Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro Optimização em Redes e Não Linear Ano Lectivo 005/006, o semestre Folha - Optimização em Redes - Árvores de Suporte. Suponha que uma dada companhia aérea tem 00 voos semanais, os quais estabelecem ligações entre 5 cidades (em alguns casos indirectamente, isto é, com várias escalas) e que, durante um período de crise, resolveu manter em funcionamento o menor número de voos que possibilitasse a ligação entre as 5 cidades(se necessário com eventual mudança de avião em certos pontos do percurso). Considerando que um voo liga duas cidades, quantos voos ficaram em funcionamento?. Considere o grafo G = (V, E): v e 6 6 e 5 v e 7 v e e e e v e 5 8 v e 9 v (a) Construa uma árvore de suporte (ou abrangente) de G; (b) Supondo que a distribuição dos pesos das arestas do grafo G é a seguinte: e 0, e, e, e 5, e 5, e 6, e 7 7, e 8, e 9 5, encontre a árvore abrangente (ou de suporte) mínima.. Seja G = (V, E) o grafo: 6 7 5 (a) Indique duas árvores de suporte (ou abrangentes) distintas neste grafo. (b) Supondo que os custos de cada aresta são c =, c =, c =, c 5 =, c =, c = 6, c 5 = c 6 =, c = c 5 =, c 5 =, c 6 =, c 57 =, encontre a árvore abrangente mínima usando o algoritmo de Kruskal e o algoritmo de Prim.. Como modificaria ambos os algoritmos de construção da árvore abrangente mínima de modo a poder construir a árvore abrangente máxima? Aplique os algoritmos modificados ao grafo do exercício anterior. - Caminho Mais Curto. Puzzle de três garrafões Um garrafão de 8 litros está cheio de água. Usando apenas mais dois garrafões vazios, um de 5 e outro de litros, pretendemos dividir os 8 litros de água em partes iguais. Qual é o número mínimo de transfegas de água que é necessário fazer? Optimização em Redes e Não Linear Folha /
. Uma companhia de telemóveis oferece os seus serviços em 6 áreas geográficas, numeradas como A, A,...,A 6. As distâncias entre as áreas que têm ligação (através de satélite) estão representadas na tabela seguinte Áreas ligadas Distância A, A 700 A, A 00 A, A 00 A, A 6 00 A, A 00 A, A 700 A, A 5 00 A, A 6 00 A 5, A 6 500 A, A 5 600 Determine as rotas das mensagens mais eficazes que podem ser estabelecidas entre cada duas áreas geográficas.. A tabela seguinte representa distâncias (em Km) entre cidades C, C,...,C 8 : Cidades ligadas Distância em Km C, C C, C C, C C, C 5 C, C 5 C, C C, C 5 C, C 6 C, C 5 C, C 7 8 C 5, C 6 C 5, C 7 7 C 6, C 7 5 C 6, C 8 C 7, C 8 6 Encontre um caminho mais curto entre as cidades seguintes: (a) cidades C e C 8 ; (b) cidades C e C 6 ; (c) cidades C e C 8 ; (d) cidades C e C 6.. Determine o caminho mais curto entre o vértice v e cada um dos outros vértices da rede seguinte: Optimização em Redes e Não Linear Folha /
Arco Comprimento (v, v ) (v, v ) (v, v ) (v, v ) 5 (v, v 5 ) (v, v ) (v, v 5 ) (v, v 6 ) (v, v 5 ) (v, v 7 ) 8 (v 5, v 6 ) (v 5, v 7 ) 7 (v 6, v 7 ) 5 (v 6, v 8 ) (v 7, v 8 ) 6 - Fluxo Máximo. Na tabela seguinte encontramos as capacidades associadas aos arcos de uma rede: arcos capacidades (, ) (, ) (, ) (, 5) (, ) (, 6) (, 6) (, ) (5, ) (5, 6) Utilize o algoritmo de Ford-Fulkerson para determinar o fluxo máximo entre os nodos e 6. - Fluxo de Custo Mínimo. Determine o fluxo de custo mínimo para as redes seguintes: (a) b = b = 5 0 b = 7 5 b = b 5 = partindo da solução básica de variáveis básicas x, x, x 5, x. Optimização em Redes e Não Linear Folha /
(b) b = b = 0 b = partindo da solução básica de variáveis básicas x, x, x.. Considere a rede definida por: i 5 j 5 c ij 6 0 com b = 6, b = 6, b =, b = 6, b 5 =. (a) Determine a distribuição de fluxo de custo mínimo. b = (b) Obtenha o quadro simplex (final) correspondente à solução óptima. (c) Aplique o método Big-M a este problema.. Prove que o problema do caminho mais curto é um caso particular do problema da distribuição de fluxo mínimo.. Determine o caminho mais curto, dirigido de para 5, na rede seguinte: 5 0 5 5. Resolva o seguinte problema de fluxo de custo mínimo (note que b i 0): b = b = b = b = 6. Se o custo da variável artificial for aumentado de θ, então cada variável dual será aumentada de θ. Mostre que o custo da variável artificial não é relevante para o cálculo dos custos reduzidos. 7. Pretende-se resolver pelo método simplex, o seguinte problema de fluxo mínimo: Optimização em Redes e Não Linear Folha /
i 5 j 5 6 5 6 c ij -0 60-0 - 0-0 0 u ij 0 0 00 6 0 0 8 x ij 0 0 8 com b =, b = 6, b =, b =, b 5 = 5, b 6 = 0. (a) Determine a árvore associada à solução admissível apresentada. (b) A partir da alínea anterior resolva o problema. 8. Considere a seguinte rede: (l ij, u ij, c ij ) b = 0 (0,,) (,5,) (0,, ) b = (0,5,5) (0,5,) (,, ) b = b = (a) Formule o problema de distribuição de fluxo de custo mínimo nesta rede. (b) A partir da formulação obtida em (a) transforme esta rede numa equivalente tal que l ij = 0, i, j. (c) Partindo da solução básica de variáveis básicas x, x e x (as restantes variáveis são não básicas e estão nos seus limites inferiores) resolva o problema da distribuição de fluxo de custo mínimo. (d) Aplique o método das duas fases ao problema dado. (e) Obtenha o quadro simplex final (óptimo). 9. Considere a rede: b = (l ij, u ij, c ij ) 0 (,,) b = 8 (,7, ) (5,0,5) (0,6,) b = 5 b = 7 Pretende-se determinar a distribuição de fluxo de custo mínimo. (a) Formule este problema como um programa linear. (b) Resolva-o, aplicando o método simplex para redes. (,7,8) Optimização em Redes e Não Linear Folha / 5
0. Várias condutas tubulares ligam duas fábricas de tratamento de água e duas cidades. A produção diária da primeira fábrica é de 0 milhões de litros de água e da segunda fábrica é de 50 milhões de litros de água. A necessidade diária da cidade é 0 milhões de litros e da cidade é 60 milhões de litros. Cada fábrica tem uma ligação directa com a sua cidade respectiva. A água produzida nas fábricas e pode também ser transportada para uma estação de bombas especial que está ligada à cidade. Adicionalmente, a fábrica está ligada por uma conduta unidirectional com a fábrica e a cidade está ligada por uma conduta unidirectional com a cidade. Os custos (em Euros) de transporte de milhão de litros de água por cada ligação existente e as capacidades (limites superiores) dos tubos (em milhões de litros) estão representados na tabela seguinte: Fábrica Fábrica Cidade Cidade Estação custo lim. custo lim. custo lim. custo lim. custo lim. Fábrica 5 5 7 0 Fábrica 0 60 Cidade Cidade Est. de bombas 8 Representa o problema de minimização de custos de transporte como um problema de fluxo de custo mínimo em redes e resolve o problema obtido. 5 - Transportes. Uma empresa de malas possui duas fábricas, F e F, situadas no interior e no litoral do país, com capacidade produtiva de 5000 e 6000 malas, respectivamente. Depois de confeccionadas as malas são enviadas para armazéns, A, A, A e A, a partir dos quais são posteriormente distribuídas para todo o país, que consideramos dividido em região Norte e região Sul. A fábrica F não pode enviar malas para o armazém A e a fábrica F só pode enviar para os armazéns A, A e A. As capacidades de armazenamento dos armazéns A, A, A e A são, respectivamente, de 000, 5000, 500 e 500 malas. Os custos unitários de transporte são os apresentados no quadro seguinte: A A A A F 0 0 70 F 0 50 0 (a) Formalize o problema que lhe permita determinar o plano de transporte de menor custo total. (b) Suponha que todas as malas do armazém A se destinam à região Norte do país, enquanto que as do armazém A vão exclusivamente para a região Sul. Reformule o problema sabendo que se pretende satisfazer uma procura de 000 malas na região Norte e de 6000 malas na região Sul.. Considere o seguinte problema de transportes associado à tabela de dados seguinte: b j a i 5 5 0 0 0 6 5 0 7 0 5 6 50 8 9 7 Optimização em Redes e Não Linear Folha / 6
Em termos de um grafo é dada a seguinte solução admissível para o problema: a = 0 a = 0 a = 50 0 5 5 0 0 0 b = 5 b = 5 b = 0 b = 0 (a) Verifique, justificando, que se trata de uma solução básica óptima e averigue se ela é única. (b) Suponha que c = 5 é alterado para. Sem resolver o problema de novo, analise as implicações desta alteração e, usando pós-optimização, recupere uma nova solução óptima. (c) Como pode variar o custo c por forma a manter-se a optimalidade da solução apresentada?. Considere os seguintes dados relativos a um problema de transportes: b j a i 70 0 0 0 0 8 7 8 7 0 6 5 5 80 8 7 8 (a) Determine uma solução inicial utilizando o método do canto noroeste. (b) Resolva o problema a partir de um quadro obtido na alínea anterior (objectivo: minimização dos custos de transporte). (c) Verifique se existem soluções óptimas alternativas e, em caso afirmativo, determineas. (d) Suponha que c = 5 é alterado para c =. Verifique se a solução determinada em (b) se mantém óptima. Caso contrário, partindo dessa solução determine uma solução óptima. (e) Suponha que c = 8 é alterado para c = α e c = 7 é alterado para c = α. Determine os valores de α para os quais a solução determinada em (b) permanece óptima.. Considere um problema de transportes com origens e destinos, cujo quadro é o seguinte: Optimização em Redes e Não Linear Folha / 7
D D D s i 6 8 0 O 50 7 O 75 5 O 75 d j 00 00 00 (a) Determine uma solução inicial utilizando a regra do canto noroeste. (b) Verifique se a solução inicial, obtida na alínea anterior, é óptima. Caso não seja, partindo dessa solução determine uma solução óptima. 5. Uma empresa de transportes possui camiões disponíveis em quatro localidades diferentes: Localidade Camiões A 6 B 6 C 8 D Os clientes W, X, e Y necessitam, respectivamente, de 5, 8 e 0 camiões. A tabela seguinte indica as distâncias (em Km) das localidades aos clientes: clientes localidades W X Y A 8 6 9 B 7 5 C 8 5 7 D 7 8 Determine quantos camiões deverão ser enviados, de cada localidade e para que clientes, por forma a minimizar as distâncias percorridas. (a) Resolva este problema partindo de uma solução inicial determinada pela regra do canto noroeste. (b) Parta agora de uma solução inicial determinada pela regra do menor custo e compare com a da alínea anterior. 6 - Afectação. Uma empresa abriu concurso para duas vagas, às quais concorreram três pessoas. Na tabela seguinte é mostrada a eficiência de cada pessoa, medida em dois testes realizados: Teste Teste Maria João José Optimização em Redes e Não Linear Folha / 8
Quais as pessoas que deverão ser contratadas pela empresa? (a) Resolva este problema usando o método simplex para problemas de transporte. (b) Aplique o método Húngaro a este problema.. Uma determinada empresa pretende afectar empregados (E, E, E e E ) a máquinas (M, M e M ) minimizando o custo total de afectação e satisfazendo as seguintes restrições: - os empregados E e E terão que ser utilizados; - o custo unitário de afectação do empregado i à máquina j, para i = j é ; - c j = j, j =,, ; - os custos unitários de afectação dos empregados E e E à máquina M são iguais e correspondem ao dobro do custo de afectação do empregado E à máquina M ; -o empregado E não terá custos se for afectado à máquina M, o mesmo acontecendo com o empregado E na máquina M ; - será de 5 u.m. o custo de afectação do empregado E tanto à máquina M como à máquina M. Construa a tabela de custos e resolva o problema pelo algoritmo Húngaro.. Resolva os seguintes problemas de afectação, para os quais se indicam as respectivas tabelas de custos de afectação, usando o método Húngaro (M > 0 representa um custo penalizador associado a uma afectação impossível ou indesejada). (a) 5 5 7 6 5 8 (b) 5 7 8 9 7 8 0 9 0 9 8 M 0 0 0 Optimização em Redes e Não Linear Folha / 9