TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Capítulo 4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Denição 56 Sejam e dois espaços vetoriais. Uma Transformação Linear (aplicação linear) é uma função de em : que satisfaz as seguintes condições: Qualquer que sejam e em, ( + ) = ()+ () Qualquer que sejam R e em, () =() Exemplo 57 : Um agricultor planta e comercializa três tipos de verduras: Tomate, Batata, Cenoura. Sejam 3 as quantidades em quilos de Tomate, Batata, Cenoura respectivamente. Se o agricultor vende o quilo do tomate a $ 00da batata a $ 50 edacenouraa$ 90 então o total de vendas ( ) édadopor + 5 + 9 3. A aplicação que a cada tripla ( 3 ) R 3 associa o total de vendas ( 3 ) éumaaplicaçãolinear. Matematicamente temos uma transformação linear do E.V R 3 no E.V R : : R 3 R ( 3 ) = +5 +9 3 Vamos agora mostrar que de fato esta aplicação é uma transformação linear Chamando =( 3 ) R 3 =( 3 ) R 3 e R temos: 5

i) ( + ) = (( 3 )+( 3 )) = ( + + 3 + 3 ) = ( + )+5( + )+9( 3 + 3 ) = +5 +9 3 + +5 +9 3 = ( +5 +9 3 )+( +5 +9 3 ) () = ( 3 )= + 5 + 9 3 () = ( 3 )= +5 +9 3 ()+ () = ( +5 +9 3 )+( +5 +9 3 ) Logo ( + ) = ()+ () ii) () = (( 3 )) = ( 3 ) = +5 +9 3 = ( +5 +9 3 ) = () Logo () = () De i) e ii) vemos que é uma transformação linear. Exemplo 58. Sejam = R = R e : R R dado () =. A aplicação não é uma transformação linear pois: ( + ) = ( + ) = + + ()+ () = + ( + ) 6= ()+ () Exemplo 59 : R R 3 ( ) =( 0+ ) T é uma transformação linear pois, i) ( + ) = (( )+( )) = ( + + ) = (( + ) 0 ( + )+( + )) = ( + 0+0 ( + )+( + )) = ( 0 + ) ( 0 + ) = ()+() 6

ii) () = (( )) = ( ) = ( 0 + ) = ( 0 + ) () Portanto é uma transformação linear. Exemplo 60. = = e : () = 0 a aplicação derivada que a cada polinômio associa sua derivada, a qual também é um polinômio é uma aplicação linear. De fato, para quaisquer e R i) ii) ( + ) = ( + ) 0 = 0 + 0 = ()+() () = () 0 = 0 = () Exemplo 6 = = + () = 0 + + + + : + (()) = () = 0 + + 3 + + + A aplicação é uma transformação linear pois () = ()() =() =() =() ( + ) = ( + )() =(()+()) = ()+() = ()+() Exemplo 6 = =, () = 0 + + + + R e : (()) = ( + ) = 0 + ( + )+ ( + ) + + ( + ) 7

Esta aplicação também é linear pois, () = ()( + ) =( + ) =() ( + ) = ( + )( + ) =( + )+( + ) = ()+() Exemplo 63 Uma transformação linear inportante é aquela que se obtém usando-se o produto escalar. Seja R com o produto escalar usual h i e 0 R um vetor qualquer xado. Seja, : R R () = h 0 i T é uma aplicação linear (mostre isso, use as propriedades do produto escalar) Exemplo 64 :Sejam(R) ={ : R R écontínua} Considere Por exemplo se () = então : (R) R () = (0) () =(0) = 0 =0 é uma aplicação linear pois, se (R) e R então Exemplo 65 :Seja, ( + ) = ( + )(0) = (0) + (0) = ()+() () = ()(0)=(0) = () µ : + + = + + Esta aplicação é uma transformação linear, pois µ + = µ + + + + = + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + µ µ = + 8

Exemplo 66 :Seja, µ µ = + + = + + + + = + + µ = : R () = det() Esta aplicação não é uma transformação linear, pois, em geral det( + ) 6= det( )+det( ) 4. Propriedades das Transformações Lineares Teorema 67 Dados dois espaços vetoriais reais e eumabasede = { } sejam elementos arbitrários de.entãoexisteuma aplicação linear : tal que ( )= ( )= Esta aplicação é dada por: Se = + + () = ( )+ ( )= + Exemplo 68 Qual a transformação linear : R R 3 tal que ( 0) = ( 0) e (0 ) = (0 0 )? Solução: Temos neste caso =( 0) e =(0 ) base de R e = ( 0) e =(0 0 ) Dado =( ) arbitrário, = + () = ( + ) () = ( )+( ) () = ( 0) + (0 0 ) () = ( ) 9

Exemplo 69 Qual a transformação linear : 4 tal que µ 0 = 0 0 4 + µ 0 = 0 0 3 + µ 0 0 = 0 + 3 µ 0 0 = + 0 4 Solução Uma matriz édaforma = Podemos escrever: 0 0 0 0 0 0 = + + +,portanto 0 0 0 0 0 0 µ = = µ 0 0 0 µ 0 0 0 µ 0 + 0 0 0 + 0 0 0 0 + 0 µ 0 0 + 0 0 0 + 0 µ 0 0 + 0 µ µ = 4 + + 3 + + + 3 + + 4 = ( + ) +( + ) +( + ) 3 +( + ) 4 Denição 70 : Seja : uma transformação linear. A imagem de é o conjunto de vetores taisqueexisteumvetor, que satisfaz () = Ou seja Im( )={ / () = para algum } Observação 7 Note que Im( ) é um subconjunto de e, além disso, é um subespaço vetorial de Exemplo 7 Seja : R R a transformação linear dada por ( ) = ( 0 + ) Qual dos vetores abaixo pertence a imagem de a) =( ) b) =( ) 30

Solução: a) Para que Im( ) deve existir algum = ( ) tal que () =, ouseja, ( ) =( ); temos então: ( ) = ( ) ( 0 + ) = ( ) ½ = 0 + = Resolvendo o sistema temos = 3 8 e = 7 4 logo pertence a imagem de pois ( 3 8 7 4 )= b) Analogamente deve existir algum =( ) tal que () = ou seja ( ) = ( ) ( 0 + ) = ( ) ½ = 0 + = Resolvendo o sistema temos = 8 e = 3 4 logo pertence a imagem de pois ( 8 3 4 )= Exemplo 73 Determine a imagem da transformação linear : R 3 R 3 ( ) =( + ) Solução: Se Im( ) então = ( ) ou seja, = ( + ) = ( ) + ( ) + ( ) Logo todo vetor que pertence a imagem de é gerado pelos vetores = ( ) = ( ) e 3 = ( ). Podemos então escrever que Im( )=[() ( ) ( )] Como o conjunto = {( ) ( ) ( )} éli(verique isto) temos que é uma base para a Im( ) mas ébaseparar 3, logo concluimos que Im( )=R 3 Denição 74 Seja : uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores tais que () = 0 échamadonúcleo de,sendo denotado por ( ) Isto é, n ( )= Á () = o 0 Observação 75 Observe que ( ) é um subconjunto de e, ainda mais, é um subespaço vetorial de Alguns autores denotam o núcleo de por ( ) 3

Exemplo 76 Seja :,dadapor () = 0 Neste caso todo vetor de é levado no vetor nulo pela transformação assim temos que ( )= Exemplo 77 Seja : R 3 R 3 a projeção ortogonal sobre o plano Neste caso temos ( ) =( 0) Se ( ) =(0 0 0) ( ) = (0 0 0) =0e =0 Comonadaéditosobreavariável, temosque é qualquer, logo ( )= (0 0) R 3 Á R ª ou seja o núcleo de são todos os vetores que estão sobre o eixo Exemplo 78 Encontreonúcleodatransformaçãolinear: : R 4 R 3 ( ) = ( + + + ) Solução: Devemos encontrar os vetores =( ) R 4 tais que () = ( ) =(0 0 0 0) Neste caso temos que resolver o sistema homogêneo: + + =0 + =0 =0 A matriz ampliada do sistema é:. 0. 0 0. 0 0. 0 0 0. 0 0 0 0. 0 = =3e =3=4logo o sistema é compatível e indeterminado com grau de liberdade. 3

Logo, o que nos fornece, + + =0 + =0 =0 = = 0 = Portanto ( )= ( 0 ) R 4 Á R ª =[( 0 )] Exemplo 79 Seja : R 3 R 3 a transformação linear que é a projeção ortogonal sobre a reta cujas equações paramétricas são: =+ = =3+ EncontreoNúcleode Solução: Projetar um vetor sobre uma reta é o mesmo que encontrar a projeção ortogonal sobre o vetor diretor dessa mesma reta. No nosso caso, o vetor diretor é =() logo ³ () = = µ ( )( ) ( ) = ( )( ) µ + ( ) = 9 µ 4 4 + ( ) = 9 Para encontrar o núcleo devemos ter, µ 4 4 + ( ) = 9 ( ) ( ) 4 +4 9 4 +4 9 + 9 + =(000) 9 4 4 + = 0 4 +4 = 0 + = 0 33

4 4 4 4, fazendo o escalonamento temos 4 4 0 0 0 assim 0 0 0 4 +4 + = 0 0 = 0 0 = 0 = 4 4 = Portanto ( )= ( ) R 3 Á R ª =[( 0 ) (0 )] Denição 80 Dada uma aplicação :, diremos que é injetora se dados com () = () tivermos = Ou equivalentemente, é injetora se dados com 6=, então () 6= () Denição 8 Uma aplicação : será sobrejetora se a imagem de coincidir com ou seja, ( )= Observação 8 Da denição acima vemos que uma função será sobrejetora se dado,existir tal que () = n 0 o Teorema 83 Seja :, uma aplicação linear. então ( )= seesomentese é injetora. Teorema 84 Seja :, uma aplicação linear. Então dim ( )+dimim( )=dim Corolário 85 Se dim =dim,então linearéinjetoraseesomentese é sobrejetora. Corolário 86 Seja :, uma aplicação linear injetora. Se dim = dim,então leva base em base. Exemplo 87 Seja : +, dada por (()) = ()Verique se ébijetora. Solução: Devemos vericar se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Usando o teorema (83) devemos apenas calcular o núcleo de : (()) = () ( 0 + + + ) = ( 0 + + + ) ( 0 + + + ) = ( 0 + + + + ) 34

Se (()) = 0 0 + + + + = 0 = 0+0 +0 + +0 + logo 0 = = = =0 () =0(() é o polinômio nulo) ( )= n 0 o (observe que neste caso o vetor nulo de é o polinômio nulo de grau n). Portanto é injetora. Como dim = + dim + = +e dim ( )=0 temos que dim ( )+dimim() = + 0+dimIm( ) = + dim Im( ) = + Note que dim Im( )=+ 6= + = dim + Im( ) 6= + Portanto não é sobrejetora. 4. Transformações Lineares e Matrizes 4.. Transformação linear associada a uma matriz Seja uma matriz. Associada a matriz denimos a transformação linear: : R R onde é tomado como vetor coluna, =.. () = () =..... +. =. + + Das propriedades de operações de matrizes:.. 35

( + ) = ( + ) = + = ()+ () () = () = = () eportanto é uma transformação linear. Exemplo 88 Seja = 0 0 0 Observe que a matriz tem ordem 3 4 e portanto ela induzirá uma transformação linear de R 4 para R 3,denida por: : R 4 R 3 = 0 0 0 + + = + Note que a transformação acima está escrita em forma matricial, mas podemos escreve-la também na forma vetorial que estamos acostumados: ( ) =( + + + ) Surpresa!! Esta é a mesma transformação do exemplo (78) Exemplo 89 Dada a transformação linear: : R 3 R ( ) = (0 0 30 3) Encontre a matriz da transformação (Isto é, encontre a matriz cuja transformação associada a ela é exatamente a transformação ) Solução: Passando da forma vetorial para a forma matricial temos: = = 0 0 30 3 0 0 30 3 36

Portanto a matriz de que denotaremos por [ ] é 0 0 30 [ ]= 3 Observação 90 Ao obtermos a transformação associada a uma matriz (ou, caso contrário, a matriz de uma transformação ), nãomencionamosasbases dos espaços envolvidos. De fato, ao obtermos a matriz de uma transformação estamos levando em conta as bases associadas aos espaços R e R mas neste caso em particular estamos considerando as bases canônicas. Isto cará claro naexposiçãoaseguir. De um modo geral, xadas as bases = { } e 0 = { } àmatriz podemos associar da seguinte maneira: Seja então =..... : R R () =[] =.. =...... = () = + + onde = e é a i-ésima linha de Em geral, dada uma matriz, ela é encarada como uma aplicação linear : R R em relação às bases canônica de R e R 4.. Matriz de uma transformação linear Agora iremos encontrar a matriz associada a uma transformação linear. Seja : linear = { } base de e 0 = { } base de Então ( )( ) são vetores de eportanto ( ) = + +.... ( ) + + 37

Atranspostadamatrizdoscoecientes deste sistema, denotada por [ ] é 0 chamada matriz de em relação às bases e 0 : [ ] = 0.. Observação 9 Note que se =[ ] = 0.. atransformação linear passa a ser a transformação linear associada à matriz e bases e 0,isteé, = Exemplo 9 Seja : R 3 R tal que ( ) =( + 3 +4) Sejam = {( ) ( 0) ( 0 0)} e 0 = {( 3) ( 4)} Procuremos [ ] 0 ( ) =( + 3 +4) ( ) = ( 5) = ( 3) + ( 4) ( 0) = (3 ) = ( 3) + ( 4) ( 0 0) = ( 3) = ( 3) + ( 4) Portanto temos os sistemas: ½ + = 3 +4 =5 ½ + =3 3 +4 = ½ + = 3 +4 =3 Resolvendo os sistemas temos: =3 = = = 8 =5 = 3 [ ] 3 5 = 0 8 3 Teorema 93 :Sejam e espaços vetoriais, base de, base de e : uma aplicação linear. Então, para todo vale: Teorema 94 [ ()] =[ ] [] Denição 95 Dada uma base etranformaçãolinear : denotaremos a matriz [ ] apenas por [ ] e ela será chamada de matriz de em relação abase 38

Denição 96 Seja : R R uma transformação linear e a base canônica de R então a matriz de em relação a base canônica [ ] será denotada simplesmente por [ ] Exemplo 97 Seja : denido por (()) = (3 5) Determine a matriz de emrelaçãoabase = ª Devemos calcular [ ] =[ ] () = (3 5) ( 0 + + ) = 0 + (3 5) + (3 5) ( 0 + + ) = 0 +3 5 + (9 30 + 5) ( 0 + + ) = ( 0 5 +5 )+(3 30 ) +9 () = ( + 0 +0 )==+0 +0 () = (0 + +0 )=5+3 = 5+3 +0 ( ) = (0 + 0 + )=5 30 +9 [ ] = 5 5 0 3 30 0 0 9 Exemplo 98 Seja : R 3 R 3 dada por ( ) =( 3 + ) a) Sejam as bases = {( 0 0) ( 0) ( )} = {( 0) ( 0 ) (0 )} determine [ ], [ ] b) Se [] = determine [ ()] c) Calcule a multiplicação das matrizes: [ ] [ ] Que conclusão voce pode tirar em relação as duas matrizes, ou que relação há entre as duas matrizes? Solução: a) Cálculo de [ ] ( ) = ( 3 + ) ( 0 0) ( 0 0) = = ( 0) + ( 0 ) + (0 ) 39

( 0) = 0 = ( 0) + ( 0 ) + (0 ) ( ) = 3 = 3 ( 0)+ 3 ( 0 )+ 3 (0 ) Devemos resolver os tres sistemas resultantes: Denotando por amatriz dos coecientes do sistema,temos: = 0 0 0 = Vamos resolver os sistemas por matriz inversa: = = = = 0 3 3 = 3 3 = = 3 0 = 0 3 = 3 0 Logo [ ] = 3 3 0 0 Agora voce já está em condições de calcular [ ] Faça esse cálculo como exercício b) Vamos usar a relação [ ()] =[ ] [] [ ()] = [ ] [] [ ()] = 3 3 0 0 7 [ ()] = 3 7 c) Faça voce este item e tire suas conclusões. Mais adiante voce poderá vericar se suas conclusões estavam corretas. Teorema 99 Seja : uma transformação linear e e bases de e respectivamente. Então dim Im( ) = posto de [ ] dim ( ) = nulidade de [ ] = número de colunas de [ ] [ ] 40

4.3 Composição de transformações lineares Denição 00 Se : e : são duas transformações lineares a composta das duas transformações lineares é denidadomesmomodo que a composição de funcões ( lembre-se que um transformação linear é uma função com a propriedade adicional de ser linear) da seguinte forma : ( )() = ( ()) Exemplo 0 Se : R R 3 ( ) =( ) e : R 3 R ( ) = então : R R e ( )( ) = ( ( )) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = + + = 3 3 Teorema 0 Sejam : e : transformações lineares e bases de respectivamente. Então a composta de com : élineare [ ] =[ ] [ ] Proposição 03 Seja : uma transformação linear. Sejam e 0 bases de e e 0 bases de Então vale a relação: onde e [ ] 0 =[ 0 ] 0 =[ 0 ] [ 0 ] [ ] 0 são as aplicações identidades de e respectivamente. 4.4 A Inversa de uma transformação linear Denição 04 Dá-se o nome de isomorsmo aumatransformaçãolinear : que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Quando há um isomorsmo entre dois espaços vetoriais dizemos que estes são Isomorfos. Denição 05 Seja : uma transformação linear. Se existe uma transformação linear : tal que =,onde : é a identidade em dizemos que é a inversa a direita de Se existe uma transformação :,talque =,onde : é a identidade em, dizemos que éainversaaesquerdade 4

Denição 06 Seja : uma transformação linear. Se existe uma aplicação : tal que = e = então dizemos que é inversível e que éainversade Proposição 07 Seja : uma transformação linear. inversa de então é uma transformação linear Se existe a Proposição 08 Se : éumisomomorsmo, então é inversível e além disso também é um isomorsmo. Proposição 09 Se : uma transformação linear invertível ( éum isomorsmo) e e são bases de e então: ³[ = ] Observação: Quando estamos trabalhando com o espaço R e a base canônica de R por simplicidade omitimos as bases e a matriz de : R R em relação a base canônica, é denotada simplesmente por [ ] Neste caso a proposição acima é escrita na forma mais conveniente: "Se : R R éinversívelentão =[ ] Proposição 0 Seja : uma transformação linear, com dim = dim e e bases de e respectivamente Então é inversível se, e somentesedet[ ] 6=0 Observação Se na proposição acima tivermos = = R podemos escrever: Seja : R R uma transformação linear, então é invertível se det [ ] 6= 0 Exemplo Seja : R 3 R 3 dada por ( ) =( + + + + 3 + + ) determine a transformação inversa Solução: Facilmente podemos ver que [ ]= 3 =[ ] = 5 4 0 logo ( ) =(5 + +4 ) Como exercício verique que vale ( ) =( ) Podemos também neste caso calcular a inversa usando diretamente a dinição de transformação inversa da seguinte forma Sabemos que : R 3 R 3 é uma transformação linear tal que = ou = Suponhamos que ( ) =( ) devemos encontrar 4

e tais que = (devemos usar esta igualdade pois com a outra não funciona, tente e veja o que acontece). Portanto ( ) = ( ) =( ) ( ( )) = ( ) ( ) = ( ) ( + + + +3 + + ) = ( ) + + = + +3 = + + = 3 0 = 0 0 = = + = = ( ) ( ) =5 + +4 Logo ( ) =(5 + +4 ) 43

4.5 Nona lista de exercícios ) Seja : uma função. Mostre que a) Se é uma transformação linear, então (0) = 0 b) Se (0) 6= 0 então não é uma tranformação linear. ) Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: a) : R R, ( ) =( + ) b) : R R ( ) = c) : ( ) R det d) : R R () = 3) Resolva os itens abaixo: a) Encontre a transformação linear : R 3 R tal que ( 0 0) = ( 0), (0 0) = ( ) e (0 0 ) = (0 ) b) Encontre R 3 tal que () =(3 ) 4) Sejam tres transformações lineares de R 3 em R 3 Se [] = 0 e [] = 3 encontre 0 0 tal que = 5) Sejam = {( ) (0 )} e = {( 0 ) (0 ) ( 0)} bases de R e R 3 respectivamente e [ ] = 0 0 a) Encontre b) Se ( ) =( ) encontre [] c) Encontre uma base de R 3 tal que [ ] = 0 0 0 0 6) Considere a transformação linear : R 3 R 3 dada por ( ) = ( ) a) Determine uma base do núcleo de b)dêadimensãodaimagemde c) é sobrejetora? Justique. d) Faça um desenho em R 3 do conjunto de vetores que pertencem ao ker( ) e a Im( ) 7) µ Seja a base canônica de Se : 3 é dada por = +( + ) +() + 3 a) Encontre [ ] onde = + + + 3ª ébasede 3 b) Faça o escalonamento da matriz [ ] 44

c) Detemine dim ( ) d) Determine dim Im( ) 8) Responda as seguintes questões: a) Se : R 5 R 6 é uma transformação linear, podemos ter dim Im( ) 6? Justique sua resposta b) Existe alguma tranformação linear : R R tal que ( ) = ( ) e ( ) = (3 )? Justique sua resposta. 9) Seja : R R tal que [ ]= 0 Encontre os vetores e tais que a) () = b) () = 0) Sejam as transformações lineares : e : denidas por ( + ) = +( + ) + ( + + ) = + a) Determine ( )(3 + ) b) É possível calcular ( )(+)? Em caso armativo calcule ( )( + ) ALGUMAS SUGESTÕES 7) c) A dimensão de ( ) é a nulidade de [ ] 7) d) A dimensão de Im( ) éopostode[ ] 45

Capítulo 5 OPERADORES LINEARES Denição 3 Uma transformação linear : é chamada de operador linear. Observação 4 Todasaspropriedadesjávistasparatransformaçõeslineares em geral vale para um operador linear 5. Transformações especiais no plano e no espaço Os operadores lineares que veremos a seguir são chamados de transformações especiais do plano e do espaço por serem bastantes usados em aplicações práticas e também em aplicações numéricas. Transformações no Plano a) Reexãoemtornodoeixodos : R R ( ) = ( ) Matricialmente Geometricamente: 0 0 46

b) Reexão em torno do eixo dos y : R R ( ) = ( ) Matricialmente Geometricamente: 0 0 47

c) Reexão na origem : R R ( ) = ( ) Matricialmente Geometricamente: 0 0 48

d) Reexão em torno da reta = : R R ( ) = ( ) Matricialmente Geometricamente: 0 0 e) Reexão em torno da reta = : R R ( ) = () Matricialmente Geometricamente: 0 0 49

f) Dilatação ou contração : R R ( ) = ( ) Se, contrai o vetor Se, dilata o vetor Se =, é a identidade Se 0, inverte o sentido do vetor Se 0, mantém o mesmo sentido do vetor Matricialmente Geometricamente: 0 0 50

g) Cisalhamento na direção do eixo dos : R R ( ) = ( + ) Matricialmente Geometricamente: 0 5

h) Cisalhamento na direção do eixo dos : R R ( ) = ( + ) Matricialmente Geometricamente: 0 5

i) Rotação de um ângulo Geometricamente : R R ( ) = ( 0 0 ) Vamos agora determinar a matriz da transformação linear rotação de um ângulo eaexpressãode em função de e Quando rotacionamos um vetor, pela própria denição de rotação, o comprimento (módulo) do vetor não se altera. Seja = onde =( ) Da gura acima e usando relações trigonométricas temos; Mas 0 = cos( + ) = cos cos sin sin cos = sin = então 0 = cos sin Analogamente 0 = sin( + ) = sin cos + cos sin 0 = cos + sin = sin + cos 53

Assim ( ) =( cos sin sin + cos ) Matricialmente cos sin sin cos Podemos ver neste caso que matriz de uma rotação é: cos sin [ ]= sin cos Transformações no Espaço a) Reexão em relação aos planos coordenados a.) Plano xy : R 3 R 3 ( ) = ( ) Matricialmente 0 0 0 0 0 0 Geometricamente a.) Plano xz : R 3 R 3 ( ) = ( ) 54

Matricialmente a.3) Plano yz Matricialmente 0 0 0 0 0 0 : R 3 R 3 ( ) = ( ) 0 0 0 0 0 0 b) Reexão em relação aos eixos coordenados b.) Em relação ao eixo x Matricialmente Geometricamente: : R 3 R 3 ( ) = ( ) 0 0 0 0 0 0 b.) Em relação ao eixo y Matricialmente : R 3 R 3 ( ) = ( ) 0 0 0 0 0 0 55

b.3) Emrelaçãoaoeixoz : R 3 R 3 ( ) = ( ) Matricialmente 0 0 0 0 0 0 c) Reexão no origem : R 3 R 3 ( ) = ( ) Matricialmente 0 0 0 0 0 0 Geometricamente 0-0 -0 00 0 x 0-0 z 0 y 56

d) Rotação de um ângulo d.) Rotação em torno do eixo z Matricialmente : R 3 R 3 ( ) = ( cos sin sin + cos ) cos sin 0 sin cos 0 0 0 Exemplo 5 Determinar o ângulo formado entre e () quando o vetor =( 3 4 ) gira em torno do eixo de um ângulo rad 57

Solução: [ ()] = [ ()] = [ ()] = cos sin 0 sin cos 0 0 0 00 0 00 0 00 00 00 00 0 4 3 0 3 4 3 Como desejamos o ângulo entre e ()vamos usar afórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores: cos = () () = Portantooânguloentre e () é =arccos = 3 4 0 5. Propriedades dos operadores inversíveis Denição 6 Seja : um operador linear. Se existir um operador : tal que = = (nestecaso : é a identidade em ) então dizemos que o operador é inversível e éo operador inverso de Observação 7 Um operador é inversível se, e somente se, ele é um isomor- smo Seja : um operador linear: I) Se éinversívele sua inversa, então = = n 0 o II) O operador é inversível se, e somente se, ( )= III) O operador é inversível se, e somente se, det [ ] 6= 0 IV) Se éinversível, transforma base em base, isto é, se = { } ébasede então = { ( )( )} ébasede Se éinversívele uma base de então : é linear ³ = [ ] Quando é a base canônica temos a forma mais simples = [ ] eportanto [ ] = =[] Com isso vemos que é inversível se e somente se det [ ] 6= 0. 0 58

Exemplo 8 Considere o operador : R R dado por ( ) =( cos sin sin + cos ) verique se é inversível e em caso armativo encontre Solução: Como [ ]=cos +sin =6= 0 temos que éinversível. Como =[ ] basta calcular a inversa da matriz de cos sin [ ]= sin cos [ ] = cos cos +sin sin cos +sin sin cos +sin cos cos +sin [ ] cos sin = sin cos Note que [ ] =[ ] ou seja, [ ] é uma matriz ortogonal, logo R R cos sin cos + sin = sin cos cos sin : ( ) =( cos + sin cos sin ) Exemplo 9 Seja o operador : R 3 R 3 que é a projeção ortogonal do vetor =( ) nadireçãodaretadadapelainterseçãodos planos = + e = +3Verique se é inversível e em caso armativo determine Solução: Para determinar a projeção na direção da reta basta determinar a projeção ortogonal sobre o vetor diretor da reta. Devemos inicialmente determinar o vetor diretor da reta: ½ = + = +3 Para obter a equações paramétricas fazemos = logo = = + = +4 59

portandoovetordiretordaretaé =() ³ () = = µ ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) µ + + ( ) = ( ) 3 µ + + + + ( ) = 3 3 [ ]= 3 3 3 3 3 3 det [ ]=0 ( ) 3 3 3 + + 3 Como det [ ]=0temos que não é inversível. Exemplo 0 Seja : R R a transformação que é uma rotação de 4 e : R R a transformação que é uma reexãoemtornodareta = Determine a transformação = Solução = [] = [][] [ ] = [ ] = cos 4 sin 4 sin 4 cos 4 () = µ ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) µ 3 4 4 +3 ( ) = 5 5 3 [] = 5 4 5 4 3 5 5 60

[] = [][] 3 [] = 5 4 5 4 3 5 5 7 [] = 0 0 7 0 Ã ( ) = 7 0 0 0 + 7! 0 5.. Matrizes Semelhantes Seja : um operador linear. Sejam e bases de e [ ] [ ] matrizes de em relação as bases e respectivamente, então: [ ] =[] [ ] [] Lembrando que [] = ³[] temos que Chamando [] = : [ ] =[] [ ] ³ [] [ ] = [ ] Denição Dadas as matrizes e, seexisteumamatriz inversível tal que = então dizemos que as matrizes e são semelhantes. Observação Se e são semelhantes então = mas não vale a recíproca. 5.3 Operadores autoadjuntos e ortogonais Denição 3 Seja um espaço vetorial com produto interno, uma base ortonormal e : um operador linear. Então: a) é chamado um operador auto-adjunto se [ ] é uma matriz simétrica b) é chamado um operador ortogonal se [ ] é uma matriz ortogonal Observação 4 Consideraremos aqui apenas os operadores : R R com o produto escalar usual (que é um produto interno no espaço R ) 6

Observação 5 Uma base = { } é ortonormal se = ½ = 06= Portanto podemos dizer que um operador : R R éumoperador auto-adjunto se [ ] (a matriz de em relação a base canônica) é uma matriz simétrica. : R R éumoperador ortogonal se [ ] (a matriz de em relação a base canônica) é uma matriz ortogonal. Exemplo 6 Consideremos a transformação : R 3 R 3,arotaçãodeum ângulo em torno do eixo ( ) =( cos sin sin + cos ) A matriz da transformação é cos sin 0 [ ]= sin cos 0 0 0 Como esta é uma matriz ortogonal, é um operador ortogonal Exemplo 7 Seja : R R onde ( ) =( +5) A matriz de é [ ]= 5 Comoamatrizde ésimétrica,então é um operador simétrico. Teorema 8 Seja : R R linear. Se é um operador auto-adjunto então () = () R Teorema 9 Seja : R R linear. Então são equivalentes as seguintes armações a) é ortogonal b) preserva o produto escalar, isto é, () () = R c) preserva o módulo, isto é, () = d) transforma bases ortonornais em bases ortonormais. Isto é, se { } é uma base ortonornal então { ( )( )( )} éuma base ortonornal 5.4 Décima lista de exercicios ) Seja ( ) =( + + + 3) a) Mostre que é um operador auto-adjunto mas não ortogonal b) Se =( 5) e =(3 0 ) verique que () = () 6

) Seja é uma matriz de ordem xada. Seja : denida por () = Mostre que não é inversível. 3) Se : é um operador linear e =0mostre que é inversíve 4) Sejam : éumoperadorlineare e bases distintas de Mostre que det [ ] =det[ ] 4 0 5) Mostre que a matriz = é semelhante à matriz 3 0 6) Se e são semelhantes mostre que e são semelhantes. 7) a) Encontre a transformação do plano no plano que é uma reexão em torno da reta =6 b) Escreva-a em forma matricial. 8) No plano, uma rotação anti-horária de 45 0 é seguida por uma dilatação de 3 Ache a aplicação que representa esta transformação do plano. 9) Seja : R 3 R 3 é a projeção de vetor no plano + + =0Encontre ( ) 0) Seja : R 3 R 3 onde éareexão através do plano + + =0 Encontre ( ) ) Seja : R 3 R 3 onde é a rotação de emtornodoeixo seguida de uma rotação de 3 doemtornodoeixo Encontre ( ) ) Encontre a transformação linear : R 3 R 3 tal que ( )= ( ) R 3 Á = ª 3) Determine se a transformação ( ) =( 3 + 3 ) éuma transformação auto-adjunta ou ortogonal. Justique sua resposta. 4) Sejam = {( 0) (0 )} e = {( ) ( 0)} bases de R, [ ] = e [ ] = Encontre a matriz tal que 4 0 [ ] = [ ] 5) Encontre a transformação linear ( ) R 3 Á = ª : R 3 R 3 tal que Im( ) = SUGESTÕES ) Sugestão: Mostre que não é injetora. 7) Sugestão: Use a projeção do vetor genérico ( ) sobre algum vetor que está sobre a reta =6 e a adição de veotres(lembre-se que a projeção de um vetor na direção de um vetor ³ é dada por = ) 8) Lembre-se que a composição de transformações pode ser obtida pela multiplicação de suas matrizes (em relação a base canônica) 9)Façaaprojeçãodovetor( ) na direção do vetor normal do plano. Use a denição de projeção e a adição de vetores. 0) Sugestão: Cosidere a projeção do vetor genérico ( ) na direção do vetor normal do plano dado. Use a denição de reexão e adição de vetores. 4) Utilize as matrizes mudança de base 63