Matemática B Etensivo v. 8 Eercícios y = Eio real = a = a = C = A + B ( = ( + B B = a y b = D C y = y = 6 9 Daí, a = 6 e b = 9 c = a + b c = 9 + 6 c = c = c = Portanto, a distância focal é dada por: c =. =. y = ( y = Temos que a = e b =, então c = a + b c = + c = 8 c = 8 = Portanto, o foco é dado por: F = (c, = (, C F = ( c, = (, Definição da hipérbole. ( ( y + 7 = 6 8 ( ( y y = a b Temos, C(, y = (, 7 Eio real Distância focal a = c = 6 a = 6 c = 8 Segue, c = a + b 8 = 6 + b 6 = 6 + b 6 6 = b 8 = b Portanto, a equação da hipérbole é: ( ( y+ 7 =. 6 8 6 9 y 6 = ; e = 7 centro Note que C = (,. Também, c = e a =. Então, da equação c = b + a temos = b + b =. Assim, a equação dessa hipérbole fica: y = y = 9 6 A ecentricidade é e = c a =. y = 9 ( 9 y = 9 Logo, a = e b =. Segue, c = a + b c = 9 + c = c = Matemática B
Portanto, Eio real AA = a =. = 6 Eio imaginário B B = b =. = Focos F (, e F (,. 8 ( ( + = Como o eio real mede, temos que a = a =. Como o eio imaginário mede, temos que b = b =. Como a hipérbole é paralela ao eio e o centro é c = (,, temos: ( ( y + = ( ( y + = 9 Centro: (, Vértices: A (, e A (, Focos: F (, +. F (, y + y = y + y ( + = (y + (( + = ( y + ( + = a = b = c = a + b = + c = C = (, A = (, A = (, A = (, + A = (, F = (, F = (, + Vértices: A (, e A (, ; eq: y 9 7 = Como o eio real mede 6, temos que a = 6 a = Dos focos, temos c = e também c = (,. Assim, temos: c = a + b = + b b = 7 b = 7. Com isso, a equação da hipérbole fica: y 9 7 =. Por outro lado, A = (, e A = (,. a = 8, b = 6 e c = 9 6y = y = 6 9 a = b = e assim, c = + = c = Logo, o eio real mede. a =. = 8 e o eio imaginário mede. b =. = 6. A distância focal mede c =. =. ( ( y = E Como a =, a =. Como c = 6, a =. Assim, como c = a + b, = + b b = Por fim, como o eio real é paralelo ao eio e seu centro é (,, temos que a equação da hipérbole é: ( ( y =. Eio real a = 8 a = Eio imaginário b = 6 b = Temos: c = a + b c = + c = 6 + 9 c = c = Logo, a distância focal é: c =. =. a + y 9 = b ( + y = 6 9 6y = y = 6 9 a =, b = e c = (por Pitágoras a Os focos da hipérbole são (, e (,. Então, o eio maior da elipse é o segmento do ponto (, até o ponto (, e, com isso, a e =. da elipse Matemática B
Por outro lado, temos que: e Elipse =, ou seja, e H e E = ah = = = e c H H ch. a H Mas, e E = c = c E ae c E = C =. E E (na elipse: b = a c = = 9 b = a equação da elipse fica: + y 9 =. b O vértice de coordenadas positivas no eio real da hipérbole é o ponto (,. O eio menor da elipse encontrada mede. b =. = 6 e assim a equação da circunferência fica: ( + (y = 6 ( + y = 6. 9 y 6 8y + = 9 6 y 8y + = 9( (y + 8y + = 9[( ] [(y + 6] + = 9( ² 6 (y + ² + 6 + = 9( (y + = 9 ( ( y + = 9 a = b = c = a + b c = + 9 c = Logo, a distância focal é. c =.. 6 Focos: F 8, e F, ; Vértices: 7, e,. 9 6y + 8 + 6y 7 = 9 + 8 6y + 6y 7 = 9( + 6(y y 7 = 9[( + ] 6[(y ] 7 = 9( + 9 6(y + 6 7 = 9( + 6(y = 6 ( + ( y = 6 9 b = a = c = a + b c = 6 9 + c = 9 c = Assim: F = (, F = 8, F = ( +, F =, A = (, A = 7, A = ( +, A =, 7 9y 6 y + = 9y y 6 + = 9(y 6y 6( = 9[(y 8 6] 6[( 7 9] = 9(y 8 76 6( 7 + 78 = 9(y 8 6( 7 = ( y 8 ( 7 = 6 9 a = b = c = a + b = 6 + 9 = c = e assim a distância focal é. c =. =. 8 Hipérbole Elementos: centro C = (; ; vértices V = (8; e V = ( ; 6y 7y 86 = 6y 7y 86 = ( 6 (y + y 86 = [( ] 6 [(y + ] 86 = ( 6 (y + + 6 86 = ( 6 (y + = 9 ( 9 ( ( y + = 6 Portanto, a equação acima se trata de uma hipérbole em centro C(, e vértices A ( + 6, = A (8, e A ( 6, = A (,. Matemática B
9 y = Como a hipérbole é equilátera, temos que a = b. Pelos focos, temos que c = 8 e, com isso, tem-se que: c = a + b a + a = a c = a 8 = a a = a =. Portanto, b =. Ainda pelos focos, tiramos que o eio real é paralelo ao eio e o centro é C = (,. Logo, a equação da hipérbole é: y =. y = 6 6 Temos que a = b, pois a hipérbole é equilátera. Como o eio real tem medida igual a 8, temos que a = 8 a =. Logo, b =. Como os focos estão no eio das ordenadas, temos que o eio real é paralelo ao eio. Assim, a equação da hipérbole fica: y =. 6 6 ( ( y + = Daí, a =, b = e C(,. Segue: c = a + b c = + c = 9 c = Focos: F ( +, = F (, F (, = F (, Assíntotas: r : y y = b ( a r : y y = b ( a Logo: r : y ( = ( r : (y + = ( r : y ( = ( r : (y + = ( e = Pelas equações das assíntonas temos que: a =. k, com k R, k ; b =. k, com k R, k. Assim, temos: c = a + b c = (k + (. k c = k + k = k c = k. Logo, e = c a = k k =. y 8 = V(, F(, Temos que p =. Daí: (y y = p( (y =. ( y = 8 y 8 = C Os focos são F (, = (, e F ( +, = (,. r : (y + = ( r : (y + = (. y 8y = y 8y = ( (y + y = [( ] [(y + ] = ( (y + + = ( (y + = ( y = y = = = = Logo: ' = ou '' = Portanto, o número de pontos de intersecção das duas parábolas são dois. Matemática B
C y= i ( = y ( ii 8 C y + y = + + = + = Substituindo (ii em (i, obtemos: = ( = = ( = = ou = = = Para =. y =. (. + = Logo, (, y = (,. Coeficiente angular: m s = Portanto, a equação da reta s é: y y = m s ( = Logo, as parábolas se encontram eatamente em dois pontos. y = ( y = y + = y + = 6 (, e (, 9 B y+ = y= + y = + y= + Fazendo ( = ( temos: + = + = = ou = Assim: Se =, então y =. Se =, então y =. ( ( Intersecção das parábolas. y= i ( ( y= ( ( ii Fazendo (i = (ii, temos: ( = ( = Logo, os pontos são (, e (,. 7 D + y= y i = ( y= 8 y= 8 ( ii Fazendo (i = (ii, obtemos: = 8 + 8 = Resolvendo a equação acima, teremos: = + e = Como y =, temos y = e y = +. Portanto: y + y = + + = = = (absurdo = = Portanto, o ponto de intersecção das parábolas é: Para = : y = ( y = ( y = y = Equação da reta r é dada por: y =. y = + Da elipse + 6y = 9, temos: y + = a = 6 e b = 6 = = (absurdo Os etremos do eio maior dessa elipse são A = ( 6, e A = (6,. Matemática B
Logo, a parábola de equação a + b + c = tem raízes iguais a 6 e 6 e passa pelo ponto (,. Então, podemos afirmar que a concavidade dessa parábola é para baio (a < e, como o vértice dela é (,, temos que c =. Então, temos que: a + b + c = ( 6( + 6 a + b + c = ( 6 a + b + c = + 6 ( * Note que para que c seja igual a em ( temos de * dividir toda a sentença da direita por, ficando assim com: a + b + c = +, ou seja, a = b = c = e a equação da parábola é: + = y y + 8 = y F p Segundo o gráfico, temos que p = e V(,. Equação da parábola. ( = p. (y y ( =.. (y ( = ( y + = y y + 8 = d m = inclinação A reta procurada tem equação do tipo y = m(, pois passa por (,. Temos então o seguinte sistema: y= m m+ y= m + m = E Para a reta ser tangente, essa equação deve ter solução única, ou seja, Δ = : m (m = m 8m +6 = (m = m = E assim o coeficiente angular ou inclinação da reta deve ser igual a. m = y = m ( y = m m y = m m + Temos o seguinte sistema: y= m m+ i ( y= ( ii Fazendo (i = (ii, obtemos: = m m + m + m = Para que a reta seja tangente à parábola devemos ter Δ =. Δ = ( m.. (m = m (m = m m + = Resolvendo a equação acima, temos: m' = m'' = Portanto, m =. vértice: (, foco: (, diretriz: y = + + y = ( + + y = ( + = y + 6 ( + = (y p = V = (, p = Logo, F = (, e a diretriz é y =. 6 Matemática B
y= 7 9 8 B y Como o vértice é (,, a parábola é da forma: y = a (pois o eio de simetria é o eio y. Como o ponto (, 7 está na parábola, temos que 7 = a. ( a = 7 9 e assim a equação da parábola é: y = 7 9. Q 6 a foco: (, ; b diretriz: = y = p = p = a F = ( + p, y = (, (Note que V = (, = (, y. b diretriz é = p = ( = 7 y = + 9 6y = 6 y 9 = a = b = c = Os focos são (, e (,, assim a parábola procurada tem raízes ' = e " =. Como é um trinômio do º grau, podemos escrevê-la da seguinte maneira: y = a( '( ", ou seja, y = a. ( ( +. Mas (, pertence a essa parábola, então: = a. ( ( + = a. ( a = a =. Portanto, a equação da parábola é: y = ( ( +. y = ( y = + y = + = ( + = ou + = = Área: A = b h Como a base (b é fia, assim a área será máima quando h for máimo. Logo: h = y r = = ( ( = 9 a ( Temos ainda v =. O coeficiente angular da reta é dado por: 9 9 m = y y Q Q = = m = 9. = Portanto, o valor de K é: K = m 9 B K = K = Note que o ponto (, pertence à parábola, logo: = a. a = 6 = =,6 Matemática B 7
V F F F V Justificativa: Verdadeira. As abscissas dos pontos de interseção das parábolas satisfazem a equação + 8 =, que é equivalente a 6 + =, que tem as soluções = e =. Os pontos de interseção são (, 6 e (,. Falsa. A parábola A tem equação y = ( + e seu vértice é o ponto (,. Falsa. A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas tem inclinação + 6 = e equação y = 8. Falsa. A parábola B tem equação y = ( 7 e seu vértice é o ponto (, 7. A distância entre os vértices é dada por ( + ( + 7 = 6. Verdadeira. A parábola B intercepta o eio das ordenadas no ponto (,. V F F F V Justificativa: Completando os quadrados na equação dada obtemos ( + + a(y = + a. Verdadeira. Se a =, a equação se torna ( + + (y = e representa a circunferência com centro no ponto (, e raio. Falsa. Se a =, a equação se torna ( + = e representa as retas = e =. Falsa. Se a =, a equação se torna ( + + (y = e representa a elipse com equação ( + + ( y =. Falsa. Se a =, a equação se torna ( + (y = e representa a hipérbole ( y ( + =. E Verdadeira. Se a =, a equação se torna ( + (y = e representa a união das retas com equações e y = + e y =. = y ( = y (Somar em ambos os lados. + = y ( = y B y Sendo P o parâmetro da parábola, temos P = e, portanto, p =. Sendo V e F, nessa ordem, o vértice e o foco da parábola, temos VF = p, ou seja, VF =. Observe que: + y + y + y + = ( + y + ( + y ( y + =. Rotacionando os eios coordenados em o no sentido anti-horário obtemos o eio OuV, tais que: o o u= + ysen cos o o v= sen + ycos u= ( + y v= ( y + y= u y= v A parábola tem equação (u + u + v + = v = u u, 6 que tem eio paralelo à reta u = + y = e vértice com abscissas = e ordenada. F (, V (. No eio Oy, o vértice da parábola é:, 6 = 8. 8 Matemática B
8 ; 8 = ; 8 8 O coeficiente angular da reta tangente à parábola v = au + bu + c, no sistema Ouv, no ponto (u, v da parábola, é m = au + b, que assume todo valor real eatamente uma vez. Assim, toda parábola admite eatamente uma reta tangente paralela a qualquer direção, eceto a do eio da parábola. Como a reta Oy, a parábola admite eatamente uma reta tangente paralela ao eio O. E Vértice da parábola p : y = y = ( + y = [ ( + ] y = ( + + y = ( + + Logo, V (,. Vértice da parábola p : y = + y = 9 y = + Logo, V,. Equação da reta r. y + y 9 = + + + y = 7y + =.( + 7y = Distância da origem à reta r: a + b + c d ro = a + b d ro = + 7 + 7 d ro = + 9 A 6 A d ro = 7 I. Elipse, basta se lembrar da definição: y + =. a b II. Uma reta, note que é da forma a + by + c =. III. Parábola, note que + y 9 = y =. 9. IV. Hipérbole, lembre-se da definição: y =. a b V. Circunferência, note que 9 + y 9 = + y = 9. a + by = ab ( ab y + = b a Note que a equação se trata de uma elipse com eio maior em y, e portanto o gráfico do item A. 7 E 8 C Equação : y = y = (reta Equação : y + = y = (parábola Equação : y + = y =.( y = (hipérbole Equação. 9y 6 8y 9 = 6 9y 8y 9 = 6 9(y + y 9 = ( 9 9 [ ( y + 9 = ( 9 9(y + + 9 9 = ( 9(y + = 9 ( 9 ( (y + = (hipérbole 9 Equação. + y + y + = + y + y + = ( + (y + + = ( + (y + = (circunferência Matemática B 9
9 D C Equação y + 8 = ( y + 8 = y = ( + = Definição de elipse. + 6y = 6 ( 6 + y = 6 Equação de uma elipse. (parábola E B C Se m = n =, temos: ( + + ( + y + + y = + y + + y = + + y + y = ( + + (y + = ( + + (y + = (circunferência Parábola com o ponto marcado é seu foco. Definição de parábola. C Pelo teorema de Jacobi, adicionando a quarta linha, previamente multiplicada por, às três primeiras linhas, o determinante não se altera e a equação fica: + y y 6 = 88.. + y y = 88 + y y = Utilizando o teorema de Laplace na última coluna, a equação finalmente assume a forma: + y y = + y 6y =, que é a equação de uma circunferência, de centro (, e raio. Matemática B