Cálculo Proposicional

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1 Cálculo Proosicional Lógica - Deinição Inteligência Artiicial Nesta aula são introduzidos conceitos básicos sobre o Cálculo Proosicional (CP) O CP é também denominado Cálculo de Proosições ou Lógica de Proosições Formalização de alguma linguagem Sintaxe Eseciicação recisa das exressões legais Semântica Signiicado das exressões Dedução Proê regras que reseram a semântica José Augusto Baranauskas Deartamento de Física e Matemática FFCLRP-USP [email protected] URL: htt://dm.mr.us.br/~augusto 2 Programação Lógica Cálculo Proosicional - CP Prolog (Programming in Logic) Prolog = cláusulas + resolução Uso da lógica ara reresentar conhecimento Uso da inerência ara maniular o conhecimento Forma Clausal Cálculo Proosicional Lógica Proosicional Aenas enunciados declaratios são ermitidos remissas ou condições inerência (resolução) conclusões Excluídas sentenças exclamatias, imeratias e interrogatias 3 4 Termo Proosição Exemlos: Paula É usado ara designar objetos Um ilme de terror Triângulo retângulo É uma sentença declaratia que ode assumir os alores erdade () ou also () Exemlos: Todo homem é mortal Meu carro é um usca Está choendo 5 6

2 Proosição Atômica Proosição Comosta Sentença que não contém conectios (e, ou, se...então,...) Sentença que contém um ou mais conectios (e, ou, se...então,...) Todo homem é mortal Meu carro é um usca Está choendo Se Maria estuda então ará bons exames Ele come e dorme Pedro dança ou canta 7 8 Proosição - Cuidado! Conceitos Adicionais As exressões: Está choendo? A iagem entre Ribeirão Preto e Guarujá não são sentenças do CP ois não ossuem um alor erdade erdadeiro () ou also () associado Proosição atômica átomo Proosições atômicas são designadas or letras latinas minúsculas (, q, r,...) Literal é um átomo ou a negação de um átomo Conectios ou Oeradores: ermitem a construção de roosições comostas 9 10 Conectios Conectios ou Oeradores: e (conjunção) ou (disjunção) não (negação) condicional (imlicação) bicondicional Conectio: e ( ) A artir de duas roosições, obtém-se uma terceira denominada conjunção: Exemlo: () Maria estuda o roblema (q) José ai escar Conjunção de () e (q): q Maria estuda o roblema e José ai escar 11 12

3 Conectio: ou ( ) A artir de duas roosições, obtém-se uma terceira denominada disjunção: Exemlo: () Maria estuda o roblema (q) José ai escar Disjunção de () e (q): q Maria estuda o roblema ou José ai escar Conectio: não ( ) A artir de uma roosição, obtém-se uma segunda denominada negação: Assim, a negação nega o alor-erdade de uma roosição Exemlo: () Maria estuda o roblema Negação de (): não (Maria estuda o roblema) Conectio: condicional ( ) Conectio condicional lido como se...então A artir de duas roosições, obtém-se uma terceira denominada condicional ou imlicação Proosição à esquerda de denomina-se remissa ou antecedente Proosição à direita de denomina-se conclusão ou conseqüente Exemlo: () Eu como muito (q) Eu engordo Condicional de () e (q): q Se eu como muito então eu engordo Conectio: bicondicional ( ) Conectio bicondicional é lido como se e somente se A artir de duas roosições, obtém-se uma terceira denominada bicondicional Exemlo: () Um triângulo é retângulo (q) Um triângulo tem um ângulo reto Bicondicional de () e (q): q Um triângulo é retângulo se e somente se tem um ângulo reto Semântica dos Conectios Simbolização q q q q q Processo de substituição de rases em linguagem natural ara letras roosicionais e conectios lógicos Ex: Se choe então Maria Angélica estuda o roblema e se não az rio Ana Laura está nadando : Maria Angélica estuda o roblema q: Ana Laura está nadando r: choe s: az rio Encontrar conectios: (Se choe então Maria Angélica estuda o roblema) e (se (não az rio) então Ana Laura está nadando) Substituir rases e conectios: (r ) ( s q) 17 18

4 Fórmulas Bem Formadas (w( w) Fórmulas construídas mediante a combinação álida de símbolos Fórmulas Bem Formadas = Well Formed Formula = w Para reresentar w são usadas metaariáeis roosicionais reresentadas elas letras α, β, γ, etc Cada exressão enolendo α, β, γ, etc é chamada de orma sentencial Fórmulas Bem Formadas (w( w) 1. um átomo é uma w 2. se α e β são w, então são também w: w α α β α β α β α β lê-se não α α e β α ou β se α então β α se e somente se β 3. As únicas w são deinidas or (1) e (2) Prioridade dos Conectios Prioridade dos Conectios maior rioridade menor rioridade Prioridade dos Conectios Exemlos: α β γ signiica α (β γ) α β γ signiica α (β γ) α β γ δ signiica α ((β ( γ)) δ) A recedência ode ser alterada elo uso de arênteses Variações de Notação Item Adotada Outras e q &q.q,q ou q q +q ;q não ~ condicional q q q q bicondicional q q 23 24

5 Semântica do CP Validade e Inconsistência Consiste na interretação de suas órmulas, ou seja, atribuição dos alores-erdade ( ou ) às ormulas atômicas, or exemlo: ( q) ( q) Como a órmula ossui 2 comonentes atômicos ela admite 2 2 interretações Para uma órmula de n comonentes temse 2 n interretações Se uma órmula β tem alor numa interretação I, então β é erdadeira na interretação I Por exemlo, a órmula ( q) é erdadeira na interretação I1 I1 I2 I3 I4 q q Validade e Inconsistência Validade e Inconsistência Se uma órmula β é erdadeira segundo alguma interretação, então β é satisatíel (ou consistente) Por exemlo, a órmula ( q) é satisatíel ois é erdadeira em uma interretação (I1) I1 I2 I3 q q Uma órmula β é álida (tautológica) quando or erdadeira em todas suas interretações Por exemlo, a órmula ( ) é uma tautologia I1 I2 I Validade e Inconsistência Validade e Inconsistência Se uma órmula β tem alor numa interretação I, então β é alsa na interretação I Por exemlo, a órmula ( q) é alsa nas interretações I2, I3 e I4 I1 I2 I3 q q Uma órmula β é insatisatíel (ou inconsistente ou contradição) quando or alsa segundo todas interretações ossíeis Por exemlo, a órmula ( ) é insatisatíel I1 I2 I

6 Validade e Inconsistência Exercícios Uma órmula β é inálida quando or alsa segundo alguma interretação Por exemlo, a órmula ( q) é inálida ois é alsa nas interretações I2, I3 e I4 I1 I2 I3 q q Proar usando tabela erdade que: 1. ( ) é inconsistente e ortanto inálida. 2. ( ) é álida e ortanto consistente. 3. ( ) é inálida, ainda que consistente. I Conseqüência Lógica Sejam α, β 1, β 2,..., β n w. Diz-se que α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n se, e somente se, ara qualquer interretação em que β 1, β 2,..., β n orem simultaneamente erdadeiras, α é também erdadeira. Se α é conseqüência lógica de β 1, β 2,... β n,, diz-se que α segue-se logicamente de β 1, β 2,... β n,. Notação: β 1, β 2,..., β n α Conseqüência Lógica Teorema: α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n se e somente se: β 1 β 2... β n α é uma tautologia Teorema: α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n se e somente se: β 1 β 2... β n α é uma contradição Proa Proa α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n se e somente se β 1 β 2... β n αé uma tautologia Condição Necessária Seja α conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n e I uma interretação qualquer (1) Se β 1, β 2,..., β n orem erdade em I então α também será erdade em I (ois é conseqüência lógica dos β i s) (2) Se um dos β i s or also em I β 1 β 2... β n também será also em I. Indeendente do alor de α, β 1 β 2... β n αé erdade De (1) e (2) tem-se que β 1 β 2... β n αé erdade em qualquer situação (tautologia) Condição Suiciente Do ato de β 1 β 2... β n αser uma tautologia, tem-se que β 1 β 2... β n αéerdade em qualquer interretação. Se β 1 β 2... β n or erdade em I, α também será erdade em I. Portanto α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n se e somente se β 1 β 2... β n α éuma contradição Do teorema anterior, sabe que α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n se e somente se β 1 β 2... β n αé uma tautologia Equialentemente α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n se e somente se (β 1 β 2... β n α) é contradição (β 1 β 2... β n α) ( (β 1 β 2... β n ) α) β 1 β 2... β n α Assim, β 1 β 2... β n α é uma contradição 35 36

7 Equialência Lógica Uma órmula α é logicamente equialente ( ) a uma órmula β quando α or conseqüência lógica de β e β or conseqüência lógica de α Assim, α β se e somente se α β é uma tautologia Exemlo Proar que ( q) é equialente a ( q) q q q ( q) ( q) Portanto, ( q) ( q) Argumento Argumento é uma sequência α 1, α 2,..., α n (n 1) de roosições, onde: α i (1 i n-1) são chamadas remissas e α n denomina-se conclusão Notação: α 1, α 2,..., α n-1 α n. Argumento Válido Um argumento α 1, α 2,..., α n-1 α n é álido se e somente se: α 1 α 2... α n-1 α n or uma tautologia ou equialentemente, α 1 α 2... α n-1 α n Argumento Válido Um argumento álido (α 1, α 2,..., α n-1 α n ) ode ser lido como: α 1, α 2,..., α n-1 acarretam α n ou α n decorre de α 1, α 2,..., α n-1 ou α n é conseqüência lógica de α 1, α 2,..., α n-1 Para n=1, o argumento é álido se e somente se α 1 or tautológica Princíio da Substituição Subórmulas: dada a órmula α α: ( q) r, então q,, q, r, são as subórmulas de α O rincíio airma que uma subórmula de uma órmula α, ou toda a órmula α, ode ser substituída or uma órmula equialente e que a órmula resultante é equialente a α 41 42

8 Princíio da Substituição Exemlo: elo rincíio da substituição, a órmula α: ( q) ( r) é equialente a: ϒ: ( q) ( r) Proriedades Existem árias roriedades da negação, conjunção e disjunção Estas roriedades odem ser eriicadas como equialências lógicas Para demonstrar cada uma, basta utilizar as tabelas-erdade, constatando a tautologia Proriedades Proriedades Proriedades da Conjunção comutatia α β β α associatia α (β ϒ) (α β) ϒ idemotente α α α roriedade de ()erdade α α roriedade de ()also α Proriedades da Disjunção comutatia α β β α associatia α (β ϒ) (α β) ϒ idemotente α α α roriedade de ()erdade α roriedade de ()also α α Distributia α (β ϒ) (α β) (α ϒ) α (β ϒ) (α β) (α ϒ) Negação ( α) α Absorção α (α β) α α (α β) α De Morgan (α β) α β (α β) α β Equialência da Imlicação α β α β Fórmulas Proosicionais Equialentes Fórmulas Proosicionais Equialentes Nome da Regra modus onens modus tollens silogismo hiotético ou regra da cadeia silogismo disjuntio dilema construtio dilema destrutio simliicação conjunção adição contraosição exortação imortação Regra α, α β = β α β, β = α α β, β γ = α γ α β, α = β α β, γ δ, α γ = β δ α β, γ δ, β γ = α γ α β = α α, β = α β α = α β α β = β α α (β γ) = (α β) γ (α β) γ = α (β γ) Exemlo da orma de leitura modus onens: α, α β = β caso α seja erdade e α β seja erdade, obrigatoriamente β será erdade 47 48

9 Veriicação de Validade de Argumentos Sejam α 1, α 2,..., α n, β órmulas do Cálculo Proosicional. Uma seqüência inita de roosições C 1, C 2,..., C k é uma roa ou dedução de β, a artir das remissas α 1, α 2,..., α n se e somente se: cada C i é uma remissa α j (1 <= j <= n), ou C i roém das órmulas recedentes, elo uso de um argumento álido das regras de inerência, ou C i roém do uso do rincíio de substituição numa órmula anterior, ou C k é β Diz-se então que β é dedutíel de α 1, α 2,..., α n ou que β é um teorema Exemlo Se as uas caem, então a raosa as come. Se a raosa as come, então estão maduras. As uas estão erdes ou caem. Logo, A raosa come as uas se e só se as uas caem Exemlo Exemlo α 1 : Se as uas caem, então a raosa as come. α 2 : Se a raosa as come, então estão maduras. α 3 : As uas estão erdes ou caem. Logo, β: A raosa come as uas se e só se as uas caem. α 1 : Se as uas caem, então a raosa as come. α 2 : Se a raosa as come, então estão maduras. α 3 : As uas estão erdes ou caem. Logo, β: A raosa come as uas se e só se as uas caem. Proosições: : as uas caem q: a raosa come as uas r: as uas estão maduras ( r: as uas estão erdes) Exemlo Exemlo α 1 : Se as uas caem, então a raosa as come. α 2 : Se a raosa as come, então estão maduras. Proosições: : as uas caem α 1 : Se as uas caem, então a raosa as come. α 2 : Se a raosa as come, então estão maduras. Proosições: : as uas caem α 3 : As uas estão erdes ou caem. Logo, β: A raosa come as uas se e só se as uas caem. q: a raosa come as uas r: as uas estão maduras ( r: as uas estão erdes) α 3 : As uas estão erdes ou caem. Logo, β: A raosa come as uas se e só se as uas caem. q: a raosa come as uas r: as uas estão maduras ( r: as uas estão erdes) Premissas α 1 : q α 2 : q r α 3 : r β: Conclusão q Premissas α 1 : q α 2 : q r α 3 : r Conclusão β: q Deduz-se que: C 1 : r C 2 : q (α 3 : equialência) (α 2 + C 1 : regra da cadeia) Proar que: α 1, α 2, α 3 = β q, q r, r = q Proar que: α 1, α 2, α 3 = β q, q r, r = q C 3 : C 4 ( β): ( q) (q ) q (α 1 + C 2 : conjunção) (C 3 : equialência) 53 54

10 Cuidado! Formas Normais Sejam dois números a e b tais que a = b Considere a seguinte roa Por quê oi ossíel chegar a esse resultado? i) ii) iii) i) i) ii) iii) ix) a aa a 2 - b 2 (a + b)(a - b) ) [(a + b)(a - b)] / (a -b) = [b(a - b)] / (a - b) diidir or (a - b) a + b a + a 2a 2 = = = = = = = = b ba ba - b 2 b(a - b) b a a 1 multilicar or a subtrair b 2 atorar substituir b or a (a = b) diidir or a Há árias maneiras de escreer uma mesma órmula Ex: ( q) m ( q) m A Forma Normal é usada ara uniormizar a notação Forma Normal Disjuntia (FND) Forma Normal Conjuntia (FNC) Um enunciado do Cálculo Proosicional semre ode ser escrito na FN Forma Normal Disjuntia Uma órmula roosicional α está na FND quando α é uma disjunção β 1 β 2... β n, (n 1) cada β i (1 i n) é uma conjunção de literais, ou um literal, ou seja: β i é da orma m, (m 1) Forma Normal Disjuntia A órmula α está na FND se e somente se: contém como conectios aenas,, só oera sobre roosições atômicas (não tem alcance sobre, ) não aarecem negações sucessias ( ) não tem alcance sobre, ou seja, não existe exressão do tio: (q r) Forma Normal Disjuntia Forma geral ( k ) (q 1 q 2... q l ) (r 1 r 2 r 3... r s )... Exemlo α: q r FND(α): ( q) r Obtenção da FND: or tabela erdade ou or equialência Forma Normal Conjuntia Uma órmula roosicional α está na FNC quando: α é uma conjunção β 1 β 2... β n, (n 1) cada β i (1 i n) é uma disjunção de literais, ou um literal, ou seja: β i é da orma m, (m 1) 59 60

11 Forma Normal Conjuntia A órmula α está na FNC se e somente se: contém como conectios aenas,, só oera sobre roosições atômicas (não tem alcance sobre e ) não aarecem negações sucessias ( ) não tem alcance sobre, ou seja, não existe exressão do tio: (q r) Forma Normal Conjuntia Forma geral ( k ) (q 1 q 2... q l ) (r 1 r 2 r 3... r s )... Exemlo α: q r FNC(α): ( q r) ( q r) ( q r) É ácil mostrar que uma FNC é tautológica se e somente se cada elemento da conjunção é tautológico Obtenção da FNC: or tabela erdade ou or equialência Obtenção da FNC or Tabela Verdade Obtenção da FNC or Tabela Verdade Exemlo: q r I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 q r q ( q) r Exemlo: q r I2 I6 I8 q r q ( q) r ( q r) Para cada interretação alsa da Tabela Verdade: Átomo que assume alor é alterado ela sua negação Átomo que assume alor é deixado intacto Literais de uma mesma interretação são conectados or As interretações são conectadas or No exemlo FNC( q r): ( q r) ( q r) ( q r) ( q r) ( q r) Obtenção da FNC or Equialência Exercício 1. Reetidamente, usar as equialências, ara eliminar os conectios lógicos e : α β ( α β) ( β α) α β α β 2. Reetidamente, eliminar as negações, utilizando: ( α) α (α β) ( α β) (α β) ( α β) 3. Reetidamente, alicar a lei distributia: α (β γ) (α β) (α γ) (α β) γ (α γ) (β γ) Obter a FNC das órmulas: a) ( q) ( r) b) ( q) ( r) i) Usando equialência ii) Usando tabela erdade 65 66

12 Solução (Equialência) Solução (Tabela Verdade) ( q) ( r) ( q) ( r) ( q) ( r) ( q ) ( q r) ( q) ( q r) FNC(( q) ( r)): ( q) ( q r) ( q) ( r) ( q) ( r) ( q) ( r) ( q ) ( q r) ( q r) FNC(( q) ( r)): ( q r) q r q r r ( q) ( r) ( q) ( r) FNC(( q) ( r)): ( q r) ( q r) FNC(( q) ( r)): ( q r) Notação Clausal Cláusula: disjunção de literais: F i = L 1 L 2... L r Fórmula na FNC: escrita como conjunção de cláusulas: F 1 F 2... F n A FNC é uma coleção de cláusulas, orque a conjunção tem roriedade associatia. Por isso, ode-se escreer uma órmula α na orma: {F 1, F 2,... F n } F 1 F 2... F n A disjunção também tem a roriedade associatia, e or isso, também odemos escreer uma cláusula F i na orma: F i = {L 1, L 2,..., L n } L 1 L 2... L n Notação Clausal Exemlo FNC((( q) ( r)) s): ((s q ) (s r) (s q r)) Pode-se escreer: FNC((( q) ( r)) s): F 1 F 2 F 3 onde F 1 : (s q ), F 2 : (s r), F 3 : (s q r) que ode ser reresentado or F = {F 1, F 2, F 3 }, onde a conjunção está imlícita Notação Clausal É uma conenção escreer uma órmula aós a outra, lembrando que estão conectadas or F 1 : (s q ) F 2 : (s r) F 3 : (s q r) Colocando os literais ositios antes dos negatios F 1 : (s q) F 2 : (s r) F 3 : (s q r) Notação de Kowalsky A searação de literais ositios e negatios reara a cláusula ara a notação deinida or Kowalsky: FNC FNC Kowalsky CP F 1 : s q F 1 : s, q F 1 : q s F 2 : s r F 2 : s, r F 2 : r s F 3 : s q r F 3 : s q, r F 3 : q r s Obserar que todas as notações são equialentes 71 72

13 Notação de Kowalsky Há uma disjunção ( ) imlícita à esquerda de, chamada de conclusão(ões) F 1 : s, q F 2 : s, r F 3 : s q, r Há uma conjunção ( ) imlícita à direita de, chamada de remissa(s) ou condição(ões) Notação de Kowalsky São equialentes as seguintes notações: (1) B 1, B 2,..., B n A 1, A 2,..., A m (2) A 1, A 2,..., A m B 1, B 2,..., B n (3) A 1 A 2... A m B 1 B 2... B n (4) A 1 A 2... A m (B 1 B 2... B n ) (5) A 1 A 2... A m B 1 B 2... B n A cláusula (2) é uma cláusula genérica na notação de Kowalsky Cláusulas de Horn Deendendo do número de literais, tem-se: 1. Se m>1, as conclusões são indeinidas, ou seja, há árias conclusões 2. Se m 1, tem-se as Cláusulas de Horn m=1 e n > 0, (A B 1, B 2,..., B n ) chamada cláusula deinida, onde só existe uma solução m=1 e n=0, (A ) é a cláusula indeinida incondicional, ou ato. Neste caso, o símbolo é abandonado m=0 e n>0, ( B 1, B 2,..., B n ) é a negação ura de B 1, B 2,..., B n m=0 e n=0, ( ) é a cláusula azia, denotada or [] Cláusulas de Horn Kowalski mostrou que uma cláusula de Horn do tio A B 1, B 2,..., B n ode ser executada numa linguagem de rogramação recursia, onde A é a cabeça do rocedimento e os B i s o seu coro A B 1, B 2,..., B n ode ser lido como: ara resoler (executar) A, resola (execute) B 1 e B 2 e... e B n Cláusulas de Horn Em Prolog A B 1, B 2,..., B n é reresentado como A :- B 1, B 2,..., B n. :- é chamado neck Pode-se ler A :- B 1, B 2,..., B n. da seguinte orma A é erdade se B 1 é erdade e B 2 é erdade e... e B n é erdade Cláusulas de Horn As únicas cláusulas que odem ser reresentadas em Prolog são as Cláusulas de Horn Se um determinado conhecimento uder ser exresso mediante o cálculo roosicional, somente a arte ormada or cláusulas de Horn oderá ser reresentada em Prolog Ou seja, um sub-conjunto do cálculo roosicional 77 78

14 Exercício Mostre que as órmulas seguintes são equialentes: (i) b 1, b 2, b 3, b 4 a 1, a 2, a 3 (ii) a 1, a 2, a 3 b 1, b 2, b 3, b 4 (iii) a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 b 4 (i) a 1 a 2 a 3 (b 1 b 2 b 3 b 4 ) () a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 b 4 Proa or Resolução O método da Resolução utiliza uma órmula na FNC ara realizar inerências O método da Resolução é acilmente automatizado ara ser realizado or um comutador É um método de resolução geral, que emrega aenas uma regra de inerência Podem ser alicadas a ww que consistem de uma disjunção de literais: as cláusulas O rocesso de resolução é alicado a um ar de cláusulas e resulta em uma cláusula deriada Proa or Resolução Proa or Resolução Pré-requisito: 2 cláusulas ais um literal em uma das cláusulas ai (P1) um literal na outra cláusula ai (P2) noa cláusula é chamada resolente (R) contendo todos os literais de P1 e P2, exceto P1: ou mais-literais P2: ou ainda-mais-literais R: mais-literais ou ainda-mais-literais Regra de Resolução: de q e r q deduz-se r Esta regra ermite combinar duas órmulas or meio da eliminação de átomos comlementares No exemlo, eliminou-se os átomos q e q Proa or Resolução Proa or Resolução Regra de Resolução: de q e r q deduz-se r cláusulas ais Esta regra ermite combinar duas órmulas or meio da eliminação de átomos comlementares No exemlo, eliminou-se os átomos q e q Regra de Resolução: de q e r q deduz-se r cláusula resolente Esta regra ermite combinar duas órmulas or meio da eliminação de átomos comlementares No exemlo, eliminou-se os átomos q e q 83 84

15 Exercício 1 Qual a cláusula resolente das seguintes cláusulas ais? P1) ( s q) P2) ( q r) Solução Exercício 1 Qual a cláusula resolente das seguintes cláusulas ais? P1) ( s q) P2) ( q r) R) ( s r) Exercício 2 Qual a cláusula resolente das seguintes cláusulas ais? P1) ( s q) P2) ( q r) Solução Exercício 2 Qual a cláusula resolente das seguintes cláusulas ais? P1) ( s q) P2) ( q r) R) ( s r) Procedimento da Resolução Usa-se redução ao absurdo, negando a conclusão: 1. Achar, ara cada remissa e ara cada conclusão negada (adotada como remissa), a FNC corresondente, da seguinte maneira: Remoer e : α β ( α β) ( β α) α β α β Alicar De Morgan: (α β) α β (α β) α β Usar distributia α (β γ) (α β) (α γ) Procedimento da Resolução 2. Cada remissa é agora uma conjunção de uma ou mais cláusulas em uma linha dierente (cada uma delas é, uma ez que a conjunção de todas é ) 3. Cada cláusula contém uma disjunção de um ou mais literais; estão na orma correta ara se alicar a resolução. Procurar então or duas cláusulas que contenham o mesmo átomo, com sinais oostos, or exemlo, uma cláusula com e outra cláusula contendo, eliminando ambos 89 90

16 Procedimento da Resolução 4. Continuar este rocesso até que se tenha deriado e. Ao se alicar resolução nestas duas cláusulas, obtém-se a cláusula azia, denotada or, o que exressa a contradição, comletando então o método de redução ao absurdo:, deduz-se also Pode-se também usar a resolução mediante a negação do teorema. Neste caso alicam-se os mesmos assos anteriores Exemlos do Uso de Resolução A seguir são mostrados dois exemlos usando roa or redução ao absurdo Por meio da negação da tese Por meio da negação do teorema Negação da Tese Negação da Tese Para roar que r s é conseqüência lógica de q, r, q s dee-se mostrar que (( q) ( r) (q s)) (r s) é uma tautologia (teorema) 93 Conerter remissas ara FNC, escreendo em linhas searadas: (a) q (b) r (c) q s Negar a conclusão e conertê-la ara FNC: (r s) r s (d) r (e) s Deduzir a cláusula azia or resolução () de (d) e (b) (g) q de () e (a) (h) q de (e) e (c) (i) de (g) e (h) a cláusula é gerada ela contradição de duas cláusulas na orma: q q 94 Negação do Teorema Para roar a regra da cadeia: ( q) (q r) ( r) A negação do teorema é: (( q) (q r) ( r)) A FNC do teorema negado é: ( q) ( q r) r Negação do Teorema O asso básico do método de resolução ocorre quando existem duas cláusulas tais que uma roosição ocorre em uma delas e ocorre na outra q q r r r r 95 96

17 Resolução: Vantagens Proriedades do CP Não é necessário o uso de equialências ara rearranjar q como q Tudo é colocado na FNC antes da alicação do método Para o método, a osição (na cláusula) do átomo a ser eliminado é indierente Existe aenas uma regra de inerência ara ser lembrada Fácil de ser mecanizado Linguagem Prolog está baseada no rincíio da resolução alicado a cláusulas de Horn Usando Busca em Proundidade 97 Embora seja insuiciente ara o ormalismo do raciocínio lógico, o CP ossui roriedades muito imortantes: O sistema é consistente: Não é ossíel deriar simultaneamente uma órmula α e sua negação α O sistema é correto ou coerente: Todo teorema é uma tautologia Comletude Toda tautologia é um teorema Decidibilidade Há um algoritmo que ermite eriicar se uma dada órmula do sistema é ou não um teorema 98 Exercício Alique resolução a cada situação seguinte e eriique o que ode ser inerido a) Sócrates é homem. Se Sócrates é homem então ele é mortal. b) s (r s) Slides baseados em: Monard, M.C., Nicoletti, M.C., Noguchi.R.H., O Cálculo Proosicional: Uma abordagem oltada à comreensão da linguagem Prolog, Notas Didáticas do ICMC-USP, 1992 (htt://labic.icmc.us.br/didatico/d/croosicional_d.zi) Material elaborado or José Augusto Baranauskas Reisão