LÓGICA MATEMÁTICA PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS Rafael D. Ribeiro, M.Sc. rafaeldiasribeiro@gmail.com htt://www.rafaeldiasribeiro.com.br Autora: Prof. Dra. Denise Candal 1
Definição: Chama-se roosição todo conjunto de alavras ou símbolos ue exrimem um ensamento de sentido comleto. Exemlo: Todo número divisível or 2 é ar. PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma roosição não ode ser verdadeira e falsa ao mesmo temo. PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda roosição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se semre um destes casos e nunca um terceiro. ( Lógica Bivalente ) 2
Definição: Chama-se valor lógico de uma roosição a verdade () se a roosição é verdeira e a falsidade () se a roosição é falsa. Toda roosição tem um, e um só, dos valores ou. Definição: Chama-se roosição simles ou atômica auela ue não contém outra roosição como arte de si mesma. Notação: letras latinas minúsculas (,,r,s,...) letras roosicionais Exemlo: Maria é insuortável. 3
Definição: Chama-se roosição comosta ou molecular auela formada ela combinação de duas ou mais roosições. Notação: letras latinas maiúsculas (P,Q,R,S,...) letras roosicionais Exemlo: Maria é insuortável e Pedro é irritante. Definição: Chamam-se conectivos alavras ue são utilizadas ara formar novas roosições a artir de outras. Os conectivos: não, e, ou, se...então,...se e somente se... não e ou Se...então Se e somente se ~ 4
Disositivo usado ara determinar o valor lógico de roosições comostas a artir dos valores lógicos das roosições simles ue a constituem. Proosição simles Disositivo usado ara determinar o valor lógico de roosições comostas a artir dos valores lógicos das roosições simles ue a constituem. Proosição simles 5
Princíio: O valor lógico de ualuer roosição comosta deende unicamente dos valores lógicos das roosições simles comonentes, ficando or eles univocamente determinado. Proosição comosta Princíio: O valor lógico de ualuer roosição comosta deende unicamente dos valores lógicos das roosições simles comonentes, ficando or eles univocamente determinado. Proosição comosta 6
Negação Chama-se negação da roosição, e reresentamos or ~, a roosição ue tem o valor lógico oosto de. ~ Negação Chama-se negação da roosição, e reresentamos or ~, a roosição ue tem o valor lógico oosto de. ~ 7
Chama-se conjunção de duas roosições e e reresentamos or a roosição comosta ue será verdadeira aenas uando as roosições e forem ambas verdadeiras e falsa em todos os demais casos. Chama-se conjunção de duas roosições e e reresentamos or a roosição comosta ue será verdadeira aenas uando as roosições e forem ambas verdadeiras e falsa em todos os demais casos. 8
Chama-se disjunção de duas roosições e a roosição, reresentada or ou, e indicada or, ue será falsa somente uando as roosições e forem ambas falsas e verdadeira em todas as demais situações. Chama-se disjunção de duas roosições e a roosição, reresentada or ou, e indicada or, ue será falsa somente uando as roosições e forem ambas falsas e verdadeira em todas as demais situações. 9
Carmem é rica. Carmem é feliz. ~ ~ Carmem é rica. Carmem é feliz. Carmem é obre. ~ Carmem é infeliz. ~ Carmem é rica e feliz. Carmem é rica ou é feliz 10
Carmem é rica. Carmem é feliz. ~ ~ ~ ~ Carmem é rica. Carmem é feliz. Carmem é obre e feliz. Carmem é rica ou infeliz. ~ ~ Carmem é rica e infeliz. Carmem é obre ou feliz. ~ ~ 11
Chama-se roosição condicional uma roosição reresentada or se então, cujo valor lógico é a falsidade () no caso em ue é verdadeira e é falsa e a verdade () nos demais casos. Chama-se roosição condicional uma roosição reresentada or se então, cujo valor lógico é a falsidade () no caso em ue é verdadeira e é falsa e a verdade () nos demais casos. 12
Chama-se roosição bicondicional ս ou aenas bicondicional uma roosição reresentada or se e somente se, cujo valor lógico é a verdade () uando e são ambas verdadeiras ou ambas falsa, e a falsidade () nos demais casos. Chama-se roosição bicondicional ս ou aenas bicondicional uma roosição reresentada or se e somente se, cujo valor lógico é a verdade () uando e são ambas verdadeiras ou ambas falsa, e a falsidade () nos demais casos. 13
Carmem é rica. Carmem é feliz. ~ ~ ~ ~ ~ Carmem é rica. Carmem é feliz. Se Carmem é rica então ela é feliz. Se Carmem é feliz então ela é rica. Se Carmem é obre então ela é feliz. Se Carmem é infeliz então ela é obre. Se Carmem é obre então ela é infeliz. ~ ~ ~ ~ ~ 14
Carmem é rica. Carmem é feliz. ~ ~ Carmem é rica. Carmem é feliz. Carmem é rica se e somente se ela é feliz. Carmem é infeliz se e somente se ela é obre. ~ ~ 15
Ordem de recedência: ( mais fraco ara o mais forte ) ~ e Mário é alto. Mário é elegante. Mario é alto e elegante. Mario é alto, mas não é elegante. Não é verdade ue Mario é baixo ou elegante. Mario não é nem alto nem elegante. É falso ue Mario é baixo ou ue não é elegante. 16
Mário é alto. Mário é elegante. Mario é alto e elegante. Mario é alto, mas não é elegante. Não é verdade ue Mario é baixo ou elegante. Mario não é nem alto nem elegante. É falso ue Mario é baixo ou ue não é elegante. ~ ~(~ ) ~ ~ ~ ~(~ ~) ~) 3+2=7 e 5+5=10 5 <0 ou Londres é a caital do Brasil. Não é verdade ue 12 é um número ímar. 3+4=7 se e somente se 5 3 =125 Se 0<1 então 3 é irracional Se 3+2=5 então 4+4=9 Se Tiradentes morreu afogado então ortaleza é a caital do Rio. 17
3+2=7 e 5+5=10 5 <0 ou Londres é a caital do Brasil. Não é verdade ue 12 é um número ímar. 3+4=7 se e somente se 5 3 =125 Se 0<1 então 3 é irracional Se 3+2=5 então 4+4=9 Se Tiradentes morreu afogado então ortaleza é a caital do Rio. Sabendo ue os valores lógicos das roosições e são resectivamente e, determinar o valor logico de cada uma das seguintes roosições: ~ ~ ~ ~ 18
Sabendo ue os valores lógicos das roosições e são resectivamente e, determinar o valor logico de cada uma das seguintes roosições: ~ ~ ~ ~ Sabendo ue os valores lógicos das roosições e são resectivamente e, determinar o valor logico de cada uma das seguintes roosições: ~ ~ 19
Sabendo ue os valores lógicos das roosições e são resectivamente e, determinar o valor logico de cada uma das seguintes roosições: ~ ~ Sabendo ue os valores lógicos das roosições e são resectivamente e, determinar o valor logico de cada uma das seguintes roosições: ~ ~ ~ ~ 20
Sabendo ue os valores lógicos das roosições e são resectivamente e, determinar o valor logico de cada uma das seguintes roosições: ~ ~ ~ ~ Determinar () ()= ()= ()= ()= ()= ()= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= () 21
Determinar () () ()= ( )= ou ()= ( )= ()= ( )= ()= ( )= não ()= ( )= ()= ( )= 22