Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5 UNIDADE NOÇÕES SOBRE ETORES.. DIREÇÃO E SENTIDO Considee um conjunto de etas paalelas a uma dada eta R (figua ). aceleação, foça, toque, etc. As gandezas vetoiais são epesentadas po vetoes. Tanto as gandezas escalaes quanto as gandezas vetoiais exigião, paa complementa sua caacteização, uma unidade que as elacionaá ao conceito físico envolvido..3. ETOR Na figua 3, temos segmentos oientados os quais possuem a mesma extensão geomética (compimento), a mesma dieção e o mesmo sentido, indicado pela seta. Paa a eta R e o conjunto de etas paalelas a esta, associamos um efeencial atavés de um sistema de coodenadas catesianas definidas pelos eixos x e y. Dieção é a oientação de uma tajetóia em elação a uma efeência adotada. Na figua, a eta R possui uma dieção de θº em elação à abscissa x, a qual foi o efeencial escolhido. Paa as demais etas, podeíamos defini suas dieções como paalelas à eta R, ou também, em uma dieção θº em elação à abscissa x. Poém, a noção de dieção não é completa, pois um objeto pode esta se movendo na dieção da eta R, sem sabemos exatamente paa qual lado o mesmo está se diigindo. Assim, o conceito de dieção nos dá a possibilidade de dois sentidos. Sentido é a oientação de uma tajetóia dento de uma dieção conhecida e em elação ao mesmo efeencial adotado. Assim, um objeto movendo-se na dieção da eta R pode te um sentido de sudoeste paa nodeste, po exemplo, ou vice-vesa. Na figua, um objeto se diige de uma posição A paa outa B confome a tajetóia descita. Ainda que esta tajetóia tenha sido em cuvas, podemos dize que o objeto teve um deslocamento na dieção hoizontal com sentido de A paa B... GRANDEZAS ESCALARES E ETORIAIS Gandeza Escala é uma gandeza física epesentada po um númeo eal, positivo ou negativo. Como exemplos, temos tensão, coente, tempo, massa, volume, tempeatua, pessão, etc. Gandeza etoial é uma gandeza física definida atavés de um módulo, uma dieção e um sentido. Como exemplos, temos densidade de coente, velocidade, eto é o ente matemático caacteizado pelo que há de comum ao conjunto dos segmentos oientados acima descito: o mesmo compimento, a mesma dieção e o mesmo sentido. Na figua 3 acima, A, C, E e G epesentam a oigem dos vetoes e B, D, F e H suas extemidades. Notamos que os segmentos oientados são iguais em suas extensões geométicas, ou seja: A B CD EF GH A esta extensão geomética, da oigem à extemidade, chamamos de módulo do veto. Gaficamente, um veto é epesentado em escala po um segmento de eta, cujo compimento epesenta o seu módulo, com uma seta em sua extemidade indicando o sentido do movimento. Notação: veto: ou ( A,B ) ou módulo do veto: ou Dois vetoes são iguais quando têm o mesmo módulo, mesma dieção e mesmo sentido. Qualque difeença em uma destas tês caacteísticas tona difeentes estes dois vetoes..4. OPERAÇÕES COM ETORES.4.. Adição etoial Considee os vetoes ( A,B ) e (C,D) da figua 4. O veto soma S tem sua oigem em A, que é a mesma oigem do veto, e extemidade em D, que é a mesma extemidade do veto. Gaficamente, tanspota-se um dos vetoes de foma que a oigem de um coincida com a Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes
Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5 extemidade do outo. Os vetoes devem se consecutivos. Potanto, paa subtai de, deve-se adiciona ao veto oposto de, que é igual a. Gaficamente, obtém-se o veto difeença ligando-se as extemidades dos segmentos oientados que epesentam e, no sentido de paa, confome mosta a figua 7. Potanto, a soma vetoial seá S +, onde sua epesentação mais completa é S ( A,D), onde A e D são sua oigem e extemidade, espectivamente. Note que esta não é uma soma algébica. Potanto não basta simplesmente soma os módulos paa enconta o esultado. A figua 5 mosta tês exemplos de soma gáfica de vetoes..4.4. Poduto de um Númeo Real po um eto.4.. eto Oposto Chama-se veto oposto de um veto ao veto que possui o mesmo módulo, a mesma dieção, poém, sentido contáio. Ao multiplicamos um númeo eal k k R po um veto, obteemos um veto U k com as seguintes caacteísticas: módulo: U k - poduto dos módulos dieção: a mesma de sentido: a mesma de se k > 0 o contáio de se k < 0 Se k 0, esulta que U 0 (veto nulo).4.3. Subtação etoial A subtação vetoial é a difeença ente dois vetoes e, nesta odem, tal que o veto difeença D seja: + ( ) D Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes
Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5.4.5. Pojeções de um eto Consideemos um veto no plano oientado po um sistema catesiano x-y, confome mosta a figua 9, tendo sua oigem em 0 e sua extemidade em A. Podemos aplica a ega dos vetoes consecutivos (a) ou a ega dos paalelogamos (b) paa obte gaficamente o veto soma S. Podemos considea a pojeção de um veto sobe um eixo como sendo sua somba sobe este eixo. O veto possui um ângulo θ com a abscissa x. Podemos pojetá-lo segundo os eixos coodenados x e y, obtendo X e Y. Tanspondo Y paa a dieita tal que sua oigem coincida com a extemidade de X, obtemos um tiângulo etângulo de hipotenusa e catetos X e Y. Da tigonometia, sabemos que: ) o quadado da hipotenusa é igual à soma dos quadados dos catetos (teoema de Pitágoas) ; ) o seno de um ângulo é igual ao quociente do cateto oposto a este ângulo pela hipotenusa; 3) o cosseno de um ângulo é igual ao quociente do cateto adjacente a este ângulo pela hipotenusa; 4) a tangente de um ângulo é igual ao quociente ente os catetos oposto e adjacente ao ângulo. Dessa foma, temos que os módulos das pojeções do veto podeão se obtidas po quaisque das equações abaixo: Y X + senθ Y X cosθ Y tanθ.5. EXERCÍCIOS RESOLIDOS - ETORES ) São dados os vetoes x e y de módulos x 3 e y 4. Detemine gaficamente o veto soma S e calcule o seu módulo. X Como a epesentação gáfica está em escala :, basta medi o compimento do veto soma S e multiplica po, obtendo módulo 5. Paa calcula o módulo do veto soma S, podemos usa o teoema de Pitágoas, uma vez que temos um tiângulo etângulo fomado pelos vetoes. S x S 5 + y S 3 + 4 S Resposta: S 5 ) Dados os vetoes a e b cujos módulos valem, espectivamente, 6 e 8. Detemine gaficamente o veto difeença D a b e calcule o seu módulo. A opeação 5 escala : D a b é equivalente a D a + ( b ). Então, ao veto a devemos soma o veto oposto de b, isto é, b. Da mesma foma que no execício anteio, podemos usa a ega dos vetoes consecutivos (a) ou a ega dos paalelogamos (b) paa obte gaficamente o veto difeença D. escala : Como a epesentação gáfica está em escala :, basta medi o compimento do veto difeença D e multiplica po, obtendo módulo 0. Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 3
Polícia Rodoviáia Fedeal Paa calcula o módulo do veto difeença D, podemos usa o teoema de Pitágoas, uma vez que temos um tiângulo etângulo fomado pelos vetoes. Pof. Diceu Peeia Aula de 5 D a D 0 + b D 6 + 8 D 00 Resposta: D 0 3) No gáfico estão epesentados os vetoes a, b, i e j. Detemine as expessões de a e b em função de i e j. Das elações tigonométicas, tiamos: Y senθ 00 m / s y X cosθ 73, m / s X y X sen30º cos 30º y 00 0,5 X 00 0,866 Resposta: x 73, m/s e y 00 m/s UNIDADE PRINCÍPIOS DA CINEMÁTICA O veto a tem a mesma dieção e o mesmo sentido do veto i e módulo tês vezes maio. Potanto: a 3 i O veto b tem a mesma dieção e sentido oposto ao veto j e módulo duas vezes maio. Potanto: b j Resposta: a 3 i e b j 4) Um avião sobe com velocidade de 00 m/s e com 30º de inclinação em elação a hoizontal, confome a figua. Detemine as componentes da velocidade na hoizontal (eixo x) e na vetical (eixo y). São dados: sen30º 0,500 e cos30º 0,866. A Cinemática é a pate da Mecânica que desceve os movimentos, deteminando a posição, a velocidade e a aceleação de um copo em cada instante, sem leva em consideação as suas causas... PARTÍCULA E CORPO EXTENSO Em física, um copo é consideado patícula, ou ponto mateial, quando suas dimensões são despezíveis de tal foma que não influem na análise de deteminada situação. Po exemplo, um cao se movimentando na BR-6. Neste caso, podemos consideá-lo como sendo uma patícula, já que suas dimensões quando compaadas com a extensão da odovia são totalmente despezíveis. Já um copo extenso é aquele em que suas dimensões influem de foma significativa em uma análise. O mesmo cao dento de uma gaagem ocupaá paticamente toda a áea disponível e isto deve se consideado na análise de seu movimento... REFERENCIAL O conceito de efeencial é muito impotante no que diz espeito às tajetóias de um movimento. Imagine duas pessoas obsevando um mesmo fenômeno, mas cada uma delas pecebendo uma tajetóia difeente. Este é o caso de um avião, mostado na figua, soltando uma bomba em campo abeto. Repae que paa um obsevado foa do avião, a bomba caiá descevendo uma tajetóia cuva (paábola). Já o piloto assiste a bomba caindo sempe abaixo de seu avião e, potanto, tem a impessão de uma tajetóia eta descendente. Na figua abaixo temos epesentados os módulos da velocidade do avião e de suas componentes nos eixos x e y. Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 4
Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5.3. POSIÇÃO E DESLOCAMENTO Um ônibus paado na odovia, ao lado de uma placa indicando km 50, não significa que este tenha pecoido 50 km e sim, que ele está localizado a 50 km do maco zeo desta odovia. Notamos, aqui, que o conceito de posição está intimamente elacionado com o conceito de efeencial. Um copo é dito em movimento em elação a um efeencial quando sua posição vaia em elação a este. aiando o local onde se enconta, o copo desceve uma cuva no espaço que é denominada tajetóia. Oientando-se a tajetóia e escolhendo-se um ponto que siva como oigem paa macamos distâncias, podemos defini a posição do copo na tajetóia pela distância à oigem, acompanhada po um sinal que se elaciona com o sentido escolhido. A unidade de deslocamento no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o meto (m), sendo pemitido o uso de seus múltiplos e submúltiplos quando necessáio..4. ELOCIDADE E ACELERAÇÃO elocidade é uma gandeza física que define o quão ápido um copo se movimenta. É dada pelo quociente do espaço pecoido pelo tempo gasto em pecoê-lo. Aceleação é uma gandeza física que define o quanto vaia a velocidade de um móvel no decuso do tempo. É dada pelo quociente da vaiação de velocidade pelo tempo gasto nesta vaiação..4.. ELOCIDADE ESCALAR MÉDIA É a azão ente o deslocamento escala de um móvel e o tempo total gasto neste deslocamento. e figua 4. m S t S t S t Uma análise na figua evela que o efeencial escolhido na tajetóia está em 0. Desta foma, o copo enconta-se na posição S A -4 m e, em um segundo momento, na posição S B +0 m, em elação aquele efeencial. Note que o sinal da posição não depende do sentido do movimento do copo. Ele está elacionado à posição que o copo ocupa na tajetóia em elação ao efeencial adotado. Quando o ponto mateial muda de posição, ele sofe um deslocamento escala, definido como a difeença ente as posições final e inicial no intevalo de tempo consideado paa a vaiação da posição. Na figua, o móvel vai de A paa B pefazendo um deslocamento escala, ou espaço, dado po: S S S S 4 ( + 0 ) S 4 m B A Se ele fosse de B paa A, seu deslocamento escala, ou espaço, seia de +4 m. Repae que S tem um sinal que o elaciona com o sentido do movimento do copo, se consideamos apenas os pontos inicial e final. O efeencial 0 também é chamado de oigem dos espaços. Fisicamente, o deslocamento é um veto. Na figua 3 temos que o deslocamento vetoial do copo é dado po um veto com oigem em A e extemidade em B, cujo módulo A-B é meno que o deslocamento escala ealizado e a dieção e sentido são como indicados. Fisicamente, a velocidade média é um veto. Na figua 3, temos o veto deslocamento S. A velocidade vetoial média é dada po: S m sendo que o veto velocidade média m tem a mesma dieção e sentido do veto deslocamento S..4.. ELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA É a velocidade escala média consideando um intevalo de tempo extemamente pequeno, tendendo a zeo. S lim t 0 sendo que o veto velocidade média m tem a mesma dieção e sentido do veto deslocamento S. Fisicamente, a velocidade instantânea é um veto. Na figua 4, o móvel ocupa divesas posições ao longo da tajetóia, tendo uma velocidade instantânea em cada uma destas posições. A velocidade vetoial instantânea é um veto tangente à tajetóia na posição em que se enconta o móvel e tem as seguintes caacteísticas: Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 5
Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5 módulo: igual ao da velocidade escala instantânea no tempo consideado. dieção: tangente à tajetóia na posição. sentido: do movimento. É também chamada de velocidade tangencial. A unidade de tempo no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o segundo (s), sendo pemitido o uso de seus múltiplos e submúltiplos quando necessáio. A unidade de velocidade no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o meto po segundo (m/s), sendo pemitido o uso de seus múltiplos e submúltiplos quando necessáio..4.3. ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA É a azão ente a vaiação da velocidade escala de um móvel e o tempo total necessáio paa se obte esta vaiação. am t t t Fisicamente, a aceleação média é um veto com a mesma dieção do veto velocidade e sentido dependendo se o movimento é aceleado ou etadado, como veemos adiante. A aceleação vetoial média é dada po: a m.4.4. ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA É a aceleação escala média consideando um intevalo de tempo extemamente pequeno, tendendo a zeo. a lim t 0 Fisicamente, e da mesma foma que a aceleação média, a aceleação instantânea é um veto com a mesma dieção do veto velocidade e sentido dependendo se o movimento é aceleado ou etadado, como veemos adiante. É também conhecida como aceleação tangencial. A unidade de aceleação no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o meto po segundo ao quadado (m/s²), sendo pemitido o uso de seus múltiplos e submúltiplos quando necessáio..4.3. EXERCÍCIOS RESOLIDOS ELOCIDADE E ACELERAÇÃO ) Um ônibus pecoe a distância de 480 km ente Santos e Cuitiba, com velocidade escala média de 60 km/h. De Cuitiba a Floianópolis, distantes 300 km, o ônibus desenvolve a velocidade escala média de 75 km/h. Qual é a velocidade escala média do ônibus ente Santos e Floianópolis? Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas Pecisamos detemina os intevalos de tempo que o ônibus gasta paa pecoe cada um dos techos. techo a: Santos-Cuitiba Sa Sa 480 a a a a 60 techo b: Cuitiba-Floianópolis Sb Sb 300 b b b 75 a a b b b 8 h 4 h amos calcula o deslocamento efetuado ente Santos e Floianópolis e qual o tempo total gasto paa pecoê-lo. S Sa + Sb S 480 + 300 S 780 km + 8 + 4 S h a b Assim, a velocidade escala média do ônibus ente Santos e Floianópolis vale: S 780 m m t 65 km / h m Resposta: m 65 km/h ) Em um anúncio de ceto tipo de automóvel, afima-se que o veículo, patindo do epouso, atinge a velocidade de 08 km/h em 8 s. Qual é a aceleação escala média desse automóvel? Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas emos que a velocidade e o tempo não estão na mesma base. Passemos a velocidade paa m/s. km 08 m 08 30 m / s h 3,6 s Sabemos que am. Tomando 0 e t t t t 0, temos que 08 km/h e t 8 s. 30 0 a m t t t 8 3, 75 m / s Isto nos diz que o cao aumenta sua velocidade de 3,75 m/s a cada segundo. Resposta: a m 3,75 m/s².5. TIPOS DE MOIMENTO Na Cinemática, os tipos de movimento são: Movimento Retilíneo Unifome (MRU) Movimento Retilíneo Unifomemente aiado (MRU) Movimento Cicula Unifome (MCU) Movimento Cicula Unifomemente aiado (MCU) Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 6
Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5 Movimento etical no ácuo (queda live) Lançamento Hoizontal no ácuo Lançamento Oblíquo no ácuo Passemos, agoa, a estuda estes movimentos..5.. MOIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU) O movimento de uma patícula é unifome quando ela pecoe, ao longo de sua tajetóia, espaços iguais em intevalos de tempos iguais. Assim, movimento unifome é o que se pocessa com velocidade escala constante e não nula. A cada tajetóia associamos um sentido positivo de pecuso. Na figua 5, o movimento que se efetua neste sentido é chamado pogessivo e se caacteiza po te sua velocidade positiva ( > 0). O movimento que se efetua em sentido contáio é chamado egessivo ou etógado. Neste caso a velocidade é consideada negativa ( < 0). Potanto, o sinal (+) ou (-) associado à velocidade indica se o movimento é pogessivo ou etógado. cescem algebicamente com o tempo. O gáfico epesentativo é o de uma eta inclinada paa cima. b) se a velocidade é negativa, ou seja, o móvel caminha no sentido contáio ao da tajetóia, as posições decescem algebicamente no decoe do tempo. O gáfico epesentativo seá o de uma eta inclinada paa baixo. c) o valo da odenada em que a eta cota o eixo S epesenta o valo de S 0. d) quando o copo estive em epouso, isto é, quando 0, a posição do móvel não se altea e a eta passa a se paalela ao eixo t. e) a tangente do ângulo θ é numeicamente igual à velocidade. S S S tanθ t t Ao analisamos o gáfico x t (figua 7), podemos deduzi que a áea fomada pelos pontos a-b-t -t, sob a eta, é igual à S. Se a velocidade escala é constante, temos que a aceleação no MRU é nula..5... FUNÇÃO HORÁRIA DO MRU O movimento unifome pode se escito matematicamente po uma equação que elaciona o espaço pecoido pelo móvel com o instante de tempo. S S0 + t.5... GRÁFICOS DO MRU A função hoáia das posições de um movimento etilíneo unifome é uma equação da eta (º gau) dada em função do tempo. Ao analisamos o gáfico S x t (figua 6), podemos deduzi algumas popiedades do MRU. (B + b) A áea de um tapézio é dada po A h Tiamos do gáfico que B, b e h t t Substituindo: ( + ) A t A m A S.5..3. EXERCÍCIOS RESOLIDOS - MRU 3) Um móvel passa pela posição +50m no instante inicial e caminha conta a oientação da tajetóia. Sua velocidade escala é constante e igual a 5 m/s em valo absoluto. Detemine: a) a sua função hoáia; b) o instante em que o móvel passa pela oigem das posições. Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas a) quando a velocidade é positiva, ou seja, o móvel caminha no sentido positivo da tajetóia, as posições Pelo enunciado do poblema, temos que S 0 +50 m e -5 m/s, uma vez que o móvel caminha conta a oientação positiva da tajetóia (movimento etógado). A função hoáia do MRU é S S0 + t Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 7
Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5 Assim, a função hoáia do móvel seá S 50 5 t A oigem das posições se dá em S 0 pois o movimento é etógado. Assim, o instante que o móvel passa pela oigem da tajetóia seá: 0 50 5 t 5 t 50 t s Resposta: S 50 5 t e t s 4) Uma composição feoviáia com 9 vagões e uma locomotiva desloca-se a uma velocidade constante de 0 m/s. Sendo o compimento de cada composição igual a 0 m. Qual o tempo que o tem gasta paa ultapassa: a) Um sinaleio? b) uma ponte de 00 m de compimento? Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas Obseve que o tem tem ao todo 0 composições (9 vagões + locomotiva). Se cada composição tem 0 m, o tem um compimento total de 00 m. Imagine um ponto mateial localizado na pate mais fontal do tem. amos detemina a função hoáia que desceve o movimento deste ponto mateial. A função hoáia do MRU é S S0 + t Se colocamos nossa oigem dos espaços (efeência) no sinaleio e no início do túnel, podemos estabelece que S 0 0. amos admiti a tajetóia positiva segundo o movimento do tem (movimento pogessivo). Assim, a função hoáia do ponto mateial seá: S 0 + 0 t S 0 t a) o tem ultapassaá completamente o sinaleio pecoendo um espaço S 00 m. Logo, o tem leva, paa ultapassa o sinaleio, um tempo de: S 0 t 00 0 t t 0 s b) o tem ultapassaá completamente a ponte pecoendo um espaço S 00 m + 00 m 300 m. Logo, o tem leva, paa ultapassa a ponte, um tempo de: S 0 t 300 0 t t 5 s Resposta: a) t 0 s b) t 5 s 5) Dois móveis A e B descevem movimentos sobe a mesma tajetóia e as funções hoáias dos movimentos são S A 60 0.t e S B 5 + 5 t (unidades do SI). Detemine: a) a posição inicial e a velocidade de cada móvel; b) o sentido dos movimentos (movimento pogessivo ou etógado); c) o instante do enconto; d) a posição do enconto. Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas a) as pópias funções hoáias nos fonecem a posição inicial e a velocidade de cada móvel. móvel A: S 0A 60 m e A -0 m/s móvel B: S 0B 5 m e B +5 m/s b) o móvel A tem movimento etógado, pois sua velocidade é negativa. O móvel B tem movimento pogessivo, pois sua velocidade é positiva. c) os móveis A e B ião se enconta quando suas posições foem iguais (S A S B ). Assim, igualando as funções hoáias: 60 0 t 5 + 5 t t 3 s d) paa obtemos a posição do enconto, basta substituimos o valo de t encontado em qualque uma das funções hoáias. S A 60 0 t SA 60 0 3 SA Resposta: a) S 0A 60 m e S 0B 5 m A -0 m/s e B +5 m/s b) A é etógado e B é pogessivo c) t 3 s d) S A S B 30 m.5.. MOIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE ARIADO (MRU) 30 m No MRU, o móvel desceve uma tajetóia com velocidade vaiável e aceleação constante e não nula..5... CLASSIFICAÇÃO DO MRU A classificação do movimento com vaiação de velocidade escala é feita compaando-se os sinais da velocidade e da aceleação em ceto momento, deste modo: ACELERADO mesmo sinal se > 0, então a > 0 / se v < 0, então a < 0 RETARDADO sinais opostos se > 0, então a < 0 / se < 0, então a > 0 Conclui-se que nos movimentos aceleados, o módulo da velocidade aumenta, enquanto que nos movimentos etadados, diminui..5... FUNÇÕES HORÁRIAS DO MRU Temos duas funções hoáias paa o MRU, as quais são de fácil dedução. função hoáia das velocidades: 0 + a t Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 8
Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5 função hoáia das posições: S S.5..3. EQUAÇÃO DE TORRICELLI 0 + 0 t + a t Temos até agoa duas funções que nos pemitem sabe a posição do móvel e a sua velocidade em elação ao tempo. Tona-se útil enconta uma equação que possibilite conhece a velocidade de um móvel sem sabe o tempo. A equação de Toicelli elaciona a velocidade com o espaço pecoido pelo móvel. É obtida eliminando o tempo ente as funções hoáias da posição e da velocidade. + a S.5..4. GRÁFICOS DO MRU 0 Ao analisamos o gáfico x t (figua 8), podemos deduzi algumas popiedades do MRU. Po fim, pecisamos analisa o gáfico S x t (figua 0). Este gáfico, po se constuído a pati da função hoáia quadática das posições, seá uma paábola com as seguintes caacteísticas: a) quando a aceleação é positiva, as velocidades cescem algebicamente com o tempo. O gáfico epesentativo é o de uma eta inclinada paa cima e o movimento é dito aceleado b) quando a aceleação é negativa, as velocidades decescem algebicamente com o tempo. O gáfico epesentativo é o de uma eta inclinada paa baixo e o movimento é dito etadado. c) o valo da odenada em que a eta cota o eixo epesenta o valo de 0. d) quando não houve aceleação sobe o móvel, isto é, quando a 0, a velocidade do móvel não se altea e a eta passa a se paalela ao eixo t. e) a tangente do ângulo θ é numeicamente igual à aceleação. tanθ a t t Passemos agoa paa a análise do gáfico a x t (figua 9). A áea sob o gáfico é dada po A b h (áea de um etângulo). Poém, sabemos que b e h a. Potanto, A a t A No ponto de inflexão das cuvas, a velocidade seá zeo e haveá a invesão do movimento. No caso de a > 0 : na metade esqueda da paábola, teemos um movimento etógado aceleado, mudando paa pogessivo aceleado na metade dieita. No caso de a < 0 : na metade esqueda da paábola, teemos um movimento pogessivo etadado, mudando paa etógado etadado na metade dieita..5..5. EXERCÍCIOS RESOLIDOS - MRU 6) Um móvel tem velocidade de 0 m/s quando a ele é aplicada uma aceleação constante e igual a - m/s. Detemine: a) o instante em que o móvel paa; b) classifique o movimento antes da paada e depois da paada sabendo-se que o móvel continuou com aceleação igual. Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas a) temos que 0 + a t. Do enunciado temos que 0, 0 0 m/s e a - m/s. Substituindo, vem: 0 0 t t 0 t s b) Antes da paada, o móvel move-se no sentido da tajetóia com aceleação negativa e, potanto, o movimento é pogessivo etadado. Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 9
Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5 Após a paada, ocoe a invesão do movimento com a mesma aceleação e velocidade contáia a tajetóia. Temos, potanto, um movimento etógado aceleado. Resposta: a) t s b) antes da paada: pogessivo etadado após a paada: etógado aceleado 7) Um móvel desloca-se sobe uma eta segundo a função hoáia S -5 - t + t (unidades no SI). Pede-se: a) o tipo de movimento; b) a posição inicial; c) a velocidade inicial; d) a aceleação; e) a função f(t); f) o instante em que o móvel passa pela oigem das posições. Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas a) paa sabemos o tipo de movimento, pecisamos sabe o sinal da velocidade e da aceleação. Da função hoáia, tiamos que 0 < 0 e a > 0. Potanto, temos um MRU etógado aceleado. b) da função hoáia, tiamos que S 0-5 m c) da função hoáia, tiamos que 0 - m/s d) da função hoáia, tiamos que: a + a + m / s e) a função hoáia x t é 0 + a t. Assim: + t f) da função hoáia S S0 + 0 t + a t tiamos: S 5 t + t A oigem das posições seá em S 0. Potanto: 0 5 t + t t t 5 0 Resolvendo a equação do º gau, encontamos as aízes: t 5 s e t 3 s Descatamos t 3 s, pois fisicamente não existe tempo negativo. Assim, o instante me que o móvel passa pela oigem das posições é t 5 s. Resposta: a) MRU etógado aceleado b) S 0-5 m c) 0 - m/ d) a + m / s e) + t f) t 5 s 8) Um cao pate do epouso e ao final de 50m ele atinge uma velocidade de 44 km/h. Detemine a aceleação desse cao. Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas Como não sabemos em que tempo se deu o fenômeno, tampouco temos dados suficientes paa encontá-lo, usaemos a equação de Toicelli. 0 + a S Temos que 0 0; 44 km/h; S 0 0 e S 50 m Pecisamos convete as unidades paa a mesma base. km 44 m 44 40 m / s h 3,6 s Substituindo na equação de Toicelli, vem: 40 0 + a (50 0 ) 00 a 600 a 6 m / s Resposta: a 6 m/s².5.3. MOIMENTOS CIRCULARES.5.3.. GRANDEZAS ANGULARES Quando os móveis descevem tajetóias ciculaes, podemos detemina suas posições po meio de um ângulo cental φ em luga do espaço S medido na pópia tajetóia (figua ). Este ângulo φ é chamado de espaço angula. O espaço angula φ se elaciona com o espaço linea S pela expessão: S ϕ R sendo R o aio da tajetóia cicula. Po analogia com os movimentos lineaes, podemos enconta a velocidade angula ω e a aceleação angula γ. ϕ velocidade angula média: ϖ m ϕ velocidade angula instantânea: ϖ lim 0 Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 0
Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5 ϖ aceleação angula média: γ m ϖ aceleação angula instantânea: γ lim t 0 A velocidade angula ω se elaciona com a velocidade linea pela expessão: ω R A aceleação angula γ se elaciona com a aceleação linea pela expessão: a γ R A unidade de espaço angula no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o adiano (ad). A unidade de velocidade angula no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o adiano po segundo (ad/s). A unidade de aceleação angula no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o adiano po segundo ao quadado (ad/s²). Paa convesão de gaus em adianos, usa 80º π ad..5.3.. PERÍODO E FREQUÊNCIA Dizemos que um fenômeno é peiódico quando ele se epete, identicamente, em intevalos de tempo sucessivos e iguais. Peíodo (T) é o meno intevalo de tempo de epetição do fenômeno. Como exemplos, temos: o pêndulo da figua sai de A paa B e etona paa A, pefazendo um peíodo, o ponteio das hoas de um elógio passa pela mesma posição de em hoas, o movimento de otação da Tea em tono do seu eixo se completa a cada 4 hoas, o fenômeno das maés se epete de em hoas. A unidade de peíodo no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o segundo (s), com seus múltiplos e submúltiplos. A unidade de feqüência no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o Hetz (Hz). Hz ciclo/s.5.3.3. MOIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) No movimento unifome, o móvel pecoe distâncias iguais em intevalos de tempo iguais. No caso paticula do MCU, como a tajetóia é cicula, decoe que o intevalo de tempo de cada volta completa é sempe o mesmo. Potanto, o MCU é um movimento peiódico. Seu peíodo T é o intevalo de tempo de uma volta completa. O númeo total de voltas ealizadas na unidade de tempo é a feqüência. Po analogia com o MRU, temos que: ϕ ϕ + ϖ t 0 Paa uma volta completa, temos que ω π 360º π Assim: π 0 + ϖ T ϖ ou ϖ π F T Estudemos a aceleação vetoial e suas componentes. Uma das componentes, já vista, é a aceleação tangencial. Poém, devido à mudança de dieção da velocidade na tajetóia, suge uma componente chamada de aceleação centípeta, cuja dieção é adial com sentido paa o cento da cuva, confome mosta a figua 3. Desta foma, o veto aceleação seá a a t + acp, com dieção vaiável ao longo da tajetóia e sentido do movimento. a aceleação centípeta possui módulo expesso em função da velocidade tangencial ou da velocidade angula ω. Feqüência (F) é o númeo de vezes em que o fenômeno se epete na unidade de tempo. a cp ϖ R R Peíodo e feqüência se elacionam po: F T No caso do MCU, como a velocidade tangencial é constante, sua aceleação tangencial é zeo. Potanto, sua aceleação vetoial é a aceleação centípeta. Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes
Polícia Rodoviáia Fedeal Pof. Diceu Peeia Aula de 5 Logo, a a t + a cp a 0 + a cp a a.5.3.4. MOIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ARIADO (MCU) O MCU não é um movimento peiódico, pois o módulo de sua velocidade vaia e, potanto, o tempo de cada volta na cicunfeência é vaiável. cp A feqüência seá F F 0, T 0 b) A velocidade angula é dada po: π π π ϖ ϖ ϖ ad / s T 0 5 Hz Possui aceleação centípeta e aceleação tangencial, sendo a aceleação total a soma vetoial destas (figua 3). Po analogia com o MRU, temos: ϕ ϕ + ϖ ϖ ϖ + γ t 0 0 0 t + γ t ϖ ϖ + γ ϕ 0 A aceleação angula γ é constante e não nula..5.3.5. EXERCÍCIOS RESOLIDOS MOIMENTO CIRCULAR (MC) 9) Um moto executa 600 otações po minuto (pm). Detemine sua feqüência em Hetz e seu peíodo em segundos. Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas A feqüência do moto é de 600 pm, isto é: F 600 pm 600 F 0 Hz ot min 600 ot 60 O peíodo é T T 0, s F 0 Resposta; F 0 Hz e T 0, s 0 s ot s 0) Um ponto mateial desceve uma cicunfeência hoizontal com velocidade constante em módulo. O aio da cicunfeência é 5 cm e o móvel completa uma volta a cada 0 s. Calcule: a) o peíodo e a feqüência; b) a velocidade angula; c) a velocidade escala. d) o módulo da aceleação centípeta. c) A velocidade linea é: π ϖ R 5 3 π cm / s 5 d) A aceleação centípeta tem módulo dado po: a cp R (3 π ) 5 a Resposta: a) T 0 s e F 0, Hz b) π ad / s 5 c) 3 π cm / s d) 0,6 π cm / s cp 0,6 π cm / s ) Um ponto ealiza MCU numa cicunfeência de aio igual a 0 cm. No instante t 0 a velocidade angula é 0 ad/s e 5 s depois é 30 ad/s. Detemine apoximadamente o númeo de evoluções (voltas) que o móvel ealiza nestes 5 s. Considee π 3,4. Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas De ϖ ϖ 0 + γ t, sendo ω 0 0 ad/s e ω 30 ad/s quando t 5 s, vem: 30 0 + γ 5 5 γ 0 γ 4 ad / s De ϕ ϕ0 + ϖ 0 t + γ t, sendo φ 0 0 (adotado), ω 0 0 ad/s, γ 4 ad/s² e t 5 s, esulta: ϕ 0 + 0 5 + 4 (5 ) ϕ 00 ad O númeo de voltas em 00 ad é obtido po uma ega de tês simples: Pimeio, devemos veifica se as unidades são compatíveis. Caso não sejam, devemos tansfomálas a) O peíodo T é 0 s, que coesponde ao tempo necessáio paa o ponto mateial completa uma volta. volta ----------.π ad n voltas -------- 00 ad 00 50 n 5,9 n 6 voltas π π Resposta: n 6 voltas Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes