CD 031 Desenho Geométrico

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA CD 031 Desenho Geométrico I Apostila elaborada por: Profa. Dra. Deise Maria Bertholdi Costa e Profa. Dra. Elen Andrea Janzen Complementada por: Prof Dr. Anderson Roges T. Góes

I SUMÁRIO 1 PROGRAMA DA DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO I... 3 1.1 OBJETIVOS... 3 1.2 PROGRAMA... 3 1.3 PROCESSO DE AVALIAÇÃO... 4 1.4 MATERIAL DIDÁTICO... 5 1.5 ATENDIMENTO A ALUNOS... 5 1.6 OBSERVAÇÃO... 5 1.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 6 2 POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO... 7 3 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA... 8 3.1 GEOMETRIA... 8 3.2 ASPECTOS HISTÓRICOS... 8 3.3 NOÇÕES PRIMITIVAS, AXIOMAS, DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES DA GEOMETRIA EUCLIDIANA... 8 3.4 ÂNGULOS... 9 3.5 A RETA NO PLANO... 14 3.6 TRIÂNGULOS... 16 3.7 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS... 22 3.8 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS... 24 4 LUGARES GEOMÉTRICOS... 31 5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA... 32 6 LG 2 - MEDIATRIZ... 37 7 LG 3 - PARALELAS... 41 8 LG 4 - BISSETRIZ... 43 9 ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA... 47 9.1 ÂNGULO CENTRAL... 47 9.2 ÂNGULO INSCRITO... 48 9.3 ÂNGULO DE SEGMENTO... 50 10 LG 5 ARCO CAPAZ... 53 11 DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES PROPORCIONAIS... 58 11.1 QUARTA PROPORCIONAL... 62 11.2 TERCEIRA PROPORCIONAL... 62 11.3 DIVISÃO HARMÔNICA... 65 12 LG 6 CIRCUNFERÊNCIA DE APOLÔNIO... 68 13 MÉDIA GEOMÉTRICA (OU MÉDIA PROPORCIONAL)... 71 14 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS... 76 15 SEGMENTO ÁUREO (DIVISÃO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO)... 79 15.1 ENCONTRAR O SEGMENTO ÁUREO AP CONHECENDO O SEGMENTO AB... 79 15.2 DADO O SEGMENTO AB OBTER AQ, DO QUAL AB É ÁUREO... 81 16 POTÊNCIA DE PONTO... 85 17 TRIÂNGULOS... 89

II 17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO... 89 17.2 CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS... 92 18 HOMOTETIA... 116 19 QUADRILÁTEROS... 117 19.1. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS... 117 19.2. CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS... 120 20 TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA... 136 20.1 PROPRIEDADES DE TANGÊNCIA... 136 20.2 PROPRIEDADES DE CONCORDÂNCIA... 136 20.3 EIXO RADICAL, CENTRO RADICAL E FEIXE DE CIRCUNFERÊNCIAS... 145 21 APLICAÇÕES DE CONCORDÂNCIA: ARCOS, OVAIS E ESPIRAIS... 155 21.1 ARCOS... 155 21.2 OVAIS... 156 21.3 ESPIRAIS... 157 22 DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS... 159 22.1 CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS QUANTO AO NÚMERO DE LADOS... 159 22.2 PROCESSOS EXATOS... 160 22.3 PROCESSOS APROXIMADOS... 166 22.4 PROCESSOS GERAIS... 173 23 POLÍGONOS ESTRELADOS... 176 24 RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA... 180 24.1 PROCESSO DE ARQUIMEDES... 180 24.2 PROCESSO DE KOCHANSKY OU DA TANGENTE DE 30... 182 24.3 RETIFICAÇÃO DE ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA... 183 25 EQUIVALÊNCIA E DIVISÃO DE ÁREAS... 191 25.1 ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS GEOMÉTRICAS... 191 25.2 EQUIVALÊNCIA... 191 25.3 PROBLEMAS DE QUADRATURA... 193 25.4 PROBLEMAS GERAIS DE EQUIVALÊNCIA... 196

3 1 PROGRAMA DA DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO I O Desenho Geométrico tem por finalidade representar de forma precisa as figuras planas e resolver, com régua e compasso, os problemas da Geometria Plana. 1.1 OBJETIVOS Desenvolver o raciocínio lógico; Desenvolver a habilidade de representar figuras bidimensionais com o auxílio de régua e compasso; Resolver problemas da Geometria Plana; Desenvolver a capacidade de: o Visualização mental e representação gráfica, de formas reais ou imaginadas; o Interpretação e de representações de formas; o Comunicar através de representações geométricas; o Formular e de resolver problemas relacionados à Geometria Plana; o Criativa; Conhecer vocabulário específico do Desenho Geométrico; Utilizar corretamente os materiais e instrumentos de desenho; 1.2 PROGRAMA Postulados do desenho geométrico. Congruência e semelhança de triângulos. Lugares Geométricos. Relações métricas nos segmentos. Teorema de Thales. Teorema de Pitágoras. Média Geométrica.

4 Segmento Áureo. Relações métricas na circunferência. Construção de triângulos e de quadriláteros. Pontos notáveis de um triângulo. Retificação e desretificação de circunferência e de arcos de circunferência. Divisão da circunferência por métodos exatos e aproximados. Polígonos estrelados. Ampliação e redução de figuras. Homotetia. Equivalência de Áreas. Divisão de Áreas. Tangência e Concordância. Aplicações computacionais de conceitos geométricos através da Geometria Dinâmica. 1.3 PROCESSO DE AVALIAÇÃO A qualidade do desempenho do aluno será avaliada com base no desenvolvimento das seguintes atividades: Participação em sala de aula, evolução do aluno durante o período letivo e pasta com todos os exercícios resolviddos (A01); 02 avaliações escritas (no mínimo) em sala de aula (A02, A03); Trabalhos extraclasse (A04). Datas de avaliações escritas em sala de aula e entrega de trabalhos serão definidas com os alunos dentro do calendário vigente. Valor de A01, A02, A03 e A04 entre 00(zero) e 100 (cem). Nota semestral: 0,10*A1+0,30*A2+0,30*A3+0,30*A4

5 1.4 MATERIAL DIDÁTICO Lapiseira 0,3 com grafite H ou lápis H; Lapiseira 0,5 com grafite 2B ou lápis 2B; Borracha; Compasso (sugestão: Tridente modelo 9000); Régua em acrílico 30 cm (sugestão Desetec 7130); Papel sulfite tamanho A4; Lixa de unha (para lixar grafite do compasso); Uma folha de acetato tamanho A4 (ou maior); Pasta com plásticos para organizar o material impresso e trabalhos; e Notas de aulas (material de apoio). 1.5 ATENDIMENTO A ALUNOS Atendimento extraclasse será realizado no Gabinete de Desenho (4º andar do Prédio da Administração Centro Politécnico) nas quartas-feira 15h30 as 16h30 ou as 18h as 19h. Outros Horários devem ser agendados diretamente com o professor através dos seguintes contatos: Gabinete: 3361-3462; E-mail: artgoes@ufpr.br; MSN: artgoes0@hotmail.com. 1.6 OBSERVAÇÃO O aluno deverá tomar conhecimento da resolução nº37/97 do Conselho de Ensino e Pesquisa da Universidade Federal do Paraná.

6 1.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: SBM, 1985. BRAGA, T. Desenho linear Métrico. São Paulo. Editora Ícone. CARVALHO, Benjamin A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática Elementar Geometria Plana. São Paulo: Atual, v. 9. GIONGO, Affonso Rocha. Curso de Desenho Geométrico. São Paulo: Nobel. GONÇALVES JR, Oscar. Matemática por Assunto Geometria Plana e Espacial. São Paulo: Scipione, v.9. JANUÁRIO, Antônio Jaime. Desenho Geométrico. Florianópolis: Editora da UFSC. MARMO, Carlos. Curso de Desenho. São Paulo: Scipione. PUTNOKI, José Carlos. JOTA. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. São Paulo: Scipione, v. 1, 2 e 3. REZENDE, E. Q. F. QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e construções geométricas Campinas: UNICAMP, 2000.

7 2 POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO Assim como no estudo da Geometria se aceitam, sem definir e sem demonstrar certas proposições primitivas (ou postulados, ou axiomas), no estudo do Desenho é necessário aceitar certos postulados que tornam a matéria objetiva. 1º Postulado: Os únicos instrumentos permitidos no Desenho Geométrico, além do lápis, papel, borracha e prancheta, são: a régua não graduada e o compasso. A graduação da régua ou "escala" só pode ser usada para colocar no papel os dados de um problema ou eventualmente para medir a resposta, a fim de conferí-la. 2º Postulado: É proibido em Desenho Geométrico fazer contas com as medidas dos dados; todavia, considerações algébricas são permitidas na dedução (ou justificativa) de um problema, desde que a resposta seja depois obtida graficamente obedecendo aos outros postulados. 3º Postulado: Em Desenho Geométrico é proibido obter respostas "à mão livre", bem como "por tentativas". Admite-se, no entanto, o traçado de uma cônica à mão livre ou com o uso de curvas francesas, desde que a resposta de um problema não seja obtida através desse traçado.

8 3 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 3.1 GEOMETRIA A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da Geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, séc. IV a.c., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. O termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida). Atualmente, define-se a Geometria como sendo a disciplina matemática que tem por objetivo o estudo do espaço e das formas nele contidas. 3.2 ASPECTOS HISTÓRICOS Nas antigas culturas do Egito e da Mesopotâmia, a geometria consistia simplesmente num conjunto de regras empíricas. Os gregos, entre os quais destacou-se Euclides, séc. III a.c., sistematizaram os conhecimentos existentes sobre o tema e estabeleceram seus fundamentos num conjunto de axiomas (ou postulados ou proposições primitivas) dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais resultados (proposições ou teoremas). A discussão dos princípios da Geometria Euclidiana levou à construção, no séc. XIX, de novos sistemas geométricos, denominados geometrias não-euclidianas, e desembocou na generalização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez mais abstratos. (Enciclopédia Barsa) 3.3 NOÇÕES PRIMITIVAS, AXIOMAS, DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES DA GEOMETRIA EUCLIDIANA Adotaremos, sem definição, as noções de ponto, reta e plano. Notação: O ponto é representado por letras maiúsculas do nosso alfabeto (A, B, C,..., P, Q, R, S,...); a reta é representada por letras minúscula (a, b, c,..., r, s, t, u,...); e o plano é representado por letras gregas ( α, β, γ, δ,...).

9 Axiomas: A1. Num plano existem infinitos pontos. A2. Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. A3. Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. A4. Por um ponto fora de uma reta passa somente uma reta paralela à ela. Definições: D1. Chama-se ponto médio de um segmento de reta AB o ponto desse segmento que o divide em dois segmentos congruentes. D2. Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta que tem sua origem no vértice desse ângulo e divide-o em dois ângulos adjacentes e congruentes. Teoremas: T1. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam pares de ângulos que são ou suplementares ou congruentes. T2. Num triângulo qualquer, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º. 3.4 ÂNGULOS Definição: Chamamos de ângulo a figura formada por duas semi-retas com a mesma origem. Elementos: lados, vértice, espaço angular. Notação: AÔB, AOB, Ô, O, α. β... Duas regiões angulares comuns; Definições: Dois ângulos são: a) consecutivos: quando possuem o mesmo vértice e têm um lado comum; b) adjacentes: quando são também consecutivos e não têm pontos internos

10 c) complementares: quando a soma de suas medidas é 90º; d) suplementares: quando a soma de suas medidas é 180º; e) congruentes: quando possuem medidas iguais. C _ D _ B O A α=60 β=30 60 30 α e β são complementares O complento de 60 é 30 A semi-reta com origem no vértice de um ângulo e que divide-o em dois outros ângulos congruentes é chamada de Bissetriz. (A bissetriz é um lugar geométrico, e será estudado com mais detalhe nos próximos tópicos, neste momento faremos apenas a construção). Determine a bissetriz do ângulo α α

11 Ângulos Fundamentais Construir com régua e compasso os ângulos de 60º, 30º, 90º e 45º.

12 Transportar o ângulo de medida α dado, sabendo-se que O será o seu vértice e a semi-reta OA dada um de seus lados. α O A Exercício 1) Repoduzir a figura em escla 2:1 utilizando régua e compasso.

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14 3.5 A RETA NO PLANO Quanto à posição relativa entre duas retas no plano, elas podem ser: paralelas (caso especial: coincidentes), concorrentes ou secantes (caso especial: perpendiculares). Definições: 1) Duas retas são perpendiculares quando formam entre si ângulos de 90º. 2) Mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a AB passando pelo ponto médio desse segmento. (A Mediatriz é um lugar geométrico, e será estudado com mais detalhe nos próximos tópicos, neste momento faremos apenas a construção). Quando duas retas (não necessariamente paralelas) são cortadas por uma transversal formam-se oito ângulos. t t 1 2 4 3 n 1 1 2 4 3 n 1 5 6 8 7 n 2 5 6 8 7 n 2 Chamam-se ângulos: correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8. opostos pelo vértice: 1 e 3, 2 e 4, 5 e 7, 6 e 8. internos - entre as retas n1 e n2: 3, 4, 5, 6. externos - fora das retas n1 e n2: 1, 2, 7, 8. colaterais - aqueles que estão de um mesmo lado da transversal: o colaterais internos: 3 e 6, 4 e 5. o colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7. alternos - aqueles que estão em semi-planos opostos em relação a transversal: o alternos internos: 4 e 6, 3 e 5. o alternos externos: 1 e 7, 2 e 8.

15 Definição: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retas opostas dos lados do outro. Propriedades: 1) Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 2) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam pares de ângulos que são ou suplementares ou congruentes.

16 3.6 TRIÂNGULOS Definição: Dados três pontos A, B e C, no plano e não-colineares, a figura formada pelos segmentos AB, BC e AC chamamos de triângulo. Propriedades P1. Num triângulo qualquer, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º. P2. Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. P3. O segmento ligando os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem a metade do seu comprimento. P4. A soma dos comprimentos de dois lados de um triângulo é maior que o comprimento do 3º lado. Definição: Seja ABC um triângulo e D um ponto da reta que contém B e C, temos que: O segmento AD chama-se mediana do triângulo relativamente ao lado BC, se D for o ponto médio de BC; O segmento AD chama-se bissetriz do ângulo A se a semi-reta AD separa o ângulo CÂB em dois ângulos iguais, isto é, se CÂD=DÂB; e O segmento AD é a altura do triângulo relativamente ao lado BC, se a reta que contém o segmento AD for perpendicular à reta que contém B e C.

17 Classificação dos triângulos Quanto aos lados podemos classificar os triângulos em: Escaleno Isósceles Eqüilátero Quanto aos ângulos podemos classificar os triângulos em: Acutângulo Retângulo Obtusângulo Eqüiângulo

18 Propriedades do triângulo isósceles: P1. Num triângulo isósceles os ângulos da base são. P2. A altura relativa à base num triângulo isósceles é também,,.

19 Exercícios 1) Construa o triângulo isósceles sendo dado a base AB=50 e os ângulo  e Bˆ iguais a 60º. Quantidade de soluções obtidas: Procedimento: 2) Construa o triângulo retângulo dados seus catetos AB=50 e AC=70. Quantidade de soluções obtidas: Procedimento:

20 9) Elabore uma atividade para ser aplicada em sala de aula, onde constem triângulos isósceles. Indique a disciplina, série, objetivo, desenvolvimento, forma de avaliação e outros aspectos e considerações que julgue importantes.

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22 3.7 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Definições: 1) Diz-se que dois segmentos AB e CD são congruentes quando AB=CD; e que dois ângulos  e Bˆ são congruentes quando eles têm a mesma medida. 2) Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes. Quando escrevemos ABC EFG significa que os triângulos ABC e EFG são congruentes e que a congruência leva A em E, B em F e C em G. Existem cinco casos de congruência e com o auxilio da congruência de triângulos é que se demonstra grande parte dos teoremas fundamentais da geometria. O primeiro caso é um axioma, a partir dele podemos demonstrar todos os outros casos. 1 ) Axioma (LAL): Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB=EF, AC=EG e Â=Ê, então ABC = EFG.

23 2 ) Propriedade (ALA): Dados dois triângulos ABC e EFG, se Â=Ê, AB=EF e Bˆ = Fˆ, então ABC = EFG. 3 ) Propriedade (LLL): Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB=EF, BC=FG e AC=EG, então ABC= EFG. 4 ) Propriedade (HCA r ): Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB=EF, BC=FG e Ĉ = Ĝ =90, então ABC= EFG.

24 5 ) Corolário (ALA o ): Dados dois triângulos ABC e EFG, se Â=Ê, AB=EF e Ĉ = Ĝ, então ABC EFG. Observação: LLA não é critério de congruência. Exercício 1) Provar a propriedade 2 da pág 21. 3.8 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Definição: Dois triângulos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que ângulos correspondentes sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais. Aˆ = Eˆ, Bˆ = Fˆ, Cˆ = Gˆ e ABC ~ EFG AB BC CA = = = k EF FG GE Existem 4 casos de semelhança. Os casos de semelhança podem ser obtidos através do Teorema de Tales.

25 1 ) Propriedade (AA): Dados dois triângulos ABC e EFG, se Â=Ê e Bˆ = Fˆ, então os triângulos são semelhantes. AB = EF 2 ) Propriedade (L p AL p ): Se, em dois triângulos ABC e EFG tem-se Â=Ê e AC, então os triângulos são semelhantes EG 3 ) Propriedade (L p L p L p ): Se, em dois triângulos ABC e EFG tem-se AB BC CA = = então os triângulos são semelhantes. EF FG GE

26 4 ) Propriedade (L p L p A r ): Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB AC = e EF EG Ĉ =Ĝ =90, então ABC= EFG. Observação: L p L p A não é critério de semelhança.

27 Exercícios 1) Repoduzir a figura abaixo, onde cada quadricula possui 1cm de lado. Porque na segunda figura há um espaço em branco?

28 2) Dois triângulos congruentes são semelhantes? 3) Sabe-se que AB=AC e BD=CE. Mostre que: a) ACD ABE b) BCD CBE D B A E C

29 4) As figuras somente estão com os valores corretos. Compare os triângulos dados e responda: a) Os triângulos e são b) Os triângulos e são, pois:, pois: Então:. Então:. c) Os triângulos e são d) Os triângulos e são, pois:, pois: Então:. Então:.

30 5) Elabore uma atividade para ser aplicada em sala de aula, onde conste o conteúdo de semelhança de triângulos. Indique a disciplina, série, objetivo, desenvolvimento, forma de avaliação e outros aspectos e considerações que julgue importantes.