RESOLUÇÃO PROV E MTEMÁTI VESTIBULR UFB-8 - FSE Profa. Maria ntônia onceição Gouveia. Questão. Para estudar o desenvolvimento de um grupo de bactérias, um laboratório realiou uma pesquisa durante 5 semanas. Inicialmente, colocou-se um determinado número de bactérias em um recipiente e, ao final de cada semana, observou-se o seguinte: na primeira semana, houve uma redução de % no número de bactérias: na segunda semana, houve um aumento de % em relação à quantidade de bactérias eistentes ao final da primeira semana; a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de raão ; no final da décima quinta semana, o número de bactérias eistentes era igual ao inicial. om base nessas informações, determine o número de bactérias eistentes no início da pesquisa. e acordo com as informações: ao final da primeira semana o número de bactérias é (,),8; ao final da segunda semana o número de bactérias é,8,(,8),88; ao final da terceira semana o número de bactérias é,88 ;... Representando em uma tabela: Termos da P. a a a a Início da 5 6 semana N o de bactérias,8,88,88,88,8856 Vemos que a partir do início da terceira semana temos, de acordo com as informações da questão, uma P de termos, cuja raão é, o primeiro termo é,88 e o último termo é igual a.
omo numa P a a (n ).r, temos:,88 ( ), 56. RESPOST: No início da pesquisa o número de bactérias era de.. Questão. onsidere os conjuntos {(, ). R ; 6 e - } e {. R; (, ) }. π cos, se < Sendo f: R a função tal que f(), determine a imagem da 5,se > função f. {(, ). R ; 6 e - } 6 O conjunto é formado pelos pares (,) pertencentes à região hachurada. Sendo {. R; (, ) }, então, os elementos de são os pontos de interseção do conjunto com o eio O, logo: [, ] [, ]. π cos, se < Sendo f: R a função tal que f() 5, se > Tomando os valores etremos do intervalo [, ]: f() cos π π f ( ) cos( π ) e f( ) cos, logo para [, ], o conjunto imagem de f é [, ] Se [, ], f() 5 f() 6 e f( ) 6 b ( 5) abscissa do vértice da parábola f() 5 é v, 5. a
O valor mínimo que a função f() 5 assume para os valores de [, ] é f(,5),5 5.,5 6,5,5 6, 5. Logo para [, ] a imagem é [ 6,5; ]. RESPOST: onclusão: a imagem da função f: R a função tal que π cos, se < f() é [, ] [ 6,5; ]. 5, se > Questão. Sendo () e B() polinômios com coeficientes reais tais que: () a a é divisível por ; B() 5 b b b b b 5 tem uma rai em comum com (); B(i) ; B( i), calcule () B(). Efetuando a divisão de ( a a ) por ( ) a a (a ) a (a ) a Sendo eata a divisão acima, (a ) a a e a. Substituindo esses valores em () a a, temos: () ( ) ( ) ( )( ) () () ( )( ). Igualando () a ero chega-se a: ou ou ± ± i Logo e ± i são raies de (). Sendo B() 5 b b b b b 5, do 5 o grau tem 5 raíes. omo B(i) e B( i) concluímos que B( i) e B( i).
Os números i, i, i e i são das raíes de B(), então a 5 a rai que é real, é a rai comum com (), ou seja. Pode-se então escrever: B() ( )( i)( i)( i)( i). eterminando agora o valor numérico da epressão : () B(). () e B() ( )( i)( i)( i)( i) ( i)( i) ( i)(i) ( i) (i) ( i) ( i) () () B() 5. RESPOST: o valor de () B() é 5. Questão. onsidere as matries de elementos reais não negativos, B e 6. Sabendo que comuta com B e que, calcule o determinante da matri X t. Se comuta com B: em função de e representar podemos I. omo 6 ( ) ( ) ( ) 6 6 Lembrando que os elementos da matri a são números reais não negativos, portanto
,, e R*, temos: da validade dos valores de e ) (verificação. temos : e temos : e I I matri, então a matri X é: X t. O determinante de X é: det X 5. RESPOST: 5 Questão 5. Na figura ao lado, tem-se o 5 Â B, o 6 ˆ B, 5u.c. e u.c. om base nesses dados, calcule B. O triângulo BH é retângulo e isósceles, logo BH h 5 No triângulo BH aplicando a relação da tangente ao ângulo 6 o, temos:
tg6 o 5 BH H ( ) ( ) 5 5 5 5 ( ) 5( ) ( )( ) 5( ) ( )( ) O valor de h é: 5( ) 5 5 5 5 h 5. No triângulo BH aplicando o teorema de Pitágoras : ( ) ( ) B h 5 5 B ( 6 ) 5( 6 ) 6 5 B 5.. 5 6 5 B RESPOST: B 5 6 u.c. Questão 6. onsidere os pontos (-, ), B(, ) e (-, 5) do plano cartesiano. Sendo o ponto simétrico de em relação à reta que passa por e é perpendicular ao segmento B, determine a área do quadrilátero B.. Usaremos a relação a ( ), equação da reta que possui coeficiente angular a e que possui o ponto (, ). oeficiente angular da reta t B: B a. t ( ) B Sendo a reta r M B então o seu coeficiente angular é. omo r passa pelo ponto (, ) então a sua equação é ( ). Equação de s // B : Sendo s // t, a s a t. reta s passa pelo ponto (, 5); s tem equação 5 ( ).
M é o ponto de interseção das retas r e s,,) ( M 8 omo o ponto é simétrico do ponto em relação à reta r, então M é o ponto médio do segmento, M e ( ), 5 M alculo da área do quadrilátero B: ( ) 8 6 8 8 6 5 S B 5 / / RESPOST: a área é 8.