Cônicas 1. (Uepg 014) Uma reta e uma parábola se interceptam nos pontos (4, 5) e (1, ). Se a abscissa do vértice da parábola vale, assinale o que for correto. 01) A reta intercepta o eixo x no ponto ( 1, 0). 0) A reta forma com o eixo x um ângulo de 135. 04) A parábola não intercepta o eixo x. 08) A ordenada do vértice da parábola vale 1. 16) A parábola tem a concavidade voltada para baixo.. (Fuvest 014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação y 4 x. a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α. x y 4y 0 e a b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y 4y 0 e y 4 x. www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 6
3. (Unesp 014) A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados. Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da elipse. 4. (Uema 014) Uma família da cidade de Cajapió MA comprou uma antena parabólica e o técnico a instalou acima do telhado. A antena projetou uma sombra na parede do vizinho, que está reproduzida abaixo, coberta com uma folha quadriculada. Note que a figura projetada na parede é uma cônica. Considerando as medidas mostradas e o sistema cartesiano contido na folha quadriculada, a equação que representa a cônica será a) y 7 x 1. b) y 7 x 1. c) y 3 1 x 1. d) 1 y 7x. 7 1 y 3 x 1. 7 e) www.nsaulasparticulares.com.br Página de 6
5. (Unifor 014) Uma bola é jogada dentro de uma cesta cuja superfície é obtida girando a parábola y x em torno do eixo y. O centro da bola ocupa um ponto de altura y 3. O raio da bola é: a) 11 b) c) d) e) 11 11 3 11 4 11 5 6. (Espcex (Aman) 014) Sobre a curva 9x + 5y 36x + 50y 164 = 0, assinale a alternativa correta. a) Seu centro é (,1). b) A medida do seu eixo maior é 5. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é 4. e) Sua excentricidade é 0,8. 7. (Fgv 014) No plano cartesiano, há dois pontos R e S pertencentes à parábola de equação y x e que estão alinhados com os pontos A(0,3) e B(4,0). A soma das abscissas dos pontos R e S é: a) -0,45 b) -0,55 c) -0,65 d) -0,75 e) -0,85 x y 8. (Udesc 013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é 1 é dada por a b A ab π. Então, a área da região situada entre as elipses de equações 16x 5y 400 e 16x 9y 144 é: a) 1π u.a. b) 0π u.a. c) 8π u.a. d) 56π u.a. e) π u.a. 9. (Epcar (Afa) 013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação x 9y 8x 54y 88 0 é correto afirmar que a) tem raio igual a 1. b) tangencia o eixo das abscissas. c) é secante ao eixo das ordenadas. d) intercepta a reta de equação 4x y 0. www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 6
10. (Uem 013) Sobre a cônica de equação x 4y 9, assinale o que for correto. 01) Trata-se de uma elipse. 0) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3,0) e ( 3,0). 04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os triângulos ADE e BDE possuem o mesmo perímetro. 08) A circunferência centrada na origem e de raio tangencia essa cônica. 1 16) O ponto, pertence à cônica. 11. (Ufpe 013) A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com equações respectivas y x 8x 13 e y x 4x 3. Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração. ( ) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1, 6). ( ) O vértice da parábola A é o ponto (4,). ( ) A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação y x 6. ( ) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 10. ( ) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0, 3). www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 6
1. (Enem 013) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: I. é a circunferência de equação x + y = 9; II. é a parábola de equação y = x 1, com x variando de 1 a 1; III. é o quadrado formado pelos vértices (, 1), ( 1, 1), ( 1, ) e (, ); IV. é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (, 1), (, ) e (1, ); V. é o ponto (0, 0). A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? a) b) c) d) e) 13. (Esc. Naval 013) A equação a) duas retas b) uma circunferência c) uma elipse d) uma hipérbole e) uma parábola 4x y 3x 8y 5 0, no plano xy, representa www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 6
14. (Ufrn 013) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 0 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo. O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. 15. (Ita 013) Sobre a parábola definida pela equação x xy y x 4y 1 0 pode-se afirmar que a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox. b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox. c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox. d) a abscissa do vértice da parábola é x 1. e) a abscissa do vértice da parábola é x. 3 16. (Ufpe 013) Para cada número real a, analise as proposições a seguir, referentes à representação geométrica da equação x ay x ay 0 em um sistema de coordenadas cartesianas xoy. ( ) Se a 1, a equação representa uma circunferência. ( ) Se a 0, a equação representa uma reta. ( ) Se a 3, a equação representa uma hipérbole. ( ) Se a, a equação representa uma elipse. ( ) Se a 1, a equação representa a união de duas retas. 17. (Fgv 013) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica (x ) 4(y 5) 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, então, m n é igual a a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) 3. www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 6
18. (Esc. Naval 01) Considere a sequência (a,b,) uma progressão aritmética e a sequência (b,a,) uma progressão geométrica não constante, a,b. A equação da reta que passa pelo ponto (a,b) e pelo vértice da curva a) 6y x 4 0 b) x 4y 1 0 c) x 4y 1 0 d) x y 0 e) x y 0 y y x 3 0 é 19. (Espcex (Aman) 01) A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 9x y 36x 8y 11 é dada por a) duas retas concorrentes. b) uma circunferência. c) uma elipse. d) uma parábola. e) uma hipérbole. 0. (Ufpe 01) Esta questão refere-se à parábola com equação y x 5 e à reta não vertical com inclinação m e passando pelo ponto (0,1), que será designada por r m. Abaixo, ilustramos o gráfico da parábola e o gráfico das retas y x 1, y 4x 1 e y 6x 1. Admitindo esses dados, analise as afirmações seguintes. ( ) Uma equação de r m é y mx 1. ( ) r m intercepta a parábola em um único ponto se e somente se m 4. ( ) Se 4 m 4, então, r m não intercepta a parábola. ( ) Se m 4, então, r m intercepta a parábola em dois pontos diferentes. ( ) Se m 4, então, r m intercepta a parábola em um único ponto. 1. (Ime 01) É dada uma parábola de parâmetro p. Traça-se a corda focal MN, que possui uma inclinação de 60 em relação ao eixo de simetria da parábola. A projeção do ponto M sobre a diretriz é o ponto Q, e o prolongamento da corda MN intercepta a diretriz no ponto R. Determine o perímetro do triângulo MQR em função de p, sabendo que N encontra-se no interior do segmento MR. www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 6
. (Uepb 01) Deseja-se construir uma praça em forma de elipse em um terreno retangular de dimensões x metros e y metros, com x y, de perímetro 300 m e área 5000 m, conforme nos mostra a figura. Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma em cada foco da elipse, F1 e F, local de melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, concluímos que a distância em metros entre as torres é a) 100 3 b) 5 3 c) 50 3 d) 40 3 e) 30 3 3. (Uftm 01) Os pontos P e Q estão na parábola dada por y = 4x + 7x 1, e a origem do sistema de coordenadas cartesianas está no ponto médio de PQ. Sendo assim, P e Q são pontos que estão na reta 15x a) y. b) y 7x. 13x c) y. d) y 6x. e) 11x y. 1 y 3 4. (Espcex (Aman) 01) O ponto Pa, pertence à parábola x. 3 3 reta perpendicular à bissetriz dos quadrantes ímpares que passa por P é: a) 7x 7y 37 0 b) 37x 7y 7 0 c) 7x 37y 7 0 d) 7x 7y 9 0 e) 7x 37y 9 0 A equação da www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 6
5. (Espcex (Aman) 01) Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas indicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela x y equação 1. Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados do 36 60 retângulo MNPQ. Assim, a distância entre as retas MN e PQ é a) 48 m b) 68 m c) 84 m d) 9 m e) 96 m 6. (Espm 01) Para efeitos práticos, a relação entre as grandezas x e y que, teoricamente, x seria dada por y 1 e cujo gráfico cartesiano se vê abaixo, em linha tracejada, foi 4 substituída pela relação linear representada pela reta que passa por A e B. Dessa forma, a diferença dy, que se obtém quando x = 6, vale: a) 1,5 b),0 c),5 d) 3,0 e) 3,5 www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 6
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O vento solar é uma emissão contínua, em todas as direções, de partículas carregadas que têm origem na coroa solar. As partículas emitidas podem ser elétrons, prótons ou neutrinos. A velocidade dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s. Essa emissão contínua gera uma distribuição de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do sistema solar. Esse plasma de partículas carregadas é comumente denominado mar de prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da Terra, esses íons sofrem alterações em suas trajetórias devido à presença do campo magnético terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, a densidade desse plasma é de aproximadamente 10 partículas por centímetro cúbico. O bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento solar tem efeitos profundos, uma vez que as partículas e a radiação solar interagem com os gases presentes na atmosfera, tais como H, N, O, CO, CO, NO, N O, SO. planeta distância média do Sol, em 10 6 km Mercúrio 57,9 Vênus 108 Terra 150 Marte 8 Júpiter 778 Saturno 1.430 Urano.870 Netuno 4.500 Plutão 5.900 7. (Unb 01) A figura acima ilustra a situação em que um cometa (C) percorre uma órbita elíptica de centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xoy. Nessa órbita elíptica, o Sol (S) aparece em um dos focos. Considere que a elipse seja representada pela equação x y 1, em que a > b > 0, e tenha excentricidade igual a 0,96. Nesse caso, se a distância a b mínima desse cometa ao Sol for igual a 0,58 UA (unidade astronômica), em que 1 UA = 150 10 6 km é a distância média da Terra ao Sol, então a distância máxima do cometa ao Sol, em milhões de km, será a) inferior a 3.700. b) superior a 3.700 e inferior a 4.000. c) superior a 4.000 e inferior a 4.300. d) superior a 4.300. www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 6
8. (Ufpb 011) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 10 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central. Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F 1 e F, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de: a) 68 m b) 7 m c) 76 m d) 80 m e) 84 m 9. (Ufpr 011) Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de y = x, por exemplo, tem a forma de uma parábola. A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente ao eixo y), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no ponto (a,a ), serão refletidos na direção da reta 4ay + (1 4a )x = a. Sendo assim, calcule o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (,4) se encontrarão. www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 6
30. (Unesp 010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943; II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua; III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista). Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: Dado: 0,943 0,889 e 0,111 a) 35. b) 30. c) 5. d) 0. e) 15. 31. (Ime 010) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F'. A reta r é tangente à elipse no ponto M e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF' interceptam a reta s em H e H', respectivamente. Sabendo que o segmento FH mede cm, o comprimento F'H' é: a) 0,5 cm b) 1,0 cm c) 1,5 cm d),0 cm e) 3,0 cm www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 6
Gabarito: Resposta da questão 1: 01 + 0 + 04 + 08 + 16 = 31. A equação da reta é 5 ( ) y ( ) (x 1) y x 1. 41 Se k é a ordenada do vértice da parábola e a é um número real não nulo, então a equação da parábola é y a(x ) k. Por outro lado, sabendo que os pontos (4, 5) e (1, ) pertencem ao gráfico da parábola, temos a(4 ) k 5 4a k 5 a(1 ) k a k a 1. k 1 [01] Correto. De fato, pondo y 0, vem 0 x 1, o que implica em x 1. [0] Correto. Sabendo que a medida do ângulo formado pela reta com o eixo das abscissas pertence ao intervalo [0, 180 [, e que o coeficiente angular da reta é 1, tal ângulo só pode ser 135. [04] Correto. A equação da parábola é y (x ) 1. Portanto, como y 0 para todo x real, segue-se que a parábola não intersecta o eixo das abscissas. [08] Correto. De fato, pois k 1. [16] Correto. Com efeito, pois a 1. Resposta da questão : a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e α, obtemos x y 4y 0 x 4 y y 4 x y 5y 4 0 x 4 y y 5y 4 0 x 4 y y 1 ou y 4 ( 3, 1) ou (0, 4). b) Completando os quadrados, obtemos x y 4y 0 (x 0) (y ) 4. Logo, λ possui centro em (0, ) e raio. www.nsaulasparticulares.com.br Página 13 de 6
Por outro lado, a equação canônica de α é y (x 0) 4. Assim, o ponto de máximo do gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em ( 3,1) e ( 3,1). Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y 4y 0 e y 4 x pertencem à região sombreada da figura abaixo. Resposta da questão 3: Centro da elipse: C(,3) Semieixo paralelo ao eixo x: a = Semieixo paralelo ao eixo y: b = 3 Logo, a equação da elipse será dada por: y 3 y 3 (x ) (x ) 1 1 3 4 9 Resposta da questão 4: [A] Desde que F (3, ) e a diretriz da parábola é a reta x 4, temos p 3 ( 4) 7. Por 1 conseguinte, sendo V,, a equação da parábola é 1 (y ) 7 x (y ) 7(x 1). Resposta da questão 5: [B] Seja r o raio da bola. A equação da circunferência de centro (0, 3), tangente à parábola x (y 3) r. Daí, segue que y x, é dada por 4 x (x 3) r x 5x 9 r 0. Tomando x t, obtemos t 5t 9 r 0. Assim, como o discriminante dessa equação deve ser igual a zero, vem www.nsaulasparticulares.com.br Página 14 de 6
11 ( 5) 4 1 (9 r ) 0 r 4 Resposta da questão 6: [E] 11 r. 9x + 5y 36x + 50y 164 = 0 9(x 4x + 4) + 5(y + y + 1) = 164 + 36 + 5 9(x ) + 5(y + 1) = 5 (x ) (y 1) 5 9 1 Equação de uma elipse com centro no ponto (, 1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8. Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. Resposta da questão 7: [D] Seja t a reta que passa por A(0, 3) e B(4, 0). Tem-se que a equação de t é x y 3 1 y x 3. 4 3 4 As abscissas de R e S correspondem às abscissas dos pontos de interseção de t com a parábola y x. Logo, 3 3 x x 3 x x 3 0. 4 4 Portanto, pelas Relações de Girard, a soma pedida é 3 0,75. 4 Resposta da questão 8: [C] Reescrevendo as equações das elipses, obtemos x y 16x 5y 400 1 5 4 e x y 16x 9y 144 1. 3 4 Logo, traçando os gráficos dessas elipses, vem www.nsaulasparticulares.com.br Página 15 de 6
e, portanto, a área sombreada é dada por π(5 4 43) 8πu.a. Resposta da questão 9: [B] x 9y 8x 54y 88 0 x 8x + 16 + 9 (y 6y + 9) = 88 + 16 + 81 (x 4) + 9 (y 3) = 9 (x 4) (y 3) 1 3 1 Como o eixo maior da elipse mede 6 (3 + 3), concluímos que a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse possui centro no (4, 3) e raio 3; portanto, tangente ao eixo x. www.nsaulasparticulares.com.br Página 16 de 6
Resposta da questão 10: 01 + 0 + 04 + 16 = 3. [01] Correto. Reescrevendo a equação, obtemos x y 3 3 1, que é a equação de uma elipse centrada na origem, com a 3 e 3 b. [0] Correto. De (01), segue que a elipse intersecta o eixo das abscissas nos pontos (a, 0) (3, 0) e ( a,0) ( 3,0). [04] Correto. Pela definição de elipse, temos AD AE BD BE. Logo, como DE é lado comum, segue o resultado. [08] Incorreto. De [01], sabemos que a elipse intersecta o eixo das ordenadas no ponto de 3 ordenada y. Por outro lado, a circunferência centrada na origem e de raio 3 intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada. Daí, como 1,4 1,5, concluímos que a elipse e a circunferência não se intersectam. [16] Correto. Temos 1 ( ) 4 8 1 9. Resposta da questão 11: V F F F V. Resolvendo o sistema formado pelas equações das parábolas, encontramos: y x 8x 13 x 1 e y 6. y x 4x 3 x 5 e y Logo, os pontos de interseção das parábolas são (1, 6) e (5, ). A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas tem por equação y 6 (x 5) y x 8 x 6. 1 5 Completando o quadrado, obtemos: ya x 8x 13 (x 4) 3, donde concluímos que o vértice da parábola A é o ponto (4, 3) (4, ). Completando o quadrado, vem www.nsaulasparticulares.com.br Página 17 de 6
yb x 4x 3 (x ) 7. Daí, segue que o vértice da parábola B é o ponto (, 7). A distância entre os vértices das parábolas A e B é dada por (4 ) [3 ( 7)] 104 10. A parábola B intersecta o eixo das ordenadas no ponto em que x 0, ou seja, (0, 3). Resposta da questão 1: [E] A circunferência de equação A parábola de equação para baixo e vértice no ponto (0, 1). x y 9 possui centro no ponto (0, 0) e raio igual a 3. y x 1, com x variando de 1 a 1, possui concavidade voltada Portanto, a única alternativa possível é a alternativa [E]. Resposta da questão 13: [D] 4x y 3x 8y 5 0 y 4 4x 3x 64 (y 8y 16) 5 64 16 4(x 4) (y 4) 4 (x 4) 1 4 Que representa a equação de uma hipérbole. Resposta da questão 14: [C] Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no ponto médio do segmento F1 F, considere a figura. Temos A 1 ( 10, 0), A (10, 0), B 1 (0, 8), B (0, 8), F 1 ( c, 0) e F (0, c), com c 0. Logo, da relação fundamental da elipse, vem www.nsaulasparticulares.com.br Página 18 de 6
1 1 B F OF OB 10 c 8 c 6. Portanto, a distância pedida é dada por OP OF 11 6 5 m. Resposta da questão 15: [B] Suponhamos que exista uma reta de equação y k, que seja simultaneamente tangente à parábola e paralela ao eixo Ox. Desse modo, a equação x (k )x k 4k 1 0 deve ter uma e somente uma raiz real, isto é, 0 (k ) 4 1 (k 4k 1) 0 4k 8k 4 4k 16k 4 0 k 0. Portanto, a parábola admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox. Resposta da questão 16: V F F F V. Completando os quadrados, obtemos: x ay x ay 0 (x 1) a(y 1) a 1. Logo, se a 1, a equação (x 1) (y 1) representa uma circunferência; se a 0, a equação representa duas retas (x 0 e x ); se a 3, a equação representa uma elipse; se a, a equação a 1, a equação Resposta da questão 17: [C] Reescrevendo a equação (x 1) (y 1) 1 4 4 3 (y 1) 1 (x 1) (y 1) 0 representa duas retas (y x e y x ). (x ) 4(y 5) 36, obtemos (x 1) 1 representa uma hipérbole; se (x ) (y 5) 1, 6 3 que é a equação de uma elipse centrada em (, 5), com o semieixo maior paralelo ao eixo das abscissas. Logo, como a 6 e b 3, temos m 6 8 e n 5 3. Portanto, m n 8 ( ) 6. www.nsaulasparticulares.com.br Página 19 de 6
Resposta da questão 18: [D] Sendo (a, b, ) uma progressão aritmética, temos b a. Além disso, se (b, a, ) é uma progressão geométrica não constante, então a a a a 0 a 1 a b, com a b. Logo, e, portanto, 1 b. Reescrevendo a equação da parábola y y x 3 0, obtemos fácil ver que o vértice dessa parábola é o ponto (,1). x (y 1). Donde fica Por conseguinte, a equação da reta que passa pelo ponto é 1 (a, b) 1, e pelo ponto (,1) 1 1 1 y 1 (x ( )) y 1 (x ) 1 ( ) x y 0. Resposta da questão 19: [E] Completando os quadrados, obtemos 9x y 36x 8y 11 9(x 4x) (y 8y) 11 9[(x ) 4] [(y 4) 16] 11 9(x ) (y 4) 9 (x ) (x ) 1, 1 3 que é a equação de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo Ox. Resposta da questão 0: V F V V F. Se a reta r m passa pelo ponto (0,1) e tem declividade m, então sua equação é dada por y 1m (x 0) y mx 1. A reta r m intersecta a parábola em um único ponto se, e somente se, a equação x mx 4 0 possui uma única raiz real, ou seja, ( m) 4 1 4 0 m 16 m 4. A reta r m não intersecta a parábola se, e somente se, a equação x mx 4 0 não possui solução real, ou seja, www.nsaulasparticulares.com.br Página 0 de 6
( m) 4 1 4 0 m 16 4 m 4. A reta r m intersecta a parábola em dois pontos distintos se, e somente se, a equação x mx 4 0 possui duas raízes reais, ou seja, ( m) 4 1 4 0 m 16 m 4 ou m 4. Resposta da questão 1: Considere a figura. Sejam F o foco da parábola, H a projeção de F sobre MQ e F' a projeção de F sobre a diretriz d. Como M pertence à parábola e MQ é paralelo ao eixo de simetria e da parábola, segue que MF MQ. Além disso, FF' p e RMQ RFF' 60. Logo, do triângulo RFF', obtemos FF' p cosrff' FR FR cos60 FR p. Do triângulo MRQ, vem cosrmq MQ cos 60 MQ MF FR MQ p MQ p MF. Assim, MR 4p e, portanto, senrmq QR sen60 QR MR 4p QR p 3. O resultado pedido é p 4p p 3 p(3 3). www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 6
Resposta da questão : [C] Sabendo que o perímetro do terreno mede 300 m e sua área (x y) 300 x y 150 xy 5000 xy 5000 x 100 e y 50 ou. x 50 e y 100 Porém, como x y, segue-se que x 100 e y 50. 5000 m, temos Daí, sendo OF f, pelo Teorema de Pitágoras, vem x y f 50 5 f f 5 3 f 5 3 m. Portanto, o resultado é f 5 3 50 3 m. Resposta da questão 3: [B] Considere a figura, com,. Como P(, ) e Q(, ) pertencem ao gráfico da parábola 1 4 7 1 8. 4 7 1 4 7 1 7 Portanto, a equação da reta que passa por P e Q é dada por: y 4x 7x 1, segue que 7 y x x 7x. 1 www.nsaulasparticulares.com.br Página de 6
Resposta da questão 4: [A] Como P pertence à parábola, segue que 1 3 3 1 8 a 1. 3 7 7 Sabendo que a bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta y x, temos que o coeficiente angular da reta procurada é 1 e, portanto, sua equação é dada por 1 8 1 8 y ( 1) x x y 0 3 7 3 7 7x 7y 37 0. Resposta da questão 5: [E] Considere a figura. Sejam F 1 e F os focos da elipse. Queremos calcular FF 1 OF 1. Sabendo que F1B 1 60 e OB1 36, da relação fundamental, vem F1 B1 OB1 OF1 OF1 60 36 Portanto, OF1 48 96 m. OF1 304 OF1 48 m. www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 6
Resposta da questão 6: [D] x Como a parábola y 1 intersecta o eixo das ordenadas no ponto A, segue que a 4 4 ordenada do ponto A é ya 1. Além disso, a ordenada do ponto B é yb 1 5. Logo, 4 se y mx 1 é a equação da reta que passa por A e B, então 5 m 4 1 m 1. Portanto, a diferença dy, que se obtém quando x 6, é igual a 6 1 (6 1) 1 9 7 3. 4 Resposta da questão 7: [C] Como a b, segue que o eixo maior da elipse encontra-se sobre o eixo x. c Sabendo que a excentricidade da elipse é igual a 0,96, ou seja, 0,96 c 0,96a, com c a sendo a distância focal, e que a distância mínima desse cometa ao Sol é igual a 0,58 UA, obtemos a c 0,58. Logo, a 0,96a 0,58 a 14,5 UA. Portanto, a distância máxima do cometa ao Sol é dada por 6 6 a c 1,96a 1,96 14,5 150 10 4.63 10 km. Resposta da questão 8: [D] d 30 50 d 1600 d 40m d 80m (distância focal) www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 6
Resposta da questão 9: O raio de luz refletido no ponto (1,1) tem a direção da reta 4y 3x 1. Já o raio refletido no ponto (, 4) tem a direção da reta 8y 15x. Desse modo, o ponto procurado é a solução do sistema 4y 3x 1. 8y 15x 1 Resolvendo esse sistema, encontramos x 0 e y. 4 Portanto, o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (, 4) se encontrarão é 1 0,. 4 Resposta da questão 30: c 0,943 c 0,943a a a = 5 + c a = 5 + (0,943a) a = 5 + 0,889a 0,111a = 5 a = 5 0,3333... 5 1 3 15 5 0,111 a = A distância é ª =.15 = 30m www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 6
Resposta da questão 31: [D] Considere a figura. Como r é tangente à elipse, segue que PMF QMH' α. Além disso, sendo r s, vem OHF OH'M α. Aplicando a Lei dos Senos nos triângulos OFH e OF'H', e sabendo que OF OF', obtemos e OF FH senα senα senβ senβ OF OF' F'H' senα F'H'. sen(180 α) senβ senβ OF' Portanto, segue de imediato que F'H' cm. www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 6