Matemática Autores: Prof. Celso Ribeiro Campos Profa. Patrícia Alves Rodrigues Colaboradores: Prof. Flávio Celso Müller Martin Prof. Fábio Gomes da Silva Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Professores conteudistas: Celso Ribeiro Campos / Patrícia Alves Rodrigues Celso Ribeiro Campos É físico, engenheiro mecânico, mestre em ensino de matemática pela PUC SP e doutor em educação matemática pela Unesp. É professor de matemática desde 1990, tendo passado por diversas instituições de Ensino Superior em São Paulo. Atua na Universidade Paulista (UNIP) desde 007, na qual é professor e líder de diversas disciplinas na área de matemática e estatística. Atua ainda nas instituições de ensino FIEO, Faculdades Integradas Campos Salles e PUC SP, é membro do grupo de pesquisa em educação estatística da Unesp e é associado da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM). Celso Ribeiro Campos também é autor do livro Matemática Financeira, lançado em 010 pela editora LCTE, coautor do livro Educação Estatística: teoria e prática em ambientes de modelagem matemática, lançado em 011 pela editora Autêntica, e autor de diversos materiais didáticos na área de matemática e estatística para o segmento de educação a distância da Universidade Paulista (UNIP). Patrícia Alves Rodrigues É licenciada em matemática e mestre e doutoranda em Ciências da Computação pelo IME USP. É professora de matemática e computação desde 001, tendo trabalhado em diversas instituições de ensino em São Paulo. Na Universidade Paulista (UNIP), atua desde 008 como professora e líder de diversas disciplinas na área de matemática, estatística e tecnologia de informação. Além disso, atua também no desenvolvimento e aplicação de cursos para aperfeiçoamento de professores de matemática no IME USP e faz parte do grupo de pesquisa do Laboratório de Ensino de Matemática da USP (LEM USP), trabalhando no desenvolvimento de ferramentas matemáticas para EaD. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) C198 Campos, Celso Ribeiro Matemática. / Celso Ribeiro Campos; Patrícia Alves Rodrigues. - São Paulo: Editora Sol, 011. 180 p. il. Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. - 03/11, ISSN 117-930 1.Matemática.Administração 3. Conceitos básicos I.Título CDU 1 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista.
Prof. Dr. João Carlos Di Genio Reitor Prof. Fábio Romeu de Carvalho Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças Profa. Melânia Dalla Torre Vice-Reitora de Unidades Universitárias Prof. Dr. Yugo Okida Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez Vice-Reitora de Graduação Unip Interativa EaD Profa. Elisabete Brihy Prof. Marcelo Souza Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar Prof. Ivan Daliberto Frugoli Material Didático EaD Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valéria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista EaD Profa. Betisa Malaman Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Simone Oliveira Amanda Casale
Sumário Matemática Apresentação...7 Introdução...8 Unidade I 1 Números reais...9 1.1 Introdução...9 1. Conjunto, elemento e pertinência...9 1..1 Principais classificações...1 1.. Operações...13 1.3 Conjuntos numéricos, representações e operações...17 1.3.1 Conjunto dos números naturais...17 1.3. Conjunto dos números inteiros...18 1.3.3 Conjunto dos números racionais...18 1.3.4 Conjunto dos números irracionais... 1 1.3. Conjunto dos números reais... 1 1.4 Arredondamento... 1. Intervalos...3 1..1 Operações com intervalos...6 Expressões algébricas...8.1 Operações com frações...8. Operações com expressões numéricas...30.3 Potenciação e radiciação... 31.4 Operações com expressões algébricas...34. Valor numérico de expressões algébricas...3.6 Fatoração e simplificação...3 3 Equações...36 3.1 Introdução...36 3. Equação do 1º grau...37 3.3 Equação do º grau...38 4 Inequações... 41 4.1 Introdução... 41 4. Inequação do 1º grau...4 4.3 Inequação do º grau...44
Unidade II Funções....1 Conceitos introdutórios....1.1 Plano cartesiano....1. Par ordenado...3.1.3 Produto cartesiano (AxB)...4.1.4 Relações...6.1. Domínio e imagem...7. Conceitos elementares de função...8..1 Domínio e imagem: análise gráfica...60.3 Funções definidas por fórmulas matemáticas... 61.4 Função do 1º grau (função linear ou afim)...64.4.1 Ponto de intersecção de duas retas... 71. Função do º grau (função quadrática)...73..1 Ponto de intersecção: reta e parábola... 81.6 Equação exponencial...84.7 Função exponencial...87.7.1 Crescimento exponencial...9.8 Logaritmos...93.9 Função logarítmica...9.10 Outras funções...98.10.1 Função polinomial...98.10. Função racional...98 6 Sistema de equações...99 6.1 Introdução...99 6. Identificando um sistema de equações...100 6.3 Classificação dos sistemas...101 6.4 Solução do sistema...10 7 Regra de três simples e composta...104 7.1 Introdução...104 7. Grandezas diretamente proporcionais...104 7.3 Grandezas inversamente proporcionais...10 7.4 Regra de três simples...106 7. Regra de três composta...107 8 Porcentagem...109 8.1 Porcentagens ou taxas percentuais...109 8. Fator multiplicativo...111 8.3 Taxa percentual de variação...113 8.4 Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda...114
Apresentação Caro aluno, seja bem vindo ao curso de matemática básica em educação a distância da UNIP. É grande a satisfação de recebê lo na qualidade de aprendiz dessa disciplina que tanto nos intriga e nos desafia. Preparamos esse material para que você possa evoluir de forma consistente e progressiva ao longo dos principais conceitos básicos que norteiam o estudo da matemática. Para isso, dividimos o curso em duas unidades, cada uma com quatro módulos, os quais apresentamos a seguir: Unidade I: 1: Números reais; : Expressões algébricas; 3: Equações; 4: Inequações. Unidade II: : Funções; 6: Sistemas de equações; 7: Regra de três simples e composta; 8: Porcentagem. Os módulos apresentam os conteúdos de forma progressiva e estão repletos de exemplos de aplicação dos tópicos conceituais. Além disso, apresentamos referências e indicações de leitura para que você possa compreender melhor e aprofundar os assuntos estudados. De maneira genérica, podemos dizer que o objetivo desse curso é possibilitar a você um sólido desenvolvimento dentro dos conceitos básicos da matemática, de modo que seja possível entender e operar suas principais ferramentas. Esperamos que você construa uma base de conhecimento que lhe possibilite entender a matemática como uma aliada em sua formação profissional e que você supere suas expectativas quanto ao aprendizado dessa disciplina, que sabemos ser fundamental para seu sucesso no curso de administração. 7
Introdução A matemática é uma ciência de grande relevância na formação profissional do aluno das mais diversas carreiras. Assim, neste curso de matemática básica, procuraremos dar prioridade aos conteúdos que apresentam ferramentas essenciais para o entendimento dessa ciência, tendo em vista a aplicabilidade a ser trabalhada em outras disciplinas e, em particular, na matemática aplicada. Dessa forma, objetivamos apresentar os conteúdos básicos de matemática de forma gradual, ou seja, desde seus princípios mais rudimentares até uma álgebra mais elaborada, representada pelo estudo das funções. No estudo das funções, particularmente, buscaremos lhe fornecer as ferramentas necessárias à modelização de problemas que envolvem a relação de dependência entre duas variáveis quantitativas. Por outro lado, visamos ainda possibilitar o desenvolvimento de um modo de expressão mais crítico e criativo quando da aplicação das funções matemáticas, porcentagens e demais conteúdos aqui abordados na solução de problemas. Acreditamos que o conhecimento matemático ilustrado neste trabalho auxiliará sobremaneira o futuro profissional da área de administração a enfrentar os desafios típicos do exercício da profissão com a devida confiança e competência. 8
Matemática Unidade I 1 Números reais 1.1 Introdução A origem da matemática se deu há milhares de anos, ou seja, desde que o homem sentiu a necessidade de fazer contagens. Ao longo de muitas civilizações, as representações numéricas e suas operações foram evoluindo e a notação que prevaleceu foi a dos algarismos hindu arábicos. Uma forma de organização dos números muito difundida foi a dos conjuntos, na qual existe certa hierarquia de classificação dos números. Começaremos nosso curso com o estudo dos conjuntos de maneira genérica, para aplicarmos em diversos contextos essa noção de organização numérica que é a mais utilizada atualmente pelos estudiosos da matemática. Estudada desde os primeiros anos da educação básica, a teoria dos conjuntos é vista como um fator integrador de toda a matemática, pois todos os assuntos dos quais ela trata acabam, de uma forma ou de outra, derivando da noção de conjunto. 1. Conjunto, elemento e pertinência Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: conjunto; elemento; pertinência entre elemento e conjunto. Embora não seja preciso fazer definição alguma sobre essas ideias, podemos indicar algumas de suas características: Conjunto: sua noção matemática se assemelha ao significado comum da palavra, que indica coleção ou agrupamento. Alguns exemplos: conjunto das letras do alfabeto; 9
Unidade I 10 conjunto dos planetas do Sistema Solar; conjunto dos meses do ano; conjunto dos algarismos romanos; conjunto dos números pares; conjunto dos números primos; conjunto das soluções da equação x² = 4. Elemento: cada item que compõe um conjunto é chamado de elemento. Nos conjuntos citados anteriormente, temos os seguintes elementos: conjunto das letras do alfabeto: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z; conjunto dos planetas do sistema solar: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno; conjunto dos meses do ano: janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro; conjunto dos algarismos romanos: I, V, X, L, C, D, M; conjunto dos números pares: 0,, 4, 6, 8 etc.; conjunto dos números primos:, 3,, 7, 11, 13 etc.; conjunto das soluções da equação x² = 4:,. Pertinência entre elemento e conjunto: quando um elemento faz parte de um conjunto, afirmamos que ele pertence a esse conjunto. Por exemplo, o número pertence ao conjunto dos números pares, mas o número 3 não pertence a esse conjunto. Um conjunto pode ser formado por números, por letras, por nomes ou até mesmo por outros conjuntos, o que indica que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Podemos pensar, por exemplo, no conjunto dos clubes de futebol que disputam a primeira divisão do Campeonato Brasileiro de 011. Esse conjunto é formado por times de futebol e cada time, por sua vez, é formado por um conjunto de jogadores. Geralmente, um conjunto é indicado por letras maiúsculas (A, B, C etc.) e seus elementos são indicados por letras minúsculas (x, y, a, b, c etc).
Matemática Um conjunto ainda pode ser indicado com seus elementos representados entre chaves ou por uma descrição. Exemplo: A = conjunto dos números de um dado A = {1,, 3, 4,, 6} Quando um conjunto é infinito, representamos alguns de seus elementos e depois colocamos reticências. Exemplo: B = conjunto dos números pares B = {0,, 4, 6,...} Se um conjunto for finito, mas tiver uma quantidade muito grande de elementos, também podemos usar reticências, basta que indiquemos o último elemento do conjunto para representar sua finitude. Exemplo: C = conjunto dos múltiplos de 3 menores que 100 C = {0, 3, 6, 9,..., 99} Em notação matemática, usa se o símbolo para indicar que um elemento pertence a um conjunto e para indicar que um elemento não pertence a um conjunto. Por exemplo, sendo A o conjunto dos números pares e B o conjunto dos números ímpares, em notação de conjuntos, temos: A = {0,, 4, 6, 8, 10,...} B = {1, 3,, 7, 9, 11,...} Para indicar que o pertence ao conjunto dos números pares, escrevemos: A. Para indicar que o não pertence ao conjunto dos números ímpares, escrevemos: B. De um modo geral, se A é um conjunto e x é um elemento desse conjunto, podemos escrever: x A. Por outro lado, se x não é um elemento do conjunto A, escrevemos: x A. Costuma se usar um círculo para representar um conjunto e seus elementos. Esse tipo de notação se chama diagrama de Venn. Veja a seguir a representação dos conjuntos dos números pares (A) e dos números ímpares (B): 11
Unidade I A B 0 1 4 3 6... 8 7... 9 1 Figura 01 Diagrama de Venn Também podemos designar um conjunto por meio de uma propriedade ou característica. Exemplo: o conjunto dos estados da região Sudeste do Brasil pode ser representado pela seguinte notação: D = {x x é um estado da região Sudeste do Brasil} (lê se: conjunto dos elementos x, tal que x é um estado da região Sudeste do Brasil). 1..1 Principais classificações Existem três classificações de conjuntos muito utilizadas no que diz respeito ao número de elementos. São elas: Conjunto vazio: é aquele que não possui elemento algum e é indicado por ou { }. Exemplo: Seja M o conjunto dos meses do ano que começam com a letra P, assim: M = ou M = { } Já que nenhum mês do ano começa pela letra P, o conjunto M é vazio. Vejamos outro exemplo: C = {x x > 4 e x < 3} = Essa notação indica que o conjunto C é composto pelos elementos maiores que 4 e, simultaneamente, menores que 3. Porém, como não existe nenhum número que satisfaça essa condição, o conjunto C é vazio. Conjunto unitário: é aquele que possui um único elemento. Exemplo: Seja M o conjunto dos meses do ano que possuem exatamente quatro letras, assim: M = {maio} Como apenas o mês de maio satisfaz a condição apresentada, esse conjunto possui apenas um elemento e recebe a denominação de conjunto unitário.
Matemática Vejamos outro exemplo: C = {x x + = } = {3} Essa notação indica que o conjunto C é composto pelos elementos que, ao serem somados ao número, resultam em. Nesse caso especificamente, apenas o número 3 satisfaz a condição, assim, o conjunto C é composto apenas por um elemento e também recebe a denominação de conjunto unitário. Conjunto universo: essa designação é usada geralmente quando se desenvolve um assunto em matemática e se quer indicar todos os elementos utilizados no referido assunto. Esse conjunto é representado por U. Exemplo: em um estudo sobre pesos de pessoas, o conjunto universo tem por elementos os números positivos, afinal, não faz sentido usar números negativos para representar pesos. Outro exemplo: em um estudo sobre os meses do ano, o conjunto universo terá como elementos os 1 meses do ano. 1.. Operações Igualdade Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A são também elementos de B e vice versa. Exemplos: seja A o conjunto das vogais em ordem crescente, assim: A = {a, e, i, o, u}, e B o conjunto das vogais em ordem decrescente, assim: B = {u, o, i, e, a}. Observe que todos os elementos do conjunto A são iguais aos do conjunto B, portanto, o conjunto A é igual ao conjunto B. Em notação: A = B. Considere agora os seguintes conjuntos: C = {x x + = 1} D = {7} O conjunto C é composto pelos elementos que, somados ao número, resultam em 1. Nesse caso, apenas o número 7 satisfaz a condição. Como o conjunto C é composto apenas pelo elemento 7 e o conjunto D também, esses conjuntos são iguais. Logo, C = D. Como consequência da definição de igualdade, temos A B (A diferente de B), ou seja, ao menos um elemento de A não pertence a B ou ao menos um elemento de B não pertence a A. Observação Note que a ordem dos elementos do conjunto não é importante para a noção de igualdade. Outra observação que precisamos fazer é que os elementos na notação de conjuntos não devem ser repetidos. 13
Unidade I Subconjunto Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A também for elemento de B. Para indicar a situação de subconjunto, escrevemos A B. Exemplo: {a} {a, b, c, d, e} Essa ideia de inclusão também pode ser representada por meio do diagrama de Venn: B A Figura 0 Subconjunto Outra notação que deriva da ideia de inclusão é B A, que indica que o conjunto B contém o conjunto A. Além disso, se o conjunto A não for subconjunto de B, podemos escrever A B. Exemplo: {a, b, c} {a, e, i, o, u}. Assim, usando a premissa de inclusão, podemos escrever a igualdade da seguinte forma: A = B A B e B A. Lembrete O símbolo significa se, e somente se. Sendo A, B e C três conjuntos genéricos, podemos observar quatro propriedades relativas ao conceito de inclusão: A (o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto); A A (todo conjunto é subconjunto de si mesmo); se A B e B C, A C (propriedade transitiva); se A B e B A, A = B. 14
Matemática União ou reunião Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama se união de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos, a união é indicada assim: A B = {x x A ou x B} Exemplo: A = {1,, 3, 4} e B = {, 4, 6, 8, 10} A B = {1,, 3, 4, 6, 8, 10}. No diagrama de Venn, podemos indicar a união de seguinte forma: A 1 3 A B B 4 União de A com B 4 3 1 6 10 8 4 6 8 10 Figura 03 União de conjuntos no diagrama de Venn Intersecção Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. Em símbolos, a intersecção é indicada assim: A B = {x x A e x B} Exemplo: A = {1,, 3, 4} e B = {, 4, 6, 8, 10} A B = {, 4}. No diagrama de Venn, podemos indicar a intersecção por meio da área sombreada: 1
Unidade I A B 1 3 4 6 10 8 Figura 04 Intersecção de conjuntos no diagrama de Venn Diferença Observação Quando a intersecção dos conjuntos é um conjunto vazio, os denominamos conjuntos disjuntos, ou seja, se A B =, dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos. Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama se diferença entre o conjunto A e o conjunto B o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem ao conjunto B. Em símbolos, a diferença entre conjuntos é indicada assim: A B = {x x A e x B} Exemplo: A = {1,, 3, 4} e B = {, 4, 6, 8, 10} A B = {1, 3}. No diagrama de Venn, podemos indicar a diferença entre conjuntos por meio da área sombreada: A B 1 3 4 6 10 8 Figura 0 Diferença de conjuntos no diagrama de Venn 16 Complementar Dados dois conjuntos A e B quaisquer, se B é subconjunto de A, a diferença entre os conjuntos A e B é denominada complementar do subconjunto B. Em símbolos, a complementar de B em relação à A é indicada assim:
Matemática B A B c = A B = {x x A e x B} Exemplo: A = {, 4, 6, 8, 10} e B = {, 4} A B = {6, 8, 10}. No diagrama de Venn, podemos indicar a complementar do subconjunto B por meio da área sombreada: A B 4 6 10 8 Figura 06 O complementar do subconjunto B no diagrama de Venn Adotando U para o conjunto universo e A e B como dois subconjuntos quaisquer de U, são válidas as seguintes propriedades: c =U; U c = ; A A c =U; A A c = ; (A c ) c =A; (A B) c =A c B c ; (A B) c =A c B c. 1.3 Conjuntos numéricos, representações e operações 1.3.1 Conjunto dos números naturais O conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros não negativos. Ele é representado pela seguinte notação: N={0, 1,, 3, 4,, 6, 7, 8,...} 17
Unidade I Observação Usa se o asterisco (*) para indicar que o zero não pertence ao conjunto. Veja o exemplo: N*={1,, 3, 4,, 6, 7, 8,...}. 1.3. Conjunto dos números inteiros O conjunto dos números inteiros é composto por todos os números inteiros positivos e negativos e também pelo zero. Esse conjunto é representado pela seguinte notação: Z={..., 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4,...} Z*={..., 4, 3,, 1, 1,, 3, 4,...} Observação O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, já que todos os seus elementos também pertencem ao conjunto dos inteiros. Essa relação pode ser assim representada: N Z. Módulo de um número inteiro O módulo de um número inteiro é a distância entre o 0 (zero) e o número x em unidades. Por exemplo, a distância do número até o 0 (zero), em unidades, é, e a distância do número até o 0 (zero) também é. Como o módulo mede a distância de um número até o zero, ele nunca assumirá valores negativos. Por essa razão, ao se extrair um número de um módulo, ele sempre será positivo. A notação de módulo é dada por duas barras verticais, como demonstrado a seguir: = = Observe que, para extrair um número do módulo, é só tirar as barras verticais e o sinal do número quando este for negativo. 1.3.3 Conjunto dos números racionais O conjunto dos números racionais é composto por todos os números que podem ser escritos na forma de fração com denominador não nulo. Esse conjunto pode ser representado pela seguinte notação: 18
Matemática a Q = b a Z eb Z * (lê se: a b pertence ao conjunto dos números inteiros não nulos). Vejamos alguns exemplos: 1 ; 0 1 0 333 3 ; 3 ;, ; ; ;,... tal que a pertence ao conjunto dos números inteiros e b Note que todos os números inteiros podem ser escritos em forma de fração, já que todos eles são divisíveis pelo número 1 e podem ser escritos da seguinte forma: x 1, onde x Z Alguns exemplos de números inteiros escritos em forma de fração podem ser verificados a seguir: = 1 = 1 1 = 1 1 Portanto, o conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos números racionais e pode ser representado pela notação: Z Q. Decimal finito Todo número decimal finito, ou seja, que possui um número exato de algarismos após a vírgula, pertence ao conjunto dos números racionais, já que é possível que ele seja escrito em forma de fração. Veja alguns exemplos: 1 3 1 1 0, = 07, = 01, = 0, = 4 10 4 Decimal infinito periódico Todo número decimal infinito periódico possui um número sequencial repetitivo e infinito de algarismos após a vírgula e pertence ao conjunto dos números racionais, já que é possível que ele seja escrito em forma de fração. Por exemplo: 19
Unidade I 1 = 0, 33333... = 033, 3 16666 166 3 =,... =, Lembrete Um número decimal infinito periódico também é conhecido por dízima periódica. A fração que dá origem à dízima periódica, por sua vez, é denominada fração geratriz. Observação Note que usamos um traço sobre o valor que será repetido infinitamente no número decimal infinito periódico. Para encontrar o valor decimal periódico de uma fração, basta dividir o numerador pelo denominador. Para obter o decimal da fração 1/3, por exemplo, basta dividir o número 1 pelo número 3, obtendo, como resultado, 0,33333... No entanto, escrever a fração de um valor expresso em decimal infinito periódico não é tão simples. Para isso, pode se usar a seguinte estratégia: 1º passo: faça x = 0,33333...: º passo: multiplique ambos os lados por 10: 10x = 3,33333... 3º passo: subtraia: 10x = 3,33333... x = 0,33333... 9x = 3 4º passo: Isole o x e obtenha a fração geratriz de 0,3333...: 3 x = = 9 1 3 0
Matemática 1.3.4 Conjunto dos números irracionais O conjunto dos números irracionais é composto por todos os números que não possuem representação na forma de fração, ou seja, são números que, na forma decimal, não são periódicos e não têm um número finito de casas. É comum representar o conjunto dos números irracionais pelo símbolo I. Vejamos alguns exemplos: 0,1346... 14,0100304... π=3,14 = 141413,... 3= 173008,... 1.3. Conjunto dos números reais O conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais e irracionais, ou seja, Q I=R. O mais comum é representar os números reais pela reta geométrica dos reais, formada por todos os números reais nela inseridos uma única vez e em ordem crescente: Exemplo da representação geométrica de R: 3 4 0, π 6 4 3 1 0 1 3 4 6 R Figura 07 Reta dos números reais R Q Z N N Z Q R I Figura 08 Representação do conjunto dos números reais no diagrama de Venn 1
Unidade I 1.4 Arredondamento A aplicação da regra de arredondamento nos números se mostra particularmente útil quando estes possuem infinitos algarismos. Para isso, basta aplicar a seguinte regra: verifique se o algarismo que se encontra imediatamente à direita do algarismo da ordem que se deseja arredondar é maior ou igual a, se for, incremente o em 1, caso contrário, mantenha o. A seguir, alguns exemplos Ao arredondar o número 1,6378 para duas casas decimais, obtemos 1,64. Acompanhe: 1,6378 Ao arredondar o número para duas casas decimais, iremos cortá lo no segundo algarismo após a vírgula, sendo o número 3 o algarismo da ordem. 1,6378 O número que vem imediatamente após o 3 é o 7, que é maior do que, assim, o número 3 deve ser incrementado em 1. 1,64 Assim, substitua o número 3 por 4 e teremos que o número 1,6378 foi arredondado para duas casas decimais, ficando 1,64. Se o número fosse 1,638, veja como ficaria: 1,638 O número que vem imediatamente após o 3 é o, que é menor do que, assim, o número 3 deve ser mantido. 1,638 Ao arredondar o número para duas casas decimais, iremos cortá lo no segundo algarismo após a vírgula, sendo o número 3 o algarismo da ordem.
Matemática 1,63 Desse modo, o número 1,638 foi arredondado para duas casas decimais, ficando 1,63. 1. Intervalos Intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais. Eles podem ser expressos diretamente na reta dos reais ou pelos delimitadores [ ]. Dados dois números reais a e b, com a < b, tem se as seguintes notações de intervalos: intervalo aberto: Quadro 01 Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores a b R ]a,b[={x R a < x < b} Observação A bolinha aberta indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Exemplo: 3 R ]3,[={x R 3 < x < } Figura 09 O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores que 3 e menores que, ou seja, todos os números entre 3 e. intervalo fechado: Quadro 0 Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores a b R [a,b]={x R a < x < b} 3
Unidade I Observação A bolinha fechada indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Exemplo: 3 R [3,]={x R 3 < x < } Figura 10 O intervalo ilustrado representa todos os números maiores ou iguais a 3 e menores ou iguais a, ou seja, todos os números entre 3 e incluindo o 3 e o. intervalo aberto à direita: Quadro 03 Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores a b R [a,b[={x R a < x < b} Exemplo: 3 R [3,[={x R 3 < x < } Figura 11 O intervalo ilustrado na imagem anterior representa todos os números maiores ou iguais a 3 e menores que, ou seja, todos os números entre 3 e incluindo o 3. intervalo aberto à esquerda: Quadro 04 Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores a b R ]a,b]={x R a < x < b} 4
Matemática Exemplo: 3 R ]3,]={x R 3 < x < } Figura 1 O intervalo ilustrado na figura 1 representa todos os números maiores que 3 e menores ou iguais a, ou seja, todos os números entre 3 e incluindo o. intervalos infinitos: Quadro 0 Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores b R ]-,b]={x R x < b} b R ]-,b[={x R x < b} a R [a, [={x R x > a} a R ]a, [={x R x > a} Observação O símbolo representa o infinito positivo e o representa o infinito negativo. Observe mais alguns exemplos: R ],]={x R x < } Figura 13 O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números menores ou iguais a. R ],[={x R x < } Figura 14
Unidade I O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números menores que. 3 R [3, [={x R x > 3} Figura 1 O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores ou iguais a 3. 3 R ]3, [={x R x > 3} Figura 16 O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores que 3. 1..1 Operações com intervalos Seja A e B os seguintes intervalos numéricos: A={x R 1 < x < 1}=] 1,1[ 1 1 R B={x R 0 < x < }=[0,[ 0 R Figura 17 A configuração da união desses intervalos seria representada por: A B A B 1 1 0 1 A B={x R 1< x < }=] 1,[ 6 Figura 18
Matemática A seguir, a representação da intersecção dos intervalos A e B: A B A B 1 1 0 0 1 A B={x R 0 < x < 1}=[0,1[ Figura 19 A diferença entre os intervalos em questão ficaria conforme ilustram as imagens a seguir: A B 1 1 0 A B 1 0 A B={x R 1 < x < 0}=] 1,0[ Figura 0 A B 1 1 0 B A 1 B A={x R 1 < x < }=[1,[ Figura 1 Saiba mais No livro Alex no país dos números (BELLOS, 011), você encontrará curiosidades e informações interessantes sobre os números. Leia o: BELLOS, A. Alex no país dos números: uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática. São Paulo: Companhia das Letras, 011. 7
Unidade I Expressões algébricas.1 Operações com frações Adição ou subtração de frações Nas adições ou subtrações de frações de mesmo denominador, mantém se o denominador e efetua se o cálculo apenas dos valores do numerador. Observe os exemplos a seguir: 4 4 8 + 4 = + = 4 = = 6 3 8 3 + = + = 9 Porém, em adições ou subtrações de frações de denominadores diferentes, uma forma rápida de realizar o cálculo é aplicar a seguinte regra: a b c ad. ± cb. ± = d bd. Vejamos alguns exemplos: 4 3. + 4. 6 0 + = = + = 3 3. 1 4 3. 4. 6 0 = = = 3 3. 1 6 1 14 1 Outra técnica para efetuar essas somas e subtrações de frações de denominadores diferentes é por meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Por exemplo, para calcular: 10 4 6 + 3 1º passo: calcular o MMC dos denominadores: 8
Matemática 10,6,,3,1 3,1,1 Ao multiplicar os divisores entre si, obtemos o MMC (10, 6, ) =.3. = 30. º passo: reescrever a fração alocando no denominador o MMC encontrado: [( 30 10). ] [( 30 6). 4+ [( 30 ).] 3 = 30 ( 3. ) ( 4. ) + ( 1. 3) 6 = = 0 + 4 14 + 4 9 = = 30 30 30 30 Portanto, 10 4 3 9 6 + = 30. Multiplicação de frações Para multiplicar frações, multiplique o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador, como exemplificado a seguir: a c ac.. = b d bd. 4 4. 8. = = 3 3. 1 4. 3 1 41.. 8 4 = = = 3.. 30 1 Lembrete A regra dos sinais para multiplicação é: (+ 1) x (+ 1) = + 1. (+ 1) x ( 1) = 1. ( 1) x (+ 1) = 1. ( 1) x ( 1) = + 1. 9
Unidade I Observação Sempre que possível, expresse as frações de forma irredutível, ou seja, de tal modo que o denominador e o numerador não tenham divisores comuns. Veja o exemplo: 1 = 10 Divisão de frações O processo de divisão de frações é simples. Para realizá lo, é preciso apenas multiplicar o numerador pelo inverso do denominador, como demonstrado a seguir: a b a c b d = a c = b d d c 4 3 = 3 4 = 4 = 3 6 0 1 1 3 = 3 1 3 3 = = 0 Lembrete A regra dos sinais para a divisão é idêntica à da multiplicação, pois uma operação é a inversa da outra.. Operações com expressões numéricas Nos cálculos de expressões numéricas, é necessário obedecer à seguinte ordem e prioridade: 30
Matemática Ordem: 1º: Potenciação ou radiciação º: Multiplicação ou divisão 3º: Adição ou subtração Prioridade: 1º: Parênteses ( ) º: Colchetes [ ] 3º: Chaves { } Veja alguns exemplos: exemplo 01: 14 + 6 = 14 + 3 = 17; exemplo 0: (14 + 6) = 0 = 10; exemplo 03: 3 1 3 = 6 = 1; exemplo 04: 3 ( 1) 3 = 3-13 3 = -39 3 = -13. Ao compararmos o exemplo 01 com o 0 e o 03 com o 04, observamos que, apesar das expressões serem muito semelhantes, os resultados são diferentes. Isso se dá pela prioridade dos parênteses, presentes nos exemplos 0 e 04. exemplo 0: [30 (1 3)] (3 1 3 ) + (14 + 6) = [30 4 ] ( 6 ) + ( 0 ) = [ 6 4 ] ( 1 ) + 0 = [ ] ( 1 ) + 10 = + 10 = 1..3 Potenciação e radiciação A potenciação representa a multiplicação de um número por ele mesmo diversas vezes, como mostra o esquema a seguir: 31
Unidade I n a = aaa..... aa. 1 4 34 nvezes Onde: a é um número real e n é um número inteiro positivo. O a é a base e o n é o expoente da potência. Exemplos: 3 =.. = 8 =. = ( 3) = ( 3).( 3) = 9 3 = 3.3 = 9 Propriedades da potenciação Adotando a como um número real e m e n como números inteiros positivos, as seguintes propriedades de potenciação são validadas: a 0 =1; a 1 =a; a n = 1 a n, a 0; n a b aeb b = a, 0; a n. a m = a n+m ; n a a m n n m = a, a 0; (a m ) n = a mn ; n a a b b =, 0 n b. n Observe mais alguns exemplos:. 3 = (+3) = 3
Matemática 8 3 1 3 3 3 1 3 1 3 1 = ( ) = = = 0 3 = = 3 = 3 3 0 A operação oposta à potenciação é a radiciação, expressa pela seguinte relação: n n a= b b = a Onde: a e b são números reais e n é um número inteiro positivo. Além disso, n é o índice, a é o radicando, b é a raiz e é o radical. Propriedades da radiciação n n a = a; n n n ab. = a. b; n m nm a =. a; m n m a = an ; n a a n =, b n b b 0. Observe: 3 = Observação Quando o índice da raiz for, não precisamos escrevê lo, ele fica subentendido, como no exemplo: =. 3 8 = =. =. =. 1 3 1 1 = 3 = = 3 3 3 3 33
Unidade I.4 Operações com expressões algébricas As expressões algébricas são operações matemáticas compostas por números e/ou letras e classificadas por: monômio: expressão algébrica composta por apenas um termo. Exemplos: 100 x 43ab 3 binômio: expressão algébrica composta por dois monômios. Exemplos: 100 + x x 43ab 3 x + trinômio: expressão algébrica composta por três monômios. Exemplos: 100 + x 43ab 3 x + x + a 3 + bc + ab polinômio: expressão algébrica composta por mais de três monômios. Exemplos: x + x + y b a 3 + bc + ab + 3ac b Adição e subtração A adição e a subtração de expressões algébricas só são possíveis a partir da soma ou subtração de monômios que possuem exatamente a mesma parte literal, como ilustrado a seguir: 3x + 4y y + x = 8x + y (xy + 4x) (xy + x ) = xy + 4x xy x = xy + 3x Multiplicação e divisão Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, utiliza se principalmente as propriedades de potenciação. Exemplos: (x y)(xz) = 10x 3 yz (xy + 4x).(xy + x) = x y + x y + 4x y + 4x 34
Matemática. Valor numérico de expressões algébricas Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, é preciso substituir a parte literal por valores numéricos. Por exemplo, para calcular o valor da expressão algébrica x + x + para x =, basta substituir o x por :. + + = 8 + + = 1 Para x = 1, faça:.( 1) + ( 1) + =.1 1 + = 1 + = 3.6 Fatoração e simplificação Fatorar uma expressão é apresentá la na forma de uma multiplicação. Veja exemplos de expressões fatoradas: x x y a 3 (3+b ) (xy + 4x).(xy + x) A fatoração é muito utilizada no processo de simplificação de expressões algébricas, como apresentado a seguir: x + 4x x = ( ) = + x x+ 4 x 4 x Para facilitar o processo de simplificação, os produtos notáveis também são muito utilizados. Os principais produtos notáveis estão apresentados a seguir: ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b)= ( a + ab+ ba+ b )= a + ab+ b ( a b) = ( a b) ( a b)= ( a ab ba+ b )= a ab+ b 3 3 3 ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b)= ( a + ab+ b ) ( a+ b)= a + 3a b+ 3ab + b 3 3 3 ( a b) = ( a b) ( a b)= ( a ab+ b ) ( a b) = a 3a b+ 3ab b ( a+ b) ( a b)= ( a ab+ ba b )= a b 3
Unidade I A seguir, um exemplo de uma simplificação usando produtos notáveis: x x 9 = + 3 3 Equações 3.1 Introdução ( x 3) ( x+ 3) x + 3 = x 3 A finalidade de uma equação é encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Acompanhe o exemplo a seguir: João tem R$ 10,00 e quer gastar seu dinheiro comprando trufas de chocolate. Se cada trufa custa R$,0, quantas trufas João pode comprar com seu dinheiro? Para a resolução, adote x para representar a quantidade de trufas que João pode comprar com R$ 10,00, assim, x será a incógnita do problema. Agora, estruturemos a equação do problema:,x = 10 Nessa igualdade, está implícita a seguinte pergunta: qual é o valor de x que, ao ser multiplicado por,, resulta em 10? Para responder essa pergunta, é necessário resolver a equação, ou seja:,x=10 10 x = =, 4 Portanto, João pode comprar quatro trufas de chocolate com seus R$ 10,00. Para conferir se os cálculos foram realizados corretamente, substitua o valor encontrado na equação inicial. Se a igualdade se mantiver, o cálculo está correto, caso contrário, está errado:,x = 10,.4 = 10 10 = 10 36
Matemática Observação É comum o uso das letras x e y para representar as incógnitas nas equações, no entanto, podem ser utilizadas quaisquer letras do alfabeto, quaisquer símbolos e até mesmo quaisquer desenhos para esse fim. As equações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente das incógnitas nelas presentes. Por exemplo:,x=10 é uma equação do 1º grau, pois o expoente do x é 1. Vejamos outros exemplos: x +x=0 é uma equação do º grau, pois o maior expoente do x é. x+3x =x+1 é uma equação do º grau, pois o maior expoente do x é. y 3 y+y =1 é uma equação do 3º grau, pois o maior expoente do y é 3. 3. Equação do 1º grau A estrutura geral da equação do 1º grau é dada pela expressão ax + b = 0, sendo que a e b são números reais e a 0. Para resolver equações do 1º grau, é preciso isolar a incógnita em um dos lados da equação e apresentar o resultado no conjunto solução (S). O valor da incógnita que torna a equação verdadeira é denominado raiz da equação. Observe: Exemplo 01: x 10=0 x=10 x = 10 x= S = {}. Assim, é a raiz da equação do exemplo 01. 37
Unidade I Exemplo 0: x + 4= 0 x = 4 x = 4. x = 8 S = 8 Assim, 8 é a raiz da equação do exemplo 0. Exemplo 03: x 1 x+ = 3 3(x 1)=(x+) 6x 3=x+4 6x x=4+3 4x=7 x = 7 4 S = 7 4 Assim, 7 4 é a raiz da equação do exemplo 03. 38 3.3 Equação do º grau A estrutura geral da equação do º grau é dada pela expressão ax + bx + c = 0, sendo que a, b e c são números reais e a 0. A equação do º grau também é denominada equação quadrática. As letras
Matemática a, b e c presentes na equação são chamadas de coeficientes da equação. O coeficiente a acompanha x, b acompanha x e c é o termo independente. O principal método utilizado para calcular equações do º grau é a fórmula de Bhaskara, expressa a seguir: b x = ± = b 4ac a O, denominado discriminante, é uma fórmula importante que possibilita saber a quantidade de soluções possíveis para uma equação do º grau: = 0 indica que a equação admite duas raízes reais e iguais; > 0 indica que a equação admite duas raízes reais e diferentes; < 0 indica que a equação não admite raízes reais. Veja alguns exemplos: Exemplo 01: Encontremos as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x x+6=0: 1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b =, c = 6. º passo: calcular =b 4ac e analisar o resultado: =( ) 4.1.6= 4=1 Como > 0, a equação admite duas raízes reais e diferentes. 3º passo: calcular as raízes: b x = + = ( )+ 1 = + 1 6 = = 3 a 1. b x " = = ( ) 1 = 1 4 = = a 1. S={, 3} 39
Unidade I Portanto, as raízes da equação são e 3. Exemplo 0: Encontremos as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x +x+1=0: 1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b =, c = 1. º passo: calcular = b 4ac e analisar o resultado: = 4.1.1 = 4 4 = 0 Como = 0, a equação admite duas raízes reais e iguais. 3º passo: calcular as raízes: b x = + a = + 0. = + 0 = 1 = 1 b x " = a = 0. = 0 = 1 = 1 S={ 1} Portanto, a raiz da equação é 1. Exemplo 03: Encontremos as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x +x+=0: 1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b =, c =. º passo: calcular = b 4ac e analisar o resultado: = 4.1. = 4 8 = 4 Como < 0, a equação não admite raízes reais, logo, o conjunto solução é vazio: S=. 40
Matemática 4 Inequações 4.1 Introdução As inequações são muito semelhantes às equações. A única diferença é que os resultados das inequações são intervalos de valores e, nas equações, os resultados são valores pontuais. A finalidade de uma inequação é encontrar todos os valores da incógnita que tornam a desigualdade verdadeira. Acompanhe o exemplo a seguir: João tem R$ 10,00 e, sabendo que cada trufa custa R$,0, quer saber até quantas trufas de chocolate pode comprar com seu dinheiro. Para a resolução, adote x para representar a quantidade de trufas que João pode comprar com seu dinheiro, ou seja, x será a incógnita do problema. Agora, estruturemos a equação do problema:,x 10 Nessa igualdade, está implícita a seguinte pergunta: quais são os valores de x que, ao serem multiplicados por,, resultam em um valor menor ou igual a 10? Para responder essa pergunta, basta resolver a inequação:,x < 10 10 x 4, Portanto, João pode comprar até quatro trufas de chocolate com seus R$ 10,00. Assim como nas equações, as inequações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente das incógnitas presentes na expressão. Por exemplo:,x < 10 é uma inequação do 1º grau, pois o expoente do x é 1. Verifique outros exemplos: x + x > 0 é uma inequação do º grau, pois o maior expoente do x é ; x + 3x > x + 1 é uma inequação do º grau, pois o maior expoente do x é ; y 3 y + y < 1 é uma inequação do 3º grau, pois o maior expoente do y é 3. 41
Unidade I 4. Inequação do 1º grau A estrutura geral da inequação do 1º grau é dada pelas seguintes expressões: ax + b < 0; ax + b 0; ax + b > 0; ax + b 0. Sendo que a e b são números reais e a 0. Para resolver inequações do 1º grau, usa se a mesma técnica de resolução das equações, com a manutenção do sinal da desigualdade. O resultado deve ser apresentado usando a notação de intervalos. Observe alguns exemplos: Exemplo 01: x 10 < 0 x < 10 x < 10 x < S = {x R x < } = ],[ Exemplo 0: x + 4 0 Observação Qualquer uma das notações é válida, ou seja, não é necessário que todas sejam apresentadas. Adote a que você julgar mais fácil e use a. 4
Matemática x 4 x 4. x 8 8 8 S= x R x =, Exemplo 03: x 1 x+ > 3 3( x 1) > ( x +) 6x -3 > x + 4 6x + x > 4 + 3 4x > 7 ( 1)( 4x) > ( 1)(7) Preste atenção que, nessa passagem, é necessário multiplicar ambos os lados da inequação por (-1) e trocar o sentido do sinal. 4x < 7 x < 7 4 7 7 S= x R x< =, 4 4 7 4 R Figura 43
Unidade I 4.3 Inequação do º grau A estrutura geral da inequação do º grau é dada pelas seguintes expressões: ax + bx + c < 0; ax + bx + c 0; ax + bx + c > 0; ax + bx + c 0. Nelas, a, b e c são números reais e a 0. Para resolver inequações do º grau, usa se a mesma técnica de resolução das equações e insere se ao final o estudo do sinal da desigualdade. O resultado deve ser apresentado usando a notação de intervalos. A seguir, apresentaremos um esquema para o estudo do sinal das inequações do º grau. b Adotando, = b 4ac, x = + seguinte estrutura: a b e x " = a, se > 0, o intervalo da solução segue a mesmo sinal do coeficiente a sinal contrário ao do coeficiente a mesmo sinal do coeficiente a x x Figura 3 Se = 0, o intervalo da solução segue o seguinte esquema: mesmo sinal do coeficiente a mesmo sinal do coeficiente a x = x Figura 4 Se < 0, o intervalo da solução segue o esquema: 44
Matemática mesmo sinal do coeficiente a Figura Para que os conceitos fiquem mais claros, observe a seleção de exemplos: Exemplo 01: Encontremos os valores que tornam a inequação x x + 6 > 0 verdadeira: 1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b =, c = 6. º passo: calcular = b 4ac e analisar o resultado: = ( ) 4.1.6 = 4 = 1 Como > 0, a inequação admite duas raízes reais e diferentes. 3º passo: calcular as raízes: b x = + = ( )+ 1 = + 1 6 = = 3 a 1. b x " = = ( ) 1 = 1 4 = = a 1. 4º passo: fazer o estudo do sinal: Como > 0, o intervalo da solução segue o seguinte esquema: mesmo sinal do coeficiente a sinal contrário ao do coeficiente a x x mesmo sinal do coeficiente a Figura 6 4
Unidade I Assim, após substituir as informações no esquema, temos: + - + 3 Figura 7 Como se deseja que na inequação os valores sejam maiores que zero (x x + 6 > 0), o intervalo que torna a inequação verdadeira se configura sob o sinal positivo: + + 3 Figura 8 Logo, a solução da inequação x x + 6 > 0 é o intervalo: S = {x R x < ou x > 3} = ], [ ] 3, [ Exemplo 0: Encontremos os valores que tornam a inequação x + x + 1 < 0 verdadeira. 1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b =, c = 1. º passo: calcular = b 4ac e analisar o resultado: = 4.1.1 = 4 4 = 0 Como = 0, a inequação admite duas raízes reais e iguais. 3º passo: calcular as raízes: b x = + a = + 0. = + 0 = 1 = 1 b x " = a = 0. = 0 = 1 = 1 46
Matemática 4º passo: fazer o estudo do sinal: Como = 0, o intervalo da solução segue a estrutura: mesmo sinal do coeficiente a mesmo sinal do coeficiente a x = x Figura 9 Após substituir as informações no esquema, temos: + + 1 Figura 30 Como se deseja que na inequação os valores sejam menores que zero (x + x + 1 < 0), não há solução nos reais para essa inequação, pois, no estudo dos sinais, só existe o sinal positivo, portanto, o conjunto solução será vazio: S =. Exemplo 03: Encontremos os valores que tornam a inequação x + x + > 0 verdadeira: 1º passo: identificar os coeficientes: a = 1, b =, c =. º passo: calcular =b 4ac e analisar o resultado: = 4.1. = 4 8 = 4 Como < 0, a inequação não admite raízes reais. 3º passo: fazer o estudo do sinal: Como < 0, o intervalo da solução segue a estrutura: 47
Unidade I mesmo sinal do coeficiente a Figura 31 Assim, após substituir as informações no esquema, temos: + Figura 3 Como se deseja que na inequação os valores sejam maiores que zero (x + x + > 0), todos os valores da reta dos reais tornam essa inequação verdadeira, logo, o conjunto solução será o conjunto dos números reais: S = R. Saiba mais Há diversos livros que trazem aplicações do uso de funções matemáticas na administração. Algumas obras interessantes são: BONORA Jr., D.; ALVES, J. B. Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis, administração e economia. São Paulo: Ícone, 000. MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao cálculo para administração, economia e contabilidade. São Paulo: Saraiva, 009. SILVA, S. M. et al. Matemática para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Saraiva, 007. Para saber mais sobre funções, você também pode visitar os seguintes sites: <http://ecalculo.if.usp.br/> <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php>. 48
Matemática Resumo Dentre os assuntos expostos nesta unidade, vale destacar os fundamentos elementares da teoria dos conjuntos, principalmente o conceito de conjunto. Assim, relembrando, conjunto indica coleção ou agrupamento no qual cada item que o compõe é chamado de elemento. Quando um elemento faz parte de um conjunto, dizemos que ele pertence a esse conjunto. Um conjunto pode ser formado por números, letras, nomes ou até mesmo por outros conjuntos. Isso quer dizer que um conjunto pode ser elemento de outro. Geralmente, um conjunto é indicado por letras maiúsculas e seus elementos são indicados por letras minúsculas. Um importante grupo de conjuntos são os conjuntos numéricos, descritos a seguir: o conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros não negativos; o conjunto dos números inteiros é composto por todos os números inteiros positivos, negativos e pelo zero; o conjunto dos números racionais é composto por todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com denominador não nulo; o conjunto dos números irracionais é composto por todos os números que não possuem representação na forma de fração, ou seja, são números que, na forma decimal, não são periódicos e não têm um número finito de casas; o conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais aos irracionais. As equações e inequações foram outros dois tópicos abordados na unidade. Desse modo, aprendemos que a finalidade de uma equação é encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. As equações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente das incógnitas presentes na equação. 49
Unidade I Já as inequações são muito semelhantes às equações, a única diferença é que os resultados das inequações são intervalos de valores e, nas equações, os resultados são valores pontuais. A finalidade de uma inequação é encontrar todos os valores da incógnita que tornam a desigualdade verdadeira. Exercícios Questão 01. (ENEM, 010) O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos no período de 1988 a 006. O gasto militar dos Estados Unidos supera o do fim da Guerra Fria Em bilhões de dólares 600 Queda do Muro de Berlim (Fim da Guerra Fria) 00 400 300 46,8 4,1 403,7 34,3 374,4 34,8 334,6 31,1 EUA entram na Guerra do Golfo 30,1 98,1 Atentado de 11 de Setembro: ação militar no Afeganistão 89,7 90, 301,7 301,1 341, 417,4 486,6 36,6 8,7 Início da guerra no Iraque 00 1988 1989 1990 1991 199 1993 1994 199 1996 1997 1998 1999 000 001 00 003 004 00 006 Almanaque Abril 008. Editora Abril. Com base no gráfico, o gasto militar no início da Guerra no Iraque foi de: A) U$ 4.174.000,00. B) U$ 41.740.000,00. C) U$ 417.400.000,00. D) U$ 41.740.000.000,00. E) U$ 417.400.000.000,00. Resposta correta: alternativa E. 0
Matemática Análise das alternativas: De acordo com o gráfico, no início da Guerra no Iraque o gasto militar dos Estados Unidos foi de 417,4 bilhões, ou seja, U$ 417.400.000.000,00. Sendo assim, a única alternativa correta é a alternativa E e as demais alternativas se apresentam como incorretas. Questão 0. (ENEM, 010) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1.000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,6, enquanto para folhetos do segundo tipo, seriam necessários três selos, um de R$ 0,6, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,0. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 00 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,6 foram comprados? A) 476. B) 67. C) 93. D) 96. E) 1.38. Resolução desta questão na plataforma. 1