Pirâmide 01 Nível Fácil 1. (Unisc 01) Em uma pirâmide regular, a base é um quadrado de lado q. Sabendo que as faces laterais dessa pirâmide são triângulos equiláteros, pode-se afirmar que o seu volume é a) q b) q c) q q d) e) q. (Uepa 015) Leia o texto para responder à questão. A arte é uma forma de expressão da racionalidade humana. O origami é uma técnica japonesa baseada em juntar módulos individuais de papel dobrando para criar prismas e cubos, conforme ilustra a figura abaixo. Todas as pirâmides ilustradas na composição artística acima são tetraedros regulares de base triangular de aresta L 1dm ligados uns aos outros, por meio de suas arestas e mantendo suas bases sobre um mesmo plano. Nestas condições, a área total, em tetraedros regulares é: a) b) c) d) e) dm, de um desses www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14
. (Uel 015) Na molécula do Metano (CH 4), o átomo de carbono ocupa o centro de um tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio. Considerando que as arestas do tetraedro regular medem cm e que a altura mede 1 h, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro. a) cm b) c) d) e) 18 cm 18 cm cm 54 cm 4. (Ufjf-pism 015) Um monumento será construído no formato de uma pirâmide de base hexagonal regular. Sabendo que a altura h do monumento é 4 m, a aresta lateral a mede 7 m, a aresta da base mede 4 m e desconsiderando possíveis perdas, determine: a) a área ocupada pela base do monumento em metros quadrados. b) a área mínima de espelhos necessária para cobrir completamente as laterais do monumento. c) o volume desse monumento. 5. (Uece 015) A medida da aresta de um tetraedro regular com altura igual a 5 metros é a) 5,5 m. b) 5 1,5 m. c) 1,5 m. d),5 m.. (Esc. Naval 015) Em um polígono regular, cujos vértices A,B e C são consecutivos, a diagonal AC forma com o lado BC um ângulo de 0. Se o lado do polígono mede unidades de comprimento, o volume da pirâmide, cuja base é esse polígono e cuja altura vale o triplo da medida do lado, é igual a a) b) c) d) 4 e) www.nsaulasparticulares.com.br Página de 14
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Utilize as informações a seguir para a(s) quest(ões) abaixo. Uma artista plástica está criando uma nova obra, que será um quadro com alto relevo de formas geométricas. Para iniciar o projeto, ela desenhou o quadrado base da obra, mostrada abaixo. Esse quadrado tem 40 cm de lado e o ponto P foi posicionado 8 cm para a direita e 8 cm para baixo do ponto A. Traçando a diagonal do quadrado e tomando o ponto P como vértice, ela construiu o triângulo em preto e, usando a simetria em relação à diagonal, ela construiu o triângulo em branco, com vértice no ponto Q. Em seguida, reproduzindo esse quadrado base 1 vezes, ela construiu o quadro em relevo mostrado abaixo, elevando tetraedros sobre cada quadrado base, cada um com altura de cm em relação ao plano do quadrado base, conforme ilustra a figura a seguir. 7. (Insper 015) Para garantir o efeito visual que desejava, a artista plástica fez as faces dos tetraedros de material transparente e encheu com um líquido contendo material reflexivo. O volume de líquido necessário para encher todo o quadro é de, aproximadamente, a) 45 litros. b) 47 litros. c) 49 litros. d) 51 litros. e) 5 litros. 8. (Mackenzie 014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento m, então podemos afirmar que a) a altura é igual a m. b) a altura é igual a m. c) a altura é igual a 4,5 m. 7 d) o volume é igual a m. e) o volume é igual a 18 m. www.nsaulasparticulares.com.br Página de 14
9. (Uepa 014) As pirâmides comunicam, ainda hoje, os valores culturais de uma das civilizações mais intrigantes da humanidade. Foram construídas para a preservação do corpo do faraó. De acordo com a lenda de Heródoto, as grandes pirâmides foram construídas de tal modo que a área da face era igual ao quadrado da altura da pirâmide. Texto Adaptado: Contador, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida ª Ed. rev. São Paulo: Editora Livraria da Física, 011. Considere a pirâmide de base quadrada, cujo lado mede a, a altura H e altura da face h, construída segundo a lenda de Heródoto. Se S expressa a área da face da pirâmide, então é correto afirmar que: a) S a ha h. b) S h ah a. c) S a h. d) S h a. e) S a h. Nível Médio 10. (Ufrgs 01) Considere ABCDEFGH um paralelepípedo reto-retângulo conforme representado na figura abaixo. Se as arestas do paralelepípedo medem, e 10, o volume do sólido ACDH é a) 10. b) 0. c) 0. d) 0. e) 90. 11. (Ufjf-pism 01) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado e N é um ponto sobre a aresta AC tal que AN NC. a) Calcule DN. b) Calcule a área do triângulo BDN. www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 14
1. (Ufpr 01) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide? a) 1 cm. b) 1 cm. c) cm. d) cm. e) 4 cm. 1. (Ufsm 015) Desde a descoberta do primeiro plástico sintético da história, esse material vem sendo aperfeiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve ao fato de o plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. Uma peça plástica usada na fabricação de um brinquedo tem a forma de uma pirâmide regular quadrangular em que o apótema mede 10mm e a aresta da base mede 1mm. A peça possui para encaixe, em seu interior, uma parte oca de volume igual a 78mm. O volume, em mm, dessa peça é igual a a) 115. b) 1074. c) 40. d) 84. e) 0. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Utilize o fragmento e as imagens abaixo como auxílio para responder à(s) quest(ões) a seguir. Existem variados tipos de blocos de concreto para o uso de contenção às ondas marinhas, em especial o Tetrápode bloco criado na década de 1950 e utilizado no molhe leste da Barra Cassino (Rio Grande RS). Constituído em concreto maciço, o bloco é disposto de um eixo central, no qual são tangentes quatro cones alongados (patas) e arredondados, distribuídos igualmente a 10 no espaço. Essas patas facilitam a conexão entre os blocos, tornando a estrutura mais estável. O centro de gravidade do Tetrápode encontra-se na união das quatro patas, o que dificulta o balanço e o rolamento da carcaça. Imagens e Fragmento extraído de Tipos de blocos de concreto para estrutura hidráulica de proteção às ondas marinhas e análise visual dos Tetrápodes da Barra de Rio Grande (Adaptado). Disponível em: http://www.semengo.furg.br/008/45.pdf Acesso: 10 abr. 015. 14. (Ifsul 015) Unindo-se as pontas dos eixos das 4 patas, forma-se um sólido geométrico chamado a) Pirâmide Quadrangular Regular. b) Cilindro Equilátero. c) Tetraedro Regular. d) Tronco de Pirâmide. www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 14
15. (Uece 014) Sejam X, Y e Z três pontos fixos distintos e não colineares, e P um ponto do espaço, vértice de uma pirâmide cuja base é o triângulo XYZ e cuja medida do seu volume é m. O conjunto de todos os pontos P que cumprem esta condição é formado por a) duas retas paralelas. b) um plano. c) dois planos. d) exatamente dois pontos. 1. (Unifesp 014) A figura indica uma pirâmide regular quadrangular reta cujas faces laterais são triângulos equiláteros. A aresta da base dessa pirâmide mede 1 cm. Duas formigas, F 1 e F, partiram do ponto médio da aresta VA para o ponto médio da aresta VC, sempre caminhando por faces, arestas, ou cruzando arestas. Dentre todos os caminhos possíveis ligando os dois pontos, a formiga F 1 escolheu o mais curto deles. Já a formiga F escolheu o caminho mais curto dentre todos que passam pela base ABCD da pirâmide. Calcule: a) a distância percorrida pela formiga F 1. b) a distância percorrida pela formiga F. www.nsaulasparticulares.com.br Página de 14
17. (Uerj 014) Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano á. Esse plano contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem: Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano a, como se observa nas imagens: Considere as seguintes informações: - o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro; π - a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 0 x ; - x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α ; - o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y. O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em m, em função do ângulo x, em radianos, é: a) b) c) d) 18. (Uepb 014) O volume de um tetraedro regular de aresta cm é igual a: a) cm b) c) cm cm d) 1 cm e) cm www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 14
Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Desde que as faces laterais são triângulos equiláteros de lado q, segue que o apótema da pirâmide mede q. Em consequência, sendo a medida do apótema da base igual a q, pelo Teorema de Pitágoras, segue que a altura da pirâmide mede q. Portanto, a resposta é 1 q q q. Resposta da questão : [C] A área total de cada tetraedro é igual a L 1 dm. Resposta da questão : [B] O volume do tetraedro regular de aresta cm é dado por 18 cm. 1 1 Resposta da questão 4: a) A área da base é dada por (4 ) 144 m. Observação: Os dados são inconsistentes. De fato, considerando o triângulo retângulo formado pela altura do monumento, uma aresta lateral e o respectivo raio r do círculo circunscrito à base, pelo Teorema de Pitágoras, vem r 4 7 r. Ora, segue que r. Contradição. b) O apótema m do monumento é dado por 4 p 7 p 49 4 p 5 m. Desse modo, a área lateral do monumento é igual a 4 5 0 m. Observação: Pelo mesmo motivo da observação em (a), é possível obter outro resultado para a área lateral. 1 c) O volume do monumento é 144 4 19 m. Observação: Pelo mesmo motivo da observação em (a), é possível obter outro resultado para o volume. www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 14
Resposta da questão 5: [B] Sabendo que a altura de um tetraedro regular de aresta 15 5 5 5 4 é dada por h, temos 5 1,5 m. Resposta da questão : [A] Desde que BCA 0 e AB BC, temos CAB 0. Em consequência, vem ABC 10 e, portanto, a base da pirâmide é um hexágono regular de lado. Desse modo, sendo h a altura da pirâmide, seu volume é igual a 1. Resposta da questão 7: [D] A área da base de cada tetraedro corresponde à metade da área do quadrado base, isto é, 1 40 800cm. Portanto, como são 1 tetraedros, segue o volume de líquido necessário para encher todo o quadro é 1 800 51.00cm 51L. Resposta da questão 8: [E] A altura do tetraedro regular é igual a m, e seu volume é 18 m. 1 Resposta da questão 9: [B] De acordo com a lenda de Heródoto, segue que Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras, vem h H a h S a S (h a)(h a). S H. www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 14
Resposta da questão 10: [C] O volume V da pirâmide será dado por: 1 V Ab h, onde A b é a área da base da pirâmide e h é a altura. Logo: 1 10 V 0cm Resposta da questão 11: a) Seja M o ponto médio de AC. Desde que AN NC e ADC é um triângulo equilátero de lado, temos DM e MN AM AN. Portanto, do triângulo retângulo DMN, pelo Teorema de Pitágoras, vem DN DM MN DN 8 DN 7 DN. www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 14
b) É fácil ver que o triângulo BDN é isósceles. Se P é o ponto médio de BD, então, pelo Teorema de Pitágoras, segue que 7 BN BP NP NP 19 NP 19 NP. Em consequência, a resposta é 1 (BDN) BD NP 1 19 19 1 Resposta da questão 1: [D] Observe a figura a seguir:. Observe a figura abaixo: L 4 h h h Portanto, L H (4) Vpir. Vpir. cm h H r H H cm www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 14
Resposta da questão 1: [E] Cálculo da altura da Pirâmide: h 10 h 8mm Volume da peça como diferença do volume da pirâmide e o volume da parte oca. V V 78 peça pirâmide 1 Vpeça 1 8 78 Vpeça 0mm Resposta da questão 14: [C] Os triângulos OWX, OXY, OYZ, OZW, OZX e OWY são congruentes entre si pelo caso LAL. Portanto, a pirâmide formada é um tetraedro regular. Resposta da questão 15: [C] Para que o volume permaneça m, as distâncias dos pontos P ao plano(xyz) deverão ser iguais, pois representam as alturas das pirâmides. Portanto, qualquer ponto P deverá pertencer a um dois planos paralelos e equidistantes do plano (XYZ). www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14
Resposta da questão 1: a) 1 h AC h 1 Logo, b) 1 MN cm. AH cos 0 AH cm MH cos 0 MH ME NE 1 9 Logo, (9 + MN (9 ) (9 ) Portanto, MN (9 ) MN ( ) m www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14
Resposta da questão 17: [A] Seja h a altura da pirâmide logo, h 1 sen(x) e volume da pirâmide será dado por: 1 sen(x) V(x) 1 sen(x) Logo, o gráfico que representa a variação do volume será dado pela Função sen(x) y V(x), para 0 x. Resposta da questão 18: [D] Fórmula para o volume de um tetraedro regular de aresta a: a V 1 Considerando a cm, temos: a 4 1 V. 1 1 1 www.nsaulasparticulares.com.br Página 14 de 14