UNIVERSIDADE DO ALGARVE

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA C.E.T. EM TOPOGRAFIA E CADASTRO REGIME DIURNO - 2º SEMESTRE - 1º ANO - 2007 / 2008 DISCIPLINA DE NOÇÕES DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Ficha nº2 - Teoria das Probabilidades 1. Uma urna contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Extrai-se uma bola ao acaso. Determine a probabilidade da bola ser: 1.1) Vermelha; 1.2) Branca; 1.3) Azul; 1.4) Preta; 1.5) Não vermelha; 1.6) Vermelha ou branca; 1.7) Vermelha, branca ou azul. 2. Uma mão de poker retirada de um baralho de 52 cartas, é um full house se consistir em 3 cartas do mesmo valor e 2 também do mesmo valor, no total de 5 cartas. Se as 5 cartas tiverem igual probalidade de serem extraídas, qual a probalidade de sair um full house? 3. Dum lote de 100 peças, das quais 20 são defeituosas e 80 são perfeitas, escolheu-se uma amostra de 10 peças. Qual a probalidade de achar 3 defeituosas e 7 perfeitas? 4. Jogam-se simultaneamente dois dados perfeitos, um vermelho e outro preto. 4.1) Qual a probabilidade do número marcado no vermelho ser o dobro do número marcado no preto? 4.2) Qual é a probabilidade da soma dos dois números ser 6? 5. Uma urna contem duas bolas verdes e quatro bolas pretas, todas de igual tamanho e material. Efectuam-se duas extracções de uma bola com reposição (isto é, de cada vez que extraímos uma bola, ela é reintroduzida na urna antes da extracção seguinte). Calcule a probabilidade de sair: 5.1) duas bolas verdes; 5.2) uma bola verde e uma preta, por esta ordem; 5.3) duas bolas de cores diferentes. 1/5

6. Consideremos uma urna que contem duas bolas verdes e quatro bolas pretas e suponhamos que efectuamos duas extracções de uma bola sem reposição (isto é, extraímos a segunda bola sem repor a que havia sido retirada). Qual a probabilidade de: 6.1) Sair duas bolas da mesma cor? 6.2) Sair duas bolas de cor diferente? 7. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 7 bolas brancas. Um bola é retirada da urna e uma da outra cor é, então, colocada na urna. Uma segunda bola é retirada da urna. 7.1) Qual a probabilidade da 2ª bola extraída ser vermelha? 7.2) Se as duas bolas extraídas forem da mesma cor, qual a probabilidade de elas serem brancas? 8. Dois irmãos estudantes do 1º ano do CET em topografia e cadastro têm probabilidade de acabar o curso, respectivamente, igual a 1/6 e 1/4. Determine a probabilidade de: 8.1) Ambos acabarem o curso; 8.2) Pelo menos um acabar o curso; 8.3) Nem um nem outro acabar o curso; 8.4) Somente um cabar o curso. 9. Considere dois sacos, um com 3 bolas verdes e 2 bolas laranja, e o outro com 2 bolas verdes e 5 bolas laranja. Uma experiência aleatória consiste em seleccionar um saco aleatoriamente, extrair uma bola desse saco, colocá-lo no outro saco e extrair deste último uma outra bola. Determine a probabilidade de ambas as bolas extraída serem da mesma cor. 10. Se A, B e C são acontecimentos independentes e se P[A] = 0,2,P[B] = 0,3 e P[B C]=0,8 determine: 10.1) P[A B]; 10.2) P[C]; 10.3) P[A B C]; 11. A representa a saída de caras na 5ª jogada de uma moeda e B representa a saída de caras na 6ª. Qual a probalidade de sair caras em ambas as jogadas? 12. Num concurso de tiro ao alvo, a probabilidade de João ganhar é 2/5 em cada vez que atira. Atirando 5 vezes, qual a probabilidade de o João acertar a 1ª, 3ª e 5ª vez, falhando as restantes. 13. Pretende-se calcular o custo de um suporte metálico composto por 3 peças: A, B e C. Sabe-se que o custo, em milhares de escudos, da peça A pode ser 1,4 ou 1,5; o da peça B pode ser 2,8 ou 2,9 ou 3,0 e o da peça C pode ser 0,7 ou 0,8. Supõe-se que os custos indicados para cada peça são equiparáveis. Qual a probalidade de o custo do suporte exceder 5,1 euros? 2/5

14. Três caçadores atiram a um alvo de forma independente sendo de 1/2, 1/3 e 1/4, respectivamente, a probabilidade de acertar no alvo. Qual a probabilidade de que: 14.1) o alvo seja atingido? 14.2) o alvo seja atingido por pelo menos 2 caçadores? 15. Numa fábrica trabalham 30 mulheres e 50 homens, distribuídos etariamente segundo a tabela seguinte. Homens Mulheres até 21 anos 5 3 de 21 a 50 anos 30 18 + de 50 anos 15 9 Escolheu-se uma pessoa ao acaso. 15.1) Qual a probalidade da pessoa escolhida ser homem, sabendo que tem mais de 50 anos? 15.2) Os acontecimentos A (a pessoa escolhida é homem) e B (a pessoa escolhida tem mais de 50 anos) são ou não independentes? 16. A empresa X tem 400 fogos prontos para venda distribuídos da seguinte forma: T1-160, T2-160 e T3-80. Estimaram-se as probalidades para o tempo que a referida empresa demoraria a vender os fogos, tendo-se chegado aos valores que constam da seguinte tabela. Menos de 6 meses Entre 6 meses e 1 ano Mais de 1 ano T2 0,4 0,5 0,1 T3 0,2 0,3 0,5 T4 0,5 0,3 0,2 16.2) Tendo determinado fogo sido vendido em menos de 6 meses, qual a probalidade de ser um T2? 16.1) Compare a probalidade de um fogo ser vendido em menos de 6 meses com a probalidade de ser vendido entre 6 meses e um ano. 17. Das estatísticas da sociedade J retiraram-se os valores que constam da Tabela seguinte. Meio de transporte Destino % Produto expedido RN CP Outros Norte 30 50 40 10 Centro 50 16 64 20 Sul 20 10 70 20 17.1) Qual a probalidade de que uma determinada embalagem vá pela RN? 17.2) Suponha que uma embalagem seguiu pela RN e perdeu o rótulo de destino na estação de partida. Qual o destino que seria mais provável? 3/5

18. Duas caixas, A e B, contêm bolas vermelhas e pretas. Na caixa A há quatro vermelhas e três pretas e na caixa B há cinco vermelhas e quatro pretas. Escolhe-se uma caixa ao acaso e tira-se uma bola. 18.1) Determine a probabilidade de sair preta. 18.2) Verificou-se que saiu uma bola preta. Determine a probabilidade de ter saído da caixa A. 19. Um armazenista recebe lotes de vinho dos produtores A, B, C e D, nas proporções de 20% de A, 40% de B e 25% de C. Durante a recepção os lotes são examinados e classificados em 2 categorias quanto à qualidade. Um estudo estatístico do histórico dos fornecimentos fornece os dados que constam da tabela. Num dado momento existe no armazém um lote não identificado. Depois de examinado, verificou-se pertencer à 1ª categoria. Qual a origem mais provável do lote? A B C D 1ª categoria 60% 30% 40% 40% 2ª categoria 40% 70% 60% 60% 20. Uma cidade de 50000 habitantes possui três jornais diários: A, B e C. Uma investigação mostrou que 20000 lêem A, 16000 lêem B, 10000 lêem C, 12000 lêem A e B, 3000 lêem B e C, 7000 lêem A e C e 1000 lêem A, B e C. Qual a probalidade dum habitante escolhido ao acaso ler: 20.1) Pelo menos um jornal; 21.2) Apenas um jornal. 21. Em determinada cidade, 30% da população de leitores de jornais compra o jornal Diário de Notícias, 40% compra o Público e 10% compra os dois jornais. Se desta população escolhermos um leitor ao acaso, qual a probabilidade de: 21.1) Comprar pelo menos um destes jornais? 21.2) Comprar só o Diário de Notícias? 22. Numa determinada universidade, 25% dos Estudantes reprovaram em Estatística I, 15% reprovaram em Economia e 10% reprovaram em Estatística I e Economia. Um estudante foi escolhido ao acaso. 22.1) Qual a probabilidade de ter reprovado em Estatística I ou Economia? 22.2) Se reprovou em Estatística I qual é a probabilidade de ter reprovado em Economia? 22.3) Se reprovou em Economia qual é a probabilidade de ter reprovado em Estatística I? 22.4) Qual a probabilidade de não ter reprovado em Estatística I e ter reprovado em Economia? 22.5) Qual a probabilidade de ter reprovado numa e só numa das disciplinas? 4/5

23. Sabe-se que três inspectores: Maximino, Geraldes e Gastão, inspeccionam respectivamente, 20%, 30% e 50% artigos de uma fábrica. A probabilidade de inspeccionar um artigo defeituoso é de: 0,05 para o inspector Maximino, 0,10 para o inspector Geraldes e 0,15 para o inspector Gastão. 23.1) Retira-se ao acaso um artigo inspeccionado. Qual a probabilidade de ser defeituoso? 23.2) Sendo defeituoso, qual a probabilidade de ter sido inspeccionado pelo inspector Maximino? E pelo Geraldes? E pelo Gastão? 24. Uma fábrica utiliza três máquinas para a produção do mesmo produto, com as seguintes percentagens de produção: M1-40%; M2-35% e M3-25%. As percentagens de artigos defeituosos produzidos por cada máquina são respectivamente de 4%, 2% e 1%. 24.1) Em certo momento retirou-se um artigo da produção total. Qual a probalidade de ser não defeituoso? Qual a probalidade de ter sido produzido pela máquina M1, observando-se que é defeituoso? 24.2) Se forem retirados dois artigos da produção, com reposição, qual a probalidade de que um seja defeituoso e outro não? 25. Na produção de artigos de vestuário de uma empresa 10% dos artigos produzidos tem defeitos de tecido, 5% tem defeitos de acabamento e 2% tem defeitos de ambos os tipos. Qual a probabilidade de uma peça de vestuário ter apenas defeitos de tecido? 26. Um certo programa de computador opera usando uma de duas subrotinas A e B, consoante o problema. A experiência indica que a sub-rotina A é usada 40% das vezes e a sub-rotina B 60% das vezes. Quando se usa A há 75% de probabilidade de passar o programa antes do tempo limite, se usar B há 40% de probabilidade de exceder o tempo limite. 26.1) Determine a probabilidade de ao passar um programa escolhido ao acaso, exceder o tempo limite. 26.2) Se, ao passar um programa qualquer não exceder o tempo limite, qual a subrotina que mais provavelmente foi usada? 27. Numa área de serviço de uma auto-estrada o número de camiões relativamente ao número de automóveis está na proporção de 3:2. A probabilidade de um camião se abastecer é de 0,1 e a de um automóvel é de 0,2. Chega uma viatura à área de serviço para se abastecer. Qual a probabilidade de ser um camião? 28. Um teste tem 6 questões a que se responde só um certo ou errado. Mostre que uma pessoa que responda ao acaso tem mais probabilidade de acertar em 3 do que numa só questão. 5/5