Princípios de Instrumentação. Biomédica

Princípios de Instrumentação Biomédica Filtros Diagrama de Bode 20 T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10 Fase (graus); Magnitude (db) 0-20 -40 0-50 -100-150 (A) Amin Amin Amáx Amáx wp ws (B) -200 10-1 10 0 10 1 Amin Freqüência (rad/seg) Amin (D) w1 w3 w4 w2 (C) Amáx ws wp Amáx w3 w1 w2 w4

Controle de Versões 2015 Versão 1 Com base em outros textos Última alteração: 28/08/15 Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 0

Índice 1 Filtros seletores de frequência...4 1.1 Introdução...4 1.2 Unidades e nomenclatura...5 1.3 Diagramas de Módulo e Fase da resposta em frequência...6 1.3.1 Fator Constante...7 1.3.2 Fator S...8 1.3.3 Fator (S + a)...9 1.3.4 Fator (S 2 + a S + b)...11 1.4 Funções de 1ª e 2ª ordens...14 1.5 Gabaritos...15 1.6 Normalização e Desnormalização em Frequência...17 1.6.1 Transformação Passa Baixa para Passa Baixa Normalizado...17 1.6.1.1 Exemplo 1...17 1.6.1.2 Exemplo 2...18 1.6.2 Transformação Passa Alta para Passa Baixa Normalizado...18 1.6.2.1 Exemplo 1...19 1.6.2.2 Exemplo 2...19 1.6.3 Transformação Passa Faixa para Passa Baixa Normalizado...20 1.6.3.1 Exemplo 1...21 1.6.3.2 Exemplo 2...21 1.6.4 Transformação Rejeita Faixa para Passa Baixa Normalizado...22 1.6.4.1 Exemplo 1...23 1.6.4.2 Exemplo 2...23 1.7 Escolha das frequências e atenuações...23 1.7.1.1 Exemplo 1...25 1.8 Aproximações...25 1.9 Cálculo das aproximações...29 1.9.1 Para aproximação de Butterworth...29 1.9.1.1 Exemplo 1...30 1.9.1.2 Exemplo 2...32 1.9.2 Outras aproximações...33 1.9.3 Gráficos de resposta normalizados...33 Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 1

1.9.4 Soluções tabeladas...34 1.9.4.1 Exemplo 1...36 1.9.4.2 Exemplo 2...37 1.9.4.3 Exemplo 3...39 1.10 Etapas da Síntese...40 1.11 Síntese de filtros...41 1.12 Filtros de primeira ordem RC...41 1.12.1 Filtro passa baixas RC de primeira ordem...41 1.12.2 Filtros passa altas RC de primeira ordem...43 1.13 Filtros de segunda ordem RC...44 1.13.1 Filtros a capacitor chaveado...44 1.13.2 Filtros variáveis de estado...44 1.13.3 Configurações de um único amplificador operacional...46 1.13.4 Filtro Notch duplo T...47 Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 2

1 Filtros seletores de frequência 1.1 Introdução Todos os sinais podem ser representados por um gráfico no domínio do tempo (função do tempo) ou por um gráfico no domínio da frequência (função da frequência). Quando falamos de frequência estamos nos referindo aos infinitos cossenos que somados com amplitude, fase e frequência apropriados são capazes reproduzir o sinal original. Este é o conceito por detrás da série e transformada de Fourier e também de Laplace. Nesta representação, um seno ou um cosseno são desenhados pelos gráficos de amplitude e fase em função da frequência (a frequência do seno ou do cosseno). O desenho, portanto, corresponde a uma raia espectral indicando o módulo (amplitude) e outra indicando a fase deste sinal na frequência deste seno ou cosseno. Para sinais mais complexos, como ondas quadradas, triangulares e outras, uma soma de infinitos cossenos são necessários. Cada sinal possui uma representação única que o distingue dos demais. Sinais ainda mais complexos, não periódicos, como sinais de EEG, ECG ou EMG, por exemplo, também podem ser decompostos por somas de senos e cossenos (soma de cossenos com módulo e fase diferentes). Assim como para as ondas periódicas, normalmente estes sinais apresentam amplitudes menores para as frequências maiores. Também os ruídos podem ser decompostos por soma de senos e cossenos. Um ruído brando, por exemplo, assim como um impulso, possui todas as infinitas frequências com a mesma amplitude. A diferença entre eles está apenas no gráfico da fase. O termo ruído brando é uma alusão a luz branca que é composta de todos os comprimentos de onda do espectro visível. Outros ruídos coloridos também existem, em função da faixa de frequência que eles ocupam. Sinais reais são uma mistura (soma) de informações com ruídos, offsets e drifts (variações lentas com a temperatura, ou tempo, por exemplo). Uma análise em frequência destes sinais contaminados provavelmente mostrará amplitudes elevadas para a frequência zero ( offset) e próximas (drifts) além das frequências que compõe o sinal e o ruído. Apesar de varições locais da amplitude a tendência mais comum é que as amplitudes decaiam com a frequência até a amplitude do ruído. Para lidar com estes sinais existem os filtros seletores de frequência. Estes filtros são circuitos que amplificam de forma diferente sinais de diferentes frequências. Estes filtros estão presentes em quase todos os circuitos, nem que seja para minimizar ruídos de alta frequência em Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 3

sinais de ECG (filtro passa baixas), retirar o nível CC (corrente contínua, offset, nível DC)de sinais de EMG (passa altas) ou selecionar faixas de frequências para os diferentes ondas do EEG (filtro passa faixa), retirar a interferência de 60 Hz de células de cargas (filtro notch) ou para evitar o aliasing em sinais amostrados (processamento digital de sinais). Hoje em dia muitos programas de computador estão disponíveis para auxiliar no projeto de filtros. Alguns, como o MATLAB (ou OCTAVE), permitem o cálculo dos polinômios (aproximações) para diferentes graus e frequências de corte, bem como o desenho da resposta em frequência destes filtros. Outros, como o FilterCAD, da Linear Technology, o FilterPRO ou o Webench Filter Design, da Texas Instruments, o Filter Wizard da Analog Devices, o FilterLAB da Microchip, o Mr. Filter ou o Op Amp Filter Design permitem o projeto de filtros com amplificadores operacionais (AO). Mesmo assim, a especificação dos filtros continua sendo uma escolha do projetista e não há software que defina o melhor filtro para cada aplicação. Conhecer os tipos de filtro, as formas de especificar e implementar um filtro, os desenhos de módulo e fase, assim como a aplicação de cada filtro é o alvo desta matéria 1.2 Unidades e nomenclatura O estudo clássico dos filtros passa pela análise de suas funções de transferência, ou seja, da relação entre saída e entrada (razão entre as duas), analisadas pelo domínio da frequência. Em circuitos são os capacitores e indutores, com seus fasores, que nos permitirão criar filtros. Nestes circuitos as funções de transferência serão frações com polinômios no numerador e denominador. Estas funções de transferência podem ser funções de ganho ou funções de atenuação (perdas). Quando o módulo da função de ganho for maior que a unidade (1) a saída do filtro é maior que sua entrada. Quando o módulo da função de ganho for menor que a unidade (1) a saída do filtro é menor que sua entrada. Do ponto de vista da atenuação ocorre exatamente o oposto, uma vez que a atenuação pode ser escrita como uma função do ganho, tal que Atenuação= 1 Ganho. A escolha pelo termo atenuação se deve ao fato de que os primeiros filtros apresentavam ganho máximo igual à unidade (1) e, portanto, era mais sensato falar em atenuação. Além disto a função de atenuação da maioria dos filtros era polinomial, o que tornava a análise da atenuação mais simples (o ganho era uma constante dividida por um polinômio e a atenuação era um polinômio dividido por uma constante). Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 4

Também é comum utilizar a unidade db (uma escala logarítmica) para o módulo da função de ganho ou atenuação. Este procedimento é comum, pois facilita a análise gráfica do módulo da função de transferência como veremos mais adiante. O db é uma escala que relaciona razão entre potências tal que PP(ω) db =10 log PP(ω) onde PP(ω) é uma razão entre potências. Como a potência é proporcional ao quadrado da tensão e o quadrado da corrente as funções de ganho T(w) ou de atenuação H(w) que relacionam tensão ou corrente na entrada e saída são expressas como T (ω) db =20 log T (ω) e H (ω) db =20 log H (ω). Para determinar o módulo da T(w) ou da H(w) usamos T (ω) db 20 ou T (ω) =10 H (ω) db 20 H (ω) =10. A tabela a seguir mostra as relações existentes entre ganho e atenuação. Relação Ganho Atenuação Unidade Relação Ganho Atenuação Unidade v O v I >1 >1 =G <1 V/V ou A/A =G 1 v O v I >1 >0 =G <0 = G db v O v I <1 <1 =G >1 V/V ou A/A =G 1 v O v I <1 <0 =G >0 = G db Os termos Ganho e Atenuação, nesta tabela, são usados com o sentido de módulo da T(w) ou da H(w) respectivamente. 1.3 Diagramas de Módulo e Fase da resposta em frequência Filtros seletores de frequência podem ser bem representados pelo gráfio da resposta em frequência, ou seja, pelo chamado diagrama de Bode. Para não trabalhar o tempo todo com números complexos podemos substituir jω por S e definir a T(jw) como T(S). Para facilitar ainda mais a análise é possível escrever a T(S) com seus polinômios fatorados tal que Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 5

Saída (S) T (S)= Entrada(S) = N (S) D(S) =K i j (S z i ) (S p j ), onde N(S) é o polinômio do numerador da função de transferência, D(S) é o polinômio do denominador, K é o ganho em frequência zero, zi são zeros e pj são polos. O módulo e a fase da função de transferência podem ser obtidos por T ( j ω) db =20 log 10 T ( j ω) e IT ( j θ(ω)=tan 1( RT ( j ω)) 1[ = tan I( j ω z ) )] tan 1[ I( j ω p ) )] i j R( j ω z i R( j ω p, j onde I(.) denota a parte imaginária do argumento e R(.) a parte real. O uso da escala logarítmica facilita o desenho do gráfico de módulo porque os produtos e divisões de polinômios se transformam em somas e subtrações T ( j ω) db =20 log 10 K +[20 log 10 (S z i ) 20 log 10 (S p j )]. A fatoração dos polinômios também facilita o desenho da função pois com ela é necessário conhecer apenas o gráfico de quatro componentes básicos: constante; fator S; fator (S + a); fator (S 2 + a S + b). A análise de cada um desses fatores separadamente permite analisar todas as funções de filtros estudados nesta disciplina, uma vez que elas cobrem os casos de ganhos e raízes nulas, reais e complexo conjugadas para polos ou zeros. 1.3.1 Fator Constante O fator constante K corresponde a um ganho de baixa frequência (ω=0), se aquilo que está sendo analisado é um amplificador, mas poderia ser a sensibilidade estática de um sensor ou equipamento de medida. T (S)=K, T ( j ω) db >20 log 10 K Se K >1 então T ( j ω) db >0 e θ( j ω)=0 Se K <1 então T ( j ω) db <0 e θ( j ω)=180 Este gráfico corresponde a uma constante. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 6

1.3.2 Fator S Se o fator S ocorre no numerador, diz-se que existe um zero da função de transferência em S= 0. Se o fator S ocorre no denominador, dize-se que existe um polo da função de transferência em S= 0. Uma análise mais cuidadosa do fator S revela que no domínio do tempo ele pode representar uma derivada ou uma integral. Para chegar a esta conclusão podemos comparar as equações que regem o funcionamento do capacitor nos dois domínios. Para o caso do fator S ser um zero podemos usar o seguinte equacionamento i C (t)=c [ dv (t) C dt ] e i (ω)= v C (ω) C =C [ j ω v 1 C (ω)]=c [S v C (ω)]. j ω C Para o caso do fator S ser um polo podemos fazer as seguintes comparações v C (t)= 1 C [ i C (t) dt] e v C (ω)= 1 j ω C i C (ω)= 1 C [ 1 j ω i C (ω) ] = 1 C [ 1 S i C (ω) ]. Observe que comparando as equações do domínio tempo com as equações do domínio frequência acima o fator S multiplicando v C é equivalente a derivada de v C, e que o fator S -1 multiplicando i C é equivalente a integral de i C. A pegunta ainda é a mesma, qual o gráfico de um fator S no numerador da T(S) T (S)=S, T ( j ω) db =20 log( j ω) e θ(ω)=tan 1 ( ω 0 ) =90. Observe que em um gráfico onde a escala do eixo X é logarítmica e a escala do eixo Y está em db, a equação de módulo da T(S) corresponde a uma reta com inclinação de 20dB/déc ou 6dB/oit. Uma década corresponde a uma frequência 10x maior que outra. Uma oitava é uma diferença de 2x na frequência. Para calcular o número de décadas entre duas frequências diferentes basta calcular log 10 (ω 1 /ω 2 ) e para calcular o número de oitavas que separam duas frequências basta calcular log 2 (ω 1 /ω 2 ). A fase da T(S) é constante e vale 90 o. Analisando o fator S como um polo da T(S) temos que T (S)= 1 S, Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 7

T ( j ω) db =20 log 1 j ω, T ( j ω) db = 20 log j ω e θ(ω)=tan 1 (0 ) tan 1 ( ω 0 ) = 90. em -90 o. O módulo da T(S) varia como uma reta com inclinação de 20dB/déc ou -6dB/oit. e fase fixa O gráfico do fator S como um polo (integrador) pode ser visto na figura a seguir. Diagrama de Bode 20 T(S) = 1/S Fase (graus); Magnitude (db) 0-20 -40-89 -89.5-90 -90.5-91 10-1 10 0 10 1 10 2 Freqüência (rad/seg) Figura 1: Resposta em frequência para um polo na origem. No OCTAVE: bode([1],[1 0]) 1.3.3 Fator (S + a) Se o fator (S+a) ocorre no numerador, dize-se que existe um zero da função de transferência em S= a. Se o fator (S+a) ocorre no denominador, dize-se que existe um polo da função de transferência em S= a. Para o caso do fator estar no numerador da função de transferência. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 8

T (S)=S+a ; T ( j ω) db, ω=0 =+20 log j ω+a =20 log (ω 2 +a 2 ) ; Para frequência zero T ( j ω) db, ω=0 =+20 log(a) (comportamento semelhante ao do fator K); Para frequência infinita T ( j ω) db, ω a =+20 log(ω) (comportamento semelhante ao do fator S); Na frequência do zero (frequência positiva com mesmo valor, em módulo, que o zero) T ( j ω) db, ω=a =+20 log(a)+3db (variação de 3dB na magnitude da função); A fase também é uma função da frequência e vale 45 o na frequência do zero. θ(ω)=tan 1 ( ω a ) ; inclinação de 45º/déc. Para o caso do fator estar no denominador da função de transferência. T (S)= 1 S+a ; T ( j ω) db = 20 log j ω+a = 20 log (ω 2 +a 2 ) 1 2 Para frequência zero T ( j ω) db, ω=0 = 20 log(a) (comportamento semelhante ao do fator K); Para frequência infinita T ( j ω) db, ω a = 20 log(ω) (comportamento semelhante ao do fator S); Na frequência do polo T ( j ω) db, ω=a = 20 log(a) 3dB (variação de 3dB na magnitude da função); A fase também é função da frequência e vale 45 o na frequência do polo. θ(ω)=tan 1 ( ω a ) ; inclinação de 45º/déc. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 9

O gráfico de assíntotas é constante até ω=a, e se torna uma reta com inclinação de ±20dB/déc (dependendo de ser zero ou polo) a partir desta frequência. A constante a corresponde ao ponto de união das assíntotas. Esta parcela é obtida por um circuito RC ou RL, mas é mais comum que elas sejam produzidas por circuitos RC. Está parcela corresponde a solução de uma equação diferencial de primeira ordem, com entrada impulsiva, pelo domínio da frequência. Diagrama de Bode 0 T(S) = 1 / (S + 1) Fase (graus); Magnitude (db) -5-10 -15-20 0-20 -40-60 -80-100 10-1 10 0 10 1 Freqüência (rad/seg) Figura 2: Resposta em frequência para um polo simples. No OCTAVE: bode([1],[1 1]) 1.3.4 Fator (S 2 + a S + b) Se o fator (S 2 + as + b) ocorre no numerador suas raízes serão zeros e se o fator ocorre no denominador suas raízes serão polos. As raízes deste fator podem ser, imaginárias ou complexo conjugadas. Se as raízes forem reais recaímos nos fatores anteriores. Esta parcela corresponde, no domínio da frequência, a solução de uma equação diferencial de segunda ordem com entrada impulsiva. Na maioria das vezes usaremos um circuito RC com dois capacitores independentes para produzir esta equação. Analisando este fator, como polos da T(S) Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 10

1 T (S)= S 2 +a S+b. Para a frequência zero T ( j ω) db, ω=0 = 20 log(b) (comportamento igual ao do fator K); Para a frequência infinita T ( j ω) db, ω 0 = 40 log jω (o que representa uma reta com inclinação de 40 db/déc); O gráfico é constante até ω b e depois se torna uma reta com inclinação -40dB/déc (+40dB/déc no caso de zeros). Não é possível determinar se haverá variação de 3dB nesta frequência, como nos fatores de primeira ordem, sem analisar a parcela as deste fator. Esta parcela é responsável por modificar o comportamento do fator em frequências intermediarias. Uma análise mais detalhada da função revela que ela pode diminuir ou aumentar (figura seguinte) próximo desta frequência. Se investigarmos o máximo da amplitude de T(jω) será possível responder a estas perguntas. O máximo da função pode ser obtido igualando sua derivada a zero. d 1 d ω ω 2 +a j ω+b =0. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 11

Duas soluções são possíveis neste caso. A primeira se a 2 1, então a função de 2 b transferência decai monotonicamente e o máximo da função ocorre para ω=0. A segunda ocorre quando a 2 <1. Neste caso existe um máximo para a função de transferência que ocorre em 2 b a2 ω p 1 = b 2 b. Para o caso extremo, quando a 2 =0, temos que o máximo da função ocorre para 2 b ω p = b. O valor do máximo pode ser obtido avaliando a função de transferência neste ponto. 1 T ( j ω) db,ω= b =20 log ( j b) 2 +a j b+b ( a b) =20 log 1 = 20 log b (b)+20 log a Isto significa que o máximo da função tem amplitude 20 log b a acima da magnitude em frequência zero (figura anterior). Pontos de quebra, 3dB abaixo do máximo, ocorrem para as frequências ω 1 =ω p ( 1 1 2 Q p) e ω 2=ω p ( 1+ 1 2 Q p), onde Q = b p 1 (figura anterior). a Para facilitar a análise desta e de outras funções que apresentam ganhos elevado em uma estreita faixa de frequências, os fatores de segunda ordem costumam ser escritos como S 2 + ω p Q p S+ω p 2. Com esta representação o gráfico de assíntotas é constante até ω=ω p e depois cai com inclinação de 40dB/déc. O gráfico real pode ser obtido analisando o Q p ou, simplesmente, Q. A constante Q é chamada de fator de mérito. Quanto mais alto mais seletivo é o filtro (mais estreita a faixa de frequências com ganho ou atenuação elevados dependendo o fator quadrático estar no denominador ou numerador da função de transferência respectivamente). Se 0 Q 0,5 a função de transferência fica com polos reais (Q=0,5 corresponde a dois polos iguais). Para Q=0,707 a amplitude em ω=ω p é de 3dB. A medida que o Q aumenta é possível produzir picos na resposta em frequência. A figura a seguir mostra a influência de Q na resposta em frequência. Para filtros om Q>>1, ω 1 e ω 2 podem ser estimados pela equação Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 12

B=ω 2 ω 1 = ω p Q p. Diagrama de Bode 20 T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10 Fase (graus); Magnitude (db) 0-20 -40 0-50 -100-150 -200 10-1 10 0 10 1 Figura 3: Resposta em frequência para polos complexos. No OCTAVE: bode([1],[1 1/Q 1]) 1.4 Funções de 1ª e 2ª ordens A próxima tabela mostra as funções de ganho que podem ser obtidas com os fatores de primeira e segunda ordem apresentados anteriormente. Na tabela vale a pena observar o nome e o tipo cada filtro. Observa-se nomes relacionados as frequências que são amplificadas ou atenuadas. Os quatro principais tipos são o passa baixa (PB), o passa alta (PA), o passa faixa (PF) e o rejeita faixa (RF ou notch, no seu caso mais conhecido). Freqüência (rad/seg) Tipo de filtro Integrador Função de transferência K S Passa baixa 1ª ordem K σ 0 S +σ 0 Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 13

Tipo de filtro Função de transferência Passa alta 1ª ordem K S S+σ 0 Passa baixa de 2ª ordem Passa alta de 2ª ordem K K ω 0 2 S 2 + ω 0 Q S +ω 2 0 S 2 S 2 + ω 0 Q S +ω 2 0 Passa faixa (2ª ordem) K ω 0 Q S S 2 + ω 0 Q S +ω 2 0 Rejeita faixa (2ª ordem) K S 2 +ω 0 2 S 2 + ω 0 Q S +ω 2 0 Funções de maior ordem são obtidas pelo produto destas funções. Filtros de ordem mais elevada são formados pela ligação em cascata de filtros de primeira e segunda ordem (a saída de um filtro está ligada na entada do próximo), mas o projeto deve ser feito todo de uma só vez. Ligar vários filtros iguais, em cascata e com a mesma frequência de corte, por exemplo, faz com que a atenuação na frequência de corte seja diferente da atenuação especificada para um só filtro (em db as atenuações de cada filtro se somam). Por esta razão foi preciso desenvolver uma metodologia para o projeto de filtros de qualquer ordem. Esta metodologia passa pelo desenho do gabarito de cada filtro. A partir deste gabarito determina-se a ordem dos filtros necessária para atender os requisitos de cada projeto. 1.5 Gabaritos Os filtros seletores de frequência cujas funções de transferência de primeira e segunda ordem foram apresentados na tabela anterior são calculados a partir de gabaritos padronizados. (próxima figura). Costuma ser especificado, no projeto, a atenuação mínima (para região de frequências a atenuar região de atenuação), atenuação máxima (para região de frequências que não devem ser atenuadas região de passagem), frequências que delimitam a região de passagem Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 14

(banda ou faixa de passagem) e frequências que delimitam a região de atenuação (banda ou faixa de atenuação). Estas especificações podem ser utilizadas diretamente por programas de computador para o cálculo dos filtros (funções de transferência ou projeto dos circuitos), mas para o projeto auxiliado por tabelas e gráficos os filtros devem ser convertidos em um filtro passa baixa normalizado. Caso o filtro não seja um passa baixa também é necessário uma transformação em frequência. Esta metodologia foi desenvolvida para facilitar o projeto antes dos computadores terem se tornado populares. A normalização leva em conta a relação entre as frequências limites da banda e passagem e rejeição bem como a diferença de atenuação entre elas. Estas relações permitem o projeto de um filtro passa baixa normalizado (frequência de corte unitária) cujas soluções podem ser tabeladas. A partir deste filtro e de desnormalizações apropriadas é possível projetar qualquer um dos demais filtros. Nesta normalização a frequência limite da banda de passagem é ω p =1, a frequência limite da banda de rejeição é ω s, a atenuação permitida na banda de passagem é A máx e a mínima atenuação exigida para a banda de rejeição A min. Amin (A) Amin (D) Amáx Amáx Amin wp ws (B) Amin w1 w3 w4 w2 (C) Amáx Amáx ws wp w3 w1 w2 w4 Figura 4: Gabaritos dos filtros seletores em termos de atenuação. (A) passa baixa, (B) passa alta, (C) passa faixa, (D) rejeita faixa Uma vez determinado o gabarito do filtro e do filtro normalizado escolhe-se a aproximação (o tipo de polinômio que se pretende empregar). Para filtros com ordem maior do que 2 cada aproximação apresenta características distintas pois aloca os polos em locais diferentes. Esta alocação de polos confere a aproximação características especiais amplitude, fase e resposta temporal. Só depois da escolha da aproximação o filtro pode ser implementado em circuito e Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 15

normalmente isto é feito em secções de primeira e segunda ordem ligadas em cascata. A exceção são os filtros que já vem prontos em circuitos integrados. 1.6 Normalização e Desnormalização em Frequência 1.6.1 Transformação Passa Baixa para Passa Baixa Normalizado O filtro passa baixas é aquele que atenua as altas frequências (em comparação com as frequências baixas) e, por isso, é muitas vezes utilizado para remover ou minimizar os efeitos de ruído de alta frequência, assim como para produzir os filtros anti aliasing. Observando um sinal no domínio do tempo percebe-se que ele apresenta componentes de alta frequência quando há variações rápidas do sinal, como em transições abruptas ou em variações aleatórias. O gabarito para o passa baixas é apresentado na próxima figura. Amin Amáx wp ws Para normalizar ω p =1 ω s = ω s ω p Para desnormalizar basta substituir S por S ω p na equação do filtro passa-baixa normalizado ou fatorar o filtro em seções de primeira e segunda ordem e substituir σ 0 ou ω 0 por ω p.. 1.6.1.1 Exemplo 1 Desnormalizar filtro T ( S)= 1 S+1 em um passa baixas com frequência de corte ω p. Solução 1: Substituir S por S ω p em T ( S)= 1 S+1. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 16

ω p T (S)= 1 S/ω p +1 =. S +ω p Solução 2: Sabendo que um filtro passa baixa de primeira ordem tem função de transferência T (S)= σ 0 S+σ 0 basta substituir σ 0 por ω p. ω p T (S)= S+ω p 1.6.1.2 Exemplo 2 Desnormalizar o filtro T ( S)= 1 S 2 +0,707 S+1 em um passa baixa com frequência de corte ω p. Solução: Na função de transferência do passa baixa normalizado 1/Q=0,707. A função de 2 transferência de um filtro passa baixa de segunda ordem é T (S)= ω 0 S 2 + ω 0 Q S+ω 2. Substituindo os 0 valores de Q e fazendo ω 0 =ω p resulta em ω p 2 T (S)= S 2 +0,707ω p S+ω. 2 p 1.6.2 Transformação Passa Alta para Passa Baixa Normalizado O filtro passa altas é aquele onde as baixas frequências são mais atenuados que as altas frequências. Por esta razão este tipo de filtro é muito utilizado para a remoção de níveis de CC, offsets e drifts. Como visto na tabela anterior, estes filtros apresentam a parcela S no numerador, o que garante ganho 0 para ω=0 independentemente da ordem do filtro. Se um sinal não possui componentes de CC e apresenta algum offset, este offset pode ser removido com um filtro passa altas. Se o sinal possui componentes de CC e offset, este offset não pode ser removido com um filtro passa baixas, caso contrário a componente CC do sinal será eliminada. Nestes casos é necessário eliminar o offset com um somador ou subtrator. O gabarito para um passa altas padrão é apresentado na figura seguinte. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 17

Amin Amáx ws wp Para normalizar ω p =1 ω s = ω p ω s Para desnormalizar basta substituir S por ω p /S na equação do filtro passa baixa normalizado ou fatorar o filtro em seções de primeira e segunda ordem e substituir σ 0 ou ω 0 por ω p. 1.6.2.1 Exemplo 1 Desnormalizar o filtro T ( S)= 1 S+1 Solução 1: Substitiuindo S por ω p /S em T ( S)= 1 S+1 temos T (S)= 1 ω p /S+1 = S. S +ω p Solução 2: Sabendo que este filtro é um passa alta de primeira ordem ele tem equação T (S)= S. Substituindo σ S+σ 0 por ω p temos 0 T (S )= S S +ω p 1.6.2.2 Exemplo 2 Desnormalizar o filtro T ( S)= 1 S 2 +0,707 S+1. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 18

Solução: Como o filtro é um passa alta de segunda ordem T (S)= S 2 1 Q =0,707 e ω 0 deve ser substituído por ω p. Assim, S 2 T (S)= S 2 2. +0,707ω p S+ω p 1.6.3 Transformação Passa Faixa para Passa Baixa Normalizado S 2 + ω 0 Q S+ω 2, então 0 O filtro passa faixa é aquele onde as frequências centrais (uma faixa de frequência) é menos atenuada do que as frequências baixas ou altas. Este filtro normalmente é empregado para selecionar apenas uma faixa das componentes em frequência do sinal, como ocorre quando desejamos estudar apenas as ondas β do EEG. Quando desejamos selecionar uma faixa de frequências muito elevada, tipicamente bem maior que uma década, este filtro é implementado como um filtro passa altas em cascata com um filtro passa baixas. A ligação em cascata é aquele onde a saída de um filtro é entrada do próximo (uma ligação em série de blocos, num diagrama). Um exemplo deste tipo de implementação ocorre quando filtramos um sinal de ECG, por exemplo. Um filtro passa altas em 0,04 Hz pode ser utilizado para remover níveis CC e drifts, enquanto que um filtro passa baixas em 100 Hz pode ser utilizado para remover ruídos de alta frequência. O gabarito clássico do filtro passa altas é apresentado a seguir. Amin Amáx w3 w1 w2 w4 Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amín sejam iguais nas duas bandas de rejeição e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição ω 0 = ω 1 ω 2 = ω 3 ω 4, com banda de passagem entre 1 e 2. Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo ω p =1 Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 19

ω s = ω 4 ω 3 ω 2 ω 1 Para desnormalizar basta substituir S por normalizado. Nesta equação B=ω 2 ω 1 = ω 0 Q. S 2 +ω 0 2 B S na equação do filtro passa baixas 1.6.3.1 Exemplo 1 Desnormalizar o filtro T ( S)= 1 S+1. Solução: Substituindo S por S 2 2 +ω 0 B S e B por ω 0 Q T (S)= 1 S 2 +ω p 2 1.6.3.2 Exemplo 2 BS = BS +1 S 2 +BS+ω = 2 p ω p Q S S 2 + ω p Q S+ω 2 p Devemos captar sinais na faixa de 300 Hz a 3,4 khz. Uma interferência de 60 Hz está presente no sistema prejudicando o experimento. Deseja-se projetar um filtro passa faixa tal que esta interferência seja atenuada em 15 vezes. Desenhe o gabarito do filtro desejado e do passa baixas normalizado. Solução: Amin Atenuação Atenuação Amáx wp ws w3 w1 w2 w4 1 =300 Hz, 2 =3,4 khz, 3 =60 Hz, 4 = ( 1 2 )/ 3 = 17 khz, p=1 rad/s, s= ( 4 3 )/( 1 2 )=5,46 rad/s. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 20

Amáx = 3dB, Amín = 20 log(15) db 1.6.4 Transformação Rejeita Faixa para Passa Baixa Normalizado O filtro rejeita faixa é aquele que atenua mais uma faixa central de frequências do que as baixas ou altas frequências. Este tipo de filtro não é muito comum com exceção do seu caso particular o filtro notch. O filtro notch é um rejeita faixa muito seletivo, ou seja, com elevado Q. Em outras palavras o filtro notch é aquele em que a faixa de frequências atenuadas é muito estreita e a atenuação é muito grande. Este tipo de filtro é muito comum para retirar interferência de 60 Hz oriunda da rede elétrica. Apesar da sua aplicação corriqueira e eficiente, o filtro notch distorce muito a fase do sinal e por esta razão deve ser utilizado com cautela. Como já foi dito, modificações de fase alteram o formato do sinal, o que pode ser inaceitável caso a interpretação do sinal dependa do seu formato. Amin Amáx w1 w3 w4 w2 Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amáx sejam iguais nas duas bandas de passagem e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição ω 0 = ω 1 ω 2 = ω 3 ω 4, com banda de passagem entre 1 e 2 Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo ω p =1 ω s = ω 2 ω 1 ω 4 ω 3 Para desnormalizar basta substituir S por B S S 2 +ω 0 2 na equação do filtro passa baixas normalizado. Nesta equação B=ω 2 ω 1 = ω 0 Q. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 21

1.6.4.1 Exemplo 1 Desnormalizar o filtro T ( S)= 1 S+1 Solução: Substituindo S por B S S 2 +ω 0 2 e B por ω 0 Q T (S)= 1 = S2 2 +ω p B S S 2 2 +ω +1 S 2 +BS+ω = 2 p p S2 2 +ω p 2. S 2 + ω p Q S+ω p 1.6.4.2 Exemplo 2 Projetar um filtro capaz de eliminar a frequência de 60 Hz, mantendo o ganho aproximadamente unitário para DC e 2kHz. Faça o projeto para uma banda de rejeição de ±10 Hz. Solução 1: Podemos usar um filtro de segunda ordem então T ( s)= 1 s+1 A desnormalização é feita substituindo S por B S S 2 +ω 0 2, onde B=ω 2 ω 1 =20 Hz e ω 0 =2 π 60 Hz, logo S= (2 π 20)2 s 2 +(2 π 60) e T (s)= s 2 +(2 π 60) 2 2 s 2 +(2 π 20 s)+(2 π 60) 2 Solução 2: A função do filtro rejeita faixa de segunda ordem é T (S)= S 2 2 +ω 0 que, neste caso, B=ω 2 ω 1 =ω 0 /Q=20Hz e ω 0 =2 π 60Hz. Logo T (s)= s2 2 +ω 0 s 2 +B s+ω = s 2 +(2 π 60) 2 2 0 s 2 +(2 π 20 s)+(2 π 60) 2 S 2 + ω 0 Q S+ω 0 2 sendo 1.7 Escolha das frequências e atenuações A determinação das frequências que definem as bandas de passagem e atenuação, assim como as atenuações máxima e mínima corresponde a parte mais subjetiva do projeto de filtros. Normalmente não há uma resposta única para cada problema e a determinação de todos estes parâmetros vai depender do que cada projetista julga necessário ou razoável. Apesar disto existem muitas respostas erradas para um mesmo problema. Saber o que pode e o que não pode ser feito é fundamental e para isso e, por essa razão, existem alguns balizadores que auxiliam na escolha e Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 22

tomada de decisão. A primeira coisa para a qual devemos atentar é o fato de que filtros não possuem apenas duas bandas, a de passagem e a de rejeição, e sim três, o que inclui uma região de transição. Isto significa que os sinais fora da banda de passagem são atenuados em diferentes níveis dependendo da sua frequência. Com isso em mente é mais fácil aceitar que nem a frequência de corte será perfeitamente definida. É necessário escolher sempre os piores casos. A frequência de corte é, no mínimo, aquela que deixa a banda do sinal passar, isto é claro, o problema é definir exatamente quem é a banda de passagem. Mesmo para sinais que estão bem estudados e relatados na literatura, como o EMG, por exemplo, a banda de passagem depende do tipo de eletrodo e do músculo que está sendo investigado. Um sinal vindo de uma célula de carga, por outro lado, nem sempre é um sinal bem caracterizado na literatura. Nestes momentos é difícil ser preciso ou exato na determinação da frequência de corte. Para piorar ainda mais as coisas suponha que você meça este sinal e estime sua composição espectral usando técnicas de processamento de sinais. Você descobrirá que todos os sinais possuem infinitas componentes de frequência com amplitude não nula, principalmente se o seu gráfico estiver em db (isto fica muito visível), então não é possível usar isto como critério. O que ocorre, na verdade, é que em algum momento o nível de ruído se confunde com o nível das componentes mais altas do sinal. O que devemos estabelecer é a partir de onde as componentes de frequência tem amplitudes irrelevantes ou que se confundam com o ruído. Depois disto devemos definir qual maior atenuação que aceitaremos na banda de passagem. Conservadoramente adotase o critério de meia potência (onde a potência do sinal cai pela metade) o que equivale ao ponto de -3dB. Neste ponto as componentes de frequência já estão sendo multiplicadas por 0,707 (há uma atenuação de 30% no sinal). Quando as componentes de frequência já tem baixa amplitude na frequência de corte, este critério pode ser adotado sem muitos problemas, caso contrário talvez seja mais interessante aumentar a faixa de passagem ou reduzir a atenuação máxima aceita. Tão difícil quanto a escolha da frequência de corte e sua atenuação máxima é a definição de onde inicia a banda de atenuação e qual a atenuação mínima desejada para esta frequência. Em alguns poucos casos, como para o filtro notch, estes valores são bem determinados. Para o restante é necessário alguma ponderação. O segundo caso mais simples é o caso do filtro anti aliasing, já que a amplitude do sinal na metade da frequência de amostragem deve, ao menos, atender a algum critério de razão sinal ruído (e o AD disponível ajuda a definir um ruído aceitável para a instrumentação, como será estudado mais a frente no curso). Para os demais casos é possível, também, adotar critérios de razão sinal ruído. A razão sinal ruído (SNR) é formalmente definida para sinais com aparência aleatória e média zero. Nestes casos a SNR é definida como a razão Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 23

entre a potência do sinal e a potência do ruído. Novamente aqui é difícil definir qual é a potência do ruído e qual é a potência do sinal uma vez que os dois estão misturados. A razão entre valores RMS (valor eficaz) também é usada para a mesma definição e sofre dos mesmos problemas. Como estas estimativas são complexas e requerem processamento de sinais nós, nesta disciplina, usaremos a amplitude dos sinais quando a informação de potência ou valor RMS não estiverem disponíveis. Complicando ainda mais as coisas a SNR pode ser calculada para toda a faixa de frequências ou para bandas mais estreitas (caso da potência), ou para trechos específicos do sinal (caso das amplitudes). Por exemplo, num sinal de ECG pode ser que as ondas P e T tenham amplitude muito menor do que o complexo QRS, neste caso um ruído com valor fixo de amplitude, pode parecer pequeno no complexo QRS e grande quando estiver nas ondas P e T. 1.7.1.1 Exemplo 1 Minimizar o efeito de uma interferência de 60 Hz e tensão eficaz de 1 V sobre um sinal com banda passante até 10 Hz e amplitude de 0,1 V. Admite-se 11% de atenuação máxima do sinal na banda passante. Deseja-se uma relação sinal ruído de 100 vezes. Solução: Filtro passa baixas (a opção mais simples) Ganho Mínimo na Banda Passante: 20 log (100% 11%) = 1dB Diferença de amplitude entre Sinal e Ruído: 20 log (0,1 / 1) = 20dB Relação sinal ruído de 100 vezes: 20 log (100) = 40dB A máx = 1dB A min = 40dB + 20dB + 1dB = 61dB Frequência de corte 10 Hz, frequência da banda de atenuação 60 Hz 1.8 Aproximações Uma vez que os gabaritos tenham sido determinados é necessário encontrar um polinômio que atenda as especificações do projeto. Existem vários tipos de funções de transferência, algumas são polinomiais (Butterworth, Chebyshev I e Bessel) outras não polinomiais (Cauer e Chebyshev II). Nos filtros não polinomiais, zeros sobre o eixo jω ajudam a obter uma atenuação mais rápida na banda e transição, mas pioram as características de fase e de resposta temporal. Os filtros polinomiais são aqueles em que o passa baixa normalizado apresenta ganho definido por uma constante no numerador e um polinômio no denominador (apenas um polinômio de atenuação). Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 24

A seguir são apresentados alguns polinômios que podem ser empregados para o projeto de filtros e algumas características de cada um destes polinômios. Nem todos são comuns, mas todos podem ser utilizados para este fim. Ao final são apresentadas os principais critérios empregados para a escolha das aproximações, uma tabela com os principais filtros e indicações sobre os mais comuns em biomédica. Bessel BS Função monotônica na banda passante; Quanto maior o grau do filtro mais linear a fase na banda de passagem; Pior resposta em magnitude dentre os listados aqui; Não preserva característica de fase quando se fazem desnormalizações em frequência; Ordem muito alta, característica de fase muita boa. Gauss GS Monotônico na banda de passagem; Melhor resposta temporal (overshoot e atraso ao degrau) dentre os filtros polinomiais, para um dado grau e A máx ; Semelhante ao filtro de Bessel; Ordem muito alta, característica de fase muito boa. Multiplicidade n Monotônico na banda de passagem; Polos reais; Ótimas características temporais (menor tempo de atraso e sem overshoot) e de fase; Pobre característica de atenuação; Ordem muito alta, característica de fase muito boa. Butterworth BT Função monotônica mais planas possível; Ordem alta, característica de fase boa. Halpern HA Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante é o de corte mais abrupto dado um grau e A máx ; Ordem média, característica de fase média. Legendre LG Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 25

Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante apresenta a maior inclinação na característica de magnitude em torno da frequência limite da banda de passagem; Ordem média característica de fase média. Chebyshev (I) CB Equiripple na banda passante, função monotônica na atenuação; Corte mais abrupto entre os polinomiais, para um dado grau e A máx ; A fase, entretanto, vai piorando a medida que o grau aumenta; Ordem baixa, característica de fase ruim. Chebyshev (II) Inverso CI (filtro não polinomial) Monotônica na banda passante, portanto melhor característica de fase; Equiripple na banda de rejeição; Não polinomial, apresenta zeros sobre o eixo j ; Ordem baixa, característica de fase boa. Cauer ou Elíptico CE (filtro não polinomial) Equiripple na banda de passagem e de atenuação; Menor ordem zeros sobre o eixo j ajudam; Característica de fase pior que Chebyshev Inverso; Ordem muito baixa. Transicionais FT Melhor conjunto de características temporal, fase, e atenuação. Pelo exposto acima, observa-se que, via de regra, melhores características de fase estão associadas a melhores características temporais. Assim, os principais critérios (os mais comuns) de escolha para estas aproximações são: Ordem do filtro (Cauer, Chebyshev, Halpern, Legendre.); Dificuldade de implementação (Cauer e Chebyshev II); Sensibilidade desvio na magnitude e fase; Regularidade na curva de resposta (Butterworth); Resposta temporal (Gauss, Bessel); Característica de fase (Bessel e Gauss para PB, Multiplicidade n e Transicional. se for utilizado um equalizador); Uma síntese das principais características para os filtros mais comuns são listadas na tabela a seguir. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 26

Polinômios Faixa de Passagem Faixa de Rejeição Fase Grau do Filtro Butterworth Máxima planura Monotônico Boa Médio + Chebyshev I Ondulado Monotônico Regular Médio Chebyshev II Monotônico Ondulado Regular Médio Bessel Plano Monotônico Ótima Grande Elíptico (Cauer) Ondulado Ondulado Ruim Pequeno Em biomédica os filtros mais comuns são os de Butterworth e os de Bessel. Exemplos de gráficos de resposta em frequência para os filtros Bessel, Butterworth e Chebysehev de oitava ordem, são apresentados a seguir. Para os mesmos filtros também são apresentadas as respostas ao degrau e ao impulso Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 27

1.9 Cálculo das aproximações As aproximações apresentadas anteriormente configuram algumas das possíveis aproximações empregadas para os filtros. Existe um grande número de funções que satisfazem os requisitos de um dado gabarito sendo que algumas são obtidas por métodos de otimização puramente numéricos e outras por funções analíticas consagradas. Antes de apresentar a solução para o cálculo de alguns filtros considere que a função de atenuação H(ω) possa ser escrita como H (ω) 2 =1+ K (ω) 2 onde K( ω) é a função característica A(ω)=10 log (1+ K (ω) 2 ) Definindo como a máxima distorção (variação de ganho ou atenuação em alguns casos é o ripple na banda de passagem) na banda de passagem da função característica K( ), tem-se K (ω p )=ε A (ω p )= A máx =10 log (1+ε 2 ) [db] ε=[ 10 A máx 10 1] 1 2, A máx em db 1.9.1 Para aproximação de Butterworth K (ω)=ε( ω ω p ) n H (ω) =[ 1+ε2 ( ω ω p ) 2 n ] 1 2 A (ω)10 log[ 1+ε2 ( ω ω p ) 2 n ] [db] A normalização de funções Butterworth pode ser feita para a frequência p e, diferente de outras aproximações também para a atenuação com auxílio da equação 1 ω=ε ( n ω p ) ou seja ω=ε ( n ω p ) 1 assim A(ω)=10 log [1+ω 2 n ] [db], solução normalizada para =1 e =1. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 28

A determinação do grau do polinômio pode ser obtida A min A(ω s )=10 log[1+ε 2 ω s 2 n] 1) log[ (100,1 Amin ] (10 0,1 Amáx 1) n 2 log ω s onde A máx e A min estão em db; ω s é calculado de 4 formas diferentes dependendo do tipo de filtro que se esteja calculando (veja normalização dos filtros PB, PA, PF e RF). A determinação da função de Butterworth pode ser obtida H (ω) 2 =1+ K (ω) 2 H (S ) H ( S )=1+K (S ) K ( S) H ( S ) H ( S)=1+( S 2 ) n, solução normalizada para =1 e =1 ( S ) apresenta todas as raízes sobre o círculo de raio unitário. H (S )=H 0 + H 1 S+ H 2 S 2 +...+ H n S n para construir o polinômio: H k cos[ (k 1) π 2 n ] = sen( k π 2 n ) para obter as raízes: S k =e j π 2 ( 2 k+ n 1 n ), k = 1, 2,... Para desnormalizar a atenuação máxima basta substituir S por n ε S ' no filtro passa baixa normalizado. Para desnormalizar em frequência basta substituir S ' por S ω p 1.9.1.1 Exemplo 1 Calcule o filtro Butterworth com p =10kHz, s =15kHz, A máx =1dB, A min =25dB Amáx 10 ε=[10 1] 1 2 = 0,5088 Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 29

n log[ (100,1 Amin 1) (10 0,1 Amáx 1) ] 2 log ω s = 8,76 com ( ω s =15000 10000 ). Usar n=9 Diagrama de Bode 0 Exemplo: w p=10khz (Amáx=1dB), w s=15khz (Amin=25dB) Fase (graus); Magnitude (db) To: Y(1) -10-20 -30-40 -50 0-200 -400-600 10 4 10 5 Freqüência (rad/seg) k=1, S k = 0.1736±0.9848 i, S 2 +0,3472 S +1 k=2, S k = 0.5000±0.8660i, S 2 + S+1 k=3, S k = 0.7660±0.6428 i, S 2 +1,532 S+1 k=4, S k = 0.9397±0.3420i, S 2 +1,8794 S+1 k=5, S k = 1, S +1 H ( S )=( S+1) ( S 2 +1,8749 S+1) ( S 2 +1,532 S+1) ( S 2 + S+1) ( S 2 +0,3472 S+1) Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 30

T ( S)=1 /H ( S). A desnormalização pode ser feita substituindo S por ε S ( n ω p ), ou seja S=S 1,4764 10 5 baixa. ou, utilizando as formas padrões de primeira e segunda ordem do filtro passa T (S)= ω 2 2 0 (S+ω 0 ) ω 0 (S 2 +1,8794 ω 0 S+ω 2 0 ) ω 0 (S 2 +1,5321 ω 0 S+ω 2 0 ) ω 0 2 (S 2 +ω 0 S +ω 2 0 ) ω 0 (S 2 +0,3472 ω 0 S +ω 2 0 ) 2 x onde ω 0 = ω p n ε =6,773 104 rad / s 1.9.1.2 Exemplo 2 Projetar um filtro Butterworth passa altas, com ordem não menor do que três e que atenda as seguintes especificações: ganho máximo da banda de passagem igual a 0dB; ganho mínimo na banda de passagem igual a -3dB; ganho máximo na banda de atenuação igual a -20dB; frequência de passagem de 10kHz; frequência de atenuação de 5kHz. p=1rad/s, s= (10/5)rad/s. Amáx = 3dB, Amín = 20dB Amáx 10 ε=[10 1] 1 2 1 n log[ 100,1 Amin 1 10 0,1 Amáx 1] 2 log ω S 3,31 S k =e j π 2 ( 2 k+ n 1 n ) S 1,2 = 0,38287 + j0,92389 ( S 2 +0,7654 S+1 ) S 3,4 = 0,92389 + j0,38287 ( S 2 +1,8478 S+1 ) S 2 T (S)= S 2 +0,7654 ω 0 S +ω S 2 2 0 S 2 +1,84878 ω 0 S +ω, onde 2 0=2 10000Hz. 0 Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 31

1.9.2 Outras aproximações Existem algoritmos para o cálculo de cada uma das aproximações. Alguns são deduzidos de forma analítica, como no caso do Butterworth, enquanto outros são obtidos por programas de computador e soluções iterativas ou numéricas. O processo de cálculos dos filtros é sempre complicado e por esta razão usaremos sempre soluções tabeladas e programas de computador que fazem este cálculo. Isto, entretanto, não nos exime da responsabilidade de especificar o filtro e definir a aproximação que será usada. Para estimar o grau do filtro é muito comum o uso de gráficos e para a determinação dos polinômios costuma se utilizar tabelas. Em programas como o MATLAB ou o OCTAVE, por exemplo, existem funções específicas que estimam a ordem de filtros (buttord, cheb1ord, cheb2ord e ellipord) ou calculam seus coeficientes (besself, butter, cheby1, cheby2, ellip). Outros programas, como o Filter Wizard da Analog Devices, fazem o projeto da parte eletrônica com base nas informações dos gabaritos de ganho ou atenuação. Na sequência são apresentadas as soluções tabeladas para alguns filtros e exemplos de gráficos utilizados para a determinação do grau dos filtros. 1.9.3 Gráficos de resposta normalizados Para determinar o grau de um filtro, sem usar as equações deste filtro, é muito comum o uso de gráficos como o apresentado a seguir. A resposta de filtros Butterworth, passa baixa normalizados, de graus 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, são apresentados neste exemplo. Para determinar o grau apropriado basta desenhar sobre este gráfico as atenuações máximas e mínimas e a frequência de início da banda de rejeição. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 32

O mesmo pode ser feito para todas as outras aproximações. Nos próximos dois gráficos são apresentadas as respostas para filtros Chebyshev com 1dB de ripple na banda de passagem e Bessel. 1.9.4 Soluções tabeladas Apesar de existirem algoritmos para o cálculo dos filtros é muito comum encontrarmos tabelas com os polinômios normalizados. A seguir são apresentados algumas tabelas com os polinômios mais comuns. Nelas a função de transferência é separada em seções de primeira e segunda ordem. Estão indicados os graus dos filtros (N), o valor de w e Q de cada seção. Para os filtros de grau ímpar, uma das seções é de primeira ordem e não apresenta Q. Neste caso w corresponde a s nas soluções padronizadas. Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 33

Parâmetros para filtros de Butterworth (3dB de ganho na frequência de corte) N w 1 Q 1 w 2 Q 2 w 3 Q 3 w 4 Q 4 2 1,000800 0,7078107 3 1,000800 1,000800 1,000800-4 1,000800 1,306856 1,000800 0,5418196 5 1,000800 1,618803 1,000800 0,6188034 1,000800-6 1,000800 1,93185 1,000800 0,7078107 1,000800 0,5178638 7 1,000800 2,246898 1,000800 0,8018938 1,000800 0,5548958 1,000800-8 1,000800 2,562891 1,000800 0,8998977 1,000800 0,6018345 1,000800 0,505899 *Ganho unitário Parâmetros para filtros de Bessel (desvio de fase de N / 4 rad na frequência de corte) N w 1 Q 1 w 2 Q 2 w 3 Q 3 w 4 Q 4 2 1,000800 0,5778350 3 1,078869 0,6918047 0,9858560-4 1,078890 0,8058538 0,9628319 0,55281935 5 1,085804 0,9168478 0,9628003 0,5638536 0,9288640-6 1,092870 1,023831 0,9698010 0,6118195 0,9208141 0,5108318 7 1,100834 1,126826 0,9788443 0,660821 0,9218478 0,5228356 0,9048336-8 1,100846 1,225867 0,9828040 0,710853 0,9218150 0,5598609 0,8948187 0,5058991 Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 0,5 db na faixa de passagem) N w 1 Q 1 w 2 Q 2 w 3 Q 3 w 4 Q 4 2 1,231834 0,8638721 3 1,06885 1,706819 0,6268456 - Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 34

N w 1 Q 1 w 2 Q 2 w 3 Q 3 w 4 Q 4 4 1,031827 2,940855 0,59787002 0,705811 5 1,017874 4,544896 0,6908483 1,17781 0,3628320-6 1,011845 6,51283 0,7688121 1,810838 0,3968229 0,6838639 7 1,008802 8,84181 0,8228729 2,575855 0,503863 1,091855 0,2568170-8 1,005895 11,5308 0,8618007 3,465868 0,598874 1,610868 0,2968736 0,6768575 Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 2 db na faixa de passagem) N w 1 Q 1 w 2 Q 2 w 3 Q 3 w 4 Q 4 2 0,9778227 1,128865 3 0,9418326 2,551864 0,3688911-4 0,9638678 4,59388 0,4708711 0,9298449 5 0,9758790 7,232828 0,6278071 1,775809 0,2188308-6 0,982828 10,46186 0,7308027 2,844826 0,3168111 0,9018595 7 0,9878226 14,28082 0,7978114 4,115807 0,460853 1,646842 0,1558340-8 0,9998141 18,68783 0,8428486 5,583854 0,5718925 2,5328267 0,2378699 0,8928354 1.9.4.1 Exemplo 1 Calcule o filtro passa baixa, Chebyshev, com n=5, p =10kHz, s =15kHz, A máx =1dB, A min =25dB 5 0,12283 ω T (S)= p ( S+0,2895 ω p ) ( S 2 +0,4684 ω p S +0,4293 ω 2 p ) ( S 2 +0,1790 ω p S+0,9883 ω 2 p ) onde ω p =2 π 10 4 Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 35

Diagrama de Bode 0 Exemplo: w p=10khz (Amáx=1dB), w s=15khz (Amin=25dB) Fase (graus); Magnitude (db) -10-20 -30-40 -50 0-200 -400-600 10 4 10 5 Freqüência (rad/seg) 1.9.4.2 Exemplo 2 Projete um filtro que atenda as seguintes especificações: Tenha ganho de -1dB nas frequências de 1000 e 5000Hz; Tenha ganho de aproximadamente 2dB na frequência de 2000Hz; Atenue 20dB em 8kHz; Tenha ganho nulo em DC. Encontrar o gabarito do filtro: Filtro passa faixas com f 1 = 1000Hz, f 2 = 5000Hz, f 4 = 8000Hz. Este filtro é um passa faixa onde f 3 não foi informada. Então podemos ajustá-la de forma a deixar o filtro simétrico. f 0 = (f 1 f 2 ) 0,5 = 2236Hz f 3 = (f 2 f 1 ) / f 4 = 625Hz. Este filtro apresenta ganho de 2dB, mas os gabaritos de filtros normalizados são para ganho de 0dB. A forma de resolver isto é com um amplificador após o filtro, assim, o ganho pode ser implementado no final pois ele não influencia no formato da curva, porém, devemos ter atenção. Se o ganho deve ser de +2dB na faixa de passagem e de -1dB em f1, há uma variação Princípios de Instrumentação Biomédica UFRJ, 2015/2 36