), representando um deslocamento infinitesimal de uma partícula na sua linha de universo, então é possível definir o referencial próprio dessa partícula onde, por definição, = = =0, de modo que = = (4.30) define o intervalo de tempo próprio. Como o intervalo é uma grandeza relativisticamente invariante, ²= + = (4.31) que relaciona o intervalo de tempo próprio com as variáveis de laboratório, =1 1 =1. (4.32) Definindo o fator a relação entre o tempo próprio e o tempo de laboratório fica que caracteriza a dilatação do tempo na forma infinitesimal. 1 =, (4.33) 1 />0 =, (4.34) 33

Os referenciais próprios não são inerciais, sendo solidários às partículas em movimentos arbitrários e, portanto, a relação infinitesimal dos tempos deve ser adequadamente integrada, levando em conta a dependência temporal da velocidade, 1 = = 1 /, (4.35) Como >0, os intervalos de tempo finitos devem satisfazer à desigualdade >. (4.36) Uma consequência dessa desigualdade é que o tempo de um observador num referencial em movimento flui mais lentamente em relação a outro observador em repouso num referencial inercial. Problemas como o paradoxo dos gêmeos devem ser analisados utilizando a equação (4.35) pois um dos referenciais, o do gêmeo viajante, é não inercial devido à aceleração necessária para reverter o movimento para o retorno. Vale lembrar que a Relatividade Restrita só é válida em referenciais inerciais, de modo que o viajante deve recorrer à Relatividade Geral, onde um dos efeitos da aceleração é retardar o tempo. Exercícios 1. Mostre que duas transformações sucessivas de Lorentz resulta numa outra transformação de Lorentz. 2. Utilizando o resultado do exercício anterior, mostre que as transformações de Lorentz definem uma estrutura matemática de Grupo. 3. Mostre que o intervalo entre eventos ²= + é uma invariante relativística. 4. Mostre que a equação de onda (,,,) (,,,)=0 é relativisticamente covariante. 5. Mostre que a velocidade da luz, em módulo, é a mesma em todos os referenciais inerciais, isto é, se + + = num referencial inercial, então, necessariamente, num outro referencial inercial. + + = 6. Mostre que as transformações relativísticas da aceleração para as transformações de Lorentz 34

resultam para a componente, para a componente e para a componente. =( ) = = =( ) = 1 / 1 1 = 1 + 1 = 1 + 1 1 Bibliografia 1. John J. Brehm e William J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter, John Wiley & Sons, 1989. 2. H. A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowski, Textos Fundamentais da Física Moderna, I volume - O Princípio da Relatividade (3ª. edição), Editora da Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1958). 3. J. H. Smith, Introduction to Special Relativity, Ed. W. A. Benjamin, NY, 1969. 4. R. Resnick, Introdução à Relatividade Especial, Ed. USP/Polígono, SP,1971. 5. Richard A. Mould, Basic Relativity, Springer, NY, 1994. 6. L. Landau and E. L. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press, Oxford (1976). 35