Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br
Agenda do Dia Aula 15 (21/10/15) Sistemas Lineares Métodos Diretos: Regra de Cramer Método da Eliminação de Gauss (ou triangulação)
Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Seja um sistema linear com número de equações igual ao número de incógnitas (um sistema n x n), sendo: D o determinante da matriz A, e D x1, D x2, D x3,..., D xn os determinantes das matrizes obtidas trocando em A, respectivamente, a coluna dos coeficientes de x 1, x 2, x 3,..., x n pela coluna de termos independentes
Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer O sistema S será compatível e terá solução única se, e somente se, D 0. Neste caso, a única solução de S é dada por: x 1 = D x 1 D, x 2= D x 2 D, x 3= D x 3 D,..., x n= D x n D
Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Exemplo: Resolva o sistema abaixo pela Regra de Cramer: { x 1+x 2+x 3=1 2x 1 x 2 +x 3 =0 x 1 +2x 2 x 3 =0
Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer D x1 = Exemplo: Resolva o sistema abaixo pela Regra de Cramer: { x 1+x 2+x 3=1 2x 1 x 2 +x 3 =0 x 1 +2x 2 x 3 =0 D= 1 1 1 2 1 1 1 2 1 =7 Determinantes: 1 1 1 0 1 1 0 2 1 = 1 D x 2 = 1 1 1 2 0 1 1 0 1 =3 D x 3 = 1 1 1 2 1 0 =5 1 2 0
Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Exemplo: Resolva o sistema abaixo pela Regra de Cramer: { x 1+x 2+x 3=1 2x 1 x 2 +x 3 =0 x 1 +2x 2 x 3 =0 Então, x 1 = D x 1 D = 1 7 x 2 = D x 2 D = 3 7 E a solução do sistema é: x= ( 1 7, x 3 = D x 3 D =5 7 3 5 ) T 7, 7
Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Considerações finais: A aplicação da Regra de Cramer exige o cálculo de n+1 determinantes (det A e det A i, 1 i n) Para n = 20, o número total de operações efetuadas será 21 * 20! * 19 multiplicações mais um número semelhante de adições
Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Assim, um computador que efetue cerca de 100 milhões de multiplicações pode segundo, levaria 3 * 10⁵ anos para efetuar as operações necessárias Com isso, a Regra de Cramer é inviável em função do tempo de computação para sistemas muito grandes
O método da eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num outro sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes sendo triangular superior, pois estes são de resolução imediata. Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução O determinante de sistemas lineares equivalentes são iguais
Com (n 1) passos, o sistema AX = B é transformado em um sistema triangular equivalente: UX = C, o qual se resolve facilmente por substituições
Vamos calcular a solução de AX = B em três etapas: Etapa 1: Matriz completa Consiste em escrever a matriz completa ou aumentada do sistema linear original a12 a13... a1n b1 a 21 a 22 a 23... a 2n b 2 M=(a11 a 31 a 32 a 33... a 3n b 3... a n1 a n2 a n3... a nn b n)
Vamos calcular a solução de AX = B em três etapas: Etapa 2: Triangulação Consistem em transformar a matriz M numa matriz triangular superior, mediante uma sequência de operações elementares nas linhas da matriz
Vamos calcular a solução de AX = B em três etapas: Etapa 3: Retro-substituição x 1, x 2,..., x n Consiste no cálculo dos componentes, solução de AX = B, a partir da solução do último componente ( x n ), e então substituímos regressivamente nas equações anteriores
Teorema: Seja AX = B um sistema linear. Aplicando sobre as equações desse sistema uma sequência de operações elementares escolhidas dentre: Trocar a ordem de duas equações do sistema Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação obteremos um novo sistema UX = C e os sistemas AX = B e UX = C são equivalentes
Resolução de sistemas triangulares: Seja o sistema linear AX = B, onde A: matriz n x n, triangular superior, com elementos da diagonal diferente de zero. Escrevendo as equações deste sistema, temos: {a11 x1+a12 x2+ a13 x3 +...+a1n xn=b1 a 22 x 2 +a 23 x 3 +...+a 2n x n =b 2 a 33 x 3 +...+a 3n x n =b 3... a nn x n =b n
Da última equação temos: x n = b n a nn x n 1 pode então ser obtido da penúltima equação: x n 1 = b n 1 a n 1,n x n a n 1, n 1
E assim sucessivamente obtém-se x n 2, x n 3,..., x 3, x 2, e finalmente x₁: x 1 = b 1 a 12 x 2 a 13 x 3... a 1n x n a 11
Classificação do sistema triangular: Seja U um sistema triangular superior escalonado de m equações e n incógnitas, teremos as seguintes possibilidades: i) m = n sistema compatível e determinado ii) m < n sistema compatível e indeterminado
Classificação do sistema triangular: Se durante o escalonamento sugir equações do tipo: 0x 1 +0x 2 +0x 3 +...+0x n =b m, então: b m i) Se = 0, então eliminaremos a equação e continuamos o escalonamento b m ii) Se 0, então conclui-se que o sistema é incompatível
Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss: ( x1+2x2+x3=3 2x 1 +x 2 x 3 =0 3x 1 x 2 x 3 = 2) 1ª etapa: Matriz completa: ( 1 2 1 3 2 1 1 0 3 1 1 2)
Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss: 2ª etapa: Triangulação Iremos nos referir as equações como: E₁ (primeira equação), E₂ (segunda equação), e assim por diante E 3 E 3 3 E 1 ( 1 2 1 3 0 3 3 6 E 2 E 2 2 E 1 0 7 4 11) E 3 E 3 7 3 E 1 ( 1 2 1 3 ) 0 3 3 6 0 0 3 3
Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss: 3ª etapa: Retro-substituição 3x 3 =3 x 3 =1 Da terceira linha: Da segunda linha, substituindo x₃: 3x 2 3(1)= 6 x 2 =1 Da primeira linha, substituindo x₂ e x₃: x 1 +2(1)+1(1)=3 x 1 =0 Solução: x :(0,1,1) T
Estratégias de pivoteamento O algoritmo para o método da eliminição de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores: m ik = a ik,i=k+1,...,n e k=1,2,...,n 1 a kk a cada etapa k do processo. Sendo o coeficiente chamado de pivô a kk O que acontece se o pivô for nulo? E se o pivô for próximo de zero?
Estratégias de pivoteamento Estes dois casos merecem atenção especial pois é impossível trabalhar com um pivô nulo. E trabalhar com um pivô próximo de zero pode resultar em resultados imprecisos. Isto porque em qualquer calculadora ou computador os cálculos são efetuados com precisão finita, e pivôs próximos de zero dão origem a multiplicadores bem maiores que a unidade que, por sua vez, origina uma ampliação dos erros de arredondamento
Estratégias de pivoteamento Para se contornar estes problemas, deve-se adotar uma estratégia de pivoteamento, ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal Esta estratégia consiste em:
Estratégias de pivoteamento i) no início da etapa k da fase de escolonamento, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes: a ik,i=k, k+1,2,...,n ii) trocar as linhas k e i se for necessário
Exemplo do livro: resolvendo sem a estratégia de pivoteamento e com a estratégia de pivoteamento para uma máquina com aritmética de três dígitos: { 0,0002 x 1 +2x 2 =5 2x 1 +2x 2 =6 Sem pivoteamento, resposta Com pivoteamento, resposta (0, 2.5) T (0.5, 0.25 10 1 ) T Erros podem acontecer durante os processos de cálculos