Como obter o retângulo inscrito de maior área Julio Omar Henrique da Silva 1 Dentro de todo triângulo retângulo se pode inserir um retângulo, a este se dá o nome de retângulo inscrito. O retângulo inscrito tem duas exigências tocar a hipotenusa e seus lados devem estar apoiados nos catetos. Podem ser inscritos vários retângulos dentro de um triângulo retângulo, mas existe um que tem a maior área possível, a este damos o nome de retângulo perfeito. O retângulo perfeito tem para medida de seus lados a metade das medidas dos catetos, mas como provar? Como encontrá-lo? Existem diversas formas, observe a seguir as três mais simples: Dobradura: Após desenhar um triângulo retângulo e recorta-lo é possível fazer uma dobradura que mostrará de maneira rápida e convincente o maior retângulo possível dentro do triângulo. 1º: Dobre o triângulo na metade da altura. Ficando assim: 2º: Dobre a figura na metade da base. Ficando assim: 1 Bolsista do CNPq Brasil, orientado da profa. Ms. Violeta Maria Estephan do DAMAT UTFPR CT. O presente trabalho foi realizado com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico CNPq Brasil.
Com este método se define o retângulo perfeito que tem lados que medem exatamente a metade da medida dos catetos do triângulo. Também se percebe que o retângulo perfeito possui área total exatamente igual à metade da área do triângulo. Este é o retângulo perfeito que existe dentro do triângulo, pois quaisquer outras medidas que não sejam as metades das medidas dos catetos formam uma dobradura com sobras de área na extremidade, como mostra a dobradura ilustrada abaixo. Essa sobra faz com que a área do retângulo seja menor que a metade da área do triângulo. Exemplo da dobradura com outras medidas. Cálculos algébricos: Inicialmente considere para medidas dos catetos do triângulo: 50cm e 20cm. 50cm 20cm Como as medidas do retângulo perfeito são a metade da medida dos catetos, pode-se afirmar que o retângulo de maior área possui lados com as medidas 25cm e 10cm. 50cm 25cm 10cm 20cm Mas como se pode garantir que tal afirmação está correta por meio de cálculos algébricos?
Da seguinte forma, a partir da figura abaixo e usando semelhança de triângulos se constrói uma proporção. Y 50 X 20 Resolve-se a mesma multiplicando os extremos e os meios. Assim, obtém-se a medida Y do retângulo, em função da medida X do mesmo retângulo: (dividindo os dois termos da fração por 10) Agora, já se pode definir a área do retângulo, em função da medida X: O resultado é uma função quadrática, com concavidade para baixo, ou seja, que possui um ponto de máximo. Este ponto é o vértice da parábola. A abscissa do vértice representa a medida X do lado do quadrado perfeito. Representa-se essa medida por Xv, cuja expressão que o determine é dada por: Xv=, na qual B= coeficiente do X, neste caso 20 A= coeficiente do, que é
Logo, tem-se: Xv= A medida do lado do retângulo perfeito, e também é a metade da medida da altura, ou seja, 25cm. Observando o gráfico: Após obter a função quadrática pode-se descobrir a abscissa do ponto máximo (Xv) de outra forma mais rápida e simples, através da observação do gráfico da função. Para construí-lo usa-se o Winplot 2. Siga os passos a seguir para construir um gráfico no Winplot. 1º, abra o programa, clicando no ícone: 2, selecione Janela: 3, na caixa que abrir selecione a opção 2-dim, ou aperte F2: 2 Seu download pode ser feito livremente em qualquer rede pública, por exemplo no seguinte link: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
Abrirá uma nova janela com um plano cartesiano. Caso ele esteja pequeno utilize a tecla pg dn para aumentar a amplitude dos eixos. 4, clique em Equação, em seguida 1.Explicita... : Aparecerá um quadro com f(x)=, no campo a frente digite a função e clique no botão OK que automaticamente o Winplot irá criar o gráfico. (Existem diversas outras ferramentas no Winplot e métodos de personalização, sinta-se à vontade para fazer a exploração das mesmas.)
Após digitar a função ( gráfico a seguir: e clicar no OK, o software deverá apresentar o Agora podemos ver o ponto máximo (Xv) no gráfico. Ele pode ser observado através do zoom ou de uma ferramenta chamada tabela, de uma forma ou outra se obtém o valor 25, que representa a medida do lado do quadrado perfeito. O gráfico também nos mostra a maior área do retângulo que o valor da ordenada do ponto de máximo. Neste caso a área do retângulo perfeito mede 250cm 2. Referências: BARROSO, J. M. Conexões com a matemática. São Paulo: Moderna, 2010. PATERLINI, R. R. O problema do retângulo inscrito. Revista do Professor de Matemática. N. 47, 3º quadrimestre de 2001. p.12-15.