Ponto médio lembra? Outro ponto médio! Dois pontos médios lembram? ase média! ícero Thiago 8 de março de 011 Propriedade 1. Num triângulo retângulo, a mediana M relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa. D M Prova. Seja D o ponto sobre o prolongamento da mediana M tal que M = MD. Os triângulos M e MD são congruentes, pelo caso LL. Daí, = D e M = DM, ou seja, e D são segmentos iguais e paralelos e portanto = D = 90. ssim, os triângulos e D são congruentes, pelo caso LL, e portanto D = = M = = M = Definição 1. Uma base média de um triângulo é um segmento que une os pontos médios de dois de seus lados. ssim, todo triângulo possui exatamente três bases médias. Propriedade. Sejam um triângulo e M, N os pontos médios dos lados,, respectivamente. Então MN e MN = M N P 1
Prova. Inicialmente, prolonguemos a base média MN até um ponto P tal que MN = NP. Em seguida, construímosotriângulonp. Noteque ostriângulosnm e NP sãocongruentes, pelo caso LL. Daí, P = M e MN = PN e portanto P M = P M. ssim, M P é um paralelogramo, pois P e M são segmentos paralelos e iguais. Mas então MP e MP = = MN = = MN = Definição. base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios de seus lados não paralelos. Propriedade 3. Seja D um trapézio de bases e D, e sejam M e N os pontos médios dos lados e D, respectivamente. Então, MN, MN D e MN = +D. N M D E Prova. Inicialmente, prolonguemos M até encontrar D no ponto E. É fácil ver que M ME (L) = E. Portanto, MN é base média do triângulo DE. ssim, Finalmente, MN = MN E MN D MN = DE. D +E = D +. Problema 1. (OM) onsidere um triângulo acutângulo com = 30. Sejam 1, 1 os pés das alturas relativas aos lados,, respectivamente, e, os pontos médios dos lados,, respectivamente. Mostre que os segmentos 1 e 1 são perpendiculares.
O 1 1 Solução. Seja O a interseção entre 1 e 1. O segmento 1 é uma mediana do triângulo retângulo 1 e portanto nalogamente, 1 = 30. Daí, = 1 e 1 = 1 = 30. 1 = 1 + 1 = 60 e portanto 1 O = 180 1 1 = 90. Problema. Sejam um triângulo e M o ponto médio do lado. Se D, E são os pés das alturas relativas aos lados,, respectivamente, prove que ME = MD. Solução. E D M Note que ME é mediana relativa à hipotenusa do triângulo E. Daí, ME = M = M e, analogamente, ssim, ME = MD. MD = M = M. omentários. M é o centro da circunferência circunscrita ao quadrilátero inscritível DE. 3
Problema 3. Dado um quadrilátero D, prove que os pontos médios M,N,P,Q dos lados,, D, D formam um paralelogramo. Solução. M Q D N P Temos Triângulo : MN e MN = /. Triângulo D: PQ e PQ = /. ssim, MN PQ e MN = PQ, isto é, MNPQ é paralelogramo. Problema 4. Sejam um triângulo e M o ponto médio de. Se M = M = M, prove que = 90. Problema 5. (Torneio das idades) Sejam D um paralelogramo, M o ponto médio de D eh opédaperpendicularbaixadade am. ProvequeH éumtriânguloisósceles. Problema 6. Em um triângulo, retângulo em e isósceles, sejam D um ponto no lado ( D ) e E o ponto no prolongamento de tal que o triângulo DE é isósceles. Se P é o ponto médio de D, R o ponto médio de E e Q a interseção entre ED e, prove que o quadrilátero RQP é um quadrado. Problema 7. No triângulo acutângulo, F é altura e M é mediana. Sabendo que M = F e M = F, prove que o triângulo é eqüilátero. Problema 8. Seja D um quadrilátero convexo tal que = D = 90 o e D > D. Prove que > D. Problema 9. Seja um triângulo acutângulo tal que =, D é perpendicular a, com D sobre, e E o ponto médio de. Prove que = DE. Problema 10. Seja um triângulo e D um ponto sobre o lado tal que = D. Sejam E e F os pontos médios de D e, respectivamente. Se a reta intersecta a reta FE em M, prove que M = ME. Problema 11. Uma reta r passa pelo baricentro de um triângulo. s projeções de, e sobre a reta r são M, N e P, respectivamente. Prove que M = N +P. 4
Problema 1. (OM) Seja D um quadrilátero convexo, onde N é o ponto médio de D, M é o ponto médio de, e O é a interseção entre as diagonais e D. Mostre que O é o baricentro do triângulo MN se, e somente se, D é um paralelogramo. Problema 13. (hina) Seja D um trapézio, D//, = 30 o, = 60 o, E, M, F, N os pontos médios de,, D, D respectivamente. Se = 7, MN = 3, determine a medida de EF. Problema 14. (hina) Seja D um trapézio, //D, D = D = 90 o, e o triângulo é equilátero. Se a base média do trapézio EF = 3 a, determine o comprimento da menor base, em função de 4 a. Problema 15. (Moscou) Seja D um quadrilátero convexo e O um ponto em seu interior tal que O = OD = 10 o, O = O, O = OD. Sejam K, L, M os pontos médios de,, D respectivamente, prove que KLM é equilátero. Problema 16. (hina) Seja D um quadrilátero tal que D//. Se a bissetriz do ângulo D intersecta D em E, e E bissecta o ângulo, prove que = D +. Problema 17. (hina) Seja D um quadrilátero, tal que D >. Sejam E e F os pontos médios de e D respectivamente. Se as retas D e intersectam FE em H e G respectivamente, prove que HE < GE. Problema 18. Seja um triângulo e sejam D e E pontos sobre os lados e, respectivamente, tais que D = D, E = E e E intersecta D em F. Prove que 4EF = E. Problema 19. (OM) Num quadrilátero convexo, a reta que passa pelos pontos médios de dois lados opostos forma ângulos iguais com ambas as diagonais. Mostre que as duas diagonais têm o mesmo comprimento. Problema 0. Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, prove que esta extremidade é ponto médio do terceiro lado. Problema 1. (OM) No triângulo, D é ponto médio de e E ponto sobre o lado tal que E = E. Sabendo que D = E, calcule o valor de. Problema. (ustrália) Sejam um triângulo e P um ponto em seu interior de modo que P = P. Se L, M são os pés das perpendiculares por P aos lados,, respectivamente, e D é o ponto médio de, prove que DL = DM. Problema 3. (Romênia) Sejam um triângulo isósceles com =, D o ponto médio de, M o ponto médio de D e N a projeção de D sobre M. Prove que N = 90. 5
Problema 4. (Eslovênia) Seja D um trapézio, com paralelo a D. Sabendo que a distância entre os pontos médios das bases é igual à distância entre os pontos médios das diagonais, prove que D e D são ângulos obtusos. Problema 5. Em um triângulo isósceles, com =, sejam K, L pontos sobre,, respectivamente, tais que K +L = KL. reta paralela a passando pelo ponto médio M de KL intersecta em N. che a medida de KNL. Problema 6. Sejam um triângulo e D, E, F os pontos médios de,,, respectivamente. Prove que D = E F = D. Problema7. SejaD umtrapéziocombases = aed = b. SejamtambémM,N os pontos médios dos lados, D, respectivamente. Sabendo que D+ = 90, determine o comprimento de MN. Problema 8. (OM) Sejam D um quadrilátero convexo, N o ponto médio de D, M o ponto médio de e O a interseção entre as diagonais e D. Mostre que O é o baricentro do triângulo MN se e somente se D é um paralelogramo. Problema 9. (one Sul) Seja um triângulo acutângulo e sejam N, M e P as alturas relativas aos lados, e, respectivamente. Sejam R, S as projeções de N sobre os lados,, respectivamente, e Q, W as projeções de N sobre as alturas M, P, respectivamente. (a) Mostre que R, Q, W, S são colineares. (b) Mostre que MP = RS QW. Problema 30. (TST rasil) Sejam Q o ponto médio do lado de um quadrilátero inscritíveld e S a interseçãodas diagonais e D. Sejam P, R as projeçõesortogonais de S sobre D,, respectivamente. Prove que PQ = QR. ibliografia 1. Lecture Notes on Mathematical Olympiad ourses, for section vol. 1. Xu Jiagu World Scientific. Problems and solutions in euclidean geometry. M. N. ref e William Wernick Dover 3. hallenging problems in geometry. lfred Posamentier e harles Salkind Dover 6