Unidade 2 As transformações de Galileu

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1 1 O Princípio da Relatividade Especial: de Galileu a Einstein Claudio M. Porto e Marta F. Barroso Unidade 2 As transformações de Galileu O ponto de partida Na Unidade 1, encerramos nossa discussão com a expressão da transformação de velocidades entre dois sistemas de referência. Discutimos que a descrição do movimento é feita a partir de um observador, ou sistema de referência, e em cada sistema de referência há diversas escolhas para o ponto de referência e para sistemas de coordenadas. Podemos resumir as conclusões com o quadro abaixo. As equações acima podem ser reescritas em termos de coordenadas. O eixo x vai ser considerado o eixo que fornece a direção da velocidade do segundo referencial, medida pelo primeiro. Ou seja, se ˆx é o vetor unitário da direção x, a velocidade relativa entre os dois observadores é U = U ˆx.

2 CEDERJ/EXTENSÃO/FÍSICA Relatividade Unidade 2 p. 2 Os eixos x e x associados aos dois referenciais coincidem, e vamos considerar que no instante em que as origens dos dois sistemas de coordenadas O e O coincidem, sincronizamos os relógios dos dois observadores de forma a que ambos façam a leitura nula: quando O O, t = t =0. Como r (t) = r R podemos escrever em coordenadas cartesianas (x, y, z) x = x X, y = y, z = z. Se a velocidade U for constante, R = Ute x = x Ut y = y z = z As transformações de Galileu para a velocidade do corpo são, lembrando que supomos que intervalos de tempo medidos por S e por S são idênticos, v x = v x U v y = v y v z = v z ou seja, a velocidade vista pelo observador em movimento tem a componente na direção do movimento alterada. Um intervalo: jogo no computador? Vamos propor um exerccio (numa versão ambientalista): Um navio do Greenpeace quer abordar uma baleeira no mar. A baleeira está em movimento; o piloto da lancha do Greenpeace precisa orientar sua velocidade de forma a alcançar a barca de pesca (ilegal). Como ele deve fazer isso?

3 CEDERJ/EXTENSÃO/FÍSICA Relatividade Unidade 2 p. 3 Tente resolvê-lo no papel. Mas também aproveite para brincar um pouco e acesse duas versões parecidas com jogos de computador deste problema: o Exercício Interativo 1 e o Exercício Interativo 2. Oprincípio da relatividade galileana As equações que expressam as transformações de Galileu para a velocidade dos corpos nos permitem fazer uma observação mais importante ainda. Supusemos a velocidade relativa dos dois observadores constante, e escrevemos v = v U. Derivando novamente esta expressão em relação ao tempo e lembrando de nossa hipótese de sempre, que intervalos de tempos são iguais para diferentes referenciais, podemos escrever a = a. Mas a segunda lei de Newton nos diz que a força resultante sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração. Ora, forças normalmente dependem de posições e velocidades relativas e portanto de variáveis que não se modificam quando mudamos de sistema de referência (desde que o movimento relativo entre eles seja uniforme). A princípio, a massa(quantidadedematéria) também não se altera ao trocarmos de sistema de referência. Podemos então escrever (sempre usando uma linha para representar a grandeza no referencial em movimento S ) F = F, m = m A segunda lei fica com a mesma forma quando a escrevemos para o objeto no referencial S e no referencial S : F = F = m a = m a Em outras palavras, se a segunda lei descreve o movimento do corpo observado por S, F = m a, então S também usa a segunda lei para descrever o movimento visto por ele: F = m a. Isto significa que as leis da mecânica são invariantes por transformações de Galileu. Ou seja, é impossível detectar se um referencial

4 CEDERJ/EXTENSÃO/FÍSICA Relatividade Unidade 2 p. 4 inercial (onde vale a lei da inércia, e as leis de Newton) está ounão em movimento uniforme em relação a outro referencial inercial apenas realizando experimentos mecânicos pois os dois referenciais apresentam acelerações idênticas quando interagem com o ambiente ao seu redor. Esta idéia está presente no texto de Galileu, Diálogos sobre dois máximos sistemas de mundo. Um trecho deste livro está apresentado como complemento a este material. Nas palavras do tradutor e professor Pablo Mariconda 1 Salviati extrai corretamente uma conclusão importante do princípio de relatividade do movimento, a saber, que a experiência interna a um sistema mecânico dos corpos incapaz de decidir se esse sistema está em repouso ou em movimento. (...) esta idéia de que as experiências mecânicas realizadas na Terra são insuficientes para decidir se a Terra está em repouso ou em movimento éumdos indícios de que Galileu se aproxima de uma conceituação plenamente mecânica da relatividade. Outros exercícios, agora no papel Primeiro exercício: Um objeto move-se sobre uma mesa lisa (por exemplo, um trilho de ar) horizontal com velocidade de 5 m/s. Descreva o movimento deste corpo do ponto de vista de um observador fixo à Terra. Segundo exercício: Um observador move-se com a mesma velocidade de 5 m/s que o objeto do exercício anterior, com a mesma direção e sentido. Descreva o movimento deste corpo do ponto de vista deste observador S. 1 trecho da Nota 76 da Segunda Jornada, em Diálogo sobre dois máximos sitemas do mundo ptolomaico e copernicano, Discurso Editorial (São Paulo), 2001.

5 CEDERJ/EXTENSÃO/FÍSICA Relatividade Unidade 2 p. 5 Terceiro exercício: Um objeto de massa m = 2 kg move-se numa mesa com atrito. A velocidade inicial do corpo é v = 2 m/s, e a desaceleração causada pelo atrito éde 0,5 m/s 2. O movimento do objeto é descrito por um observador fixo à Terra. Calcule a variação na energia cinética do corpo entre o instante inicial e o instante em que o objeto pára. Calcule o trabalho da força resultante sobre o corpo entre os dois instantes. Compare os dois valores. Quarto exercício: O movimento do objeto do exercício anterior agora está sendo descrito por um observador que move-se com a velocidade que o objeto tinha no instante inicial (2 m/s). Desenhe a situação observada por este novo observador (do instante inicial do problema anterior ao instante final). Calcule a variação na energia cinética do corpo entre o instante inicial e o instante final. Calcule o trabalho da força resultante sobre o corpo entre os dois instantes. Compare os dois valores. Conclusão: relatividade e invariância A descrição do movimento é relativa isto é, os vetores utilizados para fazer a descrição dependem do sistema de referência utilizado. A forma de entender como se passa de um sistema de referência para outro é utilizar as transformações de Galileu. Mas o que significa dizer que as leis da Fsica são invariantes, que são as mesmas para qualquer observador inercial? Nos exercícios propostos, observamos que os valores medidos para energia cinética ão diferentes para os diferentes observadores. Os valores medidos para o trabalho da fora resultante são diferentes para os diferentes observadores. No entanto, para todos os observadores, o trabalho da resultante é igual variação da energia cinética! Isto é, a lei W res = E cin éválida para os dois observadores...