Carlos de Lamare Basian Pino Modelagem de Opções Reais com Processos de Reversão à Média em Tempo Discreo: Uma Aplicação na Indúsria Brasileira de Eanol Tese de Douorado Tese apresenada ao Programa de Pós-Graduação em Adminisração de Empresas da PUC-Rio como requisio parcial para obenção do íulo de Douor em Adminisração de Empresas. Orienador: Luiz Eduardo Teixeira Brandão Rio de Janeiro Dezembro de 009
Carlos de Lamare Basian Pino Modelagem de Opções Reais com Processos de Reversão à Média em Tempo Discreo: Uma Aplicação na Indúsria Brasileira de Eanol Tese apresenada ao Programa de Pós-Graduação em Adminisração de Empresas da PUC-Rio como requisio parcial para obenção do íulo de Douor em Adminisração de Empresas da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. Luiz Eduardo Teixeira Brandão Orienador Deparameno de Adminisração PUC-Rio Prof. Anonio Carlos Figueiredo Pino Deparameno de Adminisração PUC-Rio Prof. Waler Lee Ness, Jr. Deparameno de Adminisração PUC-Rio Prof. Robero Marcos da Silva Monezano IBMEC Prof. Diógenes Manoel Leiva Marin Universidade Presbieriana Mackenzie PPGA- CCSA Prof. Nizar Messari Vice-Decano de Pós-Graduação do CCS Rio de Janeiro, 18 de Dezembro de 009
Todos os direios reservados. É proibida a reprodução oal ou parcial do rabalho sem auorização da universidade, do auor e do orienador. Carlos de Lamare Basian Pino Graduado em Engenharia Mecânica pela Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro (198), MBA em Gesão de Negócios pelo Ibmec Rio de Janeiro (001) e Mesrado Profissionalizane em Adminisração pelo Ibmec Rio de Janeiro (004), com foco em Avaliação de Empresas e Projeos pela Meodologia de Opções Reais. Profissionalmene possui experiência em Análise Econômica e Financeira de Empresas, Orçameno de Capial (valuaion), Business Plan e Desenvolvimeno e Modelagem Esraégica de Novos Negócios. Auou por 0 anos em diversas áreas ais como: TI, Sisemas de Apoio à Gesão, Logísica, Energia, Peroquímica, Oil&Gas, ec. ano como Consulor Independene, assim como empregado direo em empresas como Vale do Rio Doce. Pino, Carlos de Lamare Basian Ficha Caalográfica Modelagem de opções reais com processos de reversão à média em empo discreo: uma aplicação na indúsria brasileira de eanol / Carlos de Lamare Basian Pino ; orienador: Luiz Eduardo Teixeira Brandão. 009. 164 f. : il. (color.) ; 30 cm Tese (Douorado em Adminisração) Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 009. Inclui bibliografia 1. Adminisração Teses.. Opções reais. 3. Processos esocásicos. 4. Reversão à média. 5. Árvore binomial. 6. Árvore bi-variável. 7. Processos esocásicos de dois faores. 8. Bio-combusíveis. 9. Indúsria de eanol. I. Brandão, Luiz Eduardo Teixeira. II. Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro. Deparameno de Adminisração. III. Tíulo. CDD 658
A meus filhos Luiz e Bernardo.
Agradecimenos Ao meu orienador, professor Luiz Eduardo Teixeira Brandão, pelo permanene incenivo e esimulo desde o início dese rabalho. Aos professores do IAG, em especial Anônio Carlos Figueiredo, Leonardo Lima Gomes, Jorge Ferreira e Waler Ness, pelo apoio neses anos de douorado. Aos professores Robero Marcos da Silva Monezano e Diógenes Manoel Leiva Marin, pelos comenários e conribuições na defesa. Ao professor Marco Anônio Guimarães Dias pelas aulas minisradas e pela inspiração. Às minhas colegas de douorado, que hoje são minhas grandes amigas, Graziela Forunado e Mara Dalbem, pelo convívio neses anos de esudo. Aos funcionários do IAG, em especial Teresa Campos por sempre esar disposa em ajudar nos assunos adminisraivos. À PUC-Rio, pelo auxílio e pelo ambiene acadêmico. À minha querida família, meus filhos Luiz e Bernardo, minha esposa Frederika e meus pais Luiz e Célia, sem o amor dos quais nunca eria chegado ão longe. E, acima de udo, a Deus por esar presene em odo insane da minha vida.
Resumo Basian Pino, Carlos de Lamare; Brandão, Luiz Eduardo Teixeira. Modelagem de Opções Reais com Processos de Reversão à Média em Tempo Discreo: Uma Aplicação na Indúsria Brasileira de Eanol. Rio de Janeiro, Tese de Douorado, p. 164 Deparameno de Adminisração, Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro A presene ese raa da modelagem por Reversão à Média de incerezas esocásicas, e sua aplicação em opções reais. A uilização de processos esocásicos que não o caminho aleaório, ou Movimeno Geomérico Browniano (MGB), geralmene não permiem a uilização de soluções analíicas fechadas para avaliar aivos coningenciais e enão são usadas abordagens numéricas discreas. A ese esá dividida em rês capíulos que cobrem o ema. No primeiro após uma discussão sobre a validação do processo a ser usado são apresenados os modelos mais conhecidos para Movimenos de Reversão à Média (MRM): quaro de faor único, enre eles um ariméico e rês geoméricos, e mais um de dois faores. Para odos são mosrados ou desenvolvidos, os processos de discreização, a expressão do valor esperado assim como a esimação de parâmeros a parir de séries hisóricas. A relevância desse úlimo pono é devida ao fao que geralmene somene séries hisóricas são conhecidas para as variáveis inceras nas aplicações de opções reais. O capíulo apresena ainda o levanameno de parâmeros para os principais modelos apresenados no caso de séries hisóricas de preços reais de açúcar e eanol pagos ao produor no Esado de São Paulo. O segundo capíulo raa da modelagem por árvore binomial como méodo numérico discreo para aproximação de processos de reversão à média. Esa aproximação permie a avaliação de aivos coningenes escrios sobre uma variável cujo valor enha esse comporameno esocásico. Essa abordagem clássica é usada em inúmeros rabalhos e em origem na meodologia desenvolvida por Cox, Ross e Rubinsein (1979), a qual só é aplicável a variáveis que enham um comporameno aproximado por um MGB, excluindo oda uma gama de aivos cujo comporameno é mais bem aproximado por um processo auo regressivo. São
demonsradas duas formas de aproximação binomial para reversão à média. Também é mosrado como compor em uma árvore bi-variável, dois processos esocásicos independenes sendo que pelo menos um segue um MRM, e o ouro um MGB ou ouro MRM. Nese capíulo as abordagens desenvolvidas são usadas para avaliar uma opção de expansão de uma usina somene de açúcar, para produzir ambém eanol. O erceiro capíulo usa os resulados dos dois primeiros para avaliar a opção de alernância de produção exisene nas usinas flexíveis de processameno de cana de açúcar. Esas podem alernar a produção enre açúcar ou eanol, e esa flexibilidade em valor subsancial para a usina. O capíulo avalia esa opção real usando a abordagem por árvore bi-variável combinando dois processos de Reversão à Média correlacionados para os preços dos dois produos passíveis de serem produzidos. Esa modelagem é enão comparada aos resulados de uma avaliação por simulação, os quais confirmam a convergência dos dois méodos. Também é analisada a sensibilidade do valor da opção real de alernância à correlação dos dois processos esocásicos. Finalmene a ese conclui com um resumo geral sobre a imporância da escolha correa do processo esocásico que modela as incerezas envolvidas na avaliação por opções reais e sugere fuuras linhas de pesquisa, al como a paramerização de processos com salos. Palavras Chave Opções Reais; Processos Esocásicos; Reversão à Média; Árvore Binomial; Árvore bi-variável; Processos Esocásicos de Dois Faores; Bio-Combusíveis; Indúsria de Eanol.
Absrac Basian Pino, Carlos de Lamare; Brandão, Luiz Eduardo Teixeira (Advisor). Real Opions Modeling wih Mean Reversion Processes in Discree-Time: An Applicaion in he Brazilian Ehanol Indusry. Rio de Janeiro, Docoral Disseraion, p. 164 Deparameno de Adminisração de Empresas, Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro This disseraion covers he heme of sochasic uncerainies modeling wih mean reversion, and is applicaions in real opions valuaion. The use of alernae sochasic processes oher han random walk, or Geomeric Brownian Moion (GBM), usually does no have analyical closed soluions for valuing coningen claims and herefore numerical approaches mus be used. The disseraion is divided in hree main chapers ha cover his heme. In he firs of hese, afer a discussion on he validiy of sochasic process, he mos widely known Mean Reversion Models (MRM) are presened: four single facor processes, one arihmeic and hree geomeric, and a wo facor process. For all of hese we show or develop he discree process, he expression for he expeced value and esimaion of parameers from hisorical daa. This las poin is fundamenal since generally only hisorical daa is available for uncerainies involved in mos real opions applicaions. The chaper also esimaes parameers of he main models presened for daa from prices of ehanol and sugar paid o producers in he Sae of São Paulo. The second of hese chapers deals wih laice modeling as a discree mehod for approaching mean reversion processes. This approach allows he valuaion of coningen claims wrien on a variable whose value follows his sochasic behavior. Laice modeling is already a classic approach used in counless papers and originaes from he mehodology developed by Cox, Ross and Rubinsein (1979). Bu his laer mehod only fis variables showing an MGB dynamic, excluding he whole range of asses for which an auoregressive process is a beer descripion of heir price behavior. Two mean reversion laice models are hen explained. Also shown is an approach allowing he composiion of a bivariae laice wih wo independen ye correlaed sochasic processes, of which
one is a MRM and he oher eiher an MGB or anoher MRM. These approaches are hen used o value an expansion opion available o a sugar producing plan o also produce ehanol. The hird chaper uses he mehodologies developed in he firs wo o value he swich opion embedded in Brazilian sugarcane flexible plans. These can swich producion from one oupu o anoher (ehanol and sugar) and his flexibiliy has significan value. The chaper values his real opion using he bi-variae laice approach, combining wo correlaed MRMs for boh prices of he possible oupu producs. This modeling is hen compared o he resuls of a simulaion mehod, which confirms he convergence of boh resuls. We also analyze he sensibiliy of he opion swich value o he correlaion of boh sochasic processes. Finally he disseraion concludes on he imporance of he correc choice of he sochasic process when modeling he uncerainies involved in real opions valuaion, and suggess furher research in he same line, such as parameerizaion of jump processes. Keywords Real Opions; Sochasic Processes; Mean Reversion; Binomial Laice; Bi- Variae Laice; Two Facor Sochasic Processes; Bio-fuels; Brazilian Sugar- Ehanol indusry.
Sumário 1 Inrodução 18 1.1. Modelagem de Processos Esocásicos por Reversão À Média 19 1.. Modelagem de Opções Reais por Árvores Binomiais 0 1.3. Aplicação de Opções Reais na Indúsria Brasileira de Eanol 1 1.4. Organização da Tese Processos Esocásicos de Reversão à Média para Aplicação em Opções Reais 4 Resumo 4.1. Inrodução 4.. Processos Esocásicos e seu Uso em Aplicações de Opções Reais 6.3. Deerminação da Validade do Processo Esocásico 9.4. Modelos de Reversão à Média de Faor Único 3.4.1. Modelo Ariméico de Ornsein-Uhlenbeck 3.4.1.1. Média e Variância 33.4.1.. Discreização do Modelo 33.4.1.3. Esimação de Parâmeros 34.4.1.4. Simulação Neura ao Risco 36.4.. Modelos Geoméricos de Reversão à Média 37.4..1. O Modelo de Dixi & Pindyck (1994) 37.4..1.1. Média e Variância 38.4..1.. Discreização do Modelo 40.4..1.3. Esimação de Parâmeros 40.4..1.4. Simulação Neura ao Risco 4.4... O Modelo 1 de Schwarz (1997) 43.4...1. Média e Variância 43.4... Discreização do Modelo 45.4...3. Esimação de Parâmeros 46
.4...4. Simulação Neura ao Risco 47.4..3. O Modelo Dias/Marlim (1999) 48.4..3.1. Média e Variância 49.4..3.. Discreização do Modelo 49.4..3.3. Esimação de Parâmeros 50.4..3.4. Simulação Neura ao Risco 5.4.3. Discussão acerca das limiações dos Modelos apresenados de Reversão à Média de Faor Único 5.5. Modelos de dois Faores com Reversão à Média 54.5.1. O modelo de dois faores de Schwarz e Smih (000) 57.5.1.1. Equação diferencial do modelo 59.5.1.. Média e Variância 59.5.1.3. Discreização do modelo 60.5.1.4. Esimação de Parâmeros 6.5.1.4.1. Derivação dos valores iniciais dos dois faores do processo 63.5.1.4.. Primeiro caso: considera-se que σ y = 0 63.5.1.4.3. Segundo caso: o processo MAB é conhecido 65.5.1.4.4. Terceiro caso: Caso geral, apenas S é observado 66.5.1.5. Simulação Neura ao Risco 68.6. Resulados da modelagem de preços de açúcar e eanol com os modelos descrios 69.6.1. Dados uilizados 69.6.. Deerminação da Validade do Processo Esocásico 71.6.3. Resulados 73.7. Conclusões e sugesões 79.8. Referências Bibliográficas 80 3 Árvores Binomiais para Aproximação de Movimeno de Reversão à Média, para uso em Opções Reais 83 Resumo 83 3.1. Inrodução: árvores binomiais recombinanes para avaliação de opções reais 83 3.. Aproximação binomial para movimeno de reversão à média 85
3..1. Modelo de reversão à média censurado de Nelson e Ramaswamy (1990) 87 3... Aproximação binomial para modelo não censurado de reversão à média 89 3..3. Convergência dos dois modelos de árvore binomial para reversão à média 9 3.3. Modelos de árvore bi-variável com reversão à média 98 3.3.1. Modelo bi-variável composo de um MGB e um MRM 99 3.3.. Modelo bi-variável composo de dois processos MRM 103 3.4. Avaliação de opção de expansão de usina refinadora de açúcar em desilaria flexível de eanol 105 3.4.1. Meodologia de avaliação da opção real de expansão 106 3.4.. Modelagem e resulados 109 3.5. Conclusões 11 3.6. Referências bibliográficas 11 Anexo 3.1 Derivação dos valores de subida e descida e probabilidade de subida no modelo binomial para MRM não censurado 115 Anexo 3. Derivação do modelo censurado de Nelson e Ramaswamy (1990) para reversão à média 118 4 Flexibilidade como fone de valor na produção de combusíveis alernaivos: o caso do eanol brasileiro 119 Resumo 119 4.1. Inrodução 119 4.. A indúsria Brasileira de Eanol e Açúcar 11 4.3. Modelagem esocásica dos preços de eanol e açúcar 13 4.3.1. Aproximação binomial para processos de reversão à média 18 4.3.. Transformação em um processo neuro a risco 130 4.3.3. Modelagem discrea bi-variável de processo de reversão à média 130 4.4. Meodologia de avaliação de opção de alernância 134 4.4.1. Esimação dos parâmeros dos processos esocásicos 134 4.4.. Meodologia do modelo de avaliação da opção 137
4.6. Resulados 141 4.6.1. Resulados do modelo de árvore bi-variável 141 4.6.. Comparação com resulados de modelo de simulação 14 4.6.3. Comparação com resulados assumindo a modelagem dos preços por MGB 143 4.6.4. Sensibilidade do resulado à correlação enre os processos de preços 145 4.7. Conclusões 146 4.8. Referências bibliográficas 147 Anexo 4.1: Transformação do processo esocásico para o ln (Preço) 150 Anexo 4.: Ajusameno da media de longo prazo para um processo neuro a risco 151 Anexo 4.3: Esimação de parâmeros em modelo de reversão à média 153 5 Conclusões e Recomendações para Fuuras Pesquisas 155 6 Referências Bibliográficas Consolidadas 159
Lisa de figuras Figura.1. Ploagem modelo Schwarz e Smih, com x0 > 0 61 Figura.. Ploagem modelo Schwarz e Smih, com x0 < 0 61 Figura.3. Preços eanol e açúcar CEPEA 70 Figura.4. Preços eanol e açúcar deflacionados pelo IGP-DI - CEPEA 70 Figura.5. razão da variância Rk para diferenes valores de lag k eanol e açúcar 7 Figura.6. Variância verificada e esimada para Eanol nominal 77 Figura.7. Variância verificada e esimada para Açúcar nominal 78 Figura 3.1. Nó binomial 90 Figura 3.. Nó binomial do processo OU 91 Figura 3.3. Árvores binomiais modelos censurado e não censurado, com S0 = 75 94 Figura 3.4. Exemplo de árvore MRM com os dois modelos com S0 = 5 97 Figura 3.5. Nó da ramificação bi-variável 99 Figura 3.6. Nó bi-variável censurado de um MAB seguido de um MRM 101 Figura 3.7. Nó bi-variável censurado de dois MRMs 104 Figura 3.8. Fluxos de Caixa Mensais e Razão dos Fluxos de Caixa Eanol/Açúcar 107 Figura 3.9. Árvores da variável RE/A para processos MGB e MRM 110 Figura 3.10. Árvores da variável RE/A para processo conjuno MGB e MRM 111 Figura 4.1. Razão da Variância para diferenes valores de reardo 17 Figura 4.. Nó de ramificação binomial 18 Figura 4.3. Nó da árvore bi-variável 131 Figura 4.4. Sequência do nó marginal-condicional para duas commodiies 133 Figura 4.5. Série de preços de eanol e açúcar deflacionados por
IGP-DI 135 Figura 4.6. Regressão para deerminação dos parâmeros do processo esocásico do eanol 136 Figura 4.7. Regressão para deerminação dos parâmeros do processo esocásico do açúcar 136 Figura 4.8. Árvore de processo neuro à risco para açúcar 140 Figura 4.9. Árvore de processo neuro à risco para eanol 140 Figura 4.10. Projeções de preços de açúcar (ajusada ao risco) 144 Figura 4.11. Projeções de preços de eanol (ajusada ao risco) 144 Figura 4.1. Valor da opção de alernância em função da correlação 146
Lisa de abelas Tabela.1. Processos esoásicos mais usuais 8 Tabela.. Valores críicos assinóicos de ese de Raiz Uniária. Sem endência emporal 9 Tabela.3. Valores críicos assinóicos de ese de Raiz Uniária. Com endência emporal 30 Tabela.4. Modelagem como MGB e como MRM 74 Tabela.5. Modelagem como reversão à média com drif (caso 1 - Schwarz & Smih) 75 Tabela.6. Modelagem como reversão à média com IGP-DI (caso - Schwarz & Smih) 75 Tabela.7. Modelagem como reversão à média e MAB (caso 3 - Schwarz & Smih) 76 Tabela.8. Sensibilidade da volailidade σ x, a correlação ρ xy enre os faores x e y 78 Tabela 3.1. Sensibilidade para os dois modelos em erro % ( %) de E[x] e σ [x] 95 Tabela 4.1. Resulados da regressão para preços deflacionados de eanol e açúcar. 137 Tabela 4.. Parâmeros esocásicos para eanol e açúcar 137 Tabela 4.3. Valor presene dos fluxos de caixa operacionais dos casos base deerminísicos 139 Tabela 4.4. Comparação dos resulados por reverão à média vrs MGB 145
Lisa de Siglas e Abreviauras CALL Opção de Compra CAPM Capial Asse Princing Model D&P Dixi & Pindyck FCL Fluxo de Caixa Livre IGP-DI Índice Geral de Preços Disponibilidade Inerna MAB Movimeno Ariméico Browniano MGB Movimeno Geomérico Browniano MRM Movimeno de Reversão à Média OU Ornsein Uhlenbeck PIB Produo Inerno Bruo TOR Teoria das Opções Reais VPL Valor Presene Líquido
1 Inrodução A radicional meodologia de avaliação de empresas e projeos que consise em desconar o Fluxo de Caixa Lívre (FCL) projeado a uma axa que englobe seu risco, consiui-se num paradigma bem aceio pelos acadêmicos e analisas de avaliação. Aualmene são reconhecidas as limiações da meodologia de Valor Presene Líquido (VPL), principalmene porque ela não consegue avaliar a flexibilidade gerencial presene em diversos projeos. A ferramena mais adequada para quanificar as flexibilidades gerenciais e esraégicas embuidas ano nos projeos corporaivos quano no valor das empresas, é a avaliação pela Teoria de Opções Reais (TOR), a qual avalia com maior precisão a capacidade da gesão em adapar-se a novas informações. A Teoria de Opções Reais (TOR) vem ganhando força como pode ser acompanhado pelas publicações e arigos em journals acadêmicos em número crescene ano no exerior quano no Brasil. Desde a ese de douorado pioneira de Tourinho (1979), inúmeros auores ais como Paddock, Siegel, e Smih (1988), Trigeorgis (1993), Kulailaka (1993), Kemna (1993), Roll (1994), Ross (1995), Amram (000), discorrem sobre a imporância e complemenaridade da abordagem pela TOR com relação à avaliação radicional por fluxo de caixa livre desconado. As eses de douorado inclusive no Brasil êm crescido em número como aesam Gomes (00), Brandão (00), Dias (005), Rocha (006), Baisa (007) e Kerr (008) enre muios ouros. Essa produção de eses envolvendo opções reais lisada no poral da CAPES 1, passou de em 00 para 6 em 008, o que aesa a crescene produção cienífica nessa área de pesquisa. Dixi e Pindyck (1994) ciam que são necessárias rês condições básicas para que um aivo ou projeo possa ser avaliado pela Teoria de Opções Reais: seu valor fuuro é incero, o invesimeno uma vez realizado é pelo menos parcialmene irreversível, e exise por pare da gesão flexibilidade quano à capacidade de agir, alerando o caminho de valor do projeo no fuuro na medida 1 hp://servicos.capes.gov.br/capesdw/
19 em que as incerezas são resolvidas. A incereza, que esá presene em inúmeros projeos é uma das principais fones de riscos, privados (diversificáveis) e públicos (não diversificáveis), de qualquer projeo ou aivo como mosram Brandão e Dyer (009). A origem desa incereza esá nas variáveis do projeo que possuem valor fuuro pelo menos parcialmene aleaório. Uma forma de raar ais incerezas é aravés de modelagem por processos esocásicos. Eses podem ser definidos como variáveis que evoluem discreamene ou coninuamene no empo de forma imprevisível ou, no mínimo, parcialmene aleaória, ou esocásica. 1.1. Modelagem de Processos Esocásicos por Reversão À Média A correa modelagem do comporameno esocásico da variável incera é fundamenal para a avaliação das opções reais porvenura exisenes num projeo. Devem ser consideradas quesões como: caracerísicas econômicas, empo de vida do aivo ou projeo, as dificuldades na paramerização do modelo esocásico escolhido, a aplicabilidade dese nas soluções dos modelos usados para valoração, enre ouros faores. Dixi e Pindyck (1994) aponam para o fao que se o empo de vida do aivo ou projeo for relaivamene curo, a quesão relaiva ao ipo de processo esocásico a ser considerado é de menor relevância, permiindo a escolha em função da facilidade de modelagem ou obenção de parâmeros. Iso porque em períodos curos de empo, segundo esses auores, processos como os de preços são dominados prioriariamene por choques esocásicos, ou seja, desvios de curo prazo. Nesse caso a busca de um processo esocásico mais adequado ao comporameno de preços pode ser considerada uma arefa de alo cuso frene aos benefícios a serem obidos. Por ouro lado à medida que o período de empo se alonga o processo passa a ser mais dependene de componene que deermina a endência dese processo. Enão quando a vida do aivo for longa, a busca por um processo que seja mais fidedigno ao desempenho do aivo será crucial na deerminação do seu valor, podendo, no enano, exisir um preço a ser pago pela dificuldade na esimação de parâmeros e na deerminação de soluções para valoração do aivo. Frequenemene o processo esocásico denominado Movimeno Geomérico Browniano (MGB) é escolhido para a modelagem da
0 incereza esocásica associada a uma opção, sem grandes considerações quano a adequação desa escolha. Diversos auores (LUND, 1993, METCALF e HASSET, 1995, SMITH e MCCARDLE, 1998, enre muios ouros) conesam essa simplificação e lembram que os processos auo-regressivos, ou Movimenos de Reversão à Média (MRM), podem descrever melhor diversas variáveis que endem a um nível de equilíbrio de longo prazo. Porano a escolha e paramerização correa de movimenos de reversão à média é de grande imporância para a avaliação pela eoria de opções reais. 1.. Modelagem de Opções Reais por Árvores Binomiais Opções reais geralmene êm prazos ou mauridades basanes mais longos que opções financeiras, podendo aé ser perpéuas; o que jusifica um esforço maior na correa esimação e paramerização do processo esocásico modelado. Também é freqüene considerar que as opções reais êm possibilidade de exercício anerior ao evenual vencimeno do prazo da opção, sendo assim classificadas como opções americanas (AMRAM e KULATILAKA, 1999). Apesar de mais realisa, essa modelagem dificula a avaliação da opção real, porque o exercício anecipado não permie usar soluções fechadas como a de Black, Sholes e Meron (1973). As soluções enão devem ser por méodos numéricos, como diferenças finias (KERR, 008) ou árvores de decisão (COPELAND e ANTIKAROV, 003, BRANDÃO, HAHN e DYER, 005, ARNOLD, CRACK e SCHWARTZ, 007). Ainda assim a escolha do processo esocásico deverá gerar dificuldades se não for um MGB, apesar de soluções já erem sido mosradas por Kerr (008) e Basian-Pino e Brandão (007). Oura alernaiva são os processos de simulação por mínimos quadrados ordinários como fazem Gran, Vora e Weeks (1997), Longsaff e Schwarz (001), e Fu, Laprise e Madan (001), ou por deerminação da curva de gailho (IBÁÑEZ, e ZAPATERO, 004, e CASTRO, BAIDYA e AIUBE, 007). As meodologias de simulação são muio versáeis, porém frequenemene requerem programação própria principalmene no caso de se esar em presença de diversas opções concorrenes (HAHN e DYER, 008).
1 A aproximação binomial recombinane, ou laice, é robusa, versáil e alvez uma das meodologias mais uilizadas para discreização de processos esocásicos desde que Cox, Ross e Rubinsein (1979) apresenaram seu modelo que generaliza o resulado de Black, Sholes e Meron (1973). No enano ese se aplica exclusivamene a processos de possam ser reproduzidos por um MGB. Porano a aproximação de ouros processos esocásicos, al como o Movimeno de Reversão à Média, por um processo binomial recombinane é de grande valia para a avaliação pela Teoria de Opções Reais. 1.3. Aplicação de Opções Reais na Indúsria Brasileira de Eanol Em função da recene volailidade dos preços do peróleo e do aumeno projeado da demanda de energia no fuuro, as fones alernaivas de energia renovável êm se mosrado cada vez mais araenes e viáveis. Algumas dessas alernaivas, das quais uma já se enconra em ampla aceiação no Brasil, é o uso do eanol de cana de açúcar como combusível auomoivo. No enano ainda pairam dúvidas sobre os bio-combusíveis como fones alernaivas de energia não somene quano a sua viabilidade financeira, mas ambém quano à capacidade susenável deses em se ornarem faia imporane da mariz energéica brasileira (UNTAD, 005, ÚNICA, 008). As incerezas às quais a indúsria de biocombusíveis no Brasil esá sujeia, quando associadas às flexibilidades gerenciais ambém presenes nessa indúsria, configuram-se como verdadeiras careiras de projeos com Opções Reais, as quais podem elevar significaivamene o valor das avaliações financeiras dos bio-combusíveis no Brasil. Essas flexibilidades gerenciais, ais como a possibilidade de conversão da produção enre açúcar ou eanol a parir de um mesmo produo, a cana de açúcar, são de fao exercidas pela gesão. No enano essas opções reais são avaliadas somene de forma inuiiva pela própria indúsria ou pelas áreas de avaliação de insiuições financeiras. Porano fica clara a necessidade exisene e o benefício que pode gerar a correa avaliação, pela meodologia de Opções Reais, das flexibilidades gerenciais exisenes na indúsria de bio-combusíveis brasileira.
1.4. Organização da Tese Da conexualização acima exposa sobressaem rês emas principais de pesquisa que serão raados aqui: a escolha, modelagem e paramerização dos processos de reversão à média de faor único ou de dois faores, para aplicação em opções reais; a modelagem por árvore binomial dos modelos de reversão à média desenvolvidos; e a aplicação deses na indúsria brasileira de eanol. Esa ese de douorado esá organizada em rês capíulos cenrais, eses em formao de arigos compleos e independenes, mas que cobrem a cada um dos emas de pesquisa formulados nessa inrodução. O primeiro capíulo, de numeração, raa dos principais modelos esocásicos de reversão à média, de faor único e de dois faores. São desenvolvidas as expressões de valor esperado, variância, simulação ajusada e neura ao risco, assim como levanameno de parâmeros a parir de séries hisóricas, para odos os modelos raados. Também é feia uma discussão sobre validação de uso de um processo de reversão à média e é sugerido um modelo, conhecido como de Schwarz e Smih (000) composo de reversão à média e de movimeno geomérico browniano. São ainda levanados os parâmeros para séries de eanol e açúcar para modelagem dos processos descrios. O segundo capíulo, de numeração 3, propõe dois modelos binomiais para aproximação de processos de reversão à média, e ambém a composição de um deles com ouro, seja um MGB ou um MRM, numa árvore bi-variável. A composição de um MGB com um MRM nessa aproximação bi-variável permie modelar de forma discrea o modelo de Schwarz e Smih (000), e esa é aplicada na avaliação de uma opção hipoéica de expansão de uma usina de açúcar em plana flexível de eanol. Finalmene o erceiro capíulo, de numeração 4, avalia a opção de conversão enre produção de açúcar e eanol disponível às usinas flexíveis de processameno de cana de açúcar no Brasil, e mosra que esa flexibilidade confere valor subsancial ao negócio. Para al são usadas abordagens desenvolvidas nos capíulos precedenes, na qual os preços de eanol e açúcar são direamene
3 modelados numa árvore bi-variável de dois MRMs independenes e correlacionados. Também é feia uma comparação dos resulados com a mesma abordagem usando modelagens por MGB e os resulados mosram que esa sobrevaloriza de forma significaiva o valor da opção real.
Processos Esocásicos de Reversão à Média para Aplicação em Opções Reais Resumo Ese capíulo analisa alguns méodos usados na deerminação da validade de diferenes processos esocásicos para modelar uma variável incera e verificar se esa pode er seu comporameno descrio por um caminho aleaório ou se os modelos de reversão à média descrevem melhor seu comporameno. São analisados os principais modelos de reversão à média passiveis de serem usados em avaliação por opções reais, sejam eses de faor único, ariméico e geomérico, ou de dois faores. Para cada modelo analisado é demonsrada ou desenvolvida uma abordagem para deerminar os parâmeros necessários à sua modelagem, sempre a parir de séries emporais exisenes de valores da variável que se preende modelar. Dessa forma é possível uilizar diversos modelos esocásicos em aplicações de opções reais, não se resringir a modelagem por movimeno geomérico browniano. As abordagens desenvolvidas são enão aplicadas a séries emporais de preços spo de eanol e açúcar no mercado brasileiro. Em seguida, os parâmeros de cada modelo desenvolvido são levanados e comparados, mosrando que para preços deflacionados os modelos auo-regressivos são mais adequados, enquano que nas séries nominais o processo de caminho aleaório é mais apropriado. Também é mosrado que ambos processos podem ser inegrados num modelo de dois faores, mais complexo, porém que melhor descreve o comporameno dessas variáveis..1. Inrodução As incerezas responsáveis pela volailidade dos projeos geralmene são modeladas como um Movimeno Geomérico Browniano (MGB) para fins de avaliação pela eoria das opções reais. Isso simplifica sua modelagem e ambém
5 permie que a esimação dos parâmeros necessários para essa modelagem seja feia a parir de séries emporais de valores da variável incera. Mas em deerminado ipos de variáveis inceras, essa simplificação excessiva que pode levar a erros de superesimação do valor das opções reais, gerando uma decisão de invesimeno não óima. Os modelos esocásicos de reversão à média de faor único, como os de Dixi e Pindyck (1994) e Schwarz (1997) ou de dois ou mais faores, como os de Gibson e Schwarz (1990), ainda Schwarz (1997), Baker, Mayfield e Parsons (1998) e Schwarz e Smih (000) podem aproximar de forma mais realisa o comporameno de diversas variáveis inceras. Por ouro lado além de serem muios, os modelos de reversão à média, principalmene os geoméricos, êm a esimação de parâmeros mais complicada que no caso do MGB. Muios deses modelos foram desenvolvidos para descrever o comporameno de commodiies que dispõe de conraos fuuros negociados em bolsas de mercadorias. Quando é ese o caso, a esimação dos parâmeros pode ser feia por ferramenas como filro de Kalman ou o filro de parículas (AIUBE, BAYDIA e TITO, 006). Quando não se dispõe de preços fuuros, ou quando eses não êm liquidez, ou mesmo quando a variável incera não é um preço de mercadoria, essas ferramenas não fornecem esimaivas precisa (SCHWARTZ e SMITH, 000, p. 90) e é necessário recorrer a esimações economéricas para ober os parâmeros necessários dos modelos de reversão à média. Ese capíulo se propõe a analisar os méodos geralmene usados para avaliar se uma variável pode er seu comporameno descrio por um MGB ou se os modelos de reversão à média descrevem melhor seu comporameno, e propor uma abordagem complemenar. Também serão explicados os principais modelos de reversão à média passiveis de serem usados em avaliação por opções reais. Para cada um deses será mosrado como esimar os parâmeros que o compõe à parir de série hisórica, assim como proceder à modelagem de sua simulação, ano real quano neura ao risco, necessária para o cálculo do valor de opções reais. Finalmene serão usadas séries de preços spo de açúcar e eanol para esimar os parâmeros de cada modelo descrio. Os resulados mosram que os processos de reversão à média se aplicam com muia precisão às séries de preços deflacionadas, mas no caso de preços nominais o modelo de dois faores, que
6 considera pare do processo como um MGB e pare como uma reversão à média, é mais adequado apesar de sua maior complexidade. O capíulo esá esruurado da seguine forma. Após esa inrodução, é explicado o comporameno das variáveis esocásicas usadas em opções reais. Na seção.3 é proposa uma meodologia de deerminação de validade do processo, seja MGB ou de reversão à média. Na seção.4 são descrios os processos de reversão à média de um faor assim como a esimação de parâmeros para eses, e na.5 um processo de dois faores. Os resulados da aplicação desses modelos a séries de preços de eanol e açúcar são mosrados na seção.6 e conclusões e sugesões de ouras pesquisas na seção.7... Processos Esocásicos e seu Uso em Aplicações de Opções Reais Para que opções reais enham valor são necessárias rês condições com relação ao valor do aivo subjacene: incereza do seu valor fuuro, irreversibilidade, pelo menos parcial em relação ao invesimeno uma vez ese realizado e flexibilidade quano à capacidade da gesão em agir, alerando o caminho fuuro do valor do projeo em resposa a resolução das incerezas (DIXIT e PINDYCK, 1994). Quano à incereza, esa esá presene na grande maioria dos projeos e é a principal fone de riscos, ano privados quano públicos, associados ao projeo. A origem desa são as variáveis que compõe o projeo e cujo valor fuuro é geralmene apenas esimado por uma projeção deerminísica. Essas variáveis inceras podem ser de diversas origens e ipos: preço de uma commodiy, quanidade de um mercado (como quanidade de veículos rafegando, demanda fuura por um serviço, ec.), faia a ser capurada desse mercado, incereza ecnológica, ec. A correa modelagem do comporameno fuuro dessas incerezas é de fundamenal imporância para a avaliação das opções reais porvenura exisenes. Negligenciar esse aspeco da modelagem numa avaliação por opções reais pode levar a resulados enganosos, seja super-dimensionando ou negligenciando o seu real valor.
7 Frequenemene é usado o Movimeno Geomérico Browniano (MGB) como o fazem Paddock, Siegel, e Smih (1988), como modelo esocásico para modelar as variáveis inceras de um projeo, sem maiores quesionamenos quano a sua validade para as incerezas mapeadas. Ese é fácil de modelar e, a rigor, é um óimo processo esocásico para modelagem de preços de ações, commodiies financeiras como ouro, índices de mercado como Ibovespa, e aivos financeiros em geral, mas ambém para demanda de novos produos, errenos, ec. Muias vezes, no enano, a incereza a ser modelada não segue um processo esocásico similar a um MGB (LUND, 1993), e é frequenemene o caso quando é proporcional a preços que dependem de nível de equilíbrio de longo prazo, como é o caso de commodiies não financeiras (AL-HARTHY, 007, GEMAN, 005, PINDYCK, 001, 1999, METCALF e HASSET, 1995, SMITH e MCCARDLE, 1998, BRENNAM e SCHWARTZ, 1985, BHATTACHARYA, 1978). Alguns auores como Lo e MacKinlay (1988) afirmam que mesmo preços de ações não são correamene descrios por um MGB. Nesse caso, geralmene um Modelo de Reversão à Média (MRM) é considerado o mais adequado. A lógica por rás de um MRM vem da microeconomia: quando os preços esão deprimidos (ou abaixo de sua média de longo prazo), a demanda desse produo ende a aumenar, ao passo que sua produção ende a diminuir. Isso é devido ao fao que o consumo de uma commodiy com preço baixo aumena enquano os baixos reornos para as empresas produoras as levarão a posergar invesimenos e fechar unidades menos eficienes, reduzindo assim a disponibilidade do produo. O oposo acorrerá se os preços esiverem alos (ou acima da média de longo prazo). No enano a reversão pura de faor único pode ser demais previsível e, dependendo da variável modelada, poderia aé ser uma escolha de modelagem pior que o MGB. Em deerminados casos seria mais realisa enão combinar um processo de MRM com um MGB modelando o nível de equilíbrio, ou enão adicionar um processo de salos. Dias (008) classifica os processos esocásicos para modelagem de preços de peróleo em rês caegorias mosradas na Tabela.1.
8 Tabela.1. Processos esoásicos mais usuais Tipo de Modelo Esocásico Nome do Modelo Referências Modelo Imprevisível Modelo Previsível Modelos mais Realisas Fone: Dias (008) Movimeno Geomérico Browniano (MGB) Reversão à Média Pura (MRM) Modelo de dois ou rês faores, e de reversão para nível incero de longo prazo Reversão à média com salos Paddock, Siegel e Smih (1988) Dixi e Pindyck (1994), Schwarz (1997, modelo 1) Gibson e Schwarz (1990), Schwarz (1997, modelos & 3), Baker, Mayfield e Parsons (1998), Schwarz e Smih (000) Dias e Rocha (1999, 001), Aiube, Baidya e Tio (006) Os processos de reversão à média geralmene uilizados são baseados em modelos desenvolvidos para descrever o comporameno de commodiies e alguns deses usam o conceio da axa de conveniência (GIBSON e SCHWARTZ, 1990, SCHWARTZ, 1997, CASASSUS e COLLIN-DUFRESNE, 005) para descrever esse comporameno como expõe Pindyck (001). Para isso precisam de séries emporais de preços de conraos fuuros da commodiy modelada, os parâmeros do modelo (ou a calibragem dese) são enão levanados com a écnica de filro de Kalman ou aé de filro de parículas (AIUBE, BAIDYA e TITO, 006). No enano as commodiies que dispõe de séries de preços fuuros com liquidez suficiene para correamene aplicar essa écnica são relaivamene poucas, como preços de peróleo, gás naural nos Esados Unidos, e alguns produos negociados em bolsas de mercadorias. Além desse pono muias commodiies não dispõem de séries de preços spo e é enão usado o primeiro conrao fuuro como proxy do preço spo. Nas aplicações de opções reais frequenemene as variáveis inceras não são somene preços de commodiies ransacionados em bolsas de mercadorias, mas variáveis do próprio projeo e aé preços de produos dos quais não se dispõe de séries de preços fuuro. O que se pode observar dessas variáveis são valores hisóricos dos quais se em séries emporais. hp://www.puc-rio.br/marco.ind/sochas.hml
9.3. Deerminação da Validade do Processo Esocásico Para se deerminar qual modelo pode ser uilizado na modelagem de uma variável esocásica podemos, num primeiro passo, esar a validade do modelo MGB a parir de uma série emporal desa. Como o MGB é um caso de um processo chamado de raiz uniária, ou seja, uma série emporal alamene persisene na qual o valor correne é igual ao valor do período anerior mais uma perurbação fracamene dependene, essa série pode ser esada para a presença de raiz uniária, aravés de uma regressão linear por mínimos quadrados e aplicandose um ese de Dickey-Fuller. Iso é, fazendo a regressão sobre a equação: x = a + b x + ε, e verificando-se a hipóese nula de que b=1, em qual caso a 1 série erá uma raiz uniária e segue um caminho aleaório. Em ouras palavras, ela pode ser modelada por um MGB. A forma mais usual é de reescrever essa equação, subraindo-se x -1 de ambos os lados como na equação (.1): x x = a + ( b 1) x + ε (.1) 1 1 A seguir verifica-se a hipóese nula de que (b-1) = 0, o que equivale a b=1. Como o esimador por mínimos quadrados possui viés para zero, o ese padrão não pode ser uilizado, e precisaremos usar as esaísicas de valores dos eses de Raiz Uniária (Dickey-Fuller). Esas são abeladas e conhecidas, e podem ser visas na Tabela.. Tabela.. Valores críicos assinóicos de ese de Raiz Uniária. Sem endência emporal Nível de Significância 1%,5% 5% 10% Valores Críicos -3,43-3,1 -,86 -,57 Fone: Wooldridge, 000, p. 580 Para séries com evidene endência emporal, a equação (.) precisa ser modificada na seguine forma, para levar em consideração essa endência: x x 1 = a + ( b 1) x 1 + c + ε (.)
30 Nesse caso os valores críicos do ese mudam, uma vez que ao reirar a endência de uma série com raiz uniária, esa passa a er caracerísicas de um processo I(0). Porano é necessário ambém usar uma magniude maior para as esaísicas de forma a rejeiar a presença de raiz uniária. Nesse caso usa-se um ese expandido de Dickey-Fuller cujos valores esão na Tabela.3. Tabela.3. Valores críicos assinóicos de ese de Raiz Uniária. Com endência emporal.4.nível de Significância.5.1%.6.,5%.7.5%.8.10%.9.Valores Críicos.10.-3,96.11.-3,66.1.-3,41.13.-3,1 Fone: Wooldridge, 000, p. 583 É imporane resalar que é muio difícil rejeiar a hipóese nula de Raiz Uniária, ou seja, que a série segue um caminho aleaório (MGB). Dixi e Pindyck (1994) e Pindyck (1999) conseguem comprovar que os preços de peróleo não seguem um MGB, mas apenas para uma série de 10 anos. Ao analisar séries mais curas, de 30 e 40 anos, eses auores não conseguem rejeiar a hipóese nula. Oura informação ambém é obida dessa regressão: a H 1, é que b < 1 (b > 1 não é geralmene considerado, pois significaria que a série em comporameno explosivo (WOOLDRIDGE, 000). Ainda que não rejeiando a H 0, quando obemos valores de b<1, podemos assegurar que emos indícios de reversão à média. Veremos abaixo que inclusive esse valor de b é proporcional ao parâmero conhecido como velocidade de reversão da série, e que no caso de b =1, essa velocidade seria nula. A não rejeição de um caminho aleaório (MGB), ainda pode permiir a exisência de algum nível de auo-regressão (reversão à média) na variável esudada. Porano, como sugerem Dixi e Pindyck, a escolha do processo esocásico poderá depender ano de considerações esaísicas quano eóricas, por exemplo inuição com relação aos mecanismos de equilíbrio do aivo modelado (DIXIT e PINDYCK, 1994, DIAS, 008). Como alernaiva Pindyck (1999) sugere que a verificação de aé qual nível os choques de preços são permanenes pode ser mais informaivo do que a pesquisa sobre raiz uniária na invesigação de caminho aleaório ou reversão à média. Num processo auo-regressivo, os choques de preço endem a dissipar-se
31 sob a permanene força de reversão, enquano que caso de um MGB os choques de preço endem a ser permanenes. Para esar essa condição, Pindyck uiliza um ese de razão de variância que mede o nível para o qual a variância de uma série cresce com o reardo ou lag do ese. O ese da razão da variância pode ser descrio pela equação (.3). R k Var P = k Var P ( + P ) ( P ) 1 k + 1 (.3) O ermo Var (.) na formula represena a variância das séries de diferenças enre preços, com reardo (lag) de k períodos, nas séries de preços P. No caso de um MGB, à medida que a variância cresce linearmene com k, a razão R k deveria convergir para 1 quando k cresce. Na presença de reversão à média, por ouro lado, a variância é delimiada a um cero nível com o crescimeno de k. Ou seja, para valores alos do reardo k, ou lag, a razão da variância R k deveria cair indicando que os choques de preço não são permanenes e que os preços reverem para algum nível de equilíbrio. Lo e MacKinlay (1988) ambém usam um ese semelhane para comprovar que preços de ações ambém não seguem um MGB. Enquano os processos esocásicos ariméicos e geoméricos brownianos (MAB, MGB) êm cada um, um único modelo esocásico, os processos regressivos conhecidos como Movimenos de Reversão à Média (MRM) são inúmeros, variando em grau de complexidade. Os mais simples são, evidenemene, os de faor único, que possuem somene uma fone de incereza. O capíulo analisa quaro desses modelos: o conhecido como processo de Ornsein- Uhlenbeck, sendo ese um MRM ariméico, e os modelos geoméricos conhecidos como modelos de Pindyck (1994), modelo 1 de Schwarz (1997) e de Dias/Marlim (1999). A seguir são analisados rês modelos de dois faores sendo que um dese, o modelo de Schwarz e Smih (000) é analisado em maior profundidade.
3.4. Modelos de Reversão à Média de Faor Único Serão discuidos e apresenados quaro modelos de reversão à média de um faor: um ariméico (modelo de Ornsein Uhlenbeck) e ouros rês geoméricos (modelo de Pindyck, modelo 1 de Schwarz, e modelo de Dias/Marlim). Apenas o primeiro é de fao referenciado na lieraura por esses nomes, e ouros foram assim chamados nese capíulo referenciando seus auores, apesar de frequenemene serem assim denominados. Os modelos esocásicos geoméricos diferem-se dos ariméicos, não somene por não reornarem valores negaivos, mas ambém por erem seus reornos proporcionais ao valor da variável. Para cada modelo discuido é apresenado seu valor esperado e variância, ou no caso dos geoméricos, a variância do logarimo de sua variável, sua discreização real e neura ao risco para efeio de uso em simulação, e a esimação de parâmeros a parir de séries hisóricas empíricas..4.1. Modelo Ariméico de Ornsein-Uhlenbeck A forma mais simples de reversão à média (MRM) é o processo de faor único conhecido por processo de Ornsein-Uhlenbeck (OU), ambém chamado de MRM Ariméico, e definido pela equação (.4): ( ) dx = η x x d + σ dz (.4) onde: x é a variável esocásica, x é a média de longo prazo da variável esocásica, ou seja o nível de equilíbrio de longo prazo desa, η é a velocidade de reversão, ou a medida de inensidade com a qual os choques esocásicos são dissipados pelo efeio de reversão à média, σ é a volailidade do processo, ou a medida de inensidade das perurbações esocásicas da variável, dz é o processo padrão de Weiner, com disribuição normal: dz = ε d, e: ε ~ N(0,1), e
33 d o incremeno de empo do processo..4.1.1. Média e Variância As expressões da Média e da Variância de um processo esocásico são imporanes para efeio de seu uso em avaliação, e elas raduzem o comporameno da variável, por uma óica financeira, do Reorno Esperado (Média) e do Risco (Variância). O processo de Ornsein-Uhlenbeck (Dixi & Pindyck, 1994) definido em (.4), em o valor esperado e a variância conhecidos e dados por Dixi e Pindyck (1994, p. 76-77). Eses são E ( x ) x ( x x ). e η e: ( 0 ) = + 0 (.5) σ ( 0 ) var( x ) ( 1 e η = ) (.6) η.4.1.. Discreização do Modelo Para podermos simular o processo em quesão, precisamos da equação empo discreo dese. Esa é obida somando a parcela deerminísica da media (.5) com a esocásica (.6), a qual é enão muliplicada pela disribuição normal com média 0: η η η 1 e x = x 1e + x ( 1 e ) + σ N ( 0,1) (.7) η Podemos proceder assim, pois x possui disribuição normal. Essa discreização é exaa e independe do amanho de (KLOEDEN e PLATEN, 199, p. 118).
34.4.1.3. Esimação de Parâmeros Para deerminar os valores dos parâmeros para o MRM Ariméico (OU), escrevemos esse processo a parir da equação (.5) em ermos do inervalo emporal discreo : x = x + ( x x) e 1 η η η x = x(1 e ) + e x 1 x x = x (1 e ) + ( e 1) x (.8) η η 1 1 A equação (.7) é a expressão para empo conínuo do processo auoregressivo de primeira ordem da seguine expressão x x = x (1 e ) + ( e 1) x + ε η η 1 1 onde o erro ε é normalmene disribuído com media 0 e variância σ. ε Se escrevermos a equação (.8) na forma: η η ( 1 ) ( 1) x x = x e + e x 1443 1443 1 1 a b 1 Ou, considerando o erro da série: x x = a + ( b 1) x + ε, (.9) 1 1 enão podemos esimar os parâmeros do processo em quesão fazendo uma regressão linear sobre as séries x. Vale noar que a equação (.9) é igual a (.1), porano esaremos procedendo à mesma regressão execuada para fim de esar a Raiz Uniária da série em quesão. A parir dos esimadores obidos da regressão podemos calcular os parâmeros a parir das equações (.8) e (.9). A parir desas emos b 1 = e η 1 e η = ln( b) / (.10) Também emos: a x ( 1 e η ) =, e com (.10) x = a ( b 1) (.11)
35 O parâmero de volailidade σ pode ser deerminado a parir da variância σ ε σ =, derivada η dos erros da regressão, a qual é dada pela expressão ( 1 e η σε ) da equação (.6). Reescrevendo esa uilizando a relação b σ 1 ε = σ b ln b, ou e η = e (.9), obemos σ = σ ε ln b ( b 1) (.1) onde σ é o erro padrão da regressão. ε Podemos noar que o parâmero de velocidade de reversão, η, obido pela regressão na equação (.10), é inversamene proporcional à chamada meia vida do processo. Esa é o empo no qual o valor esperado da variável auo-regressiva diminui a disância aé seu nível de equilíbrio, pela meade, de onde o nome meia vida (SCHWARTZ e SMITH, 000). A meia vida em anos correspondene a um valor b, de uma série x seria calculada assim: T 1/ ln = ln b Para se er uma idéia de ordem de grandeza, para uma série de preços semanais ( = 1/5) um valor de b = 0,99 (que dificilmene rejeiaria a hipóese nula de raiz uniária num ese de Dickey Fuller), daria uma meia vida T 1/ de 1,33 anos, que pode ser considerada baixa, com um valor anual de η = 0,53, considerado alo. Dias (005) considera que a meia vida de preços de peróleo seja superior a rês anos. Porano podemos agora enender com mais clareza porque a não rejeição da H 0 de Raiz Uniária, não significa que não haja indícios de reversão à média numa série x. A esimação da meia vida do processo, inversamene proporcional ao logarimo naural da velocidade de reversão, é um indicador mais consisene da presença de auo-reversão. Porano valores de b < 1, mesmo que muio próximos de 1, já são indícios suficienes de auoregressão
36.4.1.4. Simulação Neura ao Risco Hull (1999, p. 44) considera a avaliação neura ao risco a ferramena mais imporane na análise de derivaivos. Isso significa que para o apreçameno de derivaivos, opções e opções reais, é necessária a forma neura ao risco do processo esocásico usado na modelagem da incereza, pois num mundo neuro a risco uiliza-se a axa livre de risco como faor de descono do processo. Porano é necessário que se possa derivar a sua forma neura ao risco. No caso de um o MRM (OU), da mesma forma que com o MGB, ese é converido em neuro ao risco alerando-se o parâmero de crescimeno (drif) (DIXIT, PINDYCK, 1994). Sendo: µ - a axa de descono ajusada ao risco α - a axa de crescimeno do processo (drif) δ - a axa de dividendos do processo, ou no caso de commodiy: axa de conveniência, e r - a axa livre de risco No caso de um processo ajusado ao risco (ou processo real), emos: µ = α + δ ou α = µ δ. Na forma neural ao risco, o crescimeno α do processo é subsiuído por: r ( x x) δ. Como no caso de reversão à média o crescimeno real é α = η, e, conrariamene ao caso do MGB, a axa de dividendos não é consane, mas é uma função de x: δ = µ α = µ η ( x x) Com essa expressão obemos o crescimeno neuro a risco para o processo de reversão à média: ( ) ( ) ( ) r δ = r µ + η x x r δ = η x x µ r ( µ r) r δ = η x x η Podemos noar que: (µ r) é o prêmio de risco. Comparando ambos os crescimenos (ajusado ao risco, ou real, e neuro ao risco) podemos ver que a passagem do processo real para o neuro ao risco, envolve a subração do prêmio de risco normalizado ( r) µ η da média de longo prazo x. Ou seja, no processo