Optimização semi-infinita. Opção V. Licenciatura em Matemática Aplicada

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1 Optimização semi-infinita Opção V Licenciatura em Matemática Aplicada EXERCÍCIOS TEÓRICO-PRÁTICOS Ano lectivo de 2006/2007

2 1 Condições de optimalidade - Optimização não linear finita 1.1 Detere e classifique, usando as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem, os pontos estacionários dos seguinte problemas de optimização não linear: (a) x R 2(x 1 2) 2 + (x 2 1) 2 (hs014) s.a x x2 2 1 x 1 2x 2 = 1 (b) (hs015) x R 2100(x 2 x 2 1) 2 + (1 x 1 ) 2 s.a x 1 x 2 1 x 1 + x x Considere o seguinte problema de optimização: (x 1 0.5) 2 (x 2 0.6) 2 x R 2 sujeito a x 1 x 2 1 = 0 x x Verifique se o ponto x = (1.6, 0.6) T satisfaz as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem. 1.3 Considere o seguinte problema de optimização (hs032.mod) (x 1 + 3x 2 + x 3 ) (x 1 x 2 ) 2 x R 3 s.a 6x 2 + 4x 3 x x 1 + x 2 + x 3 = 1 Verifique as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem para o ponto x 1 = (1, 2, 2). Verifique que a solução 1 do problema x 2 = (0, 0, 1) não satisfaz as condições de optimalidade de primeira ordem. 1 Indicada no ficheiro hs032.mod A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 1

3 Resolvendo a segunda restrição (igualdade) em ordem a x 1 e substituindo na função objectivo obtém-se um problema de dimensão dois (n = 2) sem restrições (considerando que a restrição de desigualdade não está activa). Use as condições de optimalidade para problemas sem restrições (gradiente da função objectivo tem de ser nulo) para deterar que o ponto x 3 = ( 1 2, 1 2, 2)T é solução do problema. Verifique que x 3 é mínimo local fraco (e é restrição degenerada). 1.4 Considere o seguinte problema de optimização x R 2 (x 1 1) 2 + x 2 2 s.a x 1 + x2 2 β 0, β > 0. Para que valores do parâmetro β é o ponto x = (0, 0) T um mínimo local? 2 Condições de optimalidade - Optimização semi-infinita 2.1 Considere o seguinte problema de optimização semi-infinita (hettich2.mod) p,d R 2+1 d s.a t 2 (p 1 t + p 2 e t ) d 0 t [0, 2] (a) Transforme o problema anterior num problema equivalente mas diferenciável (Nota: transforme a função em duas funções diferenciáveis). (b) Verifique se o ponto p = (1, 1), d = 2 é admissível. (c) Usando o computador (MATLAB, Excel, etc...) represente graficamente as restrições infinitas no ponto indicado na alínea anterior. (d) Represente graficamente as restrições para diferentes valores de p e d. (e) Verifique que a deteração da admissibilidade do ponto ( p, d) está relacionada com o deterar as soluções globais dos problemas t T g 1 ( p, d, t) e t T g 2 ( p, d, t) em que g 1 e g 2 são as funções obtidas na primeira alínea. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 2

4 2.2 Considere o seguinte problema de PSI (problema coopem.mod simplificado): x R 2 (x 1 2) 2 + x 2 2 s.a x 1 cos(t) + x 2 sin(t) 1 0 t [0, π] Verifique se o ponto x = (1, 0) T e ˆx = (2, 0) T são soluções óptimas (pontos KKT de primeira ordem). 3 Método de discretização 3.1 Considere o seguinte problema de PSI (problema coopem.mod simplificado): x R 2 (x 1 2) 2 + x 2 2 s.a x 1 cos(t) + x 2 sin(t) 1 0 t [0, π] Codifique-o em SIPAMPL e use o solver NSIPS para deterar a solução do problem partindo da aproximação inicial (2, 2) T. Use o método de discretização na versão Hettich e considere um espaçamento de grelha inicial de Apresente uma solução para o problema gugat3.mod da base de problemas de PSI. Use o método de discretização na versão Hettich. 3.3 Apresente uma solução para o problema vaz1.mod da base de problemas de PSI. Use o método de discretização na versão Hettich. 3.4 Considere o seguinte problema de PSI (problema coopem.mod simplificado): x R 2 (x 1 2) 2 + x 2 2 s.a x 1 cos(t) + x 2 sin(t) 1 0 t [0, π] Codifique-o em MATLAB e use a função fsef para deterar a solução do problem partindo da aproximação inicial (2, 2) T. Considere um espaçamento de grelha inicial de Apresente o número de iterações e o respectivo valor da função objectivo, com e sem o uso do gradiente da função objectivo. 3.5 Considere o seguinte problema de optimização (hettich6.mod - Aproximação de Chebyshev) x s.a φ ( d ( i i=0 j=0 x i,j t (i j) 1 t j 2 t [0, 1] [1, 2.5] ) (log(t 1 + t 2 ) sin(t 1 ))) φ A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 3

5 em que d é o grau do polinómio aproximação. (a) Codifique o problema tal como está definido. Use a funcionalidade do MATLAB de passar parâmetros extras à função objectivo e à função das restrições para indicar o grau do polinómio. (b) Resolva o problema, usando o MATLAB, para os seguinte valores de d (φ indica o valor óptimo para φ): d φ e e e e e e-5 (c) Transforme o problema num problema equivalente com restrições diferenciáveis, mas em que t [0, 1] [1, 2.5] seja transformado em t [0, 1] [0, 1]. Confirme que obtém os mesmos resultados que na alínea anterior. 4 Método de penalidade 4.1 Considere o seguinte problema de optimização finita. 1 ( (x1 1) 2 + x 2 x R 2 2 2) s.a x x2 2 = 0 x x 2 0 Implemente em MATLAB o seguinte algoritmo. (a) Dados x 0 e µ 0. Seja k = 0. (b) Resolver o subproblema φ 2(x, µ k ) (1) x R n com x k como aproximação inicial e cuja solução é x k+1 = x (µ k ). (c) Se o critério de paragem for verificado então terar com x = x (µ k ), senão actualizar o parâmetro de penalidade (µ k+1 = γµ k, com γ 1), fazer k = k + 1 e ir para o passo (1b). A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 4

6 Use a função func do MATLAB para resolver o problema (1). Considere x 0 = (2, 2) T, µ 0 = 1, γ = 10 e faça três iterações. Use a funcionalidade de passagem de parâmetros extra para passar o parâmetro de penalidade para a função φ Considere a seguinte função φ(x, µ) = f(x) µ i {1,...,m} referente ao problema de optimização não linear s.a x R n f(x) {0, g i (x)} g i (x) 0, i = 1,..., m (2) (a) Verifique se φ pode ser considerada uma função de penalidade para (2). (b) Reformule a função de φ para que seja considerada uma função de penalidade para (2). (c) Reformule a função proposta na alínea anterior para obter uma função de penalidade para a PSI, baseando-se na técnica da transcrição das restrições. 4.3 Considere o seguinte problema de PSI (problema coopem.mod simplificado): Usando a função de penalidade x R 2 f(x) (x 1 2) 2 + x 2 2 s.a g 1 (x, t) x 1 cos(t) + x 2 sin(t) 1 0 t T [0, π] φ(x, µ) = f(x) + µ i {1,...,m} {0, T [g i (x, t)] + dt} implemente o algoritmo de penalidade descrito no exercício Considere seguinte problema codificado em (SIP)AMPL. var x{1..2}, default 2; var t; imize fx: (x[1]-2)^2+x[2]^2; subject to tcons: x[1]*cos(t)+x[2]*sin(t)-1<=0; subject to bounds: 0<= t <= ; A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 5

7 Use o solver NSIPS com a função de penalidade φ 1 S problema. para deterar a solução do A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 6