UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA CD 031 Desenho Geomético I Tuma B 2011 Apostila elaboada po: Pofª. Da. Deise Maia Betholdi Costa e Pofª M.Sc. Elen Andea Janzen Complementada po: Pof M.Sc. Andeson Roges T. Góes
I SUMÁRIO 1 PROGRAMA DA DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO I... 3 1.1 OBJETIVOS... 3 1.2 PROGRAMA... 3 1.3 PROCESSO DE AVALIAÇÃO... 4 1.4 MATERIAL DIDÁTICO... 5 1.5 ATENDIMENTO A ALUNOS... 5 1.6 OBSERVAÇÃO... 5 1.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 6 2 POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO... 7 3 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA... 8 3.1 GEOMETRIA... 8 3.2 ASPECTOS HISTÓRICOS... 8 3.3 NOÇÕES PRIMITIVAS, AXIOMAS, DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES DA GEOMETRIA EUCLIDIANA... 8 3.4 ÂNGULOS... 9 3.5 A RETA NO PLANO...14 3.6 TRIÂNGULOS...21 3.7 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS...30 3.8 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS...32 4 LUGARES GEOMÉTRICOS...39 5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA...40 6 LG 2 - MEDIATRIZ...45 7 LG 3 - PARALELAS...49 8 LG 4 - BISSETRIZ...51 9 ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA...55 9.1 ÂNGULO CENTRAL...55 9.2 ÂNGULO INSCRITO...56 9.3 ÂNGULO DE SEGMENTO...58 10 LG 5 ARCO CAPAZ...61 11 DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES PROPORCIONAIS...66 11.1 QUARTA PROPORCIONAL...70 11.2 TERCEIRA PROPORCIONAL...70 11.3 DIVISÃO HARMÔNICA...73 12 LG 6 CIRCUNFERÊNCIA DE APOLÔNIO...76 13 MÉDIA GEOMÉTRICA (OU MÉDIA PROPORCIONAL)...79 14 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS...84 15 SEGMENTO ÁUREO (DIVISÃO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO)...87 15.1 ENCONTRAR O SEGMENTO ÁUREO AP CONHECENDO O SEGMENTO AB...87 15.2 DADO O SEGMENTO AB OBTER AQ, DO QUAL AB É ÁUREO...89 16 POTÊNCIA DE PONTO...93 17 TRIÂNGULOS...97
II 17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO...97 17.2 CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS...100 18 HOMOTETIA...124 19 QUADRILÁTEROS...125 19.1. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS...125 19.2. CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS...128 20 TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA...144 20.1 PROPRIEDADES DE TANGÊNCIA...144 20.2 PROPRIEDADES DE CONCORDÂNCIA...144 20.3 EIXO RADICAL, CENTRO RADICAL E FEIXE DE CIRCUNFERÊNCIAS...153 21 APLICAÇÕES DE CONCORDÂNCIA: ARCOS, OVAIS E ESPIRAIS...163 21.1 ARCOS...163 21.2 OVAIS...164 21.3 ESPIRAIS...165 22 DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS...167 22.1 CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS QUANTO AO NÚMERO DE LADOS...167 22.2 PROCESSOS EXATOS...168 22.3 PROCESSOS APROXIMADOS...174 22.4 PROCESSOS GERAIS...181 23 POLÍGONOS ESTRELADOS...184 24 RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA...188 24.1 PROCESSO DE ARQUIMEDES...188 24.2 PROCESSO DE KOCHANSKY OU DA TANGENTE DE 30...190 24.3 RETIFICAÇÃO DE ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA...191 25 EQUIVALÊNCIA E DIVISÃO DE ÁREAS...199 25.1 ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS GEOMÉTRICAS...199 25.2 EQUIVALÊNCIA...199 25.3 PROBLEMAS DE QUADRATURA...201 25.4 PROBLEMAS GERAIS DE EQUIVALÊNCIA...204
3 1 PROGRAMA DA DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO I O Desenho Geomético tem po finalidade epesenta de foma pecisa as figuas planas e esolve, com égua e compasso, os poblemas da Geometia Plana. 1.1 OBJETIVOS Desenvolve o aciocínio lógico; Desenvolve a habilidade de epesenta figuas bidimensionais com o auxílio de égua e compasso; Resolve poblemas da Geometia Plana; Desenvolve a capacidade de: o Visualização mental e epesentação gáfica, de fomas eais ou imaginadas; o Intepetação e de epesentações de fomas; o Comunica atavés de epesentações geométicas; o Fomula e de esolve poblemas elacionados à Geometia Plana; o Ciativa; Conhece vocabuláio específico do Desenho Geomético; Utiliza coetamente os mateiais e instumentos de desenho; 1.2 PROGRAMA Postulados do desenho geomético. Conguência e semelhança de tiângulos. Lugaes Geométicos. Relações méticas nos segmentos. Teoema de Thales. Teoema de Pitágoas. Média Geomética.
4 Segmento Áueo. Relações méticas na cicunfeência. Constução de tiângulos e de quadiláteos. Pontos notáveis de um tiângulo. Retificação e desetificação de cicunfeência e de acos de cicunfeência. Divisão da cicunfeência po métodos exatos e apoximados. Polígonos estelados. Ampliação e edução de figuas. Homotetia. Equivalência de Áeas. Divisão de Áeas. Tangência e Concodância. Aplicações computacionais de conceitos geométicos atavés da Geometia Dinâmica. 1.3 PROCESSO DE AVALIAÇÃO A qualidade do desempenho do aluno seá avaliada com base no desenvolvimento das seguintes atividades: Paticipação em sala de aula, evolução do aluno duante o peíodo letivo e pasta com todos os execícios esolviddos (A01); 02 avaliações escitas (no mínimo) em sala de aula (A02, A03); Tabalhos extaclasse (A04). Datas de avaliações escitas em sala de aula e entega de tabalhos seão definidas com os alunos dento do calendáio vigente. Valo de A01, A02, A03 e A04 ente 00(zeo) e 100 (cem). Nota semestal: 0,10*A1+0,30*A2+0,40*A3+0,20*A4
5 1.4 MATERIAL DIDÁTICO Lapiseia 0,3 com gafite H ou lápis H; Lapiseia 0,5 com gafite 2B ou lápis 2B; Boacha; Compasso (sugestão: Tidente modelo 9000); Régua em acílico 30 cm (sugestão Desetec 7130); Papel sulfite tamanho A4; Lixa de unha (paa lixa gafite do compasso); Uma folha de acetato tamanho A4 (ou maio); Pasta com plásticos paa oganiza o mateial impesso e tabalhos; e Notas de aulas (mateial de apoio). 1.5 ATENDIMENTO A ALUNOS Atendimento extaclasse seá ealizado no Gabinete de Desenho (3º anda do Pédio da Administação Cento Politécnico) nas quatas-feia e sextas-feia das 18hs às 19hs. Outos Hoáios devem se agendados dietamente com o pofesso atavés dos seguintes contatos: Gabinete: 3361-3462; E-mail: atgoes@ufp.b; MSN: atgoes0@hotmail.com. 1.6 OBSERVAÇÃO O aluno deveá toma conhecimento da esolução nº37/97 do Conselho de Ensino e Pesquisa da Univesidade Fedeal do Paaná.
6 1.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARBOSA, J. L. M. Geometia euclidiana plana. Rio de Janeio: SBM, 1985. BRAGA, T. Desenho linea Mético. São Paulo. Editoa Ícone. CARVALHO, Benjamin A. Desenho Geomético. Rio de Janeio: Ao Livo Técnico. DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática Elementa Geometia Plana. São Paulo: Atual, v. 9. GIONGO, Affonso Rocha. Cuso de Desenho Geomético. São Paulo: Nobel. GONÇALVES JR, Osca. Matemática po Assunto Geometia Plana e Espacial. São Paulo: Scipione, v.9. JANUÁRIO, Antônio Jaime. Desenho Geomético. Floianópolis: Editoa da UFSC. MARMO, Calos. Cuso de Desenho. São Paulo: Scipione. PUTNOKI, José Calos. JOTA. Elementos de Geometia e Desenho Geomético. São Paulo: Scipione, v. 1, 2 e 3. REZENDE, E. Q. F. QUEIROZ, M. L. B. Geometia euclidiana plana e constuções geométicas Campinas: UNICAMP, 2000.
7 2 POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO Assim como no estudo da Geometia se aceitam, sem defini e sem demonsta cetas poposições pimitivas (ou postulados, ou axiomas), no estudo do Desenho é necessáio aceita cetos postulados que tonam a matéia objetiva. 1º Postulado: Os únicos instumentos pemitidos no Desenho Geomético, além do lápis, papel, boacha e pancheta, são: a égua não gaduada e o compasso. A gaduação da égua ou "escala" só pode se usada paa coloca no papel os dados de um poblema ou eventualmente paa medi a esposta, a fim de confeí-la. 2º Postulado: É poibido em Desenho Geomético faze contas com as medidas dos dados; todavia, consideações algébicas são pemitidas na dedução (ou justificativa) de um poblema, desde que a esposta seja depois obtida gaficamente obedecendo aos outos postulados. 3º Postulado: Em Desenho Geomético é poibido obte espostas "à mão live", bem como "po tentativas". Admite-se, no entanto, o taçado de uma cônica à mão live ou com o uso de cuvas fancesas, desde que a esposta de um poblema não seja obtida atavés desse taçado.
8 3 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 3.1 GEOMETRIA A necessidade de medi teas deteminou os pimeios passos da Geometia. O filósofo gego Eudemo de Rodes, séc. IV a.c., um dos pimeios histoiadoes das ciências, conta que os egípcios mediam suas teas paa acompanha o egime de inundações anuais do io Nilo. O temo povém das palavas gegas geo (tea) e meton (medida). Atualmente, define-se a Geometia como sendo a disciplina matemática que tem po objetivo o estudo do espaço e das fomas nele contidas. 3.2 ASPECTOS HISTÓRICOS Nas antigas cultuas do Egito e da Mesopotâmia, a geometia consistia simplesmente num conjunto de egas empíicas. Os gegos, ente os quais destacou-se Euclides, séc. III a.c., sistematizaam os conhecimentos existentes sobe o tema e estabeleceam seus fundamentos num conjunto de axiomas (ou postulados ou poposições pimitivas) dos quais, segundo pincípios dedutivos, se obtinham os demais esultados (poposições ou teoemas). A discussão dos pincípios da Geometia Euclidiana levou à constução, no séc. XIX, de novos sistemas geométicos, denominados geometias não-euclidianas, e desembocou na genealização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez mais abstatos. (Enciclopédia Basa) 3.3 NOÇÕES PRIMITIVAS, AXIOMAS, DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES DA GEOMETRIA EUCLIDIANA Adotaemos, sem definição, as noções de ponto, eta e plano. Notação: O ponto é epesentado po letas maiúsculas do nosso alfabeto (A, B, C,..., P, Q, R, S,...); a eta é epesentada po letas minúscula (a, b, c,...,, s, t, u,...); e o plano é epesentado po letas gegas ( α, β, γ, δ,...).
9 Axiomas: A1. Num plano existem infinitos pontos. A2. Numa eta, bem como foa dela, existem infinitos pontos. A3. Dois pontos distintos deteminam uma única eta que os contém. A4. Po um ponto foa de uma eta passa somente uma eta paalela à ela. Definições: D1. Chama-se ponto médio de um segmento de eta AB o ponto desse segmento que o divide em dois segmentos conguentes. D2. Bissetiz de um ângulo é uma semi-eta que tem sua oigem no vétice desse ângulo e divide-o em dois ângulos adjacentes e conguentes. Teoemas: T1. Duas etas paalelas cotadas po uma tansvesal deteminam paes de ângulos que são ou suplementaes ou conguentes. T2. Num tiângulo qualque, a soma das medidas dos ângulos intenos é igual a 180º. 3.4 ÂNGULOS Definição: Chamamos de ângulo a figua fomada po duas semi-etas com a mesma oigem. Elementos: lados, vétice, espaço angula. Notação: AÔB, AOB, Ô, O, α. β... Duas egiões angulaes comuns; Definições: Dois ângulos são: a) consecutivos: quando possuem o mesmo vétice e têm um lado comum; b) adjacentes: quando são também consecutivos e não têm pontos intenos
10 c) complementaes: quando a soma de suas medidas é 90º; d) suplementaes: quando a soma de suas medidas é 180º; e) conguentes: quando possuem medidas iguais. C _ D _ B O A α=60 β=30 60 30 α e β são complementaes O complento de 60 é 30 A semi-eta com oigem no vétice de um ângulo e que divide-o em dois outos ângulos conguentes é chamada de Bissetiz. (A bissetiz é um luga geomético, e seá estudado com mais detalhe nos póximos tópicos, neste momento faemos apenas a constução). Detemine a bissetiz do ângulo α α
11 Ângulos Fundamentais Constui com égua e compasso os ângulos de 60º, 30º, 90º e 45º.
12 Tanspota o ângulo de medida α dado, sabendo-se que O seá o seu vétice e a semi-eta OA dada um de seus lados. α O A Execício 1) Repoduzi a figua em escla 2:1 utilizando égua e compasso.
13
14 3.5 A RETA NO PLANO Quanto à posição elativa ente duas etas no plano, elas podem se: paalelas (caso especial: coincidentes), concoentes ou secantes (caso especial: pependiculaes). Como medi a distância ente duas etas paalelas? Constui, utilizando égua e compasso, eta paalela a eta, tal que a distância ente elas seja 30mm Quantidade de soluções obtidas: Pocedimento:
15 Definições: 1) Duas etas são pependiculaes quando fomam ente si ângulos de 90º. 2) Mediatiz de um segmento AB é a eta pependicula a AB passando pelo ponto médio desse segmento. (A Mediatiz é um luga geomético, e seá estudado com mais detalhe nos póximos tópicos, neste momento faemos apenas a constução). Constui a mediatiz do semegmento AB. A B Constui a eta pependicula à eta e que contenha o ponto P, utilizando égua e compasso. P P
16 Quando duas etas (não necessaiamente paalelas) são cotadas po uma tansvesal fomam-se oito ângulos. t t 1 2 4 3 n 1 1 2 4 3 n 1 5 6 8 7 n 2 5 6 8 7 n 2 Chamam-se ângulos: coespondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8. opostos pelo vétice: 1 e 3, 2 e 4, 5 e 7, 6 e 8. intenos - ente as etas n1 e n2: 3, 4, 5, 6. extenos - foa das etas n1 e n2: 1, 2, 7, 8. colateais - aqueles que estão de um mesmo lado da tansvesal: o colateais intenos: 3 e 6, 4 e 5. o colateais extenos: 1 e 8, 2 e 7. altenos - aqueles que estão em semi-planos opostos em elação a tansvesal: o altenos intenos: 4 e 6, 3 e 5. o altenos extenos: 1 e 7, 2 e 8. Definição: Dois ângulos são opostos pelo vétice quando os lados de um são as semi-etas opostas dos lados do outo. Popiedades: 1) Dois ângulos opostos pelo vétice são conguentes. 2) Duas etas paalelas cotadas po uma tansvesal deteminam paes de ângulos que são ou suplementaes ou conguentes.
17 Execícios 1) Taça a mediatiz de cada segmento. A C D H E F G B 2) Dada uma eta e um ponto A, taça a pependicula à que contém o ponto A. A A A 3) Dada uma eta e um ponto A, taça a paalela à que contém o ponto A. A A
18 4) Dividi o segmento AB=65 em 4 pates iguais. Quantidade de soluções obtidas: Pocedimento: 5) Constui um etângulo dados os lados: AB= 50 (fixo) BC=30 Quantidade de soluções obtidas: Pocedimento:
19 6) Dados AÔB e BÔC adjacentes, com AÔC = 120 o, calcule a medida do ângulo fomado pelas bissetizes de AÔB e BÔC. 7) Constui a bissetiz dos ângulos fomados pelas etas dadas. s s 8) Na escada abaixo esta faltando um degau. Constua-o. Há, no mínimo, tês pocedimentos paa tal constução. Desceva-os.
20 9) Dados os pontos A e B e duas etas concoentes e s, que não os contêm. Detemina um ponto equidistante dos pontos A e B e equidistante das etas e s. A s B Quantidade de soluções obtidas: Pocedimento: