Aula 0 Respsta em Freqüência de Sistemas Lineares Diagramas de Bde Intrduçã Diagramas de Bde Escala Lgarítmica de Amplitude Escala Lgarítmica de Freqüência Análise ds Terms das Funções de Transferência Cmpsiçã d Diagrama de Bde Sistemas Lineares de Fase Nã Mínima Prblemas Prpsts Intrduçã O us de diagramas de Bde na análise da respsta em freqüência de sistemas lineares fi desenvlvid pr H.W. Bde e intrduzid em 940 n estud das características em freqüência de amplificadres eletrônics. A técnica desenvlvida pr Bde fi, psterirmente, largamente disseminada para análise e prjet de sistemas de cntrle. Em linhas gerais, diagramas de Bde pssibilitam uma aprximaçã efetiva da respsta em freqüência de sistemas cmplexs pela cmbinaçã da respsta de fatres de primeira e segunda rdem. Embra atualmente s engenheirs respnsáveis pel desenvlviment de prjets de sistemas de cntrle tenham a sua dispsiçã pdersas ferramentas cmputacinais que diminuem sbremaneira a necessidade d traçad manual ds gráfics de módul e fase que cmpõe s diagramas de Bde, tal técnica ainda é bastante utilizada pela sua facilidade, rapidez e quantidade de infrmações que se pde bter de um dad sistema sb análise de frma bastante simplificada. Diagramas de Bde O métd prpst pr Bde, é cnstituíd pr dis gráfics. O primeir gráfic, relacinad a magnitude da funçã de transferência G(jω ) é traçad em funçã da freqüência em escala lg-lg. O segund gráfic, relacinad a fase de G(jω), também é traçad em funçã da freqüência, prém em escala linear-lg. Esta estratégia permite-ns traçar diagramas de respsta em freqüência sistemas de rdem elevada, adicinand-se separadamente s gráfics relativs a cada um terms de primeira e segunda rdem que cmpõe G(jω). Cm exempl, cnsiderems a seguinte funçã de transferência: () s ( s + z) ( s p) Admitind s=jω, pde-se rescrever (0.) na seguinte frma cm a magnitude dada pr G G = (0.) + (j ) = G(jω) cs φ + jg(jω) sen ω φ (0.) z + ω G(jω ) = (0.3) p + ω Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner
e cm a fase dada pr ω ω φ = arc tan arc tan (0.4) z p N cas geral de uma funçã de transferência cm n póls e m zers, módul será calculad de acrd cm (0.
u em unidades de décadas, i.e., ω W lg = itavas (0.9) ω ω W lg 0 = décadas (0.0) ω Os terms acima e abaix sã muit empregads para expressar valres psitivs e negativs de W respectivamente. Pr exempl, a freqüência de 00 rad/s é dita estar duas itavas (um fatr de ) acima da freqüência de 5 rad/s, enquant esta mesma a freqüência de 00 rad/s pde ser dita também estar 3 décadas (um fatr de 0-3 ) abaix da freqüência de 00.000 rad/s. Análise ds Terms das Funções de Transferência Cnsiderems aqui, uma funçã de transferência genérica G(s), apresentada a seguir: s G(s) = K s m n + a s + b s m n + L+ a + L+ b m m s + a s + b m m n m (0.) Para cnstruçã d diagrama de Bde, é mais cnveniente rescrever (0.) na frma fatrada e, adicinalmente, substituir s pr jω, u seja G(jω) = K (jωτ (jωτ + )(jωτ + )(jωτ + ) L(jωτ + ) L(jωτ m n + ) + ) (0.) Observa-se que em (0.), n cas de nã existirem póls u zers na rigem, K representa diretamente ganh DC da funçã de transferência. Uma vez que a metdlgia estabelecida para traçad d diagrama de Bde baseia-se na respstas em freqüência de cada um ds terms que cmpõe (0.), interessa-ns analisar cmprtament em freqüência das três classes de terms dadas a seguir:.. 3. K ( jω) γ ± ( jωτ + ) jω r ω jω + ξ + ωr ± (0.3) (0.4) (0.5) A primeira classe, descrita pr (0.3), generaliza a existência de múltipls zers u póls na rigem. De acrd cm a equaçã (0.7) pde-se escrever a seguinte relaçã para esta classe: ( jω) γ = 0 lg K + 0γ lg jω 0 lg0 K 0 0 (0.6) É fácil bservar a partir de (0.6), que a curva de magnitude para a primeira classe de terms cnsiderada é uma reta cm declividade de 0γ db/década cuj valr na freqüência de.0 rad/s depende smente d valr da cnstante K. A Figura 0. mstra três diferentes cass em que γ=-,, cnsiderand para tds eles K =.0. O gráfic de fase para esta primeira classe de terms é tal que φ = γ x 90 ist é, independente da freqüência tem-se n gráfic de fase um linha paralela a eix das abcissas em -90 para γ=-, -80 para γ=-, 90 para γ= e assim pr diante. Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner 3
Fig. 0.: Curvas de magnitude para a classe de terms descritas pr (0.3). Para segunda classe de terms apresentada em (0.4), cnsidera-se cmprtament assintótic em freqüências muit baixas e muit elevadas, u seja s dis cass apresentads a seguir: a) b) ωτ <<, jωτ + (0.7) ωτ >>, jωτ + jωτ (0.8) Definind-se ω = / τ cm pnt de quebra, bserva-se que abaix deste pnt a curva de magnitude é aprximadamente cnstante (=), enquant acima deste pnt a curva de magnitude γ cmprta-se cm aquelas descritas para a primeira classe de sistemas K (jω). O exempl apresentad na figura (0.), G( s) = 0s + ilustra cm as duas assínttas cruzam pnt de quebra. Fig. 0.: Curvas de magnitude assintótica e real cnsiderand G (s) = 0s +. A curva de fase também é facilmente determinada utilizand a mesma idéia de análise de cmprtament de term em questã em baixas e altas freqüências. Para traçad da curva assintótica de fase cnsidera-se s três cass apresentads a seguir: a) ωτ <<, arc tan = 0 ; (0.9) b) ωτ >>, arc tan ωτ = 90 ; (0.0) Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner 4
c) ωτ =, arc tan ( ωτ + ) = 45. (0.) A Figura 0.3 mstra a curva assintótica e real d cmprtament da fase G( s) = 0s + em funçã da freqüência. Observe que n traçad assintótic da curva de fase em ωτ é tangente a curva real. Fig. 0.3: Curva de fase assintótica e real em funçã da freqüência, cnsiderand G (s) = 0s +. i. Mstrar que para classe de terms (0.4), n pnt de interseçã das assínttas de baixa e alta freqüências, as assínttas diferem da curva real de magnitude em 3.0 db, para cas de zers de (0.), e em 3.0 db para cas de póls. ii. Mstrar para classe de terms (0.4), que a curva assintótica tem fase de 45 para ωτ =, e que as curvas real e assintótica diferem de + e para ωτ = 0. e ωτ = 5 respectivamente. iii. Verificar que para esta classe de terms, freqüências uma década abaix d pnt de quebra praticamente nã exercem influência nas curvas de magnitude e fase. A terceira classe de terms representa as parcelas da funçã de transferência cmpstas pr raízes cmplexas. Para análise destes terms, algumas infrmações serã btidas da família de curvas apresentadas na Figura 0.4, btidas a partir da seguinte funçã de transferência de segunda rdem: ωr G(s) = (0.) s + ξω s + ω que pde ser cnvenientemente rescrita na frma ( s / ω ) + ξ( s / ω ) r r G(s) = (0.3) r r + O prcediment empregad para a análise desta classe de terms é muit similar aquele utilizad para análise da classe anterir. Neste cas pnt de quebra será em ω = ω r. O gráfic assintótic de magnitude mudará de inclinaçã pr um fatr de, n cas de (0.3) pr se tratar de terms de segunda rdem n denminadr da funçã de transferência a inclinaçã da curva será alterada em 40 db/década. O gráfic assintótic de fase, ainda para cas de (0.3), será alterad em 80. Ocrre n entant que a curva real difere mais u mens da assintótica em funçã d ceficiente de amrteciment ξ. Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner 5
Fig. 0.4: Família de curvas de magnitude e fase de (0.3) variand ceficiente de amrteciment i. Verifique que em (0.3), na freqüência ω = ωr, G (jω) =. ξ ii. Determinar a faixa de valres de ceficiente de amrteciment em que um sinal de entrada d tip u(t) = A sen t, aplicad a (0.3), resultará em um sinal de saída em iii. ωr regime permanente d tip y(t) = A sen( ωr t + φ) cm A / A. Cm base na Figura (0.4), btenha as curvas de magnitude e fase admitind apenas efeit d term de segunda rdem n numeradr da funçã de transferência, ist é ( s / ω ) + ξ( s / ω ) G(s) = r r +. Para este cas, explique prcediment para btençã d traçad das curvas assintóticas de magnitude e fase. Cmpsiçã d Diagrama de Bde Quand se trata de uma funçã de transferência cm váris póls e zers, cm aquela generalizada em (0.), traçad das curvas de magnitude e de fase que cmpõe diagrama de Bde é realizad pela cmbinaçã das curvas de magnitude e fase de cada um ds terms que a cmpõe. Desta frma, a declividade das assínttas da curva de magnitude da funçã de transferência é dada pela smatória das declividades das assínttas para cada um ds terms individuais. Prtant na cmpsiçã da curva assintótica de magnitude as declividades mudam nas freqüências em que existem pnts de quebra: +0 db/década se pnt de quebra fr relativ a um term de primeira rdem d numeradr, -0 db/década se fr relativ a um term de primeira rdem n denminadr e, ± 40 db/década se pnt de quebra fr assciad a um term de segunda rdem n numeradr u n denminadr respectivamente. Para baixas freqüências, as assínttas sã determinadas pel valr de γ ds terms γ K ω determinand-se K na freqüência ω=.0 rad/s. Desta frma, traçad cmplet da curva de magnitude d diagrama de Bde é realizad cmeçand-se pel traçad das assínttas em baixas freqüências, alterand-se as declividades seqüencialmente a cada pnt de quebra de frma a cbrir tda a faixa de freqüências de interesse. Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner 6
A cmpsiçã d diagrama de Bde de fase é feita adicinand-se as curvas individuais de fase. Uma frma rápida bastante utilizada para traçad da curva assintótica de fase cnsiste em cada um ds terms de primeira rdem n numeradr adicinar-se +90 na freqüência em que existem pnt de quebra e, da mesma frma, adicinar-se 90 se terms de primeira rdem estiverem n denminadr. Se pnt de quebra relacinar-se cm fatres de segunda rdem, descrit anterirmente cm send a terceira classe de terms, s increments de fase serã de ±80 se pnt de quebra fr assciad a um term de segunda rdem n numeradr u n denminadr respectivamente. Uma vez btidas as curvas assintóticas de magnitude e fase, refina-se traçad das mesmas empregand as regras de transiçã apresentadas anterirmente. Traçar diagrama de Bde de módul e fase das seguintes funções de transferência:. 000(s + 0.5) G(s) = Cas de zers e póls reais [ s(s + 0)(s + 50) ] 0. G(s) = Cas de póls reais e cmplexs s s + 0.4s + 4 ( ) 0.0( s + 0.0s + ) 3. G(s) s [(s / 4) + 0.0(s / ) + ] = Cas de zers e póls reais e cmplexs Cnstruçã de Diagramas de Bde O prcediment empregad para cnstruçã d diagrama de bde pde ser resumid em it passs descrits a seguir. Pass : Cnsidera-se a seguinte funçã de transferência a qual deseja-se bter Diagrama de Bde: s G(s) = K s m n + a s + b s m n + L+ a + L+ b m m s + a s + b m m n m (0.4) A funçã de transferência (0.4) deve ser manipulada de frma a aparecer as três classes de terms pssíveis encntrads na cmpsiçã de (0.4), i.e. z R c jω jω ( jωτi + ) + ξi + γ = = ω ω i i i i G (jω) = K ( jω) (0.5) p ( ) p / R c jω jω jωτ k + + ξ k + ωk ωk k= u seja, γ zers u póls na rigem que representam a primeira classe terms previamente apresentadas, z R zers u p R póls reais representand a segunda classe de terms e z c / pares de zers u p c / pares de póls cmplexs cnjugads que representam a terceira e última classe de terms. z / k= Pass : Determinar valr de γ para classe de terms K ( jω) γ. Traçar a assíntta de baixa freqüência a partir d pnt K determinad na freqüência ω= rad/s. A assíntta terá declividade de 0γ db/década. Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner 7
Pass 3: Estender a assíntta de baixa freqüência até primeir pnt de quebra. Neste pnt, alterar a declividade da curva assintótica de ± 0 db/década u ± 40 db/década dependend se pnt de quebra está assciad a um term de primeira u segunda rdem n numeradr u denminadr da funçã de transferência. Este prcediment deve ser repetid em tda faixa de freqüências até que seja alcançad últim pnt de quebra. Pass 4: Cm base na curva assintótica de magnitude incrementa-la ns pnts de quebra assciads a terms de primeira de 3.0 db se fr um term d numeradr e 3 db se fr d denmimadr. Se pnt de quebra fr assciad a terms de segunda rdem, representar s vales u pics empregand a relaçã G (jω) = ξ u G (jω) = / ξ n pnt de quebra. Pass 5: Traçar a curva assintótica de fase para baixas freqüências, ist é, φ = γ x 90. Pass 6: Da mesma frma que na curva de magnitude, estender a assíntta de baixa freqüência até primeir pnt de quebra, alterand a fase em ± 90 u ±80. Se pnt de quebra estiver relacinad a terms de primeira rdem n numeradr a curva assintótica de fase será alterada em +90 se estiver relacinad a denminadr a curva assintótica de fase será alterada em 90. Para terms de segunda rdem a alteraçã da curva assintótica de fase sfrerá uma alteraçã de ± 80. Pass 7: Traçar nas curvas assintóticas de fase individuais as transições para s terms de primeira e de segunda rdem. Pass 8: Adicinar graficamente cada uma das curvas individuais, cmeçand pela assíntta de baixa freqüência e finalizand pela assíntta de alta freqüência. Quant mais distantes estiverem s pnts de quebra sucessivs mais próximas as curvas de magnitude e fase assintóticas serã das curvas reais. A Tabela 0. mstra as curvas assintóticas de magnitude e fase assciadas a cada uma das classes de terms básics que cmpõe as funções de transferência. Term Magnitude 0 lg G(jω) em decibeis Fase G(jω) em graus. Ganh G(jω)=K 40 0 90 45-0 -45-40 ω -90 ω. Zer G(jω)= (+jω/ω ) 40 0 90 45-0 -40-45 0.ω ω 0ω -90 0.ω ω 0ω Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner 8
Term Magnitude 0 lg G(jω) em decibeis Fase G(jω) em graus 3. Pól G(jω)= (+jω/ω ) - 40 0 90 45-0 -40-45 0.ω ω 0ω -90 0.ω ω 0ω 4. Zer na rigem G(jω)= jω 40 0 90 45-0 -45-40 0. 0 00 ω -90 0. 0 00 ω 5. Pól na Origem G(jω)= (/jω) 40 0 90 45-0 -45-40 0. 0 ω 00-90 0. 0 00 ω 6. Zers Cmplexs 0.<ξ<, G(jω)= jω ωn jω + ξ + ωn 40 0-0 80 90-90 -40 0. 0-80 0. 0 00 ω/ω n ω/ω n 7. Póls Cmplexs 0.<ξ<, G(jω)= jω n ω jω + ξ + ωn 40 0-0 -40 0. 0 80 90-90 -80 0. 0 00 ω/ω n ω/ω n Tab. 0.- Curvas assintóticas ds terms básics de uma funçã de transferência. Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner 9
Sistemas Lineares de Fase Nã Mínima A definiçã de sistemas lineares de fase nã mínima está assciada diretamente cm psicinament ds póls e zers finits da funçã de transferência d sistema em questã. Funções de transferência que apresentam tds s seus póls e zers lcalizads n semiplan esquerd d plan s sã denminadas funções de transferência de fase mínima. Em cntrapartida, se na funçã de transferência em questã existir pel mens um pól u zer n semiplan direit d plan s, sistema será denminad de fase nã mínima. De frma a justificar tal denminaçã, cnsidera-se dis sistemas lineares de primeira rdem descrits pelas funções de transferência (0.6) e (0.7), apresentadas a seguir: s + G (s) = (0.6) s + 0 (0.7). s G (s) = (0.7) s + 0 A Figura 0.5 apresenta s diagramas de póls e zers das funções de transferência (0.6) e Plan s jω Plan s jω * θ θ θ θ (a) -0 - σ -0 (b) σ Fig. 0.5: (a) Diagrama de póls e zers da funçã de transferência (0.3). (b) Diagrama de póls e zers da funçã de transferência (0.4). Pela análise das Figuras 0.5 (a) e (b) pde-se cnstatar que G (jω) = G (jω) independente d valr da freqüência ω. Desta frma, s diagramas de Bde de magnitude destes dis sistemas serã idêntics. N entant, mesm nã crrerá cm diagrama de Bde de fase destes sistemas. Tal fat explica-se mediante a análise das equações de fase de cada um destes sistemas, u seja: ω fase G (jω) = arc tan ω - arc tan (0.8) 0 ω fase G (jω) = 80 - arc tan ω - arc tan (0.9) 0 Na equaçã (0.8), para valres de freqüência muit pequens, a fase de G (jω) é aprximadamente zer, crrend mesm para valres muit elevads de freqüência. Para a funçã de transferência (0.7) a fase G (jω) para valres de freqüência pequens é praticamente 80. O diagrama de Bde de magnitude e fase de cada um destes sistemas é apresentad nas Figuras 0.6 e 0.7. Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner 0
0 Phase (deg) Magnitude (db) -5-0 -5-0 60 30 0 0-0 0 0 0 Frequency (rad/sec) Fig. 0.6: Diagrama de Bde d sistema descrit pela funçã de transferência (0.6). 0 Phase (deg) Magnitude (db) -5-0 -5-0 80 35 90 45 0 0-0 0 0 0 Frequency (rad/sec) Fig. 0.7: Diagrama de Bde d sistema descrit pela funçã de transferência (0.7).. Identificar e analisar as diferenças existentes nas respstas temprais ds sistemas representads pela funções de transferência dadas pr (0.6) e pr (0.7), quand sinal de e
Prblemas Prpsts 4. Relacinar as respstas temprais de cinc diferentes prcesss excitads cm um sinal de entrada d tip degrau de amplitude unitária, cm suas respetivas respstas em freqüência representadas pels seus diagramas de Bde. () (A) () (B) (3) (C) Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner
(4) (D) (5) (E) 5. Cnsiderand diagrama de Bde apresentad na Figura 0.8 determinar: i. A funçã de transferência d prcess: ii. O sinal de saída d prcess cnsiderand cm sinal entrada r(t) = 0 sen 40t; iii. O sinal de saída d prcess cnsiderand cm sinal entrada r(t) = 0 sen 0000t; Bde Diagrams 0 Phase (deg); Magnitude (db) -50-00 00 50 00 50 0 0 0 0 3 0 4 0 5 Frequency (rad/sec) Fig. 0.8: Diagrama de Bde d prcess a ser identificad. Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner 3
3. Basead n diagrama de Bde apresentad na Figura 0.9, identifique a funçã de transferência d sistema. Determinada a funçã de transferência d sistema determine s errs em regime permanente quand mesm é sujeit a um sinal de entrada d tip degrau unitári e rampa unitária. Fig. 0.9: Diagrama de Bde d prcess a ser identificad. 4. O diagrama de Bde apresentad na Figura 0.0 é de um sistema de º rdem. A funçã de transferência deste sistema é definid pela equaçã abaix. K ωn G( s) = s + ξω s + ω Determinar: O valr da freqüência natural ω n,. fatr de amrteciment ξ e ganh K. O que acntece cm este sistema se fr impst que ξ = 0. n n Fig. 0.0: Diagrama de Bde d prcess a ser identificad. Prfessres: Luís Fernand Alves Pereira & Jsé Felipe Haffner 4