Relações e Funções Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano. O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro). Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais... Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes no nosso cotidiano. Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores O Plano Cartesiano Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596 1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano. O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém se o plano cartesiano ortogonal.
Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto. O primeiro número indica a medidada do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b. Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti horário, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil. Segundo quadrante Terceiro quadrante Primeiro quadrante Quarto quadrante Quadrante sinal de x sinal de y Ponto não tem não tem (0,0) Primeiro + + (2,4) Segundo + ( 4,2) Terceiro ( 3, 7) Quarto + (7, 2) Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B. AxB = { (x,y): x A e y B } Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB. Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos. Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por: AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)} Relações no Plano Cartesiano Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB. A relação mostrada na figura acima é: R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) } Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A B. Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:
1. R1={(1,3),(1,4)} 2. R2={(1,3)} 3. R3={(2,3),(2,4)} Domínio e Contradomínio de uma Relação As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma: O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R). Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R} Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R} Representações gráficas de relações em AxB: R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)} R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}
R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)} Relações Inversas Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R 1, é definida de B em A por: R 1 = { (y,x) BxA: (x,y) R } Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)} Então: R 1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)} Observação: O gráfico da relação inversa R 1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).
Propriedades de Relações Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto é, para todo x A: xrx. Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por: R = {(a,a),(b,b),(c,c)} Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R. Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)} Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R. Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)} Anti simétrica: Sejam x A e y A. Uma relação R é anti simétrica se (x,y) R e (y,x) R implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti simétrica: Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja. Exemplo: Uma relação anti simétrica em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) } Relação de equivalência
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é de equivalência: R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) } Funções no Plano Cartesiano Referência histórica: Leonhard Euler (1707 1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise estudo dos processos infinitos desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática. Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é: f:a B Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada: O domínio A da relação. O contradomínio B da relação. Todo elemento de A deve ter correspondente em B. Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio B. Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta. Exemplo: A circunferência definida por R={(x,y) R²: x²+y²=a²} é uma relação que não é uma função, pois tomando a reta vertical x=0, obtemos ordenadas diferentes para a mesma abscissa x. Neste caso Dom(R)=[ a,a] e CoDom(R)=[ a,a]. Relações que não são funções Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) } não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3. Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) } não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B. Na sequência, apresentaremos alguns exemplos importantes de funções reais Funções afim e lineares Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f:r para cada x em R, associa f(x)=ax+b. R que
Exemplos: 1. f(x)= 3x+1 2. f(x)=2x+7 3. f(x)=(1/2)x+4 Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem (0,0). Função linear: Seja a um número real. Uma função linear é uma função f:r R que para cada x em R, associa f(x)=ax. Exemplos: 1. f(x)= 3x 2. f(x)=2x 3. f(x)=x/2 O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0). Função Identidade É uma função f:r R que para cada x em R, associa f(x)=x. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais.
Funções constantes Seja b um número real. A função constante associa a cada x R o valor f(x)=b. Exemplos: 1. f(x)=1 2. f(x)= 7 3. f(x)=0 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal). Funções quadráticas Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é uma função f:r em R, f(x)=ax²+bx+c. R que para cada x Exemplos: 1. f(x)=x²
2. f(x)= 4 x² 3. f(x)=x² 4x+3 4. f(x)= x²+2x+7 O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. Funções cúbicas Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é uma função f:r para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d. R que Exemplos: 1. f(x)=x³ 2. f(x)= 4x³ 3. f(x)=2x³+x² 4x+3 4. f(x)= 7x³+x²+2x+7 O gráfico da função cúbica do item (a), se assemelha a uma parábola tanto no primeiro como no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores de f(x) são positivos e no terceiro os valores de f(x) são negativos. Domínio, contradomínio e imagem de uma função Como nem toda relação é uma função, às vezes, alguns elementos poderão não ter correspondentes associados para todos os números reais e para evitar problemas como estes, costuma se definir o Domínio de uma função f, denotado por Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado. Consideremos a função real que calcula a raiz quadrada de um número real. Deve estar claro que a raiz quadrada de 1 não é um número real, assim como não são reais as raízes quadradas de quaisquer números negativos, dessa forma o domínio desta função só poderá ser o intervalo [0, ), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os reais. Como nem todos os elementos do contradomínio de uma função f estão relacionados, define se a Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto de todos os elementos do contradomínio que estão relacionados com elementos do domínio de f, isto é: Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) } Observe que, se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e B é o contradomínio da função e se x é um elemento do domínio de uma função f, então a imagem de x é denotada por f(x).
Exemplos: Cada função abaixo, tem características distintas. 1. f:r R definida por f(x)=x² Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) 2. f:[0,2] R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4] 3. A função modular é definida por f:r R tal que f(x)= x, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) e seu gráfico é dado por: 4. Uma semi circunferência é dada pela função real f:r R, definida por Dom(f)=[ 2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gráfico é dado por: Funções injetoras Uma função f:a B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: x 1 x 2 implica que f(x 1 ) f(x 2 ) ou de forma equivalente f(x 1 )=f(x 2 ) implica que x 1 =x 2 Exemplos: 1. A função f:r R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). 2. A função f:r R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x= 1 temos f( 1)=6.
Funções sobrejetoras Uma função f:a B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). Exemplos: 1. A função f:r R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. 2. A função f:r (0, ) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento pertecente a (0, ) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função. 3. A função f:r R definida por f(x)=2 x não é sobrejetora, pois o número 1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio. Funções bijetoras Uma função f:a B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Exemplo: A função f:r R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora. Funções Pares e Ímpares Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem se que f(x)=f( x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY. Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f( x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra função par é g(x)=cos(x) pois g( x)=cos( x)=cos(x)=g(x). Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem se que f( x)= f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f( x)=5( x)= 5x= f(x) e g( x)=sen( x)=sen(x)= g(x). Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem.
Funções crescentes e decrescentes Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta. Exemplo: Seja a função f:r R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente. Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem. Exemplo: Seja a função f:r R definida por f(x)= 8x+2. Para a=1 e b=2, obtemos f(a)= 6 e f(b)= 14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função é decrescente. Funções Compostas Dadas as funções f:a B e g:b C, a composta de f com g, denotada por g f, é a função definida por (g f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g).
Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x 4. As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por: (f g)(x)=f(g(x))=g(7x 4)=4(7x 4)+2=28x 14 (g f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2) 4=28u+10 Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos: (g f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2) 4=28x+10 Observação:Em geral, f g é diferente de g f. Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x 4. Então: Funções Inversas (f g)(x)=f(g(x))=f(2x 4)=(2x 4)²+1=4x² 16x+17 (g f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1) 4=2x² 2 Dada uma função bijetora f:a B, denomina se função inversa de f à função g:b A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f 1. Observação importante: Se g é a inversa de f e f é a inversa de g, valem as relações: g f=i A e f g=i B onde I A e I B são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B. Esta característica algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de sua inversa de g são simétricos em relação à função identidade (y=x). Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f:a B definida por f(x)=2x e g:b A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.
Obtenção da inversa: Seja f:r R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x 3. Assim, g(x)=x 3 é a função inversa de f(x)=x+3. Assim fog=gof=identidade. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade. Operações com Funções Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais: (f+g)(x) = f(x)+g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) (f.g)(x) = f(x).g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x) 0. Funções Polinomiais Uma função polinomial real tem a forma f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a o sendo Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f) dependente de f. Observação: A área de um quadrado pode ser representada pela função real f(x)=x² onde x é a medida do lado do quadrado e o volume de um cubo pode ser dado pela função real f(x)=x³ onde x é a medida da aresta do cubo. Esta é a razão pela qual associamos as palavras quadrado e cubo às funções com as potências 2 e 3.
Aplicação: As funções polinomiais são muito úteis na vida. Uma aplicação simples pode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa (sem tampa) na forma de paralelepípedo que se pode construir com uma chapa metálica quadrada com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da chapa. Concluímos que V(x)=(20 2x)x² e com esta função é possível obter valores ótimos para construir a caixa. Direitos Autorais: Rossana M.M.Pereira e Ulysses Sodré