Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno Estudo da Reta I - Inclinação de uma reta () direção É a medida do ângulo que a reta forma com o semieixo das abscissas (positivo) no sentido anti-horário. Exemplos: II - Coeficiente angular de uma reta (m) Exemplos: a) b) c) d) e) 1
Determinação do coeficiente angular a partir de dois pontos conhecidos da reta: Exercícios: 1) Determine o coeficiente angular da reta que passa por: a) A(0, 3) e B(4, 5) c) R(3, 5) e S(3, 1) b) P( 2, 7) e Q(5, 3) d) M(4, 2) e N( 7, 2) 2) Qual é a inclinação da reta que passa pelos pontos A(2, 6) e B(4, 8)? 3) Determine o valor de a, real, sabendo que a inclinação da reta que passa por A(a, 5) e B(2, 1) é de 45. 2
4) Obtenha o valor de k, na figura abaixo, sabendo que a reta AB tem coeficiente angular igual a 7 5. 5) A reta r tem coeficiente angular 5 e passa pelo ponto A(2, 3). Em que ponto r cruza o eixo Oy? Exercícios do Livro*: pág 43 (27); pág 79 (35) III - Determinação da Equação de uma Reta: 1 caso: Dados Dois Pontos da Reta Exemplo: Determine a equação da reta r que passa pelos pontos A(3, 4) e B( 1, 12). 3
2 caso: Dados um Ponto e o Coeficiente Angular da Reta Exemplo: Determine a equação da reta s, sabendo que seu coeficiente angular vale 3 e que s passa pelo ponto A(1, 4). Outros exemplos: a) reta t com B( 1,3) t m t 2 b) C(4, 5) 2 m 7 OBS: Feixe de Retas por um Ponto Escreva a equação do feixe de retas concorrentes no ponto ( 3, 7). 4
Exercícios: 6) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (7, 1) e (1, 2). 7) Determine a equação da reta que passa pelo baricentro do triângulo de vértices A(2, 3), B(4, 5) e C(1, 6) e tem coeficiente angular 3 1. 8) Dê a equação da reta r da figura: 5
9) (CESGRANRIO) Na figura, o triângulo MNO é equilátero de lado 2. A reta que contém o lado MN é: a) 2x + y 3 = 1 b) x + y 3 = 1 c) x 3 + y = 2 3 d) x 2 + y = 1 e) x + y = 2 3 10) A respeito da reta r de equação geral 2x + y 10 = 0, responda: a) O ponto (1, 8) pertence a r? A reta passa pela origem? b) Em que pontos a reta cruza os eixos coordenados? Faça um esboço da reta. 6
11) O ponto P(2m + 1, m 2) pertence à reta de equação 2x 3y 7 = 0. Determine as coordenadas do ponto P. 12) Qual ponto da reta 2x + y 10 = 0 dista 5 unidades da origem? 13) Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A(4, 0) e B(0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x 4. Assim sendo, o coeficiente angular da reta que passa pelos vértices B e C é: a) 17 7 10 b) 23 c) 20 9 12 d) 25 Exercícios do Livro*: pág 35 (2, 5, 11) pág 46 (45) pág 76 (6, 9, 10, 11, 15) pág 45 (40ab) 7
IV - Retas especiais: a) Horizontais b) Verticais c) Eixos Ox e Oy. d) Bissetrizes Exercício: 14) O ponto A pertence à reta (r) x 1 = 0 e o ponto B à reta (s) y 8 = 0. Se P(2, 6) é o ponto médio do segmento AB, determine a equação da reta AB. Exercícios do Livro*: pág 35 (6, 7, 9) 8
V Intersecção de Retas Exercícios: 15) Determine a intersecção das seguintes retas: a) (r) x 3y 4 = 0 e (s) 2x + y 15 = 0 b) (t) y = 2x 1 e (u) 4x 2y 5 = 0 c) (t) y = 2x 1 e (v) 6x 3y 3 = 0 16) (UF-MG) Sejam t e s as retas de equações 2x y 3 = 0 e 3x 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r contém o ponto A(5, 1) e o ponto de interseção de t e s. A equação de r é: a) 5x y 24 = 0 b) 5x + y 26 = 0 c) x + 5y 10 = 0 d) x 5y = 0 Exercícios do Livro*: pág 37 14a, 15, 20, 21, 24, 26 9
VI - Duas formas importantes da equação da reta: Equação Geral: OBS: a) Se a = 0 então a reta é horizontal b) Se b = 0 então a reta é vertical c) Se c = 0 então a reta passa pela origem d) Toda reta tem equação geral e) Cada reta pode ser representada por infinitas equações gerais equivalentes. Exemplos: Equação reduzida: Exemplo: Escreva a equação geral e faça um esboço da reta (r) A(2, 3) r. mr 2 10
OBS: a) As retas verticais não possuem equação reduzida. b) A equação reduzida, quando existe, é única. c) Toda reta oblíqua representa uma função afim e vice-versa. Exercícios: 17) Determine as equações das retas das figuras. a) b) Observe: 18) Determine o coeficiente angular das seguintes retas: 3 a) y x 1 b) 8x 5y + 4 = 0 5 11
Problema: 19) Um professor recebe um valor fixo de R$ 1.000,00 num contrato para elaboração de 15 questões para simulados e mais R$ 100,00 por questão extra que apresentar num prazo de um mês. Qual a função que representa o faturamento do professor nessa empreitada e qual a equação geral da reta que representa essa função no plano cartesiano? Exercícios do Livro*: pág 43 28ad, 29, 31abc, 32, 33, 34, 35, 36 pág 46 42, 46 VII Retas Paralelas Exemplos: a) (r) 2x + 3y + 5 = 0 b) (r) 2x + 3y + 5 = 0 (s) 4x + 6y + 15 = 0 (s) 6x + 9y + 15 = 0 c) Se r é a reta de equação 5x + 4y + 3 = 0 então qualquer reta paralela a r terá equação do tipo: 12
Exercícios: 20) Determine os valores das constantes reais de k e p para que as retas (r) kx + 8y 3 = 0 e (s) 2x 3y + p= 0 sejam: a) paralelas. c) coincidentes b) paralelas distintas d) concorrentes 21) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3, 1) e é paralela a 2x y + 3 = 0. 22) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (5, 1) e é paralela à reta da figura: Exercícios do Livro*: pág. 50 48, 49, 50bd, 51, 52, 55, 56 13
Aplicação: Teorema da Base Média 23) Demonstre, através da Geometria Analítica, o Teorema da base média de um triângulo. Exercícios do Livro*: 55, 56 VIII - Retas Concorrentes Perpendiculares Exemplos: a) (r) 3x 2y + 5 = 0 (s) 4x + 6y + 1 = 0 b) Se t é a reta de equação 5x + 4y + 3 = 0 então qualquer reta perpendicular a t terá equação do tipo: 14
Exercícios: 24) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2, 7) e é perpendicular à reta de equação 3x + 5y 1 = 0. 25) Determine a equação da reta r, perpendicular a (s) 2x y + 2 = 0 em seu ponto de ordenada 6. 26) Dois vértices opostos de um quadrado ABCD são os pontos A(0, 1) e C(4, 9). Obtenha a equação da reta suporte da diagonal BD. Exercícios do Livro*: pág. 53 61a, 62, 64a, 66, 67, 68, 71, 73 15
IX Outras formas da equação da reta: Equação Segmentária Exemplo: Escreva a equação geral da reta da figura. OBS: Retas paralelas aos eixos ou que passam pela origem não possuem equação segmentária: 27) Determine a equação geral das retas das figuras: a) ) b) 16
28) Determine a área do triângulo que a reta 2x y 5 = 0 forma com os eixos coordenados. 29) Escreva na forma segmentária: x y a) 1 4 2 3x y b) 1 5 4 c) 2x + y 8 = 0 Equações Paramétricas Exemplo: Escreva a forma genérica de um ponto da reta 3x y + 4 = 0. 17
30) Determine o coeficiente angular da reta de equações paramétricas x 2t 3 ( r). y 5t 1 Exercícios do Livro*: pág 56 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83 pág 61 98 X Distância entre ponto e reta Problema: Determine a distância entre o ponto P(2, 1) e a reta (s) 3x 4y = 7. 18
Fórmula 31) Resolva o problema anterior usando a fórmula da distância de ponto a reta. 32) Determine a área do triângulo ABC, equilátero, em que o lado AB está contido na reta de equação 3x 4y 10 3 = 0 e o vértice C é o ponto (4, 3). 33) Determine a distância entre as retas 5x 12y + 36 = 0 e 5x 12y + 5 = 0. 19
34) Determine o valor de k (real) para que a reta 3x + 4y + k = 0 esteja localizada a três unidades do ponto P(5, 2). 35) Determine o(s) ponto(s) de abscissa 5 cuja distância à reta y = x seja 4 2. 36) Determine a equação da reta r, paralela a 5x 12y + 1 =0, sabendo que r dista 2 unidades do ponto P(1, 0) 20
37) Determine a equação da reta r, que passa por A(3, 10), sabendo que r dista 2 5 do ponto B( 3, 8). Exercícios do Livro*: pág. 59 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92 XI - Inequações do 1º grau a duas variáveis (solução gráfica) Exemplos: a) x y 1 0 21
b) 2x y 2 0 c) x y 5 0 x 1 0 OBS: 38) Descreva algebricamente a região do plano cartesiano assinalada na figura. 22
23 39) As retas (r) y = x + 6 e (s) x = 4 estão representadas no plano cartesiano da figura abaixo. Determine a área da figura formada pelos pontos (x, y) tais que 0 6 y x 0 4 x 0 y. 40) Calcule a área da figura correspondente à solução, no plano cartesiano, do seguinte sistema de inequações: 0 y 3 x 0 y 3x Exercícios do Livo*: pág 66 100, 101abc, 102, 103
XII - Retas Concorrentes Oblíquas Ângulo entre Retas 41) Determine o ângulo agudo entre as retas: a) (r) 3x y + 1 = 0 b) (r) 3x y + 1 = 0 e (s) 2x + y 1 = 0 (t) x 7 = 0 24
42) A reta r determina um ângulo de 135 com a reta s, cujo coeficiente angular é igual a. Qual o coeficiente angular de r? 1 3 Exercícios do Livro*: pág 70 105, 106, 109, 110 Testes Gerais sobre o Capítulo*: pág 76: 4, 8, 12, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 27, 31, 42, 43 Este Roteiro serve como apoio para as anotações de aula feitas pelo aluno Concepção, elaboração e pesquisa: profª *Os exercícios referidos nas seções Exercícios do Livro estão em: Conecte: Matemática ciência e aplicações 3º ano (Ensino Médio) Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e outros Editora Saraiva, 2014 25