eomei pln. eumo eóico e eecício. 3º olegil / uo enivo. uo - Luc cvio de Sou (Jec)
elção d ul. Págin ul 01 - onceio inicii... 0 ul 0 - Pono noávei de um iângulo... 18 ul 03 - onguênci de iângulo... 8 ul 04 - Qudiláeo noávei... 38 ul 05 - Polígono conveo... 48 ul 06 - Ângulo n cicunfeênci... 6 ul 07 - Segmeno popocioni... 74 ul 08 - Semelhnç de iângulo... 84 ul 09 - elçõe méic no iângulo eângulo... 98 ul 10 - elçõe méic num iângulo qulque... 11 ul 11 - icunfeênci e cículo... 16 ul 1 - Incição e cicuncição de polígono egule... 136 ul 13 - Áe d figu pln... 146 onideçõe gei. e eudo de eomeide Pln em como ojeivo complemen o cuo que deenvolvo com o luno de 3º olegil e de cuo pé-veiul. Não em peenão de e um o cd e, muio meno, pefei. uoio o uo pelo cuinho comuniáio que e ineeem pelo meil, dede que mnenhm minh uoi e não enhm luco finnceio com o meil. Peço, eneno que me comuniquem oe o uo. comunicção me dá enção de e coniuindo p jud lguém. Peço odo, que pedoem evenui eo de digição ou de eolução e que me comuniquem oe ee eo, p que po coigí-lo e melho ee lho. eu e-mil - jecjec@uol.com. Um ço. Jec (Luc cvio de Sou) Jec 01
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln ul 01 onceio inicii de eomei Pln. I) e, emie e egmeno de e. II) Ângulo. - ldo - ldo - véice ângulo ou ângulo e emie egmeno emie efiniçõe. ) Segmeno conguene. oi egmeno ão conguene e êm mem medid. ) Pono médio de um egmeno. Um pono P é pono médio do egmeno e peence o egmeno e divide em doi egmeno conguene. c) edii de um egmeno. É e pependicul o egmeno no eu pono médio efiniçõe. ) Ângulo é egião pln limid po du emie de mem oigem. ) Ângulo conguene. oi ângulo ão dio conguene e êm mem medid. c) iei de um ângulo. É emie de oigem no véice do ângulo que divide ee ângulo em doi ângulo conguene. II) Unidde de medid de ângulo. ) u. medid de um vol comple é 360º. 1º 60' 1' 60" º - gu ' - minuo " - egundo II) lificção do ângulo. 0º - ângulo nulo. 0º < < 90º - ângulo gudo. 90º - ângulo eo. 90º < < 180º - ângulo ouo. 180º - ângulo o. ) dino. medid de um vol comple é p dino. Um dino é medid do ângulo cenl de um cicunfeênci cuj medid do co coepondene é igul à medid do io d cicunfeênci. efiniçõe. ) Ângulo complemene. É o p de ângulo cuj om d medid é 90º. ) Ângulo uplemene. É o p de ângulo cuj om d medid é 180º. IIc) Ângulo fomdo po du e plel cod po um e nvel. // c d ) Ângulo coepondene (mem poição). eemplo - e f. Popiedde - ão conguene. ) Ângulo colei (memo ldo). eemplo de colei ineno - h e c. eemplo de colei eeno - d e g. Popiedde - ão uplemene (om 180º) f e g h c) Ângulo leno (ldo lendo). eemplo de leno ineno - e h. eemplo de leno eeno - e g. Popiedde - ão conguene. Jec 0
III) Tiângulo. véice ldo e i i - ângulo ineno e - ângulo eeno Num memo véice, em-e i + e 180º Ângulo eeno. ângulo eeno de qulque polígono conveo é o ângulo fomdo ene um ldo e o polongmeno do ouo ldo. lificção do iângulo. ) quno o ldo: - iângulo equiláeo. - iângulo iócele. - iângulo ecleno. ) quno o ângulo: - iângulo eângulo. - iângulo ouângulo. - iângulo cuângulo. Popiedde do iângulo. 1) m odo iângulo, om d medid do 3 ângulo ineno é 180º. ) m odo iângulo, medid de um ângulo eeno é igul à om d medid do ângulo ineno não djcene. g + + g 180º e e + e 3 e 1 e 3) m odo iângulo, om d medid do 3 ângulo eeno é 360º. e + e + e 360º 1 3 4) m odo iângulo iócele, o ângulo d e ão conguene. evção - e de um iângulo iócele é o eu ldo difeene. ecício. 01) feue opeçõe com gu io olicid. ) 48º 7' 39" + 17º 51' 4" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 (68º 3' 54") ) 106º 18' 5" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 6' 1" f) 3 (71º 3' 5") Jec 03
III) Tiângulo. véice ldo e i i - ângulo ineno e - ângulo eeno Num memo véice, em-e i + e 180º Ângulo eeno. ângulo eeno de qulque polígono conveo é o ângulo fomdo ene um ldo e o polongmeno do ouo ldo. lificção do iângulo. ) quno o ldo: - iângulo equiláeo. - iângulo iócele. - iângulo ecleno. ) quno o ângulo: - iângulo eângulo. - iângulo ouângulo. - iângulo cuângulo. Popiedde do iângulo. 1) m odo iângulo, om d medid do 3 ângulo ineno é 180º. ) m odo iângulo, medid de um ângulo eeno é igul à om d medid do ângulo ineno não djcene. g + + g 180º e e + e 3 e 1 e 3) m odo iângulo, om d medid do 3 ângulo eeno é 360º. e + e + e 360º 1 3 4) m odo iângulo iócele, o ângulo d e ão conguene. evção - e de um iângulo iócele é o eu ldo difeene. ecício. 01) feue opeçõe com gu io olicid. ) 48º 7' 39" + 17º 51' 4" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 (68º 3' 54") 48º 7' 39" 17º 51' 4" 175º 78' 81" 90º 89º 60' 4 (68º 3' 54") 4 68º 4 3' 4 54" 7º 9' 16" 175º 78' 81" 175º 79' 1" 176º 19' 1" epo 89º 59' 60" - 61º 14' 44" 8º 45' 16" epo 7º 95' 36" 73º 35' 36" epo ) 106º 18' 5" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 6' 1" f) 3 (71º 3' 5") 106º 18' 5" 17º 46' 39" 13º 64' 64" 13º 64' 64" 13º 65' 04" 14º 05' 04" epo 136º 14' - 89º 6' 1" 135º 74' - 89º 6' 1" 135º 73' 60" - 89º 6' 1" 46º 47' 48" epo 3 (71º 3' 5") 3 71º 3 3' 3 5" 13º 69' 156" 13º 71' 36" 14º 11' 36" epo Jec 03
g) 15º 39' 46" 4 h) 118º 14' 5" 3 i) 15º 1' 5" 5 j) 90º 13 0) eemine o ângulo que é o doo do eu complemeno. 03) eemine o ângulo que ecede o eu uplemeno em 54º 04) eemine o ângulo cuj difeenç ene o eu uplemeno e o iplo do eu complemeno é igul 54º. 05) oi ângulo ão uplemene. meno é o complemeno d qu pe do mio. eemine medid dee ângulo. 06) medid de doi ângulo omm 14º. eemine ee ângulo endo que o uplemeno do mio é igul o complemeno do meno. 07) eemine um ângulo endo que o uplemeno d u quin pe é igul o iplo do eu complemeno. Jec 04
g) 15º 39' 46" 4 h) 118º 14' 5" 3 15º 4-1 31º 05-4 1º 1º 60' 60' 39' 99' 4-8 4' 19-16 3' 3' 180" 180" 46" 6" 4-0 56" 6-4 " (eo) 118º 3-9 39º 8-7 1º 1º 60' 60' 14' 74' 3-6 4' 14-1 ' ' 10" 10" 5" 17" 3-15 57" -1 1" (eo) 15º 39' 46" 4 31º 4' 56" epo 118º 14' 5" 3 39º 4' 57" epo i) 15º 1' 5" 5 j) 90º 13 15º 5-10 5º 5-5 0º 0' 1' 1' 5-10 ' ' ' 10" 10" 5" 17" 5-15 34" -0 " (eo) 90º 13-78 6º 1º 1º 70' 70' 13-65 55' 70-65 05' 5' 300" 300" 13-6 3" 40-39 1" (eo) 15º 1'' 5" 5 5º 0' 34" epo 90º 13 06º 55' 3" epo 0) eemine o ângulo que é o doo do eu complemeno..(90 - ) 180-3 180 60º (ep) 03) eemine o ângulo que ecede o eu uplemeno em 54º (180 - ) + 54 180 - + 54 34 117º (ep) 04) eemine o ângulo cuj difeenç ene o eu uplemeno e o iplo do eu complemeno é igul 54º. (180 - ) - 3.(90 - ) 54º 180 - - 70 + 3 54 144 7º epo 05) oi ângulo ão uplemene. meno é o complemeno d qu pe do mio. eemine medid dee ângulo. é o meno (180 - ) é o mio 90 - [(180 - )/4] - 90 -(180 - )/4 4-360 -180 + 3 180 60º e (180 - ) 10º (ep) 06) medid de doi ângulo omm 14º. eemine ee ângulo endo que o uplemeno do mio é igul o complemeno do meno. + 14 - mio - meno (180 - ) (90 - ) 180 - (14 - ) 90-180 - 14 + 90-34 17º e 107º epo Jec 04 07) eemine um ângulo endo que o uplemeno d u quin pe é igul o iplo do eu complemeno. (180 - /5) 3.(90 - ) 180 - /5 70-3 14/5 90 450/14 (5/7)º epo
08) m cd figu io, deemine medid do ângulo. ) ) 116º // 41º c) d) (Tene fe de ou mnei) 53º // 53º // 39º 39º e) f) 55º // 35º 6º 40º 38º 47º g) h) 8º // 54º 88º 1º 16º i) j) 73º 11º 143º k) l) 46º 158º 38º 67º Jec 05
08) m cd figu io, deemine medid do ângulo. ) ) 41º 116º // 41º 116º 41º (ep) c) d) (Tene fe de ou mnei) + 116 180 64º (ep) 14º 14º 53º 39º 39º // // // 14º (ep) + 39 + 17 180 14º (ep) 53º 39º 17º 39º // e) f) 93º 40º 55º 55º 87º + 93 + 40 180 47º (ep) 38º // + 6 + 47 + 35 180 36º (ep) 35º 6º 6º 47º // // g) h) // // //u u 8º 8º 54º 6º 6º 88º 6º 1º 6º (ep) + 16 + 1 180 33º (ep) 16º i) j) + 68 + 37 180 75º (ep) 73º 11º 68º 37º 143º + 73 + 73 180 34º (ep) 73º k) l) 46º 46 + + 180 134 67 + 180 180-67 113º (ep) 67 + 38 105º + 158 158-105 53º (ep) 158º 38º 67º Jec 05
09) figu io mo doi quddo oepoo. Qul é o vlo de +, em gu? 10) N figu io, eão epeendo um iângulo equiláeo e um eângulo. Sendo e medid do ângulo inldo, deemine om +. 11) N figu io, deemin + + +. 1) N figu io, deemin o vlo d om d medid do ângulo,,, e u. 30º u 13) N figu io, clcule o vlo de em função de m. 4m 3m m 14) (I-SP) Sejm,, g, l e q medid em gu do ângulo,,, e d figu, epecivmene. om + + g + l + q é igul : ) 10º ) 150º c) 180º d) 10º e) 40º 15) (IT-SP) m um iângulo de ppel femo um do PT de modo que o véice coincid com o véice, e um do PQ de modo que o véice coincid com o pono de P. Semo que o iângulo Q fomdo é iócele com Q 100º; clcule medid do ângulo ineno do iângulo. 16) eemine, endo-e que é um eângulo e que e ão pono médio do ldo e, epecivmene. Q T 5º P Jec 06
09) figu io mo doi quddo oepoo. Qul é o vlo de +, em gu? // // 10) N figu io, eão epeendo um iângulo equiláeo e um eângulo. Sendo e medid do ângulo inldo, deemine om +. 10º + + 90 360 + 70º (ep) 10 + + 360 + 360-10 + 40º (ep) 60º 11) N figu io, deemin + + +. + + + + 150 360 + + + 10º (ep) + 150º 30º + 1) N figu io, deemin o vlo d om d medid do ângulo,,, e u. u + + + + 180º (ep) + + u 13) N figu io, clcule o vlo de em função de m. 3m m + m 4m 4m + 4m + m 3m m (ep) m 14) (I-SP) Sejm,, g, l e q medid em gu do ângulo,,, e d figu, epecivmene. om + + g + l + q é igul : ) 10º ) 150º c) 180º d) 10º e) 40º g + g g q l + l l 15) (IT-SP) m um iângulo de ppel femo um do PT de modo que o véice coincid com o véice, e um do PQ de modo que o véice coincid com o pono de P. Semo que o iângulo Q fomdo é iócele com Q 100º; clcule medid do ângulo ineno do iângulo. Q 40º 100º 40º 80º 70º 70º 80º 30º 30º 30º 60º P 60º 70º 80º 30º (ep) T 30º Jec 06 + + g + q + l 180º (ep) 16) eemine, endo-e que é um eângulo e que e ão pono médio do ldo e, epecivmene. Se é pono médio, enão // 5º (ep) 5º 5º
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln onceio inicii de eomei Pln. ecício complemene d ul 01. 01) N figu io, deemin o vlo de. ) ) 43º 57º // // c) 45º d) 45º // // 6º 6º e) 147º f) (eolve de fom difeene d le c)) // 8º 16º 80º // g) h) (eolve de fom difeene d le g)) // 140º 65º // 140º 65º i) 4º 150º j) 48º 150º 5-1º // 43º 40º // k) 55º l) // 85º 135º Jec 07
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln onceio inicii de eomei Pln. ecício complemene d ul 01. 01) N figu io, deemin o vlo de. ) ) 43º // // 57º 57º + 57 180 13º (ep) 43º (ep) c) 45º 45º 6º 6º // // // 45 + 6 107º (ep) d) 45º 6º 45º // é ângulo eeno 6 + 45 107º (ep) e) // // 33º 33º 8º 49º 147º 49º (ep) f) (eolve de fom difeene d le c)) 16º é ângulo eeno + 80 16 80º 16º 46º (ep) 49º 80º // g) 140º // // // u 40º 40º 65º 5º 5º 30º 30º u 30 + 5 55º (ep) h) // 140º 40º 65º (eolve de fom difeene d le g)) 30º + 40 65 5 + 30 5 + 30 55º (ep) i) 5-1º 4º 4º 150º // 5-1 + 4 180 5 + 30 180 5 150 30º (ep) j) 43º 48º 40º 48º 150º // 43 + 48 91º + + 40 180 + 91 + 40 180 49º (ep) k) + 55 + 90 180 35º + + 90 180 55º (ep) 55º l) // 85º 45 + 85 130º (ep) 85º 45º 135º 45º Jec 07
m) // // u n) // // u 43º 58º u u o) p) 6º 5º 79º 67º q) ) 5º 1 81º 18 15 ) 38º (Tiângulo iócele) ) (Tiângulo iócele) 138º u) v) 15º 6º 98º ) 98º ) Jec 08
m) // // u n) // // u 43º 43º 43º (ep) 58º + 58 180 1º (ep) u u o) p) 6º + 6 + 79 180 180-141 39º (ep) 5º 5 + 67 119º (ep) 79º 67º q) ) 5º 81 + 5 133º (ep) 1 1 + 18 + 15 180 54 180 180/54 (10/3)º (ep) 81º 81º 18 15 ) 38º (Tiângulo iócele) + 38 180 ) 14 71º (ep) 138º 4º 4º (Tiângulo iócele) + 4 + 4 180 96º (ep) u) v) 15º + + 15 360 ) 8º 8º 08 98º 16º 41º 41º 104º (ep) + 41 + 16 180 13º (ep) ) Jec 08 6º 8º 98º + 8 + 6 180 36º 6 + + 180 46º (ep) é ângulo eeno do iângulo + / No iângulo + + 180 + + / 180 7º + 180 108º (ep)
0) N figu io, deemin o vlo de. ) ) 37º 73º 116º 148º 4º 31º c) d) 34º 101º 38º iei 18º 36º e) é o pono de encono d 3 ieie. f) e ão ieie. 40º 7º 4º g) h) 68º // 60º 5 3 + 30º i) j) 9 43º 6 1 6º 60º k) é um quddo. l) 30º 118º Jec 09
0) N figu io, deemin o vlo de. ) ) 31º 37º 116º 79º 64º 101º + 101 + 31 180 180-13 48º (ep) 73º 148º 4º 148 + 4 14º + 73 14 + 73 51º (ep) c) d) 101º 79º 34º + 34 + 79 + 38 180 180-151 9º (ep) 38º 38º 5º iei 18º 36º + 18 + 36 180 16º + 5 + 180 16 + 5 + 180 11º (ep) e) é o pono de encono d 3 ieie. f) e ão ieie. 3º 3º 40º 108º 40º 7º. 3 +. + 80 180 18º (ep) 4º. +. + 4 180 ( + ) 180-4 ( + ) 138 + 69º + + 180 + 69 180 111º (ep) g) h) 68º // 68º 5 3 10º 3 3 + 5 + 68 180 60º 8 11 14º 3 4º (ep) + 30 + + 10 360 3 10 70º (ep) + 30º i) j) 9 6 + 9 + 1 360 7 360 43º 43 + 6 105º 6 1 360/7 (40/3)º (ep) 6º 60º 60 + - 60 45º k) é um quddo. l) 45º + 45 + 45 180 90º (ep) 30º + 75 + 6 180 43º (ep) 45º Jec 09 75º 75º 6º 6º 118º
m) n) e 38º o) e p), e. 44º q) é um iângulo equiláeo ) e é um quddo. é um iângulo equiláeo e é um quddo. ) é um iângulo equiláeo ) e é um quddo. é um iângulo equiláeo, e ão quddo. u) e ão iângulo v) equiláeo. e. 70º 65º ) e. ) é iei de  é iei de Â. 38º Jec 10
m) n) e 38º + 38 + 38 + 90 180 180-166 14º (ep) 38º 3 3 + 3 + 3 180 7 180 (180/7)º (ep) o) e p), e. + 4 + 4 180 9 180 0º (ep) q) é um iângulo equiláeo ) e é um quddo. 3 4 3 44º + + 180 56º + + 180 68º (ep) + + 44 180 68º é um iângulo equiláeo e é um quddo. 60º + 60 + 90 180 30º (ep) 60º + + 90 + 60 180 15º (ep) ) é um iângulo equiláeo ) e é um quddo. 30º 60º u) e ão iângulo v) equiláeo. 30º 30º ) e. ) 60º 60º 60º 60º 60º + + 30 180 75º (ep) + 30 + 30 180 10º (ep) + + 60 360 150º (ep) Jec 10 é um iângulo equiláeo, e ão quddo. 70º 65º 55º 65º 55º 38º 60º 60º e. é iei de  é iei de Â. 38º 60º (ep) + 55 + 65 180 60º (ep) 4 + 38 + 38 180 6º + + 38 180 116º (ep)
03) N figu io, deemine, e. 04) N figu io, deemin, e. 37º 4 05) N figu io, deemin,, e. 06) N figu io, endo iei do ângulo, deemin +. 40º 4 4 07) N figu io, deemin o vlo de. 08) N figu io, deemin o vlo do ângulo, endo-e que é iei de, é iei de e é iei de. 57º 8º 09) N figu io, deemine o vloe de, e. + 6º - 84º 10) eemin o vloe de, e, endo que o memo fomm um pogeão iméic de ão 10º. Jec 11
03) N figu io, deemine, e. 04) N figu io, deemin, e. 37º + 37 180 Pono 180-37 143º 37º (PV) 143º (PV) (ep) 4 + 4 180 36º 36º 18º 4 144º (ep) 05) N figu io, deemin,, e. 06) N figu io, endo iei do ângulo, deemin +. 40º 4 40 0º 4 80º + + 180 60º 60º (ep) 4 4 + 4 + 180 0º 80º + 100º (ep) 4 07) N figu io, deemin o vlo de. 57 + 90 33º (ep) 08) N figu io, deemin o vlo do ângulo, endo-e que é iei de, é iei de e é iei de. 57º 4 8º 8 + 8 180 19º (ep) 09) N figu io, deemine o vloe de, e. + 6. - 84 6 + 84 110º + 110 + 6 180 º 44º (ep) + 6º - 84º 10) eemin o vloe de, e, endo que o memo fomm um pogeão iméic de ão 10º. + 10 + 0 + + 180 + + 10 + + 0 180 3 150 50º 60º 70º (ep) Jec 11
11) (UVST) N figu io, deemine o vlo de. // 10º 1) N figu io, deemin o vlo d om + + + + u + v, endo-e que é um iângulo incio no quddo. v 140º u 13) N figu io,. eemine o vlo de. 14) N figu io, e é iei do ângulo. eemine o vlo de. 15) N figu io, deemine medid do ângulo em função de. 16) (UVST) N figu,. eemine em função de. 5 17) N figu io moe que vle elção : + c + d. c // 18) Um do ângulo ineno de um iângulo iócele mede 100º. eemin medid do ângulo gudo fomdo pel ieie do ouo doi ângulo ineno. d 19) oe que om d medid do ângulo eeno de um iângulo é 360º. e 0) N figu io, deemin em função de e de. // e 1 e 3 Jec 1
11) (UVST) N figu io, deemine o vlo de. 140º // 60º 6 3 10º 13) N figu io,. eemine o vlo de. 60º 6 60º 3 10º (ep) + 0 + 90 180 70º (ep) 0º 40º 140º 1) N figu io, deemin o vlo d om + + + + u + v, endo-e que é um iângulo incio no quddo. + 90 + 90 u + v 90 + + + + u + v 3. 90 + + + + u + v 70º v (ep) 14) N figu io, e é iei do ângulo. eemine o vlo de. No iângulo, em-e + + 180 5 180 36º (ep) u 15) N figu io, deemine medid do ângulo em função de. 16) (UVST) N figu,. eemine em função de. 5 é ângulo eeno + + 3 (ep) + 5 7 + + 7 8 (ep) 17) N figu io moe que vle elção : + c + d. Ângulo leno ineno c - - d + c + d (Q) c - c - d d d u // // // u 18) Um do ângulo ineno de um iângulo iócele mede 100º. eemin medid do ângulo gudo fomdo pel ieie do ouo doi ângulo ineno. 100 + + 180 0º + + 180 140º é o ângulo gudo + 180 40º (ep) 100º 19) oe que om d medid do ângulo eeno de um iângulo é 360º. e 1 + 180 e + 180 e 3 + 180 e 1 e + e + e + + + 540 1 3 + + 180 Pono e + e + e 540-180 360º (Q) 1 3 e e 3 0) N figu io, deemin em função de e de. + - (ep) // // Jec 1
1) N figu io, o quddo é codo po du e plel, e. om elção o ângulo e podemo fim que : ) ) - c) + 90º d) - 90º e) + 180º ) N figu io, deemin o vlo d om d medid do ângulo,,, e u. u 3) N figu io, clcule o ângulo, endo o iplo de e o êuplo de. 4) (UVST-SP) No eângulo io, qul o vlo em gu de +? 40º 80º 5) N figu io, endo iei do ângulo Â, demone que vle elção - -. 6) N figu io, o ângulo mede 38º, é um eângulo e é conguene. medid do ângulo é : ) 38º ) 7º c) 18º d) 19º e) 71º 7) N figu io, endo //, deemin om d medid do ângulo, e. 8) eemin medid do ângulo, endo-e que o iângulo e ão iócele e que o iângulo é equiláeo. Jec 13
1) N figu io, o quddo é codo po du e plel, e. om elção o ângulo e podemo fim que : ) ) - c) + 90º d) - 90º e) + 180º // // + 90º (ep) ) N figu io, deemin o vlo d om d medid do ângulo,,, e u. polígono pode e dividido em 3 iângulo. S 3. 180 540 + + + + u 540º (ep) u 3) N figu io, clcule o ângulo, endo o iplo de e o êuplo de. 180-100 + 180 - + 180-3 360 4. 100 5º 150º u 30º 4) (UVST-SP) No eângulo io, qul o vlo em gu de +? 90-40º 90-3. 80º 100º u 6. 90 - + 40 + 90-90 + 130º (ep) 180-3 + u + 100 180 50º (ep) 5) N figu io, endo iei do ângulo Â, demone que vle elção - -. 180 - - 180 - - Pono 180 - - 180 - - não - - (Q) 6) N figu io, o ângulo mede 38º, é um eângulo e é conguene. medid do ângulo é : ) 38º ) 7º c) 18º d) 19º 38º e) 71º + + 38 180 71º + 90 + 180 180-90 - 71 19º (ep) 7) N figu io, endo //, deemin om d medid do ângulo, e. + 180º (ângulo colei ineno + + + + 540º + + 540-180 + + 360º (ep) 8) eemin medid do ângulo, endo-e que o iângulo e ão iócele e que o iângulo é equiláeo. + + 90 180 90º 90 60º 30º 45º (ep) 60º 60º 30º 10º Jec 13
9) N figu io, deemine om d medid do ângulo,,,, u e v. 30) N figu io, deemine om d medid do ângulo,, e. v u // 31) N figu io, deemine om d medid do ângulo,, e. 3) Um eângulo de ppel é dodo de fom que o véice peenç o ldo, confome figu. Sendo do fei, clcule medid do ângulo, conhecendo medid de 140º do ângulo inldo. 140º 33) N figu, N, > e e N e inecepm-e em P. oe que o ângulo P é igul 34) N figu io, o ângulo, e medem epecivmene 30º, 80º e 30º. Sendo um do de l fom que o ldo é iméico do ldo em elção, deemine medid do ângulo. -. N P 35) N figu, endo conguene, conguene, clcule medid do ângulo, endo-e que 48º. Jec 14
9) N figu io, deemine om d medid do ângulo,,,, u e v. 30) N figu io, deemine om d medid do ângulo,, e. v om do ângulo eeno + + + + u + v 360º (ep) + + u + v u // // u + + + 180º (ep) u 31) N figu io, deemine om d medid do ângulo,, e. 33) N figu, N, > e e N e inecepm-e em P. oe que o ângulo P é igul + + + + - + + - + + + + + ( + - + - ) + ( + + ) + + + 360 + 180 540 (ep) P 35) N figu, endo conguene, conguene, clcule medid do ângulo, endo-e que 48º. N 3) Um eângulo de ppel é dodo de fom que o véice peenç o ldo, confome figu. Sendo do fei, clcule medid do ângulo, conhecendo medid de 140º do ângulo inldo. + + 50 180 140º 34) N figu io, o ângulo, e medem epecivmene 30º, 80º e 30º. Sendo um do de l fom que o ldo é iméico do ldo em elção, deemine medid do ângulo. -. q 30 + 80 + 30 + 180 q + + 180 q + + 180 não + - - + - + - ( - )/ (Q) - - 65º (ep) 0º 30 + + 180 30 + + 0 180 130º (ep) 30º 80º 30º 50º 40º 50º 40º 30º 48º + + é ângulo eeno do iângulo + + + 48 48 + + 4º (ep) Jec 14
Jec 15
01) ) 176º 19' 1" ) 14º 05' 04" c) 8º 45' 16" d) 46º 47' 48" e) 73º 35' 36" f) 14º 11' 36" g) 31º 4' 56" h) 39º 4' 57" i) 5º 0' 34" j) 06º 55' 3" 0) 60º 03) 117º 04) 7º 05) 60º e 10º 06) 17º e 107º 07) 5º / 7 08) ) 41º ) 64º c) 14º d) 14º e) 47º f) 36º g) 6º h) 33º i ) 75º j) 34º k) 113º l) 53º 09) 70º 10) 40º 11) 10º 1) 180º 13) m 14) c 15) 70º, 80º e 30º 16) 5º epo do eecício d ul 01 Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 16
epo do eecício complemene d ul 01 01) ) 43º ) 13º c) 107º d) 107º e) 49º f) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º k) 55º l) 130º m) 43º n) 1º o) 39º p) 119º q) 133º ) 10º/3 ) 71º ) 96º u) 104º v) 46º ) 13º ) 108º 0) ) 48º ) 51º c) 9º d) 11º e) 18º f) 111º g) 4º h) 70º i) 40º/3 j) 45º k) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 0º p) 68º q) 30º ) 15º ) 75º ) 60º u) 10º v) 60º ) 150º ) 116º 03) 143º, 37º e 143º 04) 36º, 18º e 144º 05) 0º, 60º, 80º e 60º 06) 100º 07) 33º 08) 19º 09) º, 44º e 110º 10) 50º, 60º e 70º 1) c ) 540º 3) 50º 4) 130º 5) demonção 6) d 7) 360º 8) 45º 9) 360º 30) 180º 31) 540º 3) 65º 33) demonção 34) 130º 35) 4º 11) 70º 1) 70º 13) 10º 14) 36º 15) 8 16) 3 17) demonção 18) 40º 19) demonção 0) - Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 17
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln ul 0 Pono noávei de um iângulo. lu Segmeno noávei do iângulo. medin medii edin - É o egmeno que une o véice o pono médio do ldo opoo. edii - É e pependicul o ldo do iângulo pelo eu pono médio. iei - É emi-e de oigem no véice que divide o ângulo em doi ângulo conguene. iei pono médio lu - É diânci ene o véice e e upoe do ldo opoo. Todo iângulo em: 3 medin 3 ieie 3 mediie 3 lu iceno (). É o pono de encono d 3 medin do iângulo. Popiedde. iceno divide cd medin em egmeno. egmeno que coném o véice é o doo do egmeno que coném o pono médio do ldo opoo. (ão : 1) evção - ê medin dividem o iângulo oiginl em ei iângulo de mem áe. S Áe de cd iângulo P S S S S S S N..N.P icunceno (). É o pono de encono d 3 mediie do iângulo. Popiedde. cicunceno é o ceno d cicunfeênci cicunci (een) o iângulo. cicunceno é o pono do plno eqüidine do 3 véice do iângulo. Pono noávei do iângulo - iceno I - inceno - cicunceno - ooceno Inceno (I). É o pono de encono d 3 ieie do iângulo. Popiedde. inceno é o ceno d cicunfeênci inci (inen) no iângulo. inceno é o pono do plno eqüidine do 3 ldo do iângulo. g g I - io d cicunfeênci inci. oceno (). É o pono de encono d 3 lu do iângulo. Popiedde. Não em. h h medii h h h pono médio h h h - io d cicunfeênci cicunci. Jec 18 ooceno h
evçõe. 1) iceno e o inceno empe eão loclido no ineio do iângulo. ) cicunceno e o ooceno podem e loclido no eeio do iângulo. 3) Num iângulo iócele, o quo pono noávei (I: iceno, inceno, cicunceno e ooceno) eão linhdo. medii medin iei I medin medii iei lu lu 4) No iângulo eângulo, o ooceno é o véice do ângulo eo e o cicunceno é o pono médio d hipoenu. ooceno hipoenu cicunceno Tiângulo eqüiláeo. (impone) m odo iângulo eqüiláeo, o quo pono noávei (iceno, inceno, cicunceno e ooceno) eão loclido num único pono. l - ldo do iângulo eqüiláeo. - io d cicunfeênci inci. - io d cicunfeênci cicunci. h - lu do iângulo. I l l l h e h 3 01) Sendo-e que o ldo de um iângulo equiláeo é 10 cm, deemin : ) lu do iângulo. ) o io d cicunfeênci inci no iângulo. c) o io d cicunfeênci cicunci o iângulo. d) o que o pono é do iângulo. l l h l 0) N figu io, cicunfeênci de ceno eá inci no iângulo. Sendo que o ângulo mede 33º e que o ângulo mede 56º, deemine medid do ângulo. 03) N figu io, cicunfeênci de ceno eá inci no iângulo. Sendo que o ângulo mede 16º, encone medid do ângulo. Jec 19
evçõe. 1) iceno e o inceno empe eão loclido no ineio do iângulo. ) cicunceno e o ooceno podem e loclido no eeio do iângulo. 3) Num iângulo iócele, o quo pono noávei (I: iceno, inceno, cicunceno e ooceno) eão linhdo. medii medin iei I medin medii iei lu lu 4) No iângulo eângulo, o ooceno é o véice do ângulo eo e o cicunceno é o pono médio d hipoenu. ooceno hipoenu cicunceno Tiângulo eqüiláeo. (impone) m odo iângulo eqüiláeo, o quo pono noávei (iceno, inceno, cicunceno e ooceno) eão loclido num único pono. l - ldo do iângulo eqüiláeo. - io d cicunfeênci inci. - io d cicunfeênci cicunci. h - lu do iângulo. I l l l h e h 3 01) Sendo-e que o ldo de um iângulo equiláeo é 10 cm, deemin : ) lu do iângulo. ) o io d cicunfeênci inci no iângulo. c) o io d cicunfeênci cicunci o iângulo. d) o que o pono é do iângulo. ) en 60º co hip 3 h 10 h 5 3 cm h 10 ) h/3 5 3 / 3 cm c). 10 3 / 3 cm d) pono é o "I" iceno Inceno icunceno oceno 10 cm 60º l l h 0) N figu io, cicunfeênci de ceno eá inci no iângulo. Sendo que o ângulo mede 33º e que o ângulo mede 56º, deemine medid do ângulo. + 66 + 56 180 9º + 33 + 9 180 180-6 118º (ep) 8º 8º 33º 33º 03) N figu io, cicunfeênci de ceno eá inci no iângulo. Sendo que o ângulo mede 16º, encone medid do ângulo. + q + 16 180 + q 54º + q + 180 ( + q) + 180. 54 + 180 7º (ep) 16º q q Jec 19
04) N figu io, o pono I é o inceno do iângulo. Uilindo o qudiculdo, ç ê medin, ê mediie, ê ieie e ê lu e deemin o iceno, o cicunceno e o ooceno do iângulo. I 05) Sendo-e que lu de um iângulo equiláeo é 3 cm, deemin : ) o io d cicunfeênci inci no iângulo. ) o io d cicunfeênci cicunci o iângulo. c) o ldo do iângulo. l l h l 06) N figu io, o pono, e ão o pono médio do ldo do iângulo. Se,,, 3w, 3k e 3n, deemine o peímeo do iângulo, em função de,,, w, k e n. 07) N figu io, é o ooceno do iângulo. eemine medid do ângulo endo que o ângulo e medem, epecivmene, 58º e 70º. Jec 0
04) N figu io, o pono I é o inceno do iângulo. Uilindo o qudiculdo, ç ê medin, ê mediie, ê ieie e ê lu e deemin o iceno, o cicunceno e o ooceno do iângulo. I 05) Sendo-e que lu de um iângulo equiláeo é 3 cm, deemin : ) o io d cicunfeênci inci no iângulo. ) o io d cicunfeênci cicunci o iângulo. c) o ldo do iângulo. ) h/3 3/3 1 cm ).. 1 cm c) en 60º co hip 3 3 l l. 3 6 l h 6 3 /3 3 cm l l 60º l l h 06) N figu io, o pono, e ão o pono médio do ldo do iângulo. Se,,, 3w, 3k e 3n, deemine o peímeo do iângulo, em função de,,, w, k e n. Pe p + w + k (ep) k n w w k n 07) N figu io, é o ooceno do iângulo. eemine medid do ângulo endo que o ângulo e medem, epecivmene, 58º e 70º. oceno - encono d lu + 58 + 70 180 5º + 90 + + 90 360 18º (ep) 58º 70º Jec 0
u 08) N figu io, é o ooceno do iângulo equiláeo. Sendo que k, deemine, em função de k, medid do egmeno, e. 09) Um eouo foi enedo num cmpo eo e o mp d loclição f menção ê gnde ávoe do locl. eouo foi enedo no eceio véice de um iângulo, onde o joá é o pimeio, iipiun é o egundo e peo é o ooceno do iângulo. omo é poível locli o eouo no locl? Siipiun Peo Joá 10) iângulo d figu em áe 10 cm. Sendo e, vlie e fimçõe io ão veddei (V) ou fl (). 11) No iângulo io,, e ão o pono médio do epecivo ldo. Sendo 30º medid do ângulo, 14 cm e 1 cm, deemine: ) áe do iângulo ; ) áe do iângulo ; c) áe do qudiláeo. ( ) é o iceno do iângulo. ( ) áe do iângulo é 40 cm. ( ) áe do iângulo é 40 cm. 1) Joel, Pedo e noel mom em u epeciv c, endo que c não ão colinee e eão loclid n mem fend. le deejm i um poço de modo que ele fique à mem diânci d ê c. Supondo que fend é pln, com eu conhecimeno de geomei, que ugeão podei d ele? Juifique o eu ciocínio. 13) pefeiu de um cidde mndou coloc, n pç cenl, um eáu em homengem Tidene. ecu, n pln egui, em que locl e eáu deve e colocd, endo que el deveá fic um mem diânci d ê u que deeminm pç. u 1 u 3 Jec 1
08) N figu io, é o ooceno do iângulo equiláeo. Sendo que k, deemine, em função de k, medid do egmeno, e. Tiângulo equiláeo I /3 k/3. k/3 (ep) 09) Um eouo foi enedo num cmpo eo e o mp d loclição f menção ê gnde ávoe do locl. eouo foi enedo no eceio véice de um iângulo, onde o joá é o pimeio, iipiun é o egundo e peo é o ooceno do iângulo. omo é poível locli o eouo no locl? Siipiun Peo S P h J ooceno de um iângulo é o pono de encono d 3 lu do iângulo. 40 cm 10) iângulo d figu em áe 10 cm. Sendo e, vlie e fimçõe io ão veddei (V) ou fl (). 40 cm 40 cm ( ) é o iceno do iângulo. ( não é medin) ( V) áe do iângulo é 40 cm. ( ) áe do iângulo é 40 cm. 80/3 80/3 80/3 Joá 11) No iângulo io,, e ão o pono médio do epecivo ldo. Sendo 30º medid do ângulo, 14 cm e 1 cm, deemine: ) áe do iângulo ; ) áe do iângulo ; c) áe do qudiláeo. h S 7 cm 7 cm 7 cm ) S (1/)...en (1/). 14. 1. (1/) 4 cm Teouo T J JS é um ldo do iângulo (J e S ão véice) lu h S oigoimene p po S e pelo ooceno P. lu h oigoimene f 90º com o ldo opoo S. S lu h p po P e f 90º com o ldo opoo J. J eceio véice do iângulo eá o pono de ineecção d e ST e JT. 7 cm 7 cm ) S S / 6 4/6 7 cm c) S 4. 7 8 cm (ep) Popiedde - m odo iângulo, ê medin dividem o iângulo oiginl em 6 iângulo menoe de mem áe 7 cm 1) Joel, Pedo e noel mom em u epeciv c, endo que c não ão colinee e eão loclid n mem fend. le deejm i um poço de modo que ele fique à mem diânci d ê c. Supondo que fend é pln, com eu conhecimeno de geomei, que ugeão podei d ele? Juifique o eu ciocínio. medii poço deve e conuído no cicunceno do iângulo fomdo pel ê c. cicunceno é o pono de encono d ê mediie do iângulo. cicunceno é o pono do plno equidine do ê véice do iângulo. J Poço P 13) pefeiu de um cidde mndou coloc, n pç cenl, um eáu em homengem Tidene. ecu, n pln egui, em que locl e eáu deve e colocd, endo que el deveá fic um mem diânci d ê u que deeminm pç. u u 1 eáu deve e colocd no inceno do iângulo. inceno é o pono de encono d ê ieie do ângulo ineno do iângulo. inceno é o pono do plno equidine do ê ldo do iângulo. u 3 Jec 1
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln Pono noávei de um iângulo. ecício complemene d ul 0. 01) Sendo-e que o ldo de um iângulo equiláeo é k, deemin : ) lu do iângulo; ) o io d cicunfeênci inci no iângulo; c) o io d cicunfeênci cicunci o iângulo; d) o que o pono é do iângulo. k k h k 0) Sendo-e que o io d cicunfeênci cicunci de um iângulo eqüiláeo mede 5 cm, deemin : ) o io d cicunfeênci inci no iângulo; ) lu do iângulo; c) o ldo do iângulo; d) o peímeo do iângulo; e) o que o pono é do iângulo. l l l h 03) N figu, e, dividem o ângulo em ê ângulo conguene. mem fom, e, dividem o ângulo em ê ângulo conguene. inle leniv coe. 04) (Unifep) Num cicunfeênci de io > 0 e ceno conidem-e, como n figu, o iângulo equiláeo T 1, incio, e T, cicuncio. eemine ão ene lu de T e lu de T 1. S P T Q T 1 ) P é inceno de lgum iângulo conuído n figu. ) Q é inceno de lgum iângulo conuído n figu. c) é inceno de lgum iângulo conuído n figu. d) S é inceno de lgum iângulo conuído n figu. e) Nenhum d leniv neioe é veddei. Jec
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln Pono noávei de um iângulo. ecício complemene d ul 0. 01) Sendo-e que o ldo de um iângulo equiláeo é k, deemin : ) lu do iângulo; ) o io d cicunfeênci inci no iângulo; c) o io d cicunfeênci cicunci o iângulo; d) o que o pono é do iângulo. ) en 60º h/k Pono h k 3 / k 60º k k h ) h/3 k 3 / 6 c) k 3 / 3 d) - iceno I - inceno - cicunceno - ooceno 0) Sendo-e que o io d cicunfeênci cicunci de um iângulo eqüiláeo mede 5 cm, deemin : ) o io d cicunfeênci inci no iângulo; ) lu do iângulo; c) o ldo do iângulo; d) o peímeo do iângulo; e) o que o pono é do iângulo. ) en 30º co hip 1 5 5/ cm ) h 3. 3. 5/ h 15/ cm 5 c) en 60º co hip 3 15 l l 3 15 l 15 3 /3 l 5 3 cm h l d) Pe p 3. Pe p 15 3 cm e) pono é o "I". iceno Inceno icunceno oceno l l 5 30º l l h 03) N figu, e, dividem o ângulo em ê ângulo conguene. mem fom, e, dividem o ângulo em ê ângulo conguene. inle leniv coe. S P é um iei P é um iei S é inceno do Q. (ep. d) 04) (Unifep) Num cicunfeênci de io > 0 e ceno conidem-e, como n figu, o iângulo equiláeo T 1, incio, e T, cicuncio. eemine ão ene lu de T e lu de T 1. h 3 h 3/ 1 h / h 1 3 / 3/ h / h 1 (ep) T q q q Q T 1 ) P é inceno de lgum iângulo conuído n figu. ) Q é inceno de lgum iângulo conuído n figu. c) é inceno de lgum iângulo conuído n figu. d) S é inceno de lgum iângulo conuído n figu. e) Nenhum d leniv neioe é veddei. pono é o "I" do doi iângulo. Jec
05) N figu io, o pono, N e P ão médio do ldo que peencem. Pov que é o iceno do iângulo e que.n. 06) N figu io, o pono I é o ceno d cicunfeênci inci no iângulo. Sendo plelo, 8 cm e 11 cm, deemin o peímeo do iângulo. N I P 07) No iângulo d figu, 10 cm e é o pono médio de. Sendo que e ão o pé d lu e, deemine o vlo de +. 08) N figu, o iângulo é eângulo em, o egmeno e ão conguene e o ângulo mede 65º. eemine medid do ângulo. SLUÇÃ - Todo iângulo eângulo pode e incio em um emi-cicunfeênci. 09) No iângulo io, 70º e 40º. eemine medid do ângulo, endo-e que o pono é o ooceno do iângulo. 10) No iângulo io, é pono médio do ldo e é iei do ângulo. eemine medid do ângulo. 40º 11) N figu io, é o ceno d cicunfeênci inci no iângulo eângulo. eemine medid do ângulo. 1) (uve) Um iângulo, em ângulo 40º e 50º. Qul é medid do ângulo fomdo pel lu eliv o véice e dee iângulo? ) 30º ) 45º c) 60º d) 90º e) 10º Jec 3
05) N figu io, o pono, N e P ão médio do ldo que peencem. Pov que é o iceno do iângulo e que.n. N P NS é um plelogmo. N Pono.N (Q) S Se, N e P ão pono médio, enão P, N e ão medin. Pono é iceno Sej o pono médio do egmeno e S o pono médio de. N // // S N S / 06) N figu io, o pono I é o ceno d cicunfeênci inci no iângulo. Sendo plelo, 8 cm e 11 cm, deemin o peímeo do iângulo. + + I + I 8 + + I + I 11 8-11 - I q Pe + I + + I 8 + 11 19 cm (ep) q q 07) No iângulo d figu, 10 cm e é o pono médio de. Sendo que e ão o pé d lu e, deemine o vlo de +. 5 + 10 cm (ep) 08) N figu, o iângulo é eângulo em, o egmeno e ão conguene e o ângulo mede 65º. eemine medid do ângulo. 65º 65º é ângulo eeno 65 + 65 130º (ep) SLUÇÃ - Todo iângulo eângulo pode e incio em um emi-cicunfeênci. 09) No iângulo io, 70º e 40º. eemine medid do ângulo, endo-e que o pono é o ooceno do iângulo. 70º 40º + 70 + 40 180 70º é um qudiláeo + 90 + + 90 360 360-50 110º (ep) 10) No iângulo io, é pono médio do ldo e é iei do ângulo. eemine medid do ângulo. 40º 40º 50º + 90 + 40 180 5º + + 50 180 5 + + 50 180 105º (ep) 11) N figu io, é o ceno d cicunfeênci inci no iângulo eângulo. eemine medid do ângulo. q q + q + 90 180 ( + q) 180-90 + q 45º + + q 180 135º (ep) 1) (uve) Um iângulo, em ângulo 40º e 50º. Qul é medid do ângulo fomdo pel lu eliv o véice e dee iângulo? ) 30º ) 45º c) 60º d) 90º e) 10º 90º (ep d) Num iângulo eângulo, o doi ceo ão du d ê lu do iângulo. h h Jec 3
13) onidee o iângulo d figu e inle fimiv fl. 14) No iângulo d figu io, medin e ão pependicule ene i. Sendo que 6 e 8, deemine medid de. ) é o ooceno do. ) é o ooceno do. c) cicunceno do e do coincidem. d).. e) é cuângulo. 15) N figu io, o cículo incio no iângulo em áe S e o ângulo e medem 50º e 70º, epecivmene. eemine áe do eoe cicule S 1, S e S 3, em função de S. 16) eemine medid do ângulo, e, no iângulo io, endo que é o inceno do iângulo. S 3 S 1 10º 110º 130º S 17) eemine medid do ângulo, e, no iângulo io, endo que é o cicunceno do iângulo. 18) N figu, cicunfeênci de ceno eá inci no eo cicul de ceno, io 15 cm e ângulo cenl 60º. eemine o io d cicunfeênci. 10º 130º 110º 19) iângulo d figu é eângulo em e o iângulo, e ão equivlene (êm mem áe). Sendo 18 cm, deemine medid do egmeno. 0) No iângulo d figu, 50º. Se P fo o inceno do iângulo, medid do ângulo P é ; no enno, e P fo o ooceno do iângulo, medid do ângulo P é. eemine ão ene e. P P Jec 4
13) onidee o iângulo d figu e inle fimiv fl. leniv d) é fl poi não é o iceno e não é um medin. ) é o ooceno do. ) é o ooceno do. c) cicunceno do e do coincidem. d).. e) é cuângulo. 14) No iângulo d figu io, medin e ão pependicule ene i. Sendo que 6 e 8, deemine medid de. w 3 4 3 Piágo () + 4 4 + 16 + () 3 + 4 9 w () + () 4 + 4 4( + ) 4. 5 0 w 0 5 (ep) 4 4 + 16 + 4 9 5 + 5 5 Pono + 5 15) N figu io, o cículo incio no iângulo em áe S e o ângulo e medem 50º e 70º, epecivmene. eemine áe do eoe cicule S 1, S e S 3, em função de S. I é o inceno do iângulo (pono de encono d ieie) + 50 + 70 180 30º + 35 + 30 180 115º + 35 + 5 180 10º q 15º S 1 115 S 15 S 3 10 360 S 3 7 S 360 S 5 7 S 360 S 1 3 S 5º 5º S 3 35º 35º S I q S 1 16) eemine medid do ângulo, e, no iângulo io, endo que é o inceno do iângulo. + 180-10 + 60 + + q 180 ( + ) + q 180 q 60 q 30º 0º 40º 80º 40º q 60º (ep) 10º 110º 130º q q 17) eemine medid do ângulo, e, no iângulo io, endo que é o cicunceno 18) N figu, cicunfeênci de ceno eá inci no eo cicul de ceno, io 15 cm e do iângulo. ângulo cenl 60º. eemine o io d cicun- feênci. 55º en 30º co 65º 30º hip 15-5º 60º 1 (ep) 15-30º 15-15 - 30º 110º 5º 3 15 35º 35º 5 cm (ep) 10º 130º 15 19) iângulo d figu é eângulo em e o iângulo, e ão equivlene (êm mem áe). Sendo 18 cm, deemine medid do egmeno. Se o iângulo êm mem áe, enão, e H ão medin. é iceno ( : 1) 9 cm 6 cm (ep) H S S S S S S 9 cm 9 cm 0) No iângulo d figu, 50º. Se P fo o inceno do iângulo, medid do ângulo P é ; no enno, e P fo o ooceno do iângulo, medid do ângulo P é. eemine ão ene e. Jec 4 P é inceno (ieie) + q 65º 115º 5º 5º P q q P é ooceno (lu) 130º / 115/130 3/6 (ep) 50º 90º 90º P
1) N figu, é um eângulo, é pono médio de e o iângulo é equiláeo. eemine medid do egmeno P, endo que 1 cm. ) (U) N figu io,, 60º e o ângulo é o doo do ângulo. eemine ão /. P 3) No iângulo o ldo, endo, N e P pono médio do epecivo ldo e 7 cm, N 6 cm e 10 cm, deemin : ) que ão o egmeno P, N e p o iângulo. ) Que pono noável do iângulo é o pono. c) Qui medid do egmeno, e P. 4) N figu o ldo, é o ceno d cicunfeênci inci no iângulo que é eângulo em. Sendo m() 30º, deemin medid do ângulo,, g e q e die o que emie ignific p o ângulo. q N g P 5) N figu io, e, e enconm-e no pono, e o pono, e ão o pono médio do ldo do iângulo. P o iângulo, die como e denomin o pono e o que é e. 6) (U-P) m um plno, medii de um egmeno de e é e que p pelo pono médio do egmeno de e e é pependicul ee egmeno. inle leniv incoe. ) Tomndo um pono P qulque em, diânci de P o pono é igul à diânci de P o pono. ) ineecção d mediie de doi ldo de um iângulo qulque em é o cicunceno do iângulo. c) Qulque pono do plno que não peenç à e não equidi do eemo do egmeno. d) mediie do ldo de um iângulo podem e inecep em ê pono diino. e) e é únic medii do egmeno de e em. Jec 5
1) N figu, é um eângulo, é pono médio de e o iângulo é equiláeo. eemine medid do egmeno P, endo que 1 cm. P ) (U) N figu io,, 60º e o ângulo é o doo do ângulo. eemine ão /. Pono 60º 60º iângulo é iócele. / 1/ (ep) No iângulo, é um medin. omo é pono médio de, mém é um medin. P é o iceno (encono d medin) 1 cm. P / 3 1 / 3 4 cm (ep) 4 + 60 180 30º 3) No iângulo o ldo, endo, N e P pono médio do epecivo ldo e 7 cm, N 6 cm e 10 cm, deemin : ) que ão o egmeno P, N e p o iângulo. ) Que pono noável do iângulo é o pono. c) Qui medid do egmeno, e P. 1 10 7 6 5 P N 14 ) medin ) iceno c) 14 cm 1 cm P 5 cm (ep) 4) N figu o ldo, é o ceno d cicunfeênci inci no iângulo que é eângulo em. Sendo m() 30º, deemin medid do ângulo,, g e q e die o que emie ignific p o ângulo. q 30º 30º 45º g 45º é o inceno. Pono de encono d ieie. 15º 15º 15º 45º g 10º q 30º é iei (ep) 5) N figu io, e, e enconm-e no pono, e o pono, e ão o pono médio do ldo do iângulo. P o iângulo, die como e denomin o pono e o que é e. é o cicunceno do iângulo. é medii do ldo do iângulo. (ep) Jec 5 6) (U-P) m um plno, medii de um egmeno de e é e que p pelo pono médio do egmeno de e e é pependicul ee egmeno. inle leniv incoe. ) Tomndo um pono P qulque em, diânci de P o pono é igul à diânci de P o pono. ) ineecção d mediie de doi ldo de um iângulo qulque em é o cicunceno do iângulo. c) Qulque pono do plno que não peenç à e não equidi do eemo do egmeno. d) mediie do ldo de um iângulo podem e inecep em ê pono diino. e) e é únic medii do egmeno de e em. d é incoe. mediie do ldo de um iângulo inecepm-e no memo pono, que é denomindo cicunceno do iângulo. (ep)
epo do eecício d ul 0. 01) ) (5 3 ) cm ) (5 3 / 3) cm c) (10 3 / 3) cm d) iceno, Inceno, icunceno e oceno. 0) 118º 03) 7º 04) 04) eenho o ldo. I 05) ) 1 cm ) cm c) 3 cm 06) k + w + 07) 18º 08) k / 3, k / 3 e k / 3 09) eenho o ldo. 09) Siipiun Peo 10), V e 11) ) 4 cm ) 7 cm c) 8 cm 1) poço deve locli-e no cicunceno do iângulo cujo véice ão ê c. 13) eáu deve e colocd no inceno do iângulo fomdo pel ê u. Joá eouo Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 6
epo do eecício complemene d ul 0. 01) ) k 3 / ) k 3 / 6 c) k 3 / 3 d) I 0) ) (5 / ) cm ) (15 / ) cm c) 5 3 cm d) 15 3 cm e) I 03) d 04) 17) 55º, 65º e 60º 18) 5 cm 19) 6 cm 0) 3 / 6 1) 4 cm ) 1 / 3) ) medin ) iceno c) 14 cm, 1 cm e 5 cm 05) N S é pono médio de é pono médio de NS é um plelogmo Pondo, S N S ão : 1 4) 15º, 45º, 10º, 30º e iei 5) cicunceno e medii 6) d S P 06) 19 cm 07) 10 cm 08) 130º 09) 110º 10) 105º 11) 135º 1) d 13) d 14) 5 15) 5 S / 7, 3 S / 7 e S / 3 16) 80º, 40º e 60º Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 7
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln ul 03 onguênci de iângulo. oi iângulo ão conguene e êm o ldo doi doi odendmene conguene e o ângulo doi doi odendmene conguene. o de conguênci. 1) L..L. ).L.. 3)L.L.L. 4) L.. 5) o epecil () nde: L - ldo. - ângulo juno o ldo. - ângulo opoo o ldo. o epecil (). oi iângulo eângulo ão conguene e êm hipoenu conguene e um ceo de um iângulo é conguene um ceo do ouo iângulo evção. poição de cd elemeno do iângulo (ldo ou ângulo) no deenho é muio impone n cceição do co de conguênci. L..L. - doi ldo e o ângulo ene ele..l.. - doi ângulo e o ldo ene ele. 01) N figu o ldo, e ão ângulo eo e o egmeno e ão conguene. Pove que o iângulo e ão conguene. 0) N figu o ldo, e ão ângulo eo e é iei do ângulo. Pove que o egmeno e ão conguene. 03) N figu o ldo, o egmeno e ão conguene e o egmeno e mém. Pove que o ângulo e ão conguene. Jec 8
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln ul 03 onguênci de iângulo. oi iângulo ão conguene e êm o ldo doi doi odendmene conguene e o ângulo doi doi odendmene conguene. o de conguênci. 1) L..L. ).L.. 3)L.L.L. 4) L.. 5) o epecil () nde: L - ldo. - ângulo juno o ldo. - ângulo opoo o ldo. o epecil (). oi iângulo eângulo ão conguene e êm hipoenu conguene e um ceo de um iângulo é conguene um ceo do ouo iângulo evção. poição de cd elemeno do iângulo (ldo ou ângulo) no deenho é muio impone n cceição do co de conguênci. L..L. - doi ldo e o ângulo ene ele..l.. - doi ângulo e o ldo ene ele. 01) N figu o ldo, e ão ângulo eo e o egmeno e ão conguene. Pove que o iângulo e ão conguene. 90º () ddo do eecício (L) ddo do eecício (L) ldo comum Pelo co epecil (H), em-e: (Q) 0) N figu o ldo, e ão ângulo eo e é iei do ângulo. Pove que o egmeno e ão conguene. 90º () ddo do eecício () é iei (L) ldo comum Pelo co L.., em-e: (Q) 03) N figu o ldo, o egmeno e ão conguene e o egmeno e mém. Pove que o ângulo e ão conguene. (L) - ddo do enuncido (L) - ddo do enuncido (L) - ldo comum Pelo co L.L.L., em-e: (Q) Jec 8
04) (impone) N figu io, é um cod d cicunfeênci de ceno. Pov que e o io é pependicul à cod, enão é pono médio de. 05) (Impone) Pov que em odo iângulo iócele lu eliv à e mém é iei, medin e medii. H 06) Sendo-e que medii de um egmeno é e pependicul o egmeno pelo eu pono médio, pov que qulque pono d medii é eqüidine d eemidde e do egmeno. P medii 07) d e e, e o pono, e P, l que ej pono médio do egmeno P, deemine o pono, peencene, e peencene, de modo que o pono mém ej pono médio do egmeno. P Jec 9
04) (impone) N figu io, é um cod d cicunfeênci de ceno. Pov que e o io é pependicul à cod, enão é pono médio de. (L) io 90º () pependicul (L) ldo comum Pelo co epecil, em-e Pono. não é pono médio de. (Q) 05) (Impone) Pov que em odo iângulo iócele lu eliv à e mém é iei, medin e medii. (L) - iângulo iócele H H (L) - ldo comum H H 90º () - H é lu ) Se H H, enão H Pelo co epecil, em-e H H ) Se H H, enão H H Pono H é pono médio não H é medin H H Pono H é iei c) Se H é pono médio e H 90º, enão H é medii de. evção o pov que o iângulo H e H ão conguene, pov-e mém que em odo iângulo iócele o ângulo d e ão conguene. ( ) 06) Sendo-e que medii de um egmeno é e pependicul o egmeno pelo eu pono médio, pov que qulque pono d medii é eqüidine d eemidde e do egmeno. P P P P () - d definição de medii )L) - d definição de medii P (L) - ldo comum Pelo co L..L., em-e P P P P (Q) medii 07) d e e, e o pono, e P, l que ej pono médio do egmeno P, deemine o pono, peencene, e peencene, de modo que o pono mém ej pono médio do egmeno. Sej // (po conução) P (L) - ddo do enuncido P () - ângulo leno ineno P () - ângulo opoo pelo véice P Pelo co L.., em-e P Pono não é pono médio de (Q) Jec 9
08) N figu io, o egmeno e ão conguene. Sendo-e que o iângulo é iócele de e, pove que o egmeno e ão conguene. 09) (U) eve figu: P q Ne figu, o egmeno e ão pependicule, epecivmene, à e e. lém dio, P P, e medid do ângulo P é q. eemine, em função de q, medid do ângulo ineno do qudiláeo. 10) N figu, é um plelogmo e o egmeno e ão conguene. Pove que o egmeno e ão conguene e plelo ene i. 11) N figu io, o quddo H eá incio no quddo. Pove que o iângulo H,, e H ão conguene ene i. H 1) N figu io, é um eângulo e o egmeno e ão pependicule o egmeno. Pove que o egmeno e ão conguene ene i. 13) Pov que e é um plelogmo e e ão digoni, enão o pono de ineecção d digoni é o pono médio d digonl. Jec 30
08) N figu io, o egmeno e ão conguene. Sendo-e que o iângulo é iócele de e, pove que o egmeno e ão conguene. Se + + Pode-e conclui que (L) - concluão cim peend () - o iângulo é iócele (L) - ldo comum Pelo co L..L., em-e (Q) 09) (U) eve figu: q P P P (L) P é médio P P 90º () ddo do eecício P P (L) ldo comum Pelo co L..L., em-e P P nlogmene, em-e e q + enão + q (ep) Ne figu, o egmeno e ão pependicule, epecivmene, à e e. lém dio, P P, e medid do ângulo P é q. eemine, em função de q, medid do ângulo ineno do qudiláeo. 10) N figu, é um plelogmo e o egmeno e ão conguene. Pove que o egmeno e ão conguene e plelo ene i. 11) N figu io, o quddo H eá incio no quddo. Pove que o iângulo H,, e H ão conguene ene i. 90-90 - (L) - ddo do enuncido () - é um plelogmo (L) - é um plelogmo Pelo co L..L., em-e Pono 1) N figu io, é um eângulo e o egmeno e ão pependicule o egmeno. Pove que o egmeno e ão conguene ene i. Se, enão Pono mém é um plelogmo não é plelo (Q) H H H (L) - H é um quddo () - Popiedde do iângulo () - Popiedde do iângulo Pelo co.l.., em-e H H nlogmene, em-e H H 13) Pov que e é um plelogmo e e ão digoni, enão o pono de ineecção d digoni é o pono médio d digonl. (Q) 90º () - ddo do enuncido () - ângulo leno ineno (L) - é um eângulo Pelo co L..., em-e (Q) (L) - é um plelogmo () - ângulo leno ineno () - ângulo opoo pelo véice Pelo co L..., em-e Pono,, enão o pono é médio de e, enão o pono é médio de (Q) Jec 30
Teoem do pono eeio. d um cicunfeênci l e um pono P, P eeio l, e e ão o pono de ngênci d e ngene l po P, enão P P. onequênci do Teoem do pono eeio. m odo qudiláeo cicuncio num cicunfeênci om d medid do ldo opoo é conne. l P l P P + + 14) Pove o Teoem do pono eeio. l P 15) N figu io, cicunfeênci eá inci no iângulo, 10, 1 e 14. eemine medid do egmeno T. S T 16) N figu io,, e ão pono de ngênci. eemin o peímeo do iângulo P, endo que diânci P mede 17 cm. l P 17) eemine o vlo de n figu io, endoe que +, 4-3, 3 - e 3 + 1. 18) eemin medid d e médi de um péio iócele endo-e que o ldo não plelo dee péio medem 15 cm cd. 19) eemine medid do io d cicunfeênci inci no iângulo eângulo cujo ldo medem 8 cm, 15 cm e 17 cm. Jec 31
Teoem do pono eeio. d um cicunfeênci l e um pono P, P eeio l, e e ão o pono de ngênci d e ngene l po P, enão P P. onequênci do Teoem do pono eeio. m odo qudiláeo cicuncio num cicunfeênci om d medid do ldo opoo é conne. l P l P P + + 14) Pove o Teoem do pono eeio. l P (L) io P P 90º () ngene P P (L) ldo comum Pelo co epecil, em-e P P Pono P P (Q) 15) N figu io, cicunfeênci eá inci no iângulo, 10, 1 e 14. eemine medid do egmeno T. Teoem do pono eeio 14 - + 1-10 16 8 T 8 (ep) 10 14-1 - 14 - T 14 S 1 16) N figu io,, e ão pono de ngênci. eemin o peímeo do iângulo P, endo que diânci P mede 17 cm. l 17 cm P P 17 P + P + P 17 P + P + P 17 Pe p + P + + P 17 + 17 34 cm (ep) 18) eemin medid d e médi de um péio iócele endo-e que o ldo não plelo dee péio medem 15 cm cd. Teoem do pono eeio e médi de péio N N 15 15-15 - + + + 15 - + 15-30 15 cm (ep) P Teoem do pono eeio 15 - N Jec 31 17) eemine o vlo de n figu io, endoe que +, 4-3, 3 - e 3 + 1. + + + + 4-3 3 - + 3 + 1 6-1 6-1 P qulque el nlindo condição de eiênci 4-3 0 não > 3/4 S { > 3/4} (ep) 19) eemine medid do io d cicunfeênci inci no iângulo eângulo cujo ldo medem 8 cm, 15 cm e 17 cm. Teoem do pono eeio 15 - + 8-17 6 3 cm (ep) 17 15-15 - 8-8 -
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln onguênci de iângulo. ecício complemene d ul 03. 01) N figu io, é pono médio de e de. Pov que o iângulo é conguene o iângulo. 0) N figu io, é pono médio do egmeno e o ângulo e ão conguene. Pov que mém é pono médio do egmeno. 03) N figu io, é pono médio do egmeno e o ângulo e ão conguene. Pov que o egmeno e ão conguene. 04) N figu io, é pono médio do egmeno e. Pov que e e ão plel. 05) N figu io, é iei do ângulo e o ângulo e ão conguene. Pove que o egmeno e ão conguene. Jec 3
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln onguênci de iângulo. ecício complemene d ul 03. 01) N figu io, é pono médio de e de. Pov que o iângulo é conguene o iângulo. (L) é pono médio (L) é pono médio () PV Pelo co L..L., em-e (Q) 0) N figu io, é pono médio do egmeno e o ângulo e ão conguene. Pov que mém é pono médio do egmeno. (L) - ddo do enuncido () - ddo do enuncido () - ângulo opoo pelo véice Pelo co.l.., em-e Pono é pono médio de (Q) 03) N figu io, é pono médio do egmeno e o ângulo e ão conguene. Pov que o egmeno e ão conguene. (L) - ddo do enuncido () - ddo do enuncido () - ângulo opoo pelo véice Pelo co L..., em-e (Q) 04) N figu io, é pono médio do egmeno e. Pov que e e ão plel. (L) - é pono médio de (L) - é pono médio de () - ângulo opoo pelo véice Pelo co L..L., em-e Se e ão ângulo leno ineno, enão // (Q) 05) N figu io, é iei do ângulo e o ângulo e ão conguene. Pove que o egmeno e ão conguene. () - é iei () - ddo do enuncido (L) - ldo comum Pelo co L..., em-e (Q) Jec 3
06) N figu io, e. Pov que o iângulo é iócele. 07) N figu io, é um iângulo iócele de e. Sendo-e que, pov que mém é um iângulo iócele. 08) N figu io,, e. Pov que o iângulo e ão conguene. 09) N figu io, é um iângulo eqüiláeo e o pono, e peencem o ldo, e, epecivmene. Sendo-e que o egmeno, e ão conguene, pov que o iângulo é eqüiláeo. Jec 33
06) N figu io, e. Pov que o iângulo é iócele. do enuncido Pono + + (L) concluão cim (L) do enuncido 90º () d figu Pelo co epecil, em-e ângulo e ão conguene não o iângulo é iócele (Q) 07) N figu io, é um iângulo iócele de e. Sendo-e que, pov que mém é um iângulo iócele. (L) - iângulo iócele (L) - ddo do enuncido () - o iângulo é iócele Pelo co L..L., em-e Pono o iângulo é iócele (Q) 08) N figu io,, e. Pov que o iângulo e ão conguene. (Têm o memo incemeno ) () - euldo d nálie cim () - ddo do enuncido - ddo do enuncido Pelo co.l.., em-e (Q) 09) N figu io, é um iângulo eqüiláeo e o pono, e peencem o ldo, e, epecivmene. Sendo-e que o egmeno, e ão conguene, pov que o iângulo é eqüiláeo. Se, enão ( - ) (L) - ddo do enuncido (L) - euldo d nálie cim 60º () - o iângulo é equiláeo Pelo co L..L., em-e Pono o iângulo é equiláeo (Q) Jec 33
10) Pov que em odo longo digoni ão pependicule ene i e ieie do ângulo ineno dee longo. k k k k 11) N figu, e H ão quddo. ceno do quddo locli-e no véice do ouo quddo. Pove que o iângulo JL e K ão conguene. L J K H 1) Pov que em odo iângulo, o egmeno que une o pono médio de doi ldo é plelo o eceio ldo e vle mede dee eceio ldo. 13) Pov que em odo péio, o egmeno que une o pono médio do ldo não plelo é plelo à e e vle emi-om de e. Jec 34
10) Pov que em odo longo digoni ão pependicule ene i e ieie do ângulo ineno dee longo. No iângulo e, em-e k k (L) longo (L) ldo comum (L) o longo é um plelogmo Pelo co L.L.L., em-e k k Se o ângulo e ão conguene, enão é iei. Se e 180º, enão 90º (Q) 11) N figu, e H ão quddo. ceno do quddo locli-e no véice do ouo quddo. Pove que o iângulo JL e K ão conguene. L LJ J JL K () - popiedde do iângulo K (l) - ddo do enuncido K 90º () - ddo d figu 90 - J Pelo co.l.., em-e JL K (Q) K H 1) Pov que em odo iângulo, o egmeno que une o pono médio de doi ldo é plelo o eceio ldo e vle mede dee eceio ldo. Sej // Sejm, e pono colinee (L) - é pono médio de () - ângulo leno ineno () - ângulo opoo pelo véice Pelo co.l.., em-e e, poque é pono médio. não Se e //, enão é um plelogmo. e, enão // e / (Q) 13) Pov que em odo péio, o egmeno que une o pono médio do ldo não plelo é plelo à e e vle emi-om de e. (L) - é pono médio de () - ângulo leno ineno () - ângulo opoo pelo véice Pelo co.l.., em-e e ( é pono médio de ). não é e médi do iângulo. Pono, pel popiedde d e médi do iângulo (eecício neio) em-e // // e + + (Q) Jec 34
Jec 35
epo do eecício d ul 03. evção - ependendo do ddo, um eecício pode e povdo po mi de um co de conguênci. Levndo em con e poiilidde n epo qui egid, em cd co, foi conidedo o co de conguênci mi evidene. 07) eolução Sej P // P (L) - po hipóee 01) o epecil () 0) L... 03) L.L.L. 04) o epecil P P () - PV P () - leno ineno Pelo co.l.., emo P Pono Q 05) É poível pov po váio co. 06) L..L. 07) emonção o ldo. 08) L..L. 09) Pelo co L..L. pov-e que o iângulo P e P ão conguene. Pelo memo co, pov-e que o iângulo e mém ão conguene. P P e Pono q 10) L..L. 11).L.. 1) L... 13) L... 14) o epecil (Un o pono P o ceno) 15) 8 16) 34 cm 17) S { > 3 / 4 } 18) 15 cm 19) 3 cm Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 36
epo do eecício complemene d ul 03. evção - ependendo do ddo, um eecício pode e povdo po mi de um co de conguênci. Levndo em con e poiilidde n epo qui egid, em cd co, foi conidedo o co de conguênci mi evidene. 01) LL 0) L 03) L 04) LL 05) L 06) o epecil 07) LL 08) L 09) LL emonção do eecício nº 13. () (opoo pelo véice) (L) ( é pono médio de ) () (leno ineno) Pelo co L, emo: > e onidendo pen o iângulo, emo: 10) LLL 11) L emonção do eecício nº 1. + + Sej // (po conução) > (leno ineno) > ( é pono médio) (opoo pelo véice) Pelo co L, emo: > é pono médio de > Se // e > é um plelogmo > > // e > e // (Q) Pelo eoem demondo no eecício 1, emo: // // e + (Q) Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 37
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln ul 04 Qudiláeo noávei. I) Tpéio. É o qudiláeo que em doi ldo plelo. lu de um péio é diânci ene e upoe de u e. h + 180º Tpéio eângulo Tpéio iócele e meno Tpéio ecleno e mio II) Plelogmo. É o qudiláeo que em o ldo opoo plelo. // e // III) eângulo. É o qudiláeo que em odo o ângulo ineno conguene e igui 90º. h h IV) Longo. É o qudiláeo que em o ldo conguene. // e // V) Quddo. É o qudiláeo que em o ldo conguene e odo o ângulo ineno conguene (90º). 45º Popiedde do qudiláeo noávei. 1) m odo plelogmo digoni com-e no epecivo pono médio. é pono médio de e é pono médio de. ) m odo longo digoni ão: ) pependicule ene i; ) ieie do ângulo ineno. 3) e médi de péio. m odo péio, o egmeno que une o pono médio do doi ldo não plelo, é plelo à e e vle médi iméic de e. 4) e médi de iângulo. m odo iângulo, o egmeno que une o pono médio de doi ldo é plelo o 3º ldo e vle mede dee 3º ldo. e médi N N // // e N + N // e N N e médi Jec 38
01) No plelogmo io, deemin o vlo de e medid d digonl. 7 cm 7 cm 1 cm 0) No plelogmo io, deemin o vlo de e medid d digonl. k + 1 + 5 k 03) No plelogmo io, deemin o vlo de, o vlo de, medid d digonl e medid d digonl. 04) No longo io, conhecendo-e medid do ângulo, deemin medid do ângulo,, c e d. - 4 7 cm 3 1 cm d c 58º 05) N figu, L,, N e P ão, epecivmene, o pono médio do ldo,, e do qudiláeo o médio do ldo,, e do qudiláeo 06) N figu, L,, N e P ão, epecivmene, o pon-. eemin o peímeo do qudiláeo LNP. Pov que LNP é um plelogmo. endo-e que 6 cm e 10 cm. L P L P N N 07) (Unifep) eemine medid do meno ângulo ineno de um plelogmo endo-e que doi ângulo ineno conecuivo dee plelogmo eão n ão 1 : 3. 08) (UJ) Se um polígono em odo o ldo com medid igui, enão odo o eu ângulo ineno êm medid igui. P mo que e popoição é fl, pode-e u como eemplo figu denomind: ) iângulo equiláeo; ) longo; c) péio; d) eângulo; e) quddo. Jec 39
01) No plelogmo io, deemin o vlo de e medid d digonl. 7 cm 7 cm 1 cm 0) No plelogmo io, deemin o vlo de e medid d digonl. + 5 + 1 4 (ep) k + 1 "m odo plelogmo digoni com-e no epecivo pono médio." 1 Pono 6 cm e 4 cm (ep) + 5 k 03) No plelogmo io, deemin o vlo de, o vlo de, medid d digonl e medid d digonl. - 4 7 cm 3 1 cm - 4 7 11 cm 3 1 4 cm. 7 14 cm. 1 4 cm 04) No longo io, conhecendo-e medid do ângulo, deemin medid do ângulo,, c e d. + 58 + 90 180 3º 64º c 90º d. 58 116º d c 58º 05) N figu, L,, N e P ão, epecivmene, o pono médio do ldo,, e do qudiláeo. eemin o peímeo do qudiláeo LNP endo-e que 6 cm e 10 cm. L P 06) N figu, L,, N e P ão, epecivmene, o pono médio do ldo,, e do qudiláeo. Pov que LNP é um plelogmo. L P N N LP é e médi do iângulo N é e médi do iângulo Pono LP N / 10/ 5 cm L é e médi do iângulo PN é e médi do iângulo Pono L PN / 6/ 3 cm Pe. 3 +. 5 Pe 16 cm (ep) LP é e médi do iângulo. N é e médi do iângulo. Pono LP // N e LP N / L é e médi do iângulo. PN é e médi do iângulo. Pono L //PN e L PN / Pono LNP é um plelogmo (Q) 07) (Unifep) eemine medid do meno ângulo ineno de um plelogmo endo-e que doi ângulo ineno conecuivo dee plelogmo eão n ão 1 : 3. 3 + 3 180º - ângulo colei ineno 4 180 180/4 45º (ep) 08) (UJ) Se um polígono em odo o ldo com medid igui, enão odo o eu ângulo ineno êm medid igui. P mo que e popoição é fl, pode-e u como eemplo figu denomind: ) iângulo equiláeo; ) longo; c) péio; d) eângulo; e) quddo. ) Longo longo em odo o ldo com medid igui m o eu ângulo ineno não neceimene êm medid igui. Pono, o longo coni fimção cim. (ep) Jec 39
09) No iângulo io, 8 cm, 1 cm e 10 cm. Sendo e pono médio do ldo e, epecivmene, deemine medid do peímeo do péio. 10) No iângulo io, 16 cm, 14 cm e 18 cm. Sendo, e o pono médio do ldo, e, epecivmene, deemin medid do egmeno, e. 11) No iângulo io,, e. Sendo, e o pono médio do ldo, e, epecivmene, deemin o peímeo do qudiláeo. 1) No péio io, e meno mede 8 cm, e mio mede 0 cm e o pono e ão o pono médio do ldo e, epecivmene. eemine medid d e médi. 13) No péio eângulo io, e meno mede 1 cm e e mio mede 18 cm. Sendo 10 cm, e o pono médio do ldo e, epecivmene, deemin o peímeo do péio e. 14) No péio io, e médi mede 17 cm e e mio mede cm. eemine medid d e meno. 15) No péio io, 8 cm e H 11 cm. Sendo e H H, deemine medid d e meno e d e mio. 16) No péio io, 1 cm, 6 cm e o pono e H ão pono médio do ldo e, epecivmene. eemin medid do egmeno H,, H e. H H Jec 40
09) No iângulo io, 8 cm, 1 cm e 10 cm. Sendo e pono médio do ldo e, epecivmene, deemine medid do peímeo do péio. / 8 / 4 cm / 1 / 6 cm / 10 / 5 cm p 4 + 5 + 6 + 10 5 cm (ep) 10) No iângulo io, 16 cm, 14 cm e 18 cm. Sendo, e o pono médio do ldo, e, epecivmene, deemin medid do egmeno, e. e médi de iângulo. / 14/ 7 cm / 18/ 9 cm / 16/ 8 cm (ep) 11) No iângulo io,, e. Sendo, e o pono médio do ldo, e, epecivmene, deemin o peímeo do qudiláeo. 1) No péio io, e meno mede 8 cm, e mio mede 0 cm e o pono e ão o pono médio do ldo e, epecivmene. eemine medid d e médi. 8 / / / / / / Pe p. (/) +. (/) p + (ep) 0 cm // // + 14 cm (ep) 8 + 0 / / 13) No péio eângulo io, e meno mede 1 cm e e mio mede 18 cm. Sendo 10 cm, e o pono médio do ldo e, epecivmene, deemin o peímeo do péio e. Piágo 1 10 6 + () 8 cm 4 5 (1 + 18)/ 15 cm 4 1 6 18 cm 5 Pe 1 + 5 + 15 + 4 Pe 36 cm Pe 15 + 5 + 18 + 4 Pe 4 cm 14) No péio io, e médi mede 17 cm e e mio mede cm. eemine medid d e meno. 17 + + 34 1 cm 1 cm (ep) 17 cm cm 15) No péio io, 8 cm e H 11 cm. Sendo e H H, deemine medid d e meno e d e mio. 8 cm 11 cm H 8 + 11 16 + 11 5 cm 5 cm (ep) 11 + 8 + 8 14 16) No péio io, 1 cm, 6 cm e o pono e H ão pono médio do ldo e, epecivmene. eemin medid do egmeno H,, H e. 1 cm H é e médi do péio H ( + )/ H (1 + 6)/ 19 cm 6 cm H e H ão e médi do iângulo e. H / 1/ H 6 cm H - - H 19-6 - 6 7 cm 14 cm (ep) Jec 40
17) N figu, NLP é um qudiláeo,,, e ão o pono médio do ldo N, NL, LP e P. eemine o peímeo do qudiláeo endo-e que L 14 cm e NP 8 cm. 18) eemine medid do ângulo ineno de um plelogmo endo-e que doi ângulo ineno opoo medem 3-18º e + 7º. P N L 19) No iângulo io, e ão o pono médio do epecivo ldo. Sendo o peímeo do iângulo igul 3 cm, deemin : ) o que é o pono p o iângulo. ) medid do peímeo do iângulo. 0) No iângulo io, endo o iceno,,,, e w, deemin o peímeo do qudiláeo. 1) No iângulo io, e ão o pono médio do epecivo ldo. Sendo,, e k, deemin o peímeo do iângulo e die o que o pono é do iângulo. ) emone que o ângulo fomdo pel ieie de doi ângulo ineno conecuivo de um plelogmo é um ângulo eo. 3) (uve) m um péio iócele, medid d lu é igul à d e médi. eemine o ângulo que digonl do péio fom com um d e do péio. Jec 41
17) N figu, NLP é um qudiláeo,,, e ão o pono médio do ldo N, NL, LP e P. eemine o peímeo do qudiláeo endo-e que L 14 cm e NP 8 cm. e médi de iângulo. NP/ 8/ 4 cm L/ 14/ 7 cm p 4 + 7 + 4 + 7 cm (ep) P 18) eemine medid do ângulo ineno de um plelogmo endo-e que doi ângulo ineno opoo medem 3-18º e + 7º. 3-18 + 7 3-18 + 7 45º + 180º - ângulo colei ineno 117 + 180 63º Pono 117º N L 19) No iângulo io, e ão o pono médio do epecivo ldo. Sendo o peímeo do iângulo igul 3 cm, deemin : ) o que é o pono p o iângulo. ) medid do peímeo do iângulo. ) e ão medin. Pono é iceno. ) + + 3 é e médi. Pono. Pe + + ( + + ). 3 46 cm (ep) 0) No iângulo io, endo o iceno,,,, e w, deemin o peímeo do qudiláeo. / Se é iceno, enão e ão pono médio e, e ão medin. / / / / / w w / Pe / + / + / + w ( + + + w)/ (ep) 1) No iângulo io, e ão o pono médio do epecivo ldo. Sendo,, e k, deemin o peímeo do iângulo e die o que o pono é do iângulo. Se e ão pono médio, enão e ão medin. lém dio, é / / e médi do iângulo. / k k / / / Pe / + / + 3k Pe ( + + 6k)/ (ep) é o iceno do iângulo. ) emone que o ângulo fomdo pel ieie de doi ângulo ineno conecuivo de um plelogmo é um ângulo eo. + 180º - ângulo colei ineno + 90º + + 90 180 Pono + 90º (Q) / / 3) (uve) m um péio iócele, medid d lu é igul à d e médi. eemine o ângulo que digonl do péio fom com um d e do péio. h d - + d + h h N N é e médi - d - N ( + )/ h - + h h g h/h 1 45º (ep) Jec 41
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) 01) do o longo io e o ângulo de 138º, deemine medid do ângulo inldo. 138º eomei pln Qudiláeo noávei. ecício complemene d ul 04. 0) (J) No plelogmo io, 5 cm e é o pono médio do ldo. eemine o peímeo de. 60º 60º 03) No eângulo io, e ão digoni. eemine medid do ângulo e. 04) (PUmp-SP) N figu egui, em-e epeendo o longo, cuj digonl meno mede 4 cm. eemine medid d digonl mio e do ldo dee longo. q q 3º 05) N figu io, é um eângulo e é um iângulo equiláeo, onde o pono peence o ldo do eângulo. Sendo digonl do eângulo, o pono de ineecção ene digonl e o ldo do iângulo e 9 cm, deemine medid do egmeno. 06) (VUNSP-SP) onidee eguine popoiçõe. I. Todo quddo é um longo. II. Todo quddo é um eângulo. III. Todo eângulo é um plelogmo. IV. Todo iângulo equiláeo é iócele. Pode-e fim que: ) ó um é veddei. ) od ão veddei. c) ó um é fl. d) du ão veddei e du ão fl. e) od ão fl. Jec 4
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) 01) do o longo io e o ângulo de 138º, deemine medid do ângulo inldo. "m odo longo, digoni ão: ) pependicule ene i. ) ieie do ângulo ineno." 138/ 69º 90º + + 180º + 90 + 69 180 1º 4º 138º eomei pln Qudiláeo noávei. ecício complemene d ul 04. 0) (J) No plelogmo io, 5 cm e é o pono médio do ldo. eemine o peímeo de. é pono médio de No ingulo é medin é medin é iceno / 5/ Pono 5 + 5/ 15/ cm Se 10º, enão 60º - ângulo colei ineno é um iângulo equiláeo de ldo 15/ cm Pono 15/ e 15 Pe 15/ + 15 + 15/ + 15 45 cm (ep) 60º 60º 03) No eângulo io, e ão digoni. eemine medid do ângulo e. é ângulo eeno 3 + 3 64º + 180 116º (ep) 3º 3º 04) (PUmp-SP) N figu egui, em-e epeendo o longo, cuj digonl meno mede 4 cm. eemine medid d digonl mio e do ldo dee longo. 3q 180 q 60º iângulo é equiláeo 4 cm 4m co 30º 4 4 3 / 3 cm.d 4 3 cm q q q q 30º 4 cm 05) N figu io, é um eângulo e é um iângulo equiláeo, onde o pono peence o ldo do eângulo. Sendo digonl do eângulo, o pono de ineecção ene digonl e o ldo do iângulo e 9 cm, deemine medid do egmeno. No iângulo, em-e é medin. é medin. é iceno + 3 9 3. 3 6 cm (ep) 9 cm 06) (VUNSP-SP) onidee eguine popoiçõe. I. Todo quddo é um longo. (veddei) II. Todo quddo é um eângulo. (veddei) III. Todo eângulo é um plelogmo. (veddei) IV. Todo iângulo equiláeo é iócele. (veddei) Pode-e fim que: ) ó um é veddei. ) od ão veddei. c) ó um é fl. d) du ão veddei e du ão fl. e) od ão fl. Tod ão veddei (ep. ) Jec 4
07) (PU-SP) Sendo: { / é qudiláeo} { / é quddo} { / é eângulo} { / é longo} { / é péio} { / é plelogmo} não vle elção: ) ) c) d) e) 08) (UP-) inle leniv incoe: ) m odo plelogmo não eângulo, digonl opo o ângulo gudo é meno do que ou. ) É eo o ângulo fomdo pel ieie de doi ângulo conecuivo de um plelogmo. c) ieie de doi ângulo opoo de um plelogmo ão plel ene i. d) Ligndo-e o pono médio do ldo de um iângulo, ee fic decompoo em quo iângulo conguene. e) Tod fimiv neioe ão incoe. 09)(U) N figu, o eângulo HI, o iângulo e- quiláeo e o quddo I, êm odo, peímeo igul 4 cm. Se é o pono médio de I, o peímeo d figu fechd HI é igul : 10) eemine medid do ângulo ineno de um plelogmo endo que difeenç ene medid de doi ângulo ineno conecuivo é 5º. ) 48 m ) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 5 m H I 11) (V-SP) digonl meno de um longo decompõe ee longo em doi iângulo conguene. Se cd ângulo ouo do longo mede 130º, qui ão medid do ê ângulo de cd um do doi iângulo conidedo? 1) (IT-SP) d fimçõe: I. Quique doi ângulo opoo de um qudiláeo ão uplemene. II. Quique doi ângulo conecuivo de um plelogmo ão uplemene. III. Se digoni de um plelogmo ão pependicule ene i e e cum em eu pono médio, enão ee plelogmo é um longo. ) Tod ão veddei. ) pen I e II ão veddei. c) pen II e III ão veddei. d) pen II é veddei. e) pen III é veddei. Jec 43
07) (PU-SP) Sendo: { / é qudiláeo} { / é quddo} { / é eângulo} { / é longo} { / é péio} { / é plelogmo} não vle elção: ) ) c) d) e) 08) (UP-) inle leniv incoe: ) m odo plelogmo não eângulo, digonl opo o ângulo gudo é meno do que ou. ) É eo o ângulo fomdo pel ieie de doi ângulo conecuivo de um plelogmo. c) ieie de doi ângulo opoo de um plelogmo ão plel ene i. d) Ligndo-e o pono médio do ldo de um iângulo, ee fic decompoo em quo iângulo conguene. e) Tod fimiv neioe ão incoe. ) V ) V c) V d) V e) l ep ) 09)(U) N figu, o eângulo HI, o iângulo e- quiláeo e o quddo I, êm odo, peímeo igul 4 cm. Se é o pono médio de I, o peímeo d figu fechd HI é igul : ) 48 m ) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 5 m H 3 1 8 8 9 8 I 3 3 6 6 6 10) eemine medid do ângulo ineno de um plelogmo endo que difeenç ene medid de doi ângulo ineno conecuivo é 5º. 180 - - 5 180-5 18 64º 64º 180-116º (ep) 180 - + + + + + + H + HI + I 6 + 6 + 3 + 8 + 8 + 1 + 3 + 9 + 6 50 cm (ep c) 11) (V-SP) digonl meno de um longo decompõe ee longo em doi iângulo conguene. Se cd ângulo ouo do longo mede 130º, qui ão medid do ê ângulo de cd um do doi iângulo conidedo? + 65 + 65 180 50º medid do ê ângulo ão: 65º, 65º e 50º (ep) 130º 65º 65º 1) (IT-SP) d fimçõe: I. Quique doi ângulo opoo de um qudiláeo ão uplemene. (l) II. Quique doi ângulo conecuivo de um plelogmo ão uplemene. (Veddei) III. Se digoni de um plelogmo ão pependicule ene i e e cum em eu pono médio, enão ee plelogmo é um longo. (Veddei) ) Tod ão veddei. ) pen I e II ão veddei. c) pen II e III ão veddei. d) pen II é veddei. e) pen III é veddei. epo c Jec 43
13) (UV-) Num péio iócele de e difeene, um digonl é mém iei de um ângulo djcene à e mio. Io ignific que: ) e meno em medid igul à do ldo olíquo. ) o ângulo djcene à e meno não ão conguene. c) e mio em medid igul à do ldo olíquo. d) du digoni e inecepm no eu pono médio. e) digoni e inecepm, fomndo ângulo eo. 14) (UVST-SP) No qudiláeo, emo e o polongmeno dee ldo fomm um ângulo de 60º. ) Indicndo po,, g e q, epecivmene, medid do ângulo ineno do véice,, e, clcule + + g + q. ) Sejm J o pono médio de, o pono médio de e N o pono médio de. lcule J e JN. c) lcule medid do ângulo JN. 15) N figu, 4 cm, é pono médio de, é pono médio de, é pono médio de e I é pono médio de. eemine medid do egmeno e H. 16) (IT-SP) onidee um qudiláeo cuj digoni e medem, epecivmene, 5 cm e 6 cm. Se, S, T e U ão o pono médio do ldo do qudiláeo ddo, enão o peímeo do qudiláeo STU vle: ) cm ) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 1 cm H I 17) No péio J io, e I. Se e H HI IJ, deemine e J em função de e de. 18) N figu io, o iângulo é eângulo em, o pono é pono médio do ldo e o egmeno é plelo o ceo. Sendo 4 cm, deemine medid do egmeno. H I J Jec 44
13) (UV-) Num péio iócele de e difeene, um digonl é mém iei de um ângulo djcene à e mio. Io ignific que: ) e meno em medid igul à do ldo olíquo. ) o ângulo djcene à e meno não ão conguene. c) e mio em medid igul à do ldo olíquo. d) du digoni e inecepm no eu pono médio. e) digoni e inecepm, fomndo ângulo eo. 14) (UVST-SP) No qudiláeo, emo e o polongmeno dee ldo fomm um ângulo de 60º. ) Indicndo po,, g e q, epecivmene, medid do ângulo ineno do véice,, e, clcule + + g + q. ) Sejm J o pono médio de, o pono médio de e N o pono médio de. lcule J e JN. c) lcule medid do ângulo JN. 60º ep ) N J ) + + g + q 360º ) J é e médi do iângulo. Pono J / / 1 JN é e médi do iângulo. Pono JN / 1 c) J // JN // não JN 60º (ep) 15) N figu, 4 cm, é pono médio de, é pono médio de, é pono médio de e I é pono médio de. eemine medid do egmeno e H. 4 cm é e médi do iângulo é e médi do iângulo H é e médi do iângulo + 1 6 + 1 H 6 cm (ep) w H I w 4/ 1 cm 1/ 6 cm H + 1 cm 16) (IT-SP) onidee um qudiláeo cuj digoni e medem, epecivmene, 5 cm e 6 cm. Se, S, T e U ão o pono médio do ldo do qudiláeo ddo, enão o peímeo do qudiláeo STU vle: ) cm ) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 1 cm U é e médi do iângulo ST é e médi do iângulo Pono U ST / 6/ 3 cm S é e médi do iângulo TU é e médi do iângulo Pono S TU / 5/ cm S U T Pe. 3 +. 5/ Pe 11 cm (ep) 17) No péio J io, e I. Se e H HI IJ, deemine e J em função de e de. w + n n J w + k n k w 3 - n 3 - H n - w - k - w - I e médi de péio. J + + w + 4 - - 4 - - Jec 44 18) N figu io, o iângulo é eângulo em, o pono é pono médio do ldo e o egmeno é plelo o ceo. Sendo 4 cm, deemine medid do egmeno. 1 Todo iângulo eângulo pode e incio em um emicicunfeênci. é um medin. é um medin. Pono é o iceno do iângulo. 1 cm,. 3. 1 4 cm (ep)
Jec 45
epo do eecício d ul 04. 01) 6 cm e 4 cm 0) 4 03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 4 cm 04) 3º, 64º, 90º e 116º 05) 16 cm 06) Popiedde d e médi do iângulo. // LP // N e // L // PN Pono LNP é um plelogmo. 07) 45º 08) 09) 5 cm 10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm 11) + 1) 14 cm 13) 36 cm e 4 cm 14) 1 cm 15) 5 cm e 14 cm 16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm 17) cm 18) 117º e 63º 19) iceno e 46 cm 0) ( + + w + ) / 1) ( + + 6k) / e iceno ) + 180 (leno ineno) Pono + 90º 3) 45º Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 46
epo do eecício complemene d ul 04. 01) 1º, 69º, 4º, 90º 0) 45 cm 03) 64º, 116º 04) 4 3 cm, 4 cm 05) 6 cm 06) 07) 08) e 09) c 10) 64º e 116º 11) 50º, 65º e 65º 1) c 13) 14) ) 360º ) 1 e 1 c) 60º 15) 6 cm e H 6 cm 16) d 17) 3 - J 18) 4cm 3 - Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 47
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln ul 05 Polígono conveo. I) Polígono conveo. lificção do polígono (quno o nº de ldo). e i d d - digonl i - ângulo ineno e - ângulo eeno i + e 180º ldo véice 3 ldo - iângulo 4 ldo - qudiláeo 5 ldo - penágono 6 ldo - heágono 7 ldo - hepágono 8 ldo - ocógono 9 ldo - eneágono 10 ldo - decágono 11 ldo - undecágono 1 ldo - dodecágono 13 ldo - idecágono 14 ldo - qudidecágono 15 ldo - pendecágono 16 ldo - hedecágono 17 ldo - hepdecágono 18 ldo - ocodecágono 19 ldo - enedecágono 0 ldo - icoágono II) Som d medid do ângulo ineno de um polígono conveo. (S ) i III) Som d medid do ângulo eeno de um polígono conveo. (S ) e e 3 e 4 IV) Númeo de digoni de um polígono conveo. (d) i 3 i 4 i n i i 1 e e n S i + i + i +... + i i 1 3 n S 180 (n - ) i n - nº de ldo do polígono e 1 S e + e + e +... + e e 1 3 n S 360º e P qulque polígono conveo igonl é o egmeno que une doi véice não conecuivo. d n (n - 3) n - nº de ldo do polígono V) Polígono egul. e i e i e i i i e Um polígono é egul e em: ) odo o ldo conguene ene i; ) odo o ângulo ineno conguene ene i; c) odo o ângulo eeno conguene ene i. lificção do polígono egule 3 ldo - iângulo equiláeo 4 ldo - quddo 5 ldo - penágono egul 6 ldo - heágono egul ec e edid de cd ângulo ineno de um polígono egul. i S i n > 180 (n - ) i n edid de cd ângulo eeno de um polígono egul. ângulo cenl e S e n > 360 e n (impone) evção - Todo polígono egul pode e incio e cicuncio num cicunfeênci. Jec 48
01) eemin om d medid do ângulo ineno e o númeo de digoni de um pendecágono conveo. 0) eemin om d medid do ângulo eeno e o númeo de digoni de um ocodecágono conveo. 03) eemin medid de cd ângulo ineno e de cd ângulo eeno de um eneágono egul. 04) eemin medid de cd ângulo ineno e o nº de digoni de um ocógono egul. 05) eemin om d medid do ângulo ineno de um polígono conveo que em 65 digoni. 06) eemin o nº de digoni de um polígono egul cuj medid de cd ângulo eeno é 30º. 07) eemin o nº de digoni de um polígono egul endo-e que medid de um ângulo ineno ecede medid do ângulo eeno em 13º. 08) eemin medid do ângulo eeno de um polígono egul que em 14 digoni. Jec 49
01) eemin om d medid do ângulo ineno e o númeo de digoni de um pendecágono conveo. Pendecágono (n 15 ldo) S 180(n - ) 180(15 - ) 340º (ep) i d n(n - 3) / 15(15-3) / 90 digoni (ep) 0) eemin om d medid do ângulo eeno e o númeo de digoni de um ocodecágono conveo. ocodecágono - 18 ldo S 360º (ep) e d n(n - 3)/ d 18(18-3)/ 135 digoni. (ep) 03) eemin medid de cd ângulo ineno e de cd ângulo eeno de um eneágono egul. eneágono - 9 ldo e 360/n 360/9 40º (ep) i + e 180º i + 40 180 i 140º (ep) 04) eemin medid de cd ângulo ineno e o nº de digoni de um ocógono egul. ocógono - 8 ldo e 360/n 360/8 45º i + e 180º i + 45 180 i 135º (ep) d n(n - 3)/ 8(8-3)/ d 0 digoni (ep) 05) eemin om d medid do ângulo ineno de um polígono conveo que em 65 digoni. d n(n - 3)/ 65 n(n - 3)/ 130 n - 3n n - 3n - 130 0 íe n 13 n -10 (não convém) 06) eemin o nº de digoni de um polígono egul cuj medid de cd ângulo eeno é 30º. e 360/n 30 360/n n 1 ldo (dodecágono) d n(n - 3)/ d 1(1-3)/ d 54 digoni (ep) P n 13 (idecágono) S i 180(n - ) 180(13 - ) S i 1 980º (ep) 07) eemin o nº de digoni de um polígono egul endo-e que medid de um ângulo ineno ecede medid do ângulo eeno em 13º. i - e 13º i + e 180º i 31 i 156º e 180-156 4º e 360/n 4 360/n n 15 ldo (pendecágono) d n(n - 3)/ d 15(15-3)/ 90 digoni 08) eemin medid do ângulo eeno de um polígono egul que em 14 digoni. d n(n - 3)/ 14 n(n - 3)/ 8 n - 3n n - 3n - 8 0 íe n 7 (hepágono) n -4 (não convém) P n 7 ldo e 360/n 360º/7 (ep) Jec 49
09) do doi polígono conveo, e, e-e que em 4 ldo e 30 digoni mi do que. eemine qui ão o polígono e. 10) do doi polígono egule, e, e-e que em 6 ldo mi do que e difeenç d medid de eu ângulo eeno é 16º. eemine qui ão ee polígono. 11) eemine medid do ângulo gudo fomdo ene digonl e o ldo de um dodecágono egul... KL. 1) eemine medid do ângulo gudo fomdo pelo polongmeno d digoni e de um dodecágono egul...kl. Jec 50
09) do doi polígono conveo, e, e-e que em 4 ldo e 30 digoni mi do que. eemine qui ão o polígono e. n d n d n n + 4 d d + 30 d - d 30 n (n - 3)/ - n (n - 3)/ 30 (n + 4)(n + 4-3) - n (n - 3) 60 8.n 56 n 7 ldo (hepágono) n 7 + 4 11 ldo (undecágono) (ep) 10) do doi polígono egule, e, e-e que em 6 ldo mi do que e difeenç d medid de eu ângulo eeno é 16º. eemine qui ão ee polígono. n e n e n n + 6 e - e 16 Impone - polígono que em meno ldo em o mio ângulo eeno. (e - e > 0) e - e 360-360 n n + 6 16 360(n + 6) - 360.n 16 n (n + 6) 360(n + 6) - 360.n 16n (n + 6) 360n + 160-360n 16n + 96n n + 6n - 135 0 íe n 9 ldo (eneágono) n -15 ldo (não convém) Polígono - eneágono polígono - (9 + 6 15) - pendecágono (ep) 11) eemine medid do ângulo gudo fomdo ene digonl e o ldo de um dodecágono egul... KL. e i 150º 150º 150º 150º 1) eemine medid do ângulo gudo fomdo pelo polongmeno d digoni e de um dodecágono egul...kl. e 30º 150º q 150º e 30º 150º e e - ângulo eeno i - ângulo ineno e 360/n 360/1 30º Pono i 180 - e 180-30 150º é um heágono iegul S 180(n - ) 180(6 - ) 180. 4 70º i, S 4. 150 + i 70 600 + 60º (ep) e - ângulo eeno i - ângulo ineno e 360/n 360/1 30º i 180 - e 180-30 150º é um iângulo + + 150 180 15º é um qudiláeo + + 150 + 150 360 30º + 30 45º + 30 60º + + q 180 q 75º (ep) Jec 50
13) (UNISP-SP) Penágono egule conguene podem e conecdo, ldo ldo, fomndo um eel de cinco pon, confome decdo n figu. Ne condiçõe, o ângulo q mede: ) 108º ) 7º c) 54º d) 36º e) 18º 14) (UVST-SP) oi ângulo ineno de um polígono conveo medem 130º cd um e o demi ângulo ineno medem 18º cd um. nº de ldo dee polígono é: ) 6 ) 7 c) 13 d) 16 e) 17 q 15) (SNI-J) No qudiláeo d figu io, ão çd ieie e N, que fomm ene i o ângulo. om do ângulo ineno e dee qudiláeo coeponde : ) /4 ) / c) d) e) 3 N 16) (K-SP) ldo de um polígono egul de n ldo, n > 4, ão polongdo p fom um eel. medid, em gu, de cd véice d eel é: ) ) c) d) e) 360º n (n - 4). 180º n (n - ). 180º n 180º _ 90º n 180º n Jec 51
13) (UNISP-SP) Penágono egule conguene podem e conecdo, ldo ldo, fomndo um eel de cinco pon, confome decdo n figu. Ne condiçõe, o ângulo q mede: ) 108º ) 7º c) 54º d) 36º e) 18º 14) (UVST-SP) oi ângulo ineno de um polígono conveo medem 130º cd um e o demi ângulo ineno medem 18º cd um. nº de ldo dee polígono é: ) 6 ) 7 c) 13 d) 16 e) 17 q 50º 130º 5º 18º 50º 130º 18º 5º 18º 5º 108º 108º 108º q i 108º e 7º e 360 / 5 7º q 360-3. 108 360-34 36º (ep) Se doi ângulo ineno medem 130º, enão doi ângulo eeno medem 50º Se o demi ângulo ineno medem 18º, enão o demi ângulo eeno medem 5º om d medid do ângulo eeno é 360º.. 50 +. 5 360. 5 360-100 60 60/5 5 ângulo eeno de 50º 5 ângulo eeno de 5º ol - 7 ângulo eeno n 7 ldo (ep ) 15) (SNI-J) No qudiláeo d figu io, ão çd ieie e N, que fomm ene i o ângulo. om do ângulo ineno e dee qudiláeo coeponde : ) /4 ) / c) d) e) 3 N 16) (K-SP) ldo de um polígono egul de n ldo, n > 4, ão polongdo p fom um eel. medid, em gu, de cd véice d eel é: ) ) c) d) e) 360º n (n - 4). 180º n (n - ). 180º n 180º _ 90º n 180º n e e + 180 - + + + 360º + 360 - - + 360 - ( + ) + 360 - (180 - ) + 360-360 + + (ep d) e - ângulo eeno do polígono. - véice d eel. e 360/n Polígono e + e + 180º. 360/n + 180 180-70/n (180n - 70)/n 180(n - 4)/n (ep ) Jec 51
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln Polígono conveo. ecício complemene d ul 05. 01) do um polígono conveo de 17 ldo, deemin: ) om d medid do ângulo ineno. ) om d medid do ângulo eeno. c) o númeo de digoni dee polígono. 0) do um undecágono conveo, deemin: ) om d medid do ângulo ineno. ) om d medid do ângulo eeno. c) o númeo de digoni dee polígono. 03) eemin o númeo de ldo e o númeo de digoni de um polígono conveo cuj om d medid do ângulo ineno é 160º. 04) eemin om d medid do ângulo ineno de um polígono conveo que em 44 digoni. Jec 5
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln Polígono conveo. ecício complemene d ul 05. 01) do um polígono conveo de 17 ldo, deemin: ) om d medid do ângulo ineno. S 180(n - ) 180(17 - ) 700º i ) om d medid do ângulo eeno. S 360º e c) o númeo de digoni dee polígono. d n(n - 3)/ d 17(17-3)/ d 119 digoni 0) do um undecágono conveo, deemin: ) om d medid do ângulo ineno. ) om d medid do ângulo eeno. c) o númeo de digoni dee polígono. S 180(n - ) 180(11 - ) 1 60º i S 360º e d n(n - 3)/ d 1(11-3)/ d 44 digoni 03) eemin o númeo de ldo e o númeo de digoni de um polígono conveo cuj om d medid do ângulo ineno é 160º. S i 180(n - ) 160 180(n - ) n - 160/180 d n(n - 3)/ d 14(14-3)/ d 77 digoni (ep) n - 1 n 14 ldo (ep) 04) eemin om d medid do ângulo ineno de um polígono conveo que em 44 digoni. d n(n - 3)/ 44 n(n - 3)/ n - 3n - 88 0 íe n 11 ldo (undecágono) n -8 (não convém) S 180(n - ) i S 180(11 - ) i S 1 60º (ep) i Jec 5
05) No penágono o ldo, //. eemin om d medid do ângulo ineno inldo. 06) eemin o polígono conveo e, endo-e que em ldo e 3 digoni mi que o polígono. 07) do um eneágono egul, deemin : ) o númeo de ldo do eneágono. ) om d medid do ângulo ineno. c) medid de cd ângulo ineno. d) om d medid do ângulo eeno. e) medid de cd ângulo eeno. f) o númeo de digoni do eneágono. 08) eemin qul é o polígono egul cuj medid de um ângulo eeno é igul /7 d medid de um ângulo ineno. Jec 53
05) No penágono o ldo, //. eemin om d medid do ângulo ineno inldo. + 180º (ângulo colei ineno) é um penágono, pono S 180(n - ) 180(5 - ) 540º i + + + + 540 180 + + + 540 + + 540-180 360º (ep) 06) eemin o polígono conveo e, endo-e que em ldo e 3 digoni mi que o polígono. n d n d n n + d d + 3 d - d 3 (n + )(n + - 3)/ - n (n - 3)/ 3 (n + )(n - 1) - n (n - 3) 46 4.n 48 n 1 ldo (dodecágono) n 1 + 14 ldo (qudidecágono) (ep) 07) do um eneágono egul, deemin : ) o númeo de ldo do eneágono. ) om d medid do ângulo ineno. n 9 ldo S i 180(n - S i 180(9 - ) S i 1 60º c) medid de cd ângulo ineno. i S /n i i 1 60/9 i 140º d) om d medid do ângulo eeno. S 360º e e) medid de cd ângulo eeno. f) o númeo de digoni do eneágono. e 360/n e 360/9 d n(n - 3)/ e 40º d 9(9-3)/ d 7 digoni 08) eemin qul é o polígono egul cuj medid de um ângulo eeno é igul /7 d medid de um ângulo ineno. e 360/n e.i / 7 i + e 180º 40 360/n e.i / 7 i 7.e / e + 7.e / 180 e + 7e 360 9e 360 e 40º n 360/40 9 n 9 ldo (eneágono) (ep) Jec 53
09) do um pendecágono egul, deemin : ) o númeo de ldo do pendecágono. ) om d medid do ângulo ineno. c) medid de cd ângulo ineno. d) om d medid do ângulo eeno. e) medid de cd ângulo eeno. f) o númeo de digoni do pendecágono. 10) eemin doi polígono egule, e, endo-e que em 3 ldo mi que e que difeenç ene medid do eu ângulo eeno é 6º. 11) do um decágono egul, deemin medid do ângulo gudo compeendido ene o ldo e digonl. 1) do um dodecágono egul, endo o ceno do dodecágono, deemin medid do ângulo. L K Jec 54 J I H
09) do um pendecágono egul, deemin : ) o númeo de ldo do pendecágono. n 15 ldo ) om d medid do ângulo ineno. S 180(n - i S 180(15 - ) i S 340º i c) medid de cd ângulo ineno. i S /n i i 340/15 i 156º d) om d medid do ângulo eeno. S 360º e e) medid de cd ângulo eeno. f) o númeo de digoni do pendecágono. e 360/n e 360/15 e 4º d n(n - 3)/ d 15(15-3)/ d 90 digoni 10) eemin doi polígono egule, e, endo-e que em 3 ldo mi que e que difeenç ene medid do eu ângulo eeno é 6º. n e n e n n + 3 e - e 6 Impone - polígono que em meno ldo em o mio ângulo eeno. (e - e > 0) e - e 360-360 n n + 3 6 360(n + 3) - 360.n 6 n (n + 3) 360(n + 3) - 360.n 6n (n + 3) 360n + 1 080-360n 6n + 18n n + 3n - 180 0 íe n 1 ldo (dodecágono) n -15 ldo (não convém) Polígono - (1 + 3 15 ldo) - pendecágono polígono - dodecágono (ep) 11) do um decágono egul, deemin medid do ângulo gudo compeendido ene o ldo e digonl. i e e - ângulo eeno i - ângulo ineno e 360/n 360/10 36º i + e 180º i 180-36 144º + + i + 144 180 36 18º (ep) 1) do um dodecágono egul, endo o ceno do dodecágono, deemin medid do ângulo. e - ângulo eeno i - ângulo ineno e 360/n 360/1 30º i + e 180 i + 30 180 i 150º é umheágono iegul S i 180(n - ) 180(6 - ) 70º i/ 150/ 75º 70 + 3. 150 + 70. 75 + 3. 150 + 70-600 10º (ep) L K i e Jec 54 J I H
13) do um decágono egul, endo o ceno do polígono, deemin : J I H ) om d medid do ângulo eeno do decágono. ) medid de cd ângulo eeno. c) om d medid do ângulo ineno do decágono. d) medid de cd ângulo ineno. e) medid do ângulo ouo fomdo pelo polongmeno do ldo e. f) medid do ângulo gudo fomdo pelo polongmeno do ldo e. g) medid do ângulo gudo fomdo ene digoni I e. h) medid do ângulo. i) medid do ângulo. Jec 55
13) do um decágono egul, endo o ceno do polígono, deemin : J 54º 90º 36º 144º w 7º 36º I 36º 108º e k k H 144º e 54º 90º ) om d medid do ângulo eeno do decágono. S 360º e ) medid de cd ângulo eeno. e 360/n 360/10 e 36º c) om d medid do ângulo ineno do decágono. S 180(n - ) i S 180(10 - ) i S 1440º i d) medid de cd ângulo ineno. e) medid do ângulo ouo fomdo pelo polongmeno do ldo i S i /n e. i 1440/10 i 144º + e + e 180 + e 180 +. 36 180 108º f) medid do ângulo gudo fomdo pelo polongmeno do ldo e. e 36 18º + e + + + e 180 18 + 36 + + 18 + 36 180 7º g) medid do ângulo gudo fomdo ene digoni I e. w + 90 + 36 180 w 54º h) medid do ângulo. k 360/n 360/10 36º k. 36 7º i) medid do ângulo. 36º Jec 55
14) N figu o ldo, deemin o vlo de +. 93º 15) do um polígono conveo... com n ldo, n > 3, o númeo de digoni do polígono que não pm pelo véice é ddo po: ) 5n - 4 ) n - 11n c) n - 5n + 6 d) n(n-3) 105º 88º e) n - 4 16) Se om do ângulo ineno de um polígono egul é 160º, endo medid de cd ângulo eeno enão: ) 18º ) 30º < < 35º c) 45º d) < 7º e) 40º < < 45º 17) Tê polígono êm o númeo de ldo epeo po númeo ineio conecuivo. Sendo que o númeo ol de digoni do ê polígono é igul 8, deemine polígono com mio númeo de digoni. 18) N figu o ldo, é um iângulo eqüiláeo e H é um penágono egul. Sendo-e que peence o ldo, peence o ldo, e H peencem o ldo, deemin medid do ângulo e H. 19) do o eneágono egul o ldo, deemin medid do ângulo fomdo pelo polongmeno do ldo e. I H X H Jec 56
14) N figu o ldo, deemin o vlo de +. d c 105º c + d + 88º 93º 15) do um polígono conveo... com n ldo, n > 3, o númeo de digoni do polígono que não pm pelo véice é ddo po: ) 5n - 4 ) n - 11n c) n - 5n + 6 d) n(n-3) Se um polígono em n ldo, enão em n véice. númeo de digoni que pm num véice é n - 3. númeo ol de digoni de um polígono é ddo po + + 93 + 88 + 105 540 (penágono) + 540-86 54 c + d 54-180 74 + c + d 74º (ep) e) n - 4 d' d' d' d n(n - 3)/ cluindo-e que pm pelo véice, em-e n(n - 3) - (n - 3) n(n - 3) - (n - 3) n - 5n + 6 (ep c) n - 3n - n + 6 16) Se om do ângulo ineno de um polígono egul é 160º, endo medid de cd ângulo eeno enão: ) 18º ) 30º < < 35º c) 45º d) < 7º e) 40º < < 45º S i 180(n - ) 1 60 180(n - ) n - 1 60/180 9 n 11 e 360/n e 360/11 3,73º e 3,73º Pono 30º < < 35º (ep ) 18) N figu o ldo, é um iângulo eqüiláeo e H é um penágono egul. Sendo-e que peence o ldo, peence o ldo, e H peencem o ldo, deemin medid do ângulo e H. e 360/n 360/5 7º i + e 180 i + 7 180 i 108º + 60 + e 180 + 60 + 7 180 48º + i + 180 48 + 108 + 180 4º 60º e i 108º H i 17) Tê polígono êm o númeo de ldo epeo po númeo ineio conecuivo. Sendo que o númeo ol de digoni do ê polígono é igul 8, deemine polígono com mio númeo de digoni. polígono - n ldo polígono - n + 1 ldo polígono - n + ldo Tol de digoni 8 8 19) do o eneágono egul o ldo, deemin medid do ângulo fomdo pelo polongmeno do ldo e. H n(n - 3) I i e e 360/n 360/9 40º i 180 - e 180-40 140º + + 140 180 0º + ( + e) + ( + e) + + e 180 + 40 + 80 180 60º (ep) nº de digoni de um polígono d n(n - 3) + (n + 1)(n + 1-3) + (n + )(n + - 3) 8 n(n - 3) + (n + 1)(n - ) + (n + )(n - 1) n - n - 0 0 íe n -4 (não convém) n 5 polígono - 5 ldo polígono - 6 ldo polígono - 7 ldo (hepágono) - em o mio númeo de digoni. (ep) 140º e X Jec 56
0) (US-006) onidee um heágono equiângulo (ângulo ineno igui), no qul quo ldo conecuivo medem 0 cm, 13 cm, 15 cm e 3 cm, confome figu egui. lcule o peímeo do heágono. 0 3 13 15 1) (K-SP) Num qudiláeo conveo, om de doi ângulo ineno conecuivo mede 190º. mio ângulo fomdo pel ieie inen do doi ouo ângulo mede: ) 105º ) 100º c) 90º d) 95º e) 85º ) (IT-SP) númeo de digoni de um polígono egul de n ldo, que não pm pelo ceno d cicunfeênci cicunci ee polígono, é ddo po: ) n(n - ) 3) (I) meno ângulo ineno de um polígono conveo mede 139º, e o ouo ângulo fomm com o pimeio um pogeão iméic de ão. eemine o númeo de ldo do polígono. ) n(n - 1) c) n(n - 3) d) n(n - 5) e) n.d.. Jec 57
0) (US-006) onidee um heágono equiângulo (ângulo ineno igui), no qul quo ldo conecuivo medem 0 cm, 13 cm, 15 cm e 3 cm, confome figu egui. lcule o peímeo do heágono. 0 S 180(n - ) i S 180(6 - ) 70º i i 70 / 6 10º ) (IT-SP) númeo de digoni de um polígono egul de n ldo, que não pm pelo ceno d cicunfeênci cicunci ee polígono, é ddo po: ) n(n - ) ) n(n - 1) c) n(n - 3) d) n(n - 5) e) n.d.. 10º 60º 60º 10º 3 0 3 10º 10º figu cim é um plelogmo 0 + 13 3 + 10 + 15 + 13 10 + 8 18 10º 10º 15 13 15 13 60º 13 13 Pe p 0 + 13 + 15 + 3 + 10 + 18 99 cm (ep) nº de digoni de um polígono d n(n - 3) Se o polígono em n ldo, fómul p e d n(n - 3) digonl que p pelo ceno eá endo ecluíd não fómul p e d n(n - 4) Simplificndo, em-e 1) (K-SP) Num qudiláeo conveo, om de doi ângulo ineno conecuivo mede 190º. mio ângulo fomdo pel ieie inen do doi ouo ângulo mede: ) 105º ) 100º c) 90º d) 95º e) 85º + + + 360º + 190º Pono + 360-190 170º + + 170º não + 85º é ângulo eeno + 85º 180-180 - 85 95º mio ângulo é 95º (ep d) 3) (I) meno ângulo ineno de um polígono conveo mede 139º, e o ouo ângulo fomm com o pimeio um pogeão iméic de ão. eemine o númeo de ldo do polígono. Se o meno ângulo ineno mede 139º, enão o mio ângulo eeno mede 180-139 41º ângulo eeno fomm um P (41º, 39º, 37º,... ) om do ângulo eeno de um polígono conveo é 360º. Som do n pimeio emo de um P S n ( 1 + n ). n ómul do emo gel de um P + (n - 1). n 1 41 + (n - 1).(-) 43 - n n S n (41 + 43 - n). n / 360 (41 + 43 - n). n / n - 4n + 360 0 íe n 30 (não convém poi o 30º ângulo eá meno que 0º) n 1 Se ee polígono em 1 ângulo eeno, enão ele em 1 ldo. (ep) d n(n - 4) d n(n - ) (ep ) onfeindo 41 + 39 + 37 + 35 + 33 + 31 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 + 19 360 Jec 57
epo do eecício d ul 05. 01) 340º e 90 digoni 0) 360º e 135 digoni 03) 140º e 40º 04) 135º e 0 digoni 05) 1980º 06) 54 digoni 07) 90 digoni 08) 360º / 7 09) Hepágono e undecágono 10) neágono e pendecágono 11) 60º 1) 75º 13) d 14) 15) d 16) Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 58
epo do eecício complemene d ul 05. 01) ) 700º ) 360º c) 119 0) ) 160º ) 360º c) 44 1) d ) 3) 1 03) 14 ldo e 77 digoni 04) 160º 05) 360º 06) Qudidecágono e dodecágono 07) ) 9 ) 160º c) 140º d) 360º e) 40º f) 7 08) neágono 09) ) 15 ) 340º c) 156º d) 360º e) 4º f) 90 10) Pendecágono e dodecágono 11) 18º 1) 10º 13) ) 360º ) 36º c) 1440º d) 144º e) 108º f) 7º g) 54º h) 7º i) 36º 14) 74º 15) c 16) 17) hepágono 18) 4º e 48º 19) 60º 0) 99 cm Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 59
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln ul 06 Ângulo n cicunfeênci. I) lemeno d cicunfeênci. P - ceno d cicunfeênci - io d cicunfeênci - diâmeo d cicunfeênci - ângulo cenl P - co d cicunfeênci - cod d cicunfeênci II) Poiçõe eliv ene pono e cicunfeênci. - pono eeio - pono d cicunfeênci - pono ineio - ceno d cicunfeênci III) Poiçõe eliv ene e e cicunfeênci. pono de ngênci e ngene e ecne e eeio IV) Popiedde d cicunfeênci. 1) m od cicunfeênci, medid do ângulo cenl é igul à medid do co coepondene. ) m od cicunfeênci, o io é pependicul à e ngene no pono de ngênci. 3) m od cicunfeênci, o io, qundo pependicul à cod, divide e cod o meio. P P V) Ângulo n cicunfeênci. ) Ângulo incio n cicunfeênci. ) Ângulo de egmeno. É o ângulo que em o véice n "linh" d cicunfeênci e o doi ldo ecne e ênci, um ldo ecne e um ldo ngene e É o ângulo que em o véice n "linh" d cicunfe- cicunfeênci. cicunfeênci. Popiedde - ângulo incio vle mede do Popiedde - ângulo de egmeno vle mede ângulo cenl ou mede do co coepondene. do ângulo cenl ou mede do co coepondene. véice - ângulo cenl - ângulo incio Jec 60 véice ecne ngene - ângulo cenl - ângulo de egmeno
IV) onequênci do ângulo incio. 1) Todo iângulo eângulo pode e incio num emicicunfeênci onde hipoenu coincide com o diâmeo. ângulo incio ) m odo iângulo eângulo, medin eliv à hipoenu vle mede de hipoenu. medin eliv à hipoenu 3) Todo o ângulo de um cicunfeênci incio no memo co ão conguene. co de medid hipoenu e diâmeo hipoenu 4) m odo qudiláeo incio num cicunfeênci o ângulo ineno opoo ão uplemene. g q + 180º e g + q 180º 5) Ângulo ecênico de véice ineno. véice + 6) Ângulo ecênico de véice eeno. - véice ecício - 01) N cicunfeênci io, endo o ceno, deemine medid do ângulo ou do co. ) ) c) 118º 41º 46º d) e) f) 39º 6º g) h) i) 6º 104º 87º Jec 61
IV) onequênci do ângulo incio. 1) Todo iângulo eângulo pode e incio num emicicunfeênci onde hipoenu coincide com o diâmeo. ) m odo iângulo eângulo, medin eliv à hipoenu vle mede de hipoenu. 3) Todo o ângulo de um cicunfeênci incio no memo co ão conguene. ângulo incio medin eliv à hipoenu co de medid hipoenu e diâmeo hipoenu 4) m odo qudiláeo incio num cicunfeênci o ângulo ineno opoo ão uplemene. + 180º e g + q 180º 5) Ângulo ecênico de véice ineno. + 6) Ângulo ecênico de véice eeno. - g q véice véice ecício - 01) N cicunfeênci io, endo o ceno, deemine medid do ângulo ou do co. ) ) c) 118º 118/ 59º 41º 46º / 41 8º / 46 9º d) e) f) 39º 6º 39º 180/ 90º + 90 + 6 180 8º g) h) i) 14º 56º 6º 104º 56/ 8º Jec 61 + 104 180 76º 87º + 180 + 87 180 87º
0) N figu io, endo o ceno d cicunfeênci, deemin medid do ângulo ou do co. ) ) c) 3 14º 55º d) e) f) ngene 35º 34º 5º 5º g) h) Tene fe po ouo méodo. i) 88º 37º 37º 56º j) k) l) 87º 14º 33º 118º 34º 34º m) n) o) 165º 146º 54º ngene Jec 6 77º
0) N figu io, endo o ceno d cicunfeênci, deemin medid do ângulo ou do co. ) ) 3 + + 90 180 c) 90/4,5º 14º 14º 56º 56/ 8º d) e) w - ângulo de egmeno w 5º f) + 34 + 5 180 w 94º 35º 35º 55º 18º 35º 5º 34º 180 - w - 34º 35 + + 35 90 0º 6 3 ngene 3 + + 18 180 18º 5º 55º 55 / 110º 110º 5 / 104º 180-76º / 76/ 38º g) + 37 + 37 180 h) Tene fe po ouo méodo. i) 106º 37º 37º / 106/ 53º 106º 37º 74º 106/ 53º 88º 56/ 8º 88/ 44º é ângulo eeno 56º + 7º j) 33/ 16,5º k) 34/ 17º l) 87/ 43,5º 118/ 59º + 16,5 + 43,5 180 + 10º - 87º 33º 118º 34º 4º 14º 34º 14/ 71º 34/ 17º + + 180º 9º m) n) 90-54 36º o) + + 180 108º 146º 108/ 54º + 165 77 360 118 165º / 118/ 59º 146º 54º ngene 14º 14/ 107º Jec 6 77º
03) N cicunfeênci io pode-e fim que: H 70º ) medid do co H e ão igui. ) om do co H e é 180º. c) om do co e é 140º. d) o co é mio que o co. e) om do co e é 0º. 04) (J) d um cicunfeênci de diâmeo, ej P um pono d cicunfeênci diino de e de. Pode-e fim que : ) P P ) P + P conne c) P > P d) (P) + (P) conne e) (P) - (P) conne 05) N figu io, cicunfeênci de ceno ngenci o iângulo no pono e. Sendoe que medid do ângulo ineno é 40º e que medid do co é 75º, deemin medid do ângulo. 06) N figu io, o pono, e ão pono d cicunfeênci de ceno. vlo de + é : ) 4º ) 11º c) 118º d) 59º e) 6º 118º 07) N figu io, du cicunfeênci êm o memo io e ceno no pono e S. pono, P, e S eão n cicunfeênci de ceno e o pono, N, e K eão n cicunfeênci de ceno S. Se o co P mede 86º, enão o ângulo KN, mede : ) 3º ) 1º 30 c) º d) º 30 e) 43º P S 08) do um penágono egul, conói-e um cicunfeênci pelo véice e de l fom que e ejm ngene e cicunfeênci, em e em, epecivmene. eemine medid, em gu, do meno co de cicunfeênci. N K 09) (J) N figu io, e P e P ão ngene à cicunfeênci de ceno. eemine medid do ângulo P endo que o ângulo mede 61º. P 10) (K-SP) N figu egui, o co QP e TQ medem,epecivmene, 170º e 130º. não, o co SN mede: ) 60º ) 70º c) 80º d) 100º e) 110º S P N T Q Jec 63
03) N cicunfeênci io pode-e fim que: H 70º ) medid do co H e ão igui. () ) om do co H e é 180º. () c) om do co e é 140º. () d) o co é mio que o co. () e) om do co e é 0º. (V) 05) N figu io, cicunfeênci de ceno ngenci o iângulo no pono e. Sendoe que medid do ângulo ineno é 40º e que medid do co é 75º, deemin medid do ângulo. 86º P 86/ 43 / 43/ 1,5º (ep ) 75º 07) N figu io, du cicunfeênci êm o memo io e ceno no pono e S. pono, P, e S eão n cicunfeênci de ceno e o pono, N, e K eão n cicunfeênci de ceno S. Se o co P mede 86º, enão o ângulo KN, mede : ) 3º ) 1º 30 c) º d) º 30 e) 43º 70º é um qudiláeo + + + 360º 40º Pono 105º + + 40 180 35º (ep) N + + 70 180 + 110 + 0º ep e) medid do ângulo cenl é igul à medid do co S K 04) (J) d um cicunfeênci de diâmeo, ej P um pono d cicunfeênci diino de e de. Pode-e fim que : ) P P P ) P + P conne c) P > P d) (P) + (P) conne e) (P) - (P) conne 1) Todo iângulo eângulo pode e incio num emicicunfeênci. ) Se o iângulo é eângulo enão ele if o Teoem de Piágo. () (P) + (P) Pono (P) + (P) () conne (ep d) 06) N figu io, o pono, e ão pono d cicunfeênci de ceno. vlo de + é : ) 4º ) 11º c) 118º d) 59º e) 6º 118/ 59º w + w + 59 118 + w 118 + + 59 + 118-59 59º (ep d) 118º 08) do um penágono egul, conói-e um cicunfeênci pelo véice e de l fom que e ejm ngene e cicunfeênci, em e em, epecivmene. eemine medid, em gu, do meno co de cicunfeênci. 108º i e w e 360/n 360/5 7º i 180 - e 180-7 108º é um qudiláeo S i 180(n - ) 180(5 - ) S i 540º 540 +. 90 +. 108 144º 144º (ep) 09) (J) N figu io, e P e P ão ngene à cicunfeênci de ceno. eemine medid do ângulo P endo que o ângulo mede 61º. 61º P. 61 1º P é um qudiláeo + 90 + + 90 360 360-180 - 1 58º (ep) Jec 63 10) (K-SP) N figu egui, o co QP e TQ medem,epecivmene, 170º e 130º. não, o co SN mede: ) 60º ) 70º c) 80º d) 100º e) 110º 360 - QP 360-170 190 / 95º w 180-95 85º k 130/ k 65º S + k + w 180 N k 30º SN/ SN 60º (ep ) w Q T 130º P
H I J K L N P H I J K L N P Q S T U 11) No pendecágono egul io, deemin medid do ângulo gudo fomdo ene digoni N e J. 1) No icoágono egul io, K, N e HN ão digoni. eemine medid do ângulo, e. H H I I J J K K L L 13) No dodecágono egul de ceno io, deemin medid do ângulo,, e. 14) figu io epeen um qudiláeo K incio em um dodecágono egul.... eemin medid do ângulo,, e. 15) figu io epeen um eneágono egul de ceno. Sendo I iei do ângulo IH e P medii do egmeno, deemin medid do ângulo,, e. H I 16) No eneágono egul, deemin medid do ângulo fomdo pel e I e. I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio H I P Jec 64
11) No pendecágono egul io, deemin medid do ângulo gudo fomdo ene digoni N e J. n 15 ldo P 7/ 36º w 96/ 48º 4. 4 96º + w 36 + 48 84º (ep) L K N J I H w 3. 4 7º k 360/15 k 4º 1) No icoágono egul io, K, N e HN ão digoni. eemine medid do ângulo, e. H/ 5. 18/ 45º w HJK/ w 3. 18/ w 7º NS/ 8. 18/ 7º + w 7 + 7 99º + + 180 36º Q P S N T U L K w J m 360/0 m 18º I H 13) No dodecágono egul de ceno io, deemin medid do ângulo,, e. L/ 5. 30/ 150/ 75º. 30 60º /. 30/ 30º HJ/ 3. 30/ 45º I - plique ângulo incio J K I L H m 360/1 m 30º 14) figu io epeen um qudiláeo K incio em um dodecágono egul.... eemin medid do ângulo,, e. / 4. 30/ 60º HK/ 6. 30/ 90º J/ 8. 30/ 10º K/ 6. 30/ 90º I - plique ângulo incio J K I L H m 360/1 m 30º I - plique ângulo incio 15) figu io epeen um eneágono egul de ceno. Sendo I iei do ângulo IH e P medii do egmeno, deemin medid do ângulo,, e. H m 360/9 m 40º I P I/ 7. 40/ 140º 140º. 140 70º IP' 3,5. 40 140º 16) No eneágono egul, deemin medid do ângulo fomdo pel e I e. H I m 360/9 m 40º I - plique ângulo incio /. 40/ 40º I/ 4. 40/ 80º + - 80-40 40º (ep) I - plique ângulo incio Jec 64 I - plique ângulo incio
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln Ângulo n cicunfeênci. ecício complemene d ul 06. 01) N figu io, endo o ceno d cicunfeênci, deemin medid do ângulo ou do co. ) ) c) 86º V 46º V 76º V d) e) f) 136º 88º 9º g) h) i) 94º 10º 70º 3º 68º 87º j) l) m) 33º 106º 38º n) 51º o) p) 196º 56º Jec 65
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln Ângulo n cicunfeênci. ecício complemene d ul 06. 01) N figu io, endo o ceno d cicunfeênci, deemin medid do ângulo ou do co. ) ) c) 86º V 46º V 76º V 86/ 43º 46/ 13º 76 / 15º d) e) f) 136º 88º 9º. 9 58º 136º 88/ 44º / 58/ 9º g) h) i) 94º 10º 94º 70º + 94 + 70 180 16º 3º 93º / 87º / + 3 + 93 180 / 64 18º 68º w 10/ 51º w 68/ w 34º + + w 180º 180-51 - 34 95º j) 114º 33º 66º l) 106º 38/ 19º 106/ 53º m) 38º 114/ 57º + - 53-19 34º 180º 180/ 90º n) 51º o) p) 196º 56º 196/ 98º + 51 + 90 180 39º Jec 65 + 56 180 14º + 180 180-98 8º
0) N figu io, endo o ceno d cicunfeênci, deemin medid do ângulo ou do co. ) ) c) 78º 98º d) e) f) 58º 88º 57º 4º g) h) i) 140º 56º 6º 94º 40º 36º j) l) m) 8º 55º 10º 115º 100º 68º n) o) p) 56º 48º 44º Jec 66
0) N figu io, endo o ceno d cicunfeênci, deemin medid do ângulo ou do co. ) ) c) 78º d) e) f) 114º 57º + 180 3 180 60º 4º 98º + 98 180 + 180 98º 58º 88º + 78 180 10 / 04º + 114 180 66 33º 84º + 84 180 96 48º g) h) i) 58 116º + + 88 360 156º 140º 56º j) l) m) 140º 8º 56/ 8º + 140 + 180 1º. 1 4º 68/ 34º 6º 60º 55º 10º 94º 94/ 47º + 6 47 1º. 1 4º 40/ 0º 36 + 56º. 56 11º 115º 40º 36º. 100 00º. 115 30º 68º 100º 8 34 + 48º. 48 96º + 60 + 55 180 65º + 360 + 430 360 + 70º n) o) p) 56º. 56 11º 11º 44º Jec 66. 44 88º 180-9º / 9/ 46º 48º + + 180 4º + 90 48º 48 / 96º
03) N cicunfeênci de ceno io, é um diâmeo e medid do egmeno é mede d medid de. eemine medid do ângulo, e. 04) N figu io, e P e P ão ngene à cicunfeênci de ceno no pono e. Sendo-e que o ângulo P mede 48º, deemin medid do co. P 05) N figu io,,, e ão pono d cicunfeênci de diâmeo e ceno. eemine medid do ângulo. 06) Sejm P, Q e pono de um cicunfeênci de ceno, i que P e Q eão do memo ldo do diâmeo que p po. Sendo que P 0º e Q 80º, clcule o ângulo PQ. 7º 8º 07) N figu io, é o diâmeo e, e ão pono d cicunfeênci. Sendo-e que o ângulo mede 35º, deemine medid do ângulo. 08) N figu io, 1 cm é um diâmeo d cicunfeênci de ceno. Sendo um pono d cicunfeênci difeene de e de, deemine : ) medid do ângulo. ) o ipo do iângulo. c) o que é o egmeno no iângulo. d) medid do egmeno. Jec 67
03) N cicunfeênci de ceno io, é um diâmeo e medid do egmeno é mede d medid de. eemine medid do ângulo, e. (io) iângulo é equiláeo Pono 60º 90º iângulo é eângulo poque eá incio num emicicunfeênci. + w + 180 w 60º + 10º k k / p p / p + k / + / ( + )/ 10/ 60º p k w 04) N figu io, e P e P ão ngene à cicunfeênci de ceno no pono e. Sendo-e que o ângulo P mede 48º, deemin medid do co. iângulo P é iócele + 48 180 66º + 90º 4º w + 180 w 13º 360 - w 360-13 8º w 48º P 05) N figu io,,, e ão pono d cicunfeênci de diâmeo e ceno. eemine medid do ângulo. 7º 8º 07) N figu io, é o diâmeo e, e ão pono d cicunfeênci. Sendo-e que o ângulo mede 35º, deemine medid do ângulo. k 35º p w 8/ 14º 7 / 36º + - 36-14 º. 35 70º + + w 180 + w 110º k w/ p / k + p w/ + /w ( + w)/ 110/ 55º Jec 67 06) Sejm P, Q e pono de um cicunfeênci de ceno, i que P e Q eão do memo ldo do diâmeo que p po. Sendo que P 0º e Q 80º, clcule o ângulo PQ. Q 0 + 80 100º Q/ 80/ 40º + 100 + 40 60º (ep) 08) N figu io, 1 cm é um diâmeo d cicunfeênci de ceno. Sendo um pono d cicunfeênci difeene de e de, deemine : ) medid do ângulo. ) o ipo do iângulo. c) o que é o egmeno no iângulo. d) medid do egmeno. ) 90º Todo iângulo eângulo pode e incio num emicicunfeênci. ) iângulo eângulo. c) é um medin do iângulo d) (io) 6 cm P 80º 0º
09) figu io epeen um eneágono egul incio em um cicunfeênci de ceno. eemin medid do ângulo gudo fomdo ene digoni e H. I 10) figu io epeen um decágono egul incio em um cicunfeênci de ceno. Sendo J e ieie do ângulo JI e epecivmene, deemin medid do ângulo J. J H I H I - plique ângulo incio 11) figu io epeen um hepágono egul incio num cicunfeênci de ceno. eemin medid do ângulo. I - plique ângulo incio 1) figu io epeen um pendecágono egul incio num cicunfeênci de ceno. eemin o ângulo ouo fomdo ene digoni e I. N P L K J I H I - plique ângulo incio Jec 68 I - plique ângulo incio
09) figu io epeen um eneágono egul incio em um cicunfeênci de ceno. eemin medid do ângulo gudo fomdo ene digoni e H. m 360/9 m 40º I 10) figu io epeen um decágono egul incio em um cicunfeênci de ceno. Sendo J e ieie do ângulo JI e epecivmene, deemin medid do ângulo J. m 360/10 m 36º J H I H /. 40 80/ 40º H/ 40/ 0º J 3. 36 108º (ep) + 40 + 0 60º (ep) 11) figu io epeen um hepágono egul incio num cicunfeênci de ceno. eemin medid do ângulo. m 360º/7 I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio 1) figu io epeen um pendecágono egul incio num cicunfeênci de ceno. eemin o ângulo ouo fomdo ene digoni e I. m 360/15 m 4º L N P /. m/ (. 360/7)/ 360/7 K I/ 5.m/ 5. 4/ 60º J I H 360º/7 (ep) P/ 4. m/ 4. 4/ 48º + 60 + 48 108º (ep) I - plique ângulo incio Jec 68 I - plique ângulo incio
H I J K L N P H I J K L N P Q S T U 13) No pendecágono egul io, deemin medid do ângulo gudo fomdo ene digoni N e J. 14) No icoágono egul io, deemin medid do ângulo, e. H H I I J J K K L L 15) No dodecágono egul de ceno io, deemin medid do ângulo,, e. 16) figu io epeen um qudiláeo IK incio em um dodecágono egul.... eemin medid do ângulo,, e. H 17) figu io epeen um ocógono egul de ceno. Sendo H iei do ângulo H e medii do egmeno, deemin medid do ângulo,, e. H I 18) No eneágono egul, deemin medid do ângulo fomdo pel e e. I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio I - plique ângulo incio Jec 69
13) No pendecágono egul io, deemin medid do ângulo gudo fomdo ene digoni N e J. P medid do co N N é igul 360/15 4º L K J / 48/ 4º JN JLN/ 96/ 48 J K I J L H 7º 4º JN é ãngulo eeno do iângulo J JN 4 + 48 7º (ep) 15) No dodecágono egul de ceno io, deemin medid do ângulo,, e. L/ 5.m/ 5. 30/ 75º H/ 3.m/ 3.30/ 45º HIJ/.m/.30/ 30º 4,m 4. 30 10º I - plique ângulo incio I H 48º m 360/1 m 30º 14) No icoágono egul io, deemin medid do ângulo, e. U m 360/0 T m 18º S / 3.m/ 3. 18/ 7º k Q k J/ P k 7.m/ 7. 18/ w k 63º N H w U/ I w 5.m/ 5. 18/ L K J w 45º k + w 63 + 45 108º + + 180 7 + 108 + 180 45º 16) figu io epeen um qudiláeo IK incio em um dodecágono egul.... eemin medid do ângulo,, e. I/ 7.m/ 7. 30/ 105º HK/ 6.m/ 6. 30/ 90º IL/ 5.m/ 5. 30/ 75º K/ 6.m/ 6. 30/ 90º I - plique ângulo incio J K I L H m 360/1 m 30º I - plique ângulo incio 17) figu io epeen um ocógono egul de ceno. Sendo H iei do ângulo H e medii do egmeno, deemin medid do ângulo,, e. H/ 6.m/ 6. 45/ 135º 135º / 135/ 67,5º,5. m 7,5. 45 11,5º H m 360/8 m 45º 18) No eneágono egul, deemin medid do ângulo fomdo pel e e. m 360/9 m 40º H I - plique ângulo incio I / 3.m/ 3. 40/ 60º / m/ 40/ 0º + - 60-0 40º I - plique ângulo incio Jec 69 I - plique ângulo incio
19) N figu io, o pono,,,, N e P eão n cicunfeênci de ceno. Se o co P mede 160º e o ângulo mede 63º, qul é medid do ângulo? ) 51º ) 43º c) 33º d) 47º P e) 37º N 0) N figu io, o pono,,,, N e P eão n cicunfeênci de ceno. Se o co mede 110º e o ângulo mede 63º, qul é medid do ângulo? ) 6º ) 64º c) 58º d) 63º e) 59º P N 1) N figu io, é o diâmeo d cicunfeênci de ceno. eemin medid do ângulo endo que o ângulo mede 35º. ) (UVST-SP) hipoenu de um iângulo eângulo mede 0 cm e um do ângulo mede 0º. ) Qul medid d medin eliv à hipoenu? ) Qul medid do ângulo fomdo po e medin e pel iei do ângulo eo? 35º 3) No iângulo io,, e ão lu eliv o véice, e. Sendo medid do ângulo 48º e 64º,deemin medid do ângulo ineno do iângulo. efio Jec 70
19) N figu io, o pono,,,, N e P eão n cicunfeênci de ceno. Se o co P mede 160º e o ângulo mede 63º, qul é medid do ângulo? ) 51º ) 43º 160º c) 33º d) 47º 63º P e) 37º 160/ 80º + + 63 180 + 80 + 63 180 180-143 37º (ep e) N 0) N figu io, o pono,,,, N e P eão n cicunfeênci de ceno. Se o co mede 110º e o ângulo mede 63º, qul é medid do ângulo? ) 6º ) 64º c) 58º P 110º d) 63º e) 59º 63º N 1) N figu io, é o diâmeo d cicunfeênci de ceno. eemin medid do ângulo endo que o ângulo mede 35º. / (180 +70)/ 50/ 15º 35º 180º 70º ) (UVST-SP) hipoenu de um iângulo eângulo mede 0 cm e um do ângulo mede 0º. ) Qul medid d medin eliv à hipoenu? ) Qul medid do ângulo fomdo po e medin e pel iei do ângulo eo? 0º 45º 0º 10 cm 10 cm ) m odo iângulo eângulo medin eliv à hipoenu vle mede de hipoenu. Pono 10 cm ) 45 + + 0 90 90-65 5º 3) No iângulo io,, e ão lu eliv o véice, e. Sendo medid do ângulo 48º e 64º,deemin medid do ângulo ineno do iângulo. efio (eolução n págin 7) Jec 70
epo do eecício d ul 06. 01) ) 59º ) 8º c) 9º d) 39º e) 90º f) 8º g) 8º h) 76º i) 87º 0) ) 8º ) º 30' c) 110º d) 0º e) 18º f) 38º g) 53º h) 53º i) 7º j) 10º k) 4º l) 9º m) 107º n) 54º o) 59º 03) e 04) d 05) 35º 06) d 07) 08) 144º 09) 58º 10) 11) 84º 1) 45º, 99º e 36º 13) 75º, 30º, 45º e 60º 14) 60º, 90º, 10º e 90º 15) 140º, 140º, 70º e 140º 16) 40º Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 71
epo do eecício complemmene d ul 06. 01) ) 43º ) 13º c) 15º d) 136º e) 44º f) 9º g) 16º h) 18º i) 95º j) 57º l) 34º m) 90º n) 39º o) 14º p) 8º 0) ) 60º ) 98º c) 04º d) 33º e) 48º f) 156º g) 4º h) 4º i) 11º j) 96º l) 65º m) 70º n) 11º o) 46º p) 48º 03) 90º, 60º e 60º 04) 8º 05) º 06) 60º 07) 55º 08) ) 90º ) iângulo eângulo c) medin d) 6 cm 09) 60º 11) 360º / 7 1) 108º 13) 7º 14) 7º, 108º, 45º 15) 75º, 45º, 30º, 10º 16) 105º, 90º, 75º, 90º 17) 135º, 135º, 67,5º, 11,5º 18) 40º 19) e 0) 1) 15º ) ) 10 cm ) 5º 10) 108º eolução do eecício 3) (efio) qudiláeo é incio num cicunfeênci, poi o o ângulo opoo e ão uplemene. eenhndo-e cicunfeênci pecee-e que o ângulo e ão conguene poi eâo incio no memo co d mem cicunfeênci. nálogmene povm-e o demi ângulo. 6º 6º 64º 84º 5º 44º Jec 7
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln ul 07 Segmeno popocioni. I) Teoem de Tle. m odo feie de e plel, codo po du e nvei, ão ene doi egmeno quique de um nvel é igul à ão ene o egmeno coepondene d ou nvel. c d Teoem de Tle c d II) Teoem d iei inen. m odo iângulo, iei de um ângulo ineno divide inenmene o ldo opoo em doi egmeno que ão popocioni o ldo djcene. c iei Teoem d iei inen c // // ecício. 01) eemine o vlo de n figu io. 0) eemine o vlo de n figu io. // // // // 8 8 5 6 18 4 03) eemine o vlo de n figu io. 04) eemine o vlo de n figu io. 1 10 18 5 4 8 // // // 05) eemine o vlo de n figu io. 06) eemine o vlo de n figu io. 6 10 1 11 7 8 // // // Jec 73
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) eomei pln ul 07 Segmeno popocioni. I) Teoem de Tle. m odo feie de e plel, codo po du e nvei, ão ene doi egmeno quique de um nvel é igul à ão ene o egmeno coepondene d ou nvel. c d Teoem de Tle c d II) Teoem d iei inen. m odo iângulo, iei de um ângulo ineno divide inenmene o ldo opoo em doi egmeno que ão popocioni o ldo djcene. c iei Teoem d iei inen c // // ecício. 01) eemine o vlo de n figu io. 0) eemine o vlo de n figu io. // // Teoem de Tle Teoem de Tle // // 5 8 6 8 5 6 6. 8/5 48/5 (ep) 8 18 4 4. 8/18 3/3 (ep) 8 18 4 03) eemine o vlo de n figu io. 04) eemine o vlo de n figu io. 1 10 18 Teoem de Tle 1 18 10 1. 18/10 Teoem de Tle 8 4 5 8. 4/5 5 4 8 // // 108/5 (ep) 3/5 (ep) // // 05) eemine o vlo de n figu io. 06) eemine o vlo de n figu io. 6 10 // // 1 Teoem de Tle 6 + 10 1 10 (16. 1)/10 96/5 (ep) Teoem de Tle 8 11 7 8. 11/ 7 88/ 7 (ep) 7 11 // 8 Jec 73
07) (PI 76) Tê eeno êm fene p u e p u, como mo figu. divi lei ão pependicule à u. Qul medid de fene p u de cd loe, endo que fene ol p e u é 180 m. u 40 m 30 m 0 m u 08) N figu io, e m, n, p, q, e ão plel ene i e ão cod pel e u e v. Sendo-e que 3, 4, 5, 6, 7 e JL 8, deemine medid de J e de H. H I J L m n p q u v 09) N figu io, e m, n, p, q, e ão plel ene i e ão cod pel e u e v. Sendo-e que 3, 4, 5, 6, 7 e J 15, deemine medid de HL e. H I J m n p q 10) (UNIP) figu egui mo um egmeno dividido em ê pe: cm, 3 cm e 5 cm. egmeno ' mede 13 cm e e ' e ' ão plel '. eemine o compimeno do egmeno ', '' e '' em cenímeo. ' ' L ' u v Jec 74
07) (PI 76) Tê eeno êm fene p u e p u, como mo figu. divi lei ão pependicule à u. Qul medid de fene p u de cd loe, endo que fene ol p e u é 180 m. Teo. de Tle 180 40 90. 40 80 m 180 30 90. 30 60 m 180 0 90. 0 40 m 180 m u 40 m 30 m 0 m u 40 + 30 + 0 90 m 08) N figu io, e m, n, p, q, e ão plel ene i e ão cod pel e u e v. Sendo-e que 3, 4, 5, 6, 7 e JL 8, deemine medid de J e de H. Teo. de Tle J JL u 7 3 4 5 6 H JL H I J 8 L m n p q v J. JL / J (3 + 4 + 5). 8 / 6 J 16 H. JL / H (4 + 5 + 6 + 7). 8 / 6 H 88/3 09) N figu io, e m, n, p, q, e ão plel ene i e ão cod pel e u e v. Sendo-e que 3, 4, 5, 6, 7 e J 15, deemine medid de HL e. Teo. de Tle HL J HL J. / u 3 4 5 HL 15. (4 + 5 + 6) / (6 + 7) HL 5 / 13 7 6 H Teo. de Tle J I J 15 L J. / m 15(3 + 4 + 5 + 6 + 7)/13 375 / 13 n p q v 10) (UNIP) figu egui mo um egmeno dividido em ê pe: cm, 3 cm e 5 cm. egmeno ' mede 13 cm e e ' e ' ão plel '. eemine o compimeno do egmeno ', '' e '' em cenímeo. cm 3 cm 5 cm Teo. de Tle 13 10 + 3 + 5 10 cm '. 13 / 10 13/5 cm 13 3 10 3. 13 / 10 39/10 cm 13 5 10 5. 13 / 10 13/ cm 13 cm ' ' Jec 74
11) No iângulo io, endo iei do ângulo ineno do véice, deemine medid do egmeno. 1 cm 6 cm 9 cm 1) No iângulo io, endo iei do ângulo ineno do véice, deemine medid do egmeno. 16 cm 0 cm 10 cm 13) N figu, é iei inen do ângulo. lcule medid do egmeno. 14) eemin o vlo de endo-e que n figu io é iei inen do ângulo. 30 cm 16 cm 3 + 1 3-3 14 cm 1 cm 9 cm 15) quddo d figu io em ldo 4 cm. eemine medid do egmeno. 3 16) N figu io, o pono é o inceno do iângulo. Sendo 3 cm, 5 cm e 10 cm, deemine o vlo d ão /. 10 cm 3 cm 5 cm 17) N figu io, endo iei do ângulo, deemine em função de, c e d. d c 18) do um iângulo de ldo c, e, endo c < <. Se iei do ângulo divide o ldo em doi egmeno, qul é medid do meno dee egmeno? ). c + c ). c + c). + c d). c + c e). - c Jec 75
11) No iângulo io, endo iei do ângulo ineno do véice, deemine medid do egmeno. Teoem d iei inen 6 1 9 1. 9 / 6 18 cm (ep) 1 cm 6 cm 9 cm 13) N figu, é iei inen do ângulo. lcule medid do egmeno. Teoem d iei inen 14 16 30 16. 14 / 30 11 / 15 cm (ep) 30 cm 14 cm 16 cm 1) No iângulo io, endo iei do ângulo ineno do véice, deemine medid do egmeno. Teoem d iei inen 16 16 cm 0 cm 10 cm 14) eemin o vlo de endo-e que n figu io é iei inen do ângulo. Teoem d iei inen 0-10 16(0 - ) 10 10 30-16 6 30 1 3 + 1 9 3-3 9(3 + 1) 1(3-3) 7 + 9 36-36 45 9 160 / 13 cm (ep) 3 + 1 0-3 - 3 1 cm 9 cm 5 cm (ep) 15) quddo d figu io em ldo 4 cm. eemine medid do egmeno. 4 3 d 4 4 - Teoem d iei inen 4 4-4. 4 4(4 - ) 4 - + 4 ( + 1) 4 4 4( - 1) cm + 1 (ep) 16) N figu io, o pono é o inceno do iângulo. Sendo 3 cm, 5 cm e 10 cm, deemine o vlo d ão /. Inceno - pono de encono d ieie. 10 cm 3 cm 5 cm Teoem d iei inen 3 5 30 5 10 6 cm mém é iei 6 3 3 6 1 (ep) 17) N figu io, endo iei do ângulo, deemine em função de, c e d. Teoem d iei inen c d. c. d. d / c (ep) d c 18) do um iângulo de ldo c, e, endo c < <. Se iei do ângulo divide o ldo em doi egmeno, qul é medid do meno dee egmeno? ). c Teoem d iei + c inen ). c + c). + c d). c + c e). - c c - c -.c - c.. + c..c ( + c).c.c / ( + c) (ep d) Jec 75
19) (uve-sp) Um iângulo em ldo 5, 4 e. Sejm e N o pono de i que é iei eliv o ângulo e N é lu eliv o ldo. eemine o compimeno de N. 0) N figu io, é um iângulo eângulo e o egmeno é iei inen do ângulo. eemine medid de endo que 5 cm e que 7 cm. 1) N figu io, o iângulo é eângulo em ; é medin eliv à hipoenu e é iei do ângulo. eemin medid do egmeno. ) (PI-SP) peímeo de um iângulo é 100 m. iei do ângulo ineno divide o ldo opoo em doi egmeno de 16 m e 4 m. eemine medid do ldo dee iângulo. 5 cm 8 cm 6 cm Jec 76
19) (uve-sp) Um iângulo em ldo 5, 4 e. Sejm e N o pono de i que é iei eliv o ângulo e N é lu eliv o ldo. eemine o compimeno de N. 4 0) N figu io, é um iângulo eângulo e o egmeno é iei inen do ângulo. eemine medid de endo que 5 cm e que 7 cm. Piágo 5 7 + w 7 5 cm N 5 Teoem d iei 4 inen 5-5 - 4 4 10-5/3 w 65-49 576 w 4 Teoem d iei inen 7 4-5 5 168-7 1/4 cm w 4 - N h 4 5 - Piágo + h + h 4 4 (5 - ) + h Piágo 7 + (1/4) 49 + 441/16 1 5/16 35/4 cm (ep) 16 5-10 + + h 16 5-10 + 4 10 13 13/10 N - 5/3-13/10 5030-39/30 11/30 (ep) 1) N figu io, o iângulo é eângulo em ; é medin eliv à hipoenu e é iei do ângulo. eemin medid do egmeno. ) (PI-SP) peímeo de um iângulo é 100 m. iei do ângulo ineno divide o ldo opoo em doi egmeno de 16 m e 4 m. eemine medid do ldo dee iângulo. 6 cm 5 cm 8 cm 60 - Piágo 6 + 8 100 10 cm Pono, 5 cm Teoem d iei inen 6 8 60-6 14 60 30/7 cm 5 cm 30/7 cm 10-8 10-16 4 40 m + + 100 Se 16 + 4 40, enão + 100-40 60 m Teoem d iei inen 16 4 60-4 960-16 40 960 4 m 4 m 60-60 - 4 36 m 40 m (ep) - 5-30/7 35/7-30/7 5/7 cm (ep) Jec 76
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) 01) N figu io, endo // // c //d, deemin e. 5 8 10 7 c d eomei pln Teoem de Tle e Teoem d iei inen. ecício complemene d ul 07. 0) N figu io, endo // // c //d, deemin e. 7 4 5 4 c d 03) N figu io, deemine em função de. // // 3 04) N figu io, endo + 9, deemin o vlo de e de. // // 3 05) N figu io, deemin, e. 06) N figu io, deemine o vlo de. 3 7 9 cm 7 cm 6 cm 11 9 u v // // // u // v 07) N figu io, deemine o vlo de em função de, e c. // 08) Num iângulo, o ldo mede 3 cm e o ldo, 36 cm. Po um pono iudo oe, 10 cm do véice, çmo plel o ldo, qul divide em doi egmeno N e N. eemine medid de N. c Jec 77
udo oe eomei elido pelo pof. Jec (Luc cvio de Sou) (São João d o Vi - SP) 01) N figu io, endo // // c //d, deemin e. 5 Teoem de Tle 5 8 10 5. 10 / 8 5 / 4 8 10 7 7. 8 / 10 8 / 5 8 10 7 c d eomei pln Teoem de Tle e Teoem d iei inen. ecício complemene d ul 07. 0) N figu io, endo // // c //d, deemin e. Teoem de Tle 7 5 4 7. 4 / 5 8 / 5 5 7 4 5. 4 / 7 0 / 7 7 4 5 4 c d 03) N figu io, deemine em função de. 3 // // Teoem de Tle 3 04) N figu io, endo + 9, deemin o vlo de e de. Teoem de Tle // // + 3 + 5 9 18 / 5 3 1 3 3 (ep) 3 5 9 7 / 5 05) N figu io, deemin, e. 06) N figu io, deemine o vlo de. u v 3 11 9 // // // u // v 7 Teoem de Tle 9 7 11 9. 7 / 11 63 / 11 9 3 11 9. 3 / 11 7 / 11 11 9 11. / 9 / 9 Teoem de Tle 9 7 6 9. 7 / 6 63 / 6 1 / 9 cm 7 cm 6 cm 07) N figu io, deemine o vlo de em função de, e c. Teoem de Tle c.. c. c / // // c 08) Num iângulo, o ldo mede 3 cm e o ldo, 36 cm. Po um pono iudo oe, 10 cm do véice, çmo plel o ldo, qul divide em doi egmeno N e N. eemine medid de N. Teoem de Tle 10 36-360 - 10 3 360 360 / 3 45 / 4 cm 36 - N 10 Jec 77
09) N figu io, e, e ão plel ene i. Se + 1, enão o vlo que mi e poim de -, é : ) 1,03 ) 1,33 c) 1,57 d) 1,75 e),00 4 5 10) N figu io, e,, c, d, e e f ão plel ene i. eemine o vlo d om d medid do egmeno,, e. f e c d 6 5 3 4 3 11) N figu io, e m, n, p, q, e ão plel ene i e ão cod pel e u e v. Sendo-e que 3, 4, 5, 6, 7 e L 8, qul é medid de HJ? ) 83 / 9 ) 81 / 7 c) 93 / 9 d) 7 / 7 e) 89 / 8 H I J m n p q 1) N figu io, e m, n, p, q, e ão plel ene i e ão cod pel e u e v. Sendo-e que 3, 4, 5, 6, 7 e HJ 10, qul é medid de H? ) 198 / 7 ) 3 / 9 c) 0 / 9 d) 41 / 10 e) 41 / 11 H I J m n p q L L u v u v 13) N figu io, é iei do ângulo. eemine medid do egmeno e o vlo do peímeo do iângulo. 14) N figu io, é iei do ângulo. eemine medid do egmeno e. 18 cm 1 cm 1 cm 16 cm 8 cm 0 cm Jec 78
09) N figu io, e, e ão plel ene i. Se + 1, enão o vlo que mi e poim de -, é : ) 1,03 ) 1,33 c) 1,57 d) 1,75 e),00 Teoem de Tle + 1 5 5 + 4 5 9 1. 5 / 9 0 / 3-0/3-16/3 4/3 1,33 (ep ) 4 4 + 5 + 4 4 1 9 1. 4 / 9 16 / 3 5 10) N figu io, e,, c, d, e e f ão plel ene i. eemine o vlo d om d medid do egmeno,, e. f e c d 6 5 3 4 Teoem de Tle 3 3 + 4 + 5 + 6 + + + 3 18 + + + + + + 54/ 7 (ep) 3 11) N figu io, e m, n, p, q, e ão plel ene i e ão cod pel e u e v. Sendo-e que 3, 4, 5, 6, 7 e L 8, qul é medid de HJ? ) 83 / 9 ) 81 / 7 c) 93 / 9 d) 7 / 7 e) 89 / 8 Teoem de Tle HJ L 4 + 5 HJ 7 8 HJ 8. 9 / 7 u 3 4 5 6 7 8 H I J L m n p q v 1) N figu io, e m, n, p, q, e ão plel ene i e ão cod pel e u e v. Sendo-e que 3, 4, 5, 6, 7 e HJ 10, qul é medid de H? ) 198 / 7 ) 3 / 9 c) 0 / 9 d) 41 / 10 e) 41 / 11 Teoem de Tle 9 HJ H 10 H H. 10 / 9 H 0 / 9 (ep c) u 7 6 3 4 5 H I J L m n p q v HJ 7 / 7 (ep d) 13) N figu io, é iei do ângulo. eemine medid do egmeno e o vlo do peímeo do iângulo. Teoem d iei inen 18 cm 8 cm 1 cm 14) N figu io, é iei do ângulo. eemine medid do egmeno e. Teoem d iei inen 1 0-16 1 cm 16 cm 18 8 1 8. 18 / 1 1 cm Pe p 1 + 8 + 1 + 18 50 cm (ep) 16 40-1 8 40 60 / 7 cm 60 / 7 cm 0-60 / 7 80 / 7 cm 0 cm 0 - Jec 78
15) Num iângulo, é iei do ângulo ineno. Sendo que 7 cm, 4 cm e 15 cm, deemine medid do ldo. 16) eve figu io. e codo com e figu, qul d elçõe io é veddei. ).d / c ).c / d c) c.d / d) c / (.d) c e).c.d d 17) No iângulo io, é iei do ângulo, 18 cm e 15 cm. eemine ão ene medid do egmeno e. 18) (J) No iângulo io, 1, 8 e 10. eemin medid de, endo que é plelo e é iei do ângulo ineno do véice. 19) (J) N figu io, deemin,, w e k em função de, e c. 0) (J) N figu io, 15º e 4. eemine ão ene e. 15º 15º 15º k w c Jec 79
15) Num iângulo, é iei do ângulo ineno. Sendo que 7 cm, 4 cm e 15 cm, deemine medid do ldo. Teoem d iei inen 4 7 15 4. 15 / 7 60 / 7 cm (ep) 4 7 15 cm 16) eve figu io. e codo com e figu, qul d elçõe io é veddei. ).d / c ).c / d c) c.d / d) c / (.d) c e).c.d Teoem d iei inen.c.d c d d.d / c (ep ) 17) No iângulo io, é iei do ângulo, 18 cm e 15 cm. eemine ão ene medid do egmeno e. Teoem d iei inen 18 15 18 cm 18 15 6 5 (ep) 15 18) (J) No iângulo io, 1, 8 e 10. eemin medid de, endo que é plelo e é iei do ângulo ineno do véice. Teoem d iei inen 1 8-10 10 96-1 96 48 / 11 Teoem de Tle 8 1 1 / 8 3 / 3. 48 11 7 11 (ep) 1 10 8-8 19) (J) N figu io, deemin,, w e k em função de, e c. c g 30º w + 3 w + c 3 3 3w + 3c w + c w 3-3c 3 Teoem d iei inen w k w k c k.w c c. 3-3c 3 k ( 3-3c) 3.c k w 15º 15º 15º c 0) (J) N figu io, 15º e 4. eemine ão ene e. co 30º 3 3 c hip 4 4 Teoem d iei inen 4 4 3 4 3 (ep) 4 Jec 79
1) (J) N figu io, e,, c, d e e ão plel ene i. eemine o vlo d epeão. +. c d 6 5 9 7 ) (J) No iângulo io, 6, 9 e 8. Sendo que é o pono de encono d ê ieie do ângulo ineno do iângulo, deemine ão ene e T. T S 10 11 e 3) (J) No iângulo io, 6, 9 e 8. Sendo que é o inceno do iângulo e que V é o pono onde cicunfeênci de ceno em ngenci o ldo, deemine diânci V. 4) (J) eemine medid de um digonl de um penágono egul de ldo K. K T S d V Jec 80
1) (J) N figu io, e,, c, d e e ão plel ene i. eemine o vlo d epeão. +. c d e 10 6 5 9 11 7 ) (J) No iângulo io, 6, 9 e 8. Sendo que é o pono de encono d ê ieie do ângulo ineno do iângulo, deemine ão ene e T. Teoem d iei inen (No iângulo ) 9 6-8 8 54-9 17 54 54/17 (No iângulo T) T 8 S 9 8 - Teoem de Tle 10 9 11 5 10 11 90/11 55/10 11/ T 9 9 T 9 T 54 17 17 6 (ep) 7 9 7/9 77/18. + 90. 11 11 + 77 18 887 18 (ep) 3) (J) No iângulo io, 6, 9 e 8. Sendo que é o inceno do iângulo e que V é o pono onde cicunfeênci de ceno em ngenci o ldo, deemine diânci V. Teo. d iei inen / 8 - / / 6 (8 - ) / 9 T S 4) (J) eemine medid de um digonl de um penágono egul de ldo K. 36º 36º 36º 108º d d e 360/5 7º K d - k 36º V 8 - k 7º k Teo. do pono eeio (6 - ) + (8 - ) 9 5 5/ Pono V 5/ V - V V 16/5-5/ V 3/10-5/10 V 7/10 (ep) 6 - T 6 - S V 8-8 - 36º 36º 36º k 7º 36º No iângulo, é um iei. Pelo Teoem d iei inen, em-e k d d - k k Pono k d - kd gnindo, em-e d - kd - k 0 eolvendo equção do º gu em d, em-e d - (-k) + - (-k) - 4. 1. (-k ). 1 Jec 80 k + d - k 5 k( 1 + 5 ) (ep)
epo do eecício d ul 07. 01) 48 / 5 0) 3 / 3 03) 108 / 5 04) 3 / 5 05) 96 / 5 06) 88 / 7 07) 80 m, 60 m, e 40 m 08) 16 e 88 / 3 09) 5 / 13 e 375 / 13 10) 13 / 5, 39 / 10 e 13 / 11) 18 cm 1) (160 / 13) cm 13) (11 / 15) cm 14) 5 cm 15) 4( - 1) cm 16) 1 / 17).d / c 18) d 19) 11 / 30 0) (35 / 4) cm 1) (5 / 7) cm ) 4 cm, 40 cm e 36 cm Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 81
epo do eecício complemene d ul 07. 01) 5 / 4 e 8 / 5 0) 8 / 5 e 0 / 7 03) 3 04) 18 / 5 e 7 / 5 05) 63 / 11, 7 / 11 e / 9 06) (1 / ) cm 07).c / 08) (45 / 4) cm 09) 10) 7 11) d 1) c 13) 1 cm e 50 cm 14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm 15) (60 / 7) cm 16) 17) 6 / 5 18) 7 / 11 19) c,, w k 0) 3 / ( 3-3c) 3c 3-3c 3 1) 887 / 18 ) 17 / 6 3) 7 / 10 4) K(1 + 5 ) / Impone p mim. Se você, eolvendo e li, decoi lgum epo ed, po fvo, mnde um mengem epecificndo qul epo ed p o e-mil jecjec@uol.com. Somene im, podeei coigi evenui eo. igdo. Jec Poiid epodução dee meil em uoição epe do uo Jec 8
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