n. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar, e transforma essa matriz em um número real. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm, são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. Dentre as várias aplicações dos determinantes temos: resolução de sistemas de equações, por meio da simplificação de matrizes de ordem maior que 3; servem para sintetizar expressões matemáticas mais sofisticadas; indispensável na investigação e obtenção das propriedades de um operador linear; cálculo da área de um triângulo, situado no plano cartesiano, quando conhecidas as coordenadas dos seus vértices; para achar uma equação da reta quando temos dois pontos dados, basta aplicar o determinante pensando na condição de alinhamento de três pontos (isto é, igualando a zero).
Definição: dados dois vetores, o det (A) é a área (com sinal +) do paralelogramo P, determinado pelos dois vetores, u e v. Matriz 2 x 2. A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada pelos vetores que representam seus lados. Definição: dados três vetores, o det (A) é o volume (com sinal +) do paralelepípedo P, de arestas u, v e w. Matriz 3 x 3. o cálculo do volume de um paralelepípedo pode ser escrito na forma de um determinante:
x 1 y 1 z 1 produto misto entre vetores: (u, v, w ) = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 Obs.: quando nos referirmos ao volume consideramos o módulo: (u, v, w ) 0 A maneira mais eficiente de cálculo do determinante, utilizada nos algoritmos numéricos, é a eliminação de Gauss, reduzindo a matriz à forma de diagonal superior (ou inferior). Propriedades dos determinantes i) det A det 1 2 3 T A A = [ 2 1 2] det A = [ 2 1 2] = 9 det A T = [ 2 1 4] = 9 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 2 3 2 3 ii) Se multiplicarmos uma linha ou coluna de uma matriz por α R, o determinante fica multiplicado por α.
1 2 3 det A = [ 2 1 1] = 4 multiplicando a coluna 1 por 2 temos: 3 2 1 2 2 3 det A = [ 4 1 1] = 2. ( 4) = 8 6 2 1 iii) Se multiplicarmos todos os elementos de uma matriz de ordem n por α R, o determinante será multiplicado por α n. det ( α A) = α n det(a) 1 2 3 Seja α = 2 e A = [ 2 1 1] então α A = [ 4 2 2] 3 2 1 2 4 6 6 4 2 det(a) = 4 e α n = 2 3 = 8 portanto, det ( α A) = α n det(a) 32 = 8 ( 4) iv) Uma vez permutadas duas linhas ou colunas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal. O sinal se altera tantas vezes quantas forem as trocas. 1 2 3 det A = [ 2 1 1] = 4 3 2 1
Trocando as posições de L1 e L2 2 1 1 det A = [ 1 2 3 ] = +4 3 2 1 v) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero. 1 4 2 det A = [ 2 1 4] = 0 1 4 2 vi) Teorema de Jacobi: O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna, os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante. Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851) foi um matemático alemão, que fez contribuições fundamentais para funções elípticas, dinâmica, equações diferenciais e teoria dos números. 1 2 3 Exemplo: det A = [ 2 1 2] = 9 2 4 3
Fazendo a primeira coluna como a soma dos elementos dessa coluna com o dobro dos elementos da segunda coluna temos: 1 + 2. 2 2 3 det A = [ 2 + 2. 1 1 2] = [ 4 1 2] = 9 2 + 2. 4 4 3 5 2 3 10 4 3 vii) deta B det A det B Seja A = [ 2 1 0 4 2 ] e B = [1 ] A. B = [ 3 4 2 2 11 8 ] Logo, 5. 2 = 10 Portanto, det A. det B = det A.B viii) O determinante de uma matriz que tem todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) iguais à zero, o determinante é igual a zero. det A = [ 3 0 15 2 0 3] = 0 1 0 7 ix) Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) da matriz forem combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então o determinante é nulo. 1 3 4 det A = [ 2 4 6] = 0 3 2 5
Observando as colunas temos: C3 = C1 + C2 x) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. 1 4 2 det A = [ 2 1 4] = 0 3 2 6 Observando as colunas C1 e C3 temos: C3 = 2 C1 xi) Quando temos uma matriz triangular superior ou inferior o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. 1 4 2 triangular superior: det A = [ 0 1 4] = 6 0 0 6 1 0 0 triangular inferior: det A = [ 2 1 0] = 6 3 2 6 xii) Quando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por (-1). 0 0 2 det A = [ 0 1 4] = 6 3 2 6
xiii) Se A é invertível, então det(a 1 ) = 1 se A é invertível então det(a) 0; det(a), de onde resulta que CÁLCULO DE DETERMINANTES Determinante de uma matriz de ordem 1 O determinante da matriz A de ordem n = 1 é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a 11 ] temos que o determinante é o número real a 11 : det(m) = a 11 Por exemplo: A = (3) então det (A) =3 Determinante de matriz de ordem 2 Se a matriz é de ordem 2, o determinante será o produto dos elemento da diagonal principal subtraído do produto dos elementos da diagonal secundária. a 11 a 12 A = a 21 det(a) = a 11. a 22 a 12. a 21 a 22 a A = c b det(a) = a. d b. c d 0 2 Por exemplo, o determinante da matriz B = é dado por: 1 1
det(b) = 0. ( 1) 2.1 = 0 2 = 2 Determinante de matriz de terceira ordem Para cálculo de matrizes de ordem 3, aplicamos a regra de Sarrus. Pierre Frédéric Sarrus (1789-1861), nascido em Saint-Affrique (França), foi responsável pela regra prática de resolução de determinantes de ordem 3. Regra de Sarrus: O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais. Repetimos as duas primeiras linhas ou as duas primeiras colunas, de tal forma que: a 11 a 12 a 13 S = ( a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 ) det A = a11. a22. a33 + a12. a23. a31 + a13. a21. a32 a13. a22. a31 a11. a23. a32 a12. a21. a33 Ou:
Por exemplo: 1 3 10 A = 1 1 10 0 2 10 det (A) = [ (1. 1. 10) + (3. 10. 0) + (10. (-1). 2)] [ (10. 1. 0) + (1. 10. 2) + (3. (-1). 10)] det (A) = (10 + 0 20) ( 0 + 20 30) det (A) = 10 + 10 det (A) = 0 Determinantes por uma linha ou por uma coluna É possível calcular o determinante desenvolvendo-o a partir de qualquer linha ou qualquer coluna, entretanto, é fundamental ter cuidado com a alternância dos sinais, que precedem os produtos formados. Para um determinante de 4ª ordem temos: + - + - - + - + + - + -
- + - + Para um determinante de 3ª ordem temos: Exemplo: + - + - + - + - + 3 1 2 a. A = [ 5 4 6] 0 2 7 Calculando o determinante pela primeira linha temos: det A = 3. [ 4 6 ] (1). 6 4 [ 5 ] + ( 2). [ 5 2 7 0 7 0 2 ] det A = 3. (28 + 12) (1). ( 35 + 0) + ( 2). ( 10 0) det A = 120 + 35 + 20 det A = 175 b. A = [ 1 2 1 4 0 3 2 3 4 ] Calculando o determinante pela primeira coluna temos: det A = 1. [ 0 3 ] (4). 1 1 [2 ] + ( 2). [2 3 4 3 4 0 3 ] det A = 1. (0 9) 4. ( 8 + 3) 2. (6 + 0) det A = 9 + 20 12 det A = 1
Determinantes de ordem igual ou maior que 4 Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3 utiliza-se o Teorema de Laplace. Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827) foi um matemático, astrônomo e físico francês que organizou a Astronomia Matemática, resumindo e ampliando o trabalho de seus predecessores. Esta obra-prima traduziu o estudo geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton para um estudo baseado em cálculo, conhecido como Mecânica Física. Teorema de Laplace O teorema consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores, ou complementos algébricos. O Teorema de Laplace pode ser aplicado quantas vezes forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus. O complemento algébrico ou cofator de um elemento aij de uma matriz é o número obtido fazendo-se: Aij = (-1) i+j. det (submatriz).
A submatriz é obtida eliminando-se da matriz original a linha i e a coluna j. A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros. Exemplo: 1 2 1 Seja A = [ 4 0 3 ] então: 2 3 4 Para calcularmos o determinante dessa matriz utilizando o Teorema de Laplace: 1. escolhemos qual a linha ou coluna que iremos utilizar. Fazendo para a coluna 1 temos: Det (A) = a 11. A 11 + a 21. A 21 + a 31. A 31 Det (A) = 1. A 11 + 4. A 21 + ( 2). A 31 a 11 a 12 a 13 Matriz dada: A = [ a 21 a 22 a 23 ] a 31 a 32 a 33 A 11 A 12 A 13 Matriz Cofator: A = [ A 21 A 22 A 23 ] A 31 A 32 A 33
2. encontramos os cofatores de cada submatriz: Definição de submatriz Seja A uma matriz quadrada Uma submatriz n n. Aij de A é uma matriz obtida de A eliminando a i- ésima linha e a j-ésima coluna de A. Se 1 2 2 1 Então, por exemplo: A 23 = e A 31 =, etc. 2 3 0 3 Voltando ao exemplo: a 11 a 12 a 13 Seja M a matriz original, tal que: M = [ a 21 a 22 a 23 ] a 31 a 32 a 33 A 11 A 12 A 13 E, seja M a matriz dos cofatores, tal que: M = [ A 21 A 22 A 23 ] A 31 A 32 A 33 Para encontrar os cofatores fazemos: Determinante
Determinante Determinante Determinante a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 A 11 = (-1) 2 A 12 = (-1) 3 A 13 = (-1) 4 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 Determinante Determinante Determinante a 12 a 13 a 11 a 13 a 11 a 12 A 21 = (-1) 3 A 22 = (-1) 4 A 23 = (-1) 5 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 Determinante Determinante Determinante a 12 a 13 a 11 a 13 a 11 a 12 A 31 = (-1) 4 A 32 = (-1) 5 A 33 = (-1) 6 a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 Como escolhemos a primeira coluna para resolver o exemplo, encontramos os cofatores apenas dessa coluna. Assim, para a matriz 1 A 4 2 2 0 3 1 3 4 Determinante Determinante Determinante A 11 = (-1) 2 0 3 3 4 A 21 = (-1) 3 2 1 3 4 A 31 = (-1) 4 2 1 0 3 Logo, Det (A) = 1. A 11 + 4. A 21 + ( 2). A 31 Det (A) = 1. ( 9) + 4. (5) + ( 2). (6) Det (A) = 9 + 20 12 Det (A) = 1 Desenvolvimento de Laplace Generalizando: a ij aij ij nn n det para qualquer linha i. j1
Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j: n a ij aij ij det para qualquer coluna j. nn i1 a 11 a 12 a 13 Lembrando que: [ a 21 a 22 a 23 ] a 31 a 32 a 33 Exemplo 1 2 1 a. Se A 4 0 3 então calcule det (A). 2 3 4 Escolhendo, por exemplo, a segunda linha (i=2) 3 det A a j1 2 j 2 j a 21 21 a 22 22 a 23 23 4 2 3 1 21 1 det + 0 1 2 2 det 23 3 1 det 4 1 2 1 4 1 2 2 3 6 3 7 1 45 0 Exercícios: 1. Calcule o determinante de: a. 5 4 2 1 2 3 1 2 5 7 3 9 [ 1 2 1 4 ] R: det (A) = 38
2 3 1 7 0 1 2 1 b. 3 4 5 1 [ 1 0 2 1] R: det (B) = 54 a b a c. [ ] R: det (C) = - b2 a a + b d. 1 2 3 4 2 0 1 0 0 0 0 4 0 2 1 0 5 5 1 4 [ 0 1 0 1 2] R: det (D) = - 25 k k 2. Determine os valores de k para os quais [ 4 2 k ] = 0. 3. Encontre o cofator de 3 na matriz M: R: k = 0 ou k = 2 M = 2 4 1 0 6 2 5 7 1 7 2 4 [ 0 3 1 10] R: cof (3)= - 19 4. O determinante da matriz: é igual a: R: (b) A de ordem 2, onde: i j a i j a i j 3,
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) n.d.a. 2 2 2 2 5. O determinante da matriz M = R: (e) 0 1 1 1 0 0 2 3 [ 0 0 0 1] é: (a) -4 (b) -2 (c) 0 (d) 2 (e) 4 5. Qual a relação entre os determinantes das matrizes A e B? 7 14 49 1 2 7 A = [ 3 5 2 ] e B = [ 3 5 2] 0 2 7 0 2 7 R: det (A) = 7 det (B) Resolução dos exercícios 1. Calcule o determinante de: a. 5 4 2 1 2 3 1 2 5 7 3 9 [ 1 2 1 4 ] R: det (A) = 38 Usando Laplace (linha 4): det(a) = 1 (-1) 4+1. det (submatriz a41) + (-2) (-1) 4+2. det (submatriz a42) + (-1) (-1) 4+3. det (submatriz a43) + 4 (-1) 4+4. det (submatriz a44)
4 2 1 5 2 1 5 4 1 5 4 2 det(a) = 1 (-1) 5. det ([ 3 1 2]) + (-2) (-1) 6. det ([ 2 1 2]) + (-1) (-1) 7. det ([ 2 3 2]) + 4 (-1) 8. det ([ 2 3 1 ]) 7 3 9 5 3 9 5 7 9 5 7 3 det(a) = 1. (-16 ) - 2. (-2 )+ 1. ( 34) + 4. (-4 ) det(a) = +16 + 4 + 34 16 det(a) = 38 b. 2 3 1 7 0 1 2 1 3 4 5 1 [ 1 0 2 1] R: det (B) = 54 Usando Laplace (linha 4): det(a) = 1 (-1) 4+1. det (submatriz a41) + (0) (-1) 4+2. det (submatriz a42) + (-2) (-1) 4+3. det (submatriz a43) + 1 (-1) 4+4. det (submatriz a44) 3 1 7 2 3 7 2 3 1 det(a) = 1 (-1) 5. det ([ 1 2 1]) + 0 + (-2) (-1) 7. det ([ 0 1 1]) + 1 (-1) 8. det ([ 0 1 2]) 4 5 1 3 4 1 3 4 5 det(a) = 1. (9) +2. (24)+ 1. (15) det(a) = - 9 + 48 + 15 det(a) = 54 a b a c. [ ] R: det (C) = - b2 a a + b det(c) = (a b). (a + b) a. a det(c) = a 2 + ab ab b 2 a 2 det(c) = b 2 d. 1 2 3 4 2 0 1 0 0 0 0 4 0 2 1 0 5 5 1 4 [ 0 1 0 1 2] R: det (C) = - 25
Usando Laplace (coluna 1): det(a) = 1 (-1) 1+1. det (submatriz a11) + (0) (-1) 2+1. det (submatriz a21) + (0) (-1) 3+1. det (submatriz a31) + (0) (-1) 4+1. det (submatriz a41) + (0) (-1) 5+1. det (submatriz a51) 1 0 0 0 det(a) = 1 (-1) 2 4 0 2 1. det [ ] + 0 + 0 + 0 + 0 5 5 1 4 1 0 1 2 1 0 0 0 4 0 2 1 det(a) = 1. det [ ] 5 5 1 4 1 0 1 2 Aplicando Laplace novamente: Usando Laplace (linha 1): det(a) = 1 (-1) 1+1. det (submatriz a11) + (0) (-1) 1+2. det (submatriz a12) + (0) (-1) 1+3. det (submatriz a13) + (0) (-1) 1+4. det (submatriz a14) 0 2 1 det(a) = 1 (-1) 2. det [ 5 1 4] + 0 + 0 + 0 0 1 2 0 2 1 det(a) = 1. det [ 5 1 4] 0 1 2 det(a) = - 25 k k 2. Determine os valores de k para os quais [ 4 2 k ] = 0. Logo, k = 0 ou k = 2 k k [ 4 2 k ] = 0 k. 2k k.4 = 0 2k 2 4k = 0 2k(k 2) = 0 3. Encontre o cofator de 3 na matriz M:
2 4 1 0 6 2 5 7 M = 1 7 2 4 [ 0 3 1 10] R: cof (3)= - 19 A 42 = (-1) 4+2. det (submatriz a42) 2 1 0 A 42 = (-1) 6. det [ 6 5 7] 1 2 4 A 42 = 1. (-19) A 42 = - 19 Referências Bibliográficas BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998. LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.