Professor: Rômulo Garcia Email: machadogarcia@gmail.com Conteúdo Programático: Teoria dos Números Exercícios e alguns conceitos imortantes Números Perfeitos Um inteiro ositivo n diz-se erfeito se e somente se é igual à soma de todos os seus divisores ositivos, exceto o divisor trivial n. A soma de todos os divisores ositivos de n, com exceção do divisor n, é igual a s(n) n e, ortanto, n é um número erfeito se e somente se a seguinte condição se verifica: n = s(n) n ou s(n) = n. Isto é, um inteiro ositivo n é um número erfeito se e somente se a soma de todos os seus divisores ositivos é igual ao seu dobro (n). Assim, or exemlo, ara n = 6 e n = 8, temos: s(6) = = + 3 + 6 = =.6 e s(8) = + + 4 + 7 + 4 + 8 = 56 =.8 de modo que os inteiros ositivos 6 e 8 são ambos números erfeitos. Teorema (de Euclides): Se k é rimo (k > ), então o inteiro ositivo n = k ( k ) é um número erfeito. Teorema (de Euler): Se n é um número erfeito ar, então n = k ( k ) onde k é rimo. Exemlo: Mostrar que, se n é número erfeito ar, então 8n + é um quadrado erfeito. Pelo Teorema de Euler, se n é um número erfeito ar n = k ( k ), onde k é rimo. x = 8n + = 3 [ k ( k )] + = k + k + + = (k + ). k + + = ( k + ) Números Multierfeitos Um inteiro ositivo n diz-se um número multierfeito de ordem k ou um k-número erfeito se e somente se a soma dos divisores naturais de n for um múltilo de k (k 3),ou seja, s(n) = kn, onde k 3 é um inteiro. Designa-se um número multierfeito de ordem k or P k. Assim, or exemlo, o inteiro ositivo 3040 = 5.3 3.5.7 é um número multierfeito de ordem 4 (ou um número P 4 ), 6 4 3 5 7 ois, temos: s(3040 )... 63.40.6.8 0960 4. 3040 3 5 7 Teorema (de Descartes) (mencionado em uma carta enviada a Mersenne em 5 novembro de 638): o : Se n é um número P 3 e não é divisível or 3, então 3n é um número P 4. o : Se um número n é divisível or 3 mas não é divisível nem or 5 ou or 9, e se é um número P 3, então 45n é P 4. 3 o : Se um número n não é divisível or 3 e se 3n é um número P 4k, então n é um número P 3k. Exemlo 6.7: Mostrar que nenhum inteiro da forma n = a.3 b é um 3-número erfeito. Suonhamos, or absurdo, que exista um n = a.3 b tal que s(n) = 3n = a.3 b + [( a + )/( )][(3 b + )/(3 )] = a.3 b + ( a + )(3 b + ) = a +.3 b + obviamente esta exressão não ossui resosta., ois a exressão do lado direito da igualdade é estritamente maior que a exressão do lado esquerdo. Números Amigos Dois inteiros ositivo m e n dizem-se números amigos se e somente se a soma dos divisores ositivos de m, exceto o divisor m, é igual a n, e a soma dos divisores ositivos de n, exceto o divisor n, é igual a m. Em outras alavras, dois inteiros ositivos m e n dizem-se amigos se e somente se s(m) m = n e s(n) n = m ou seja, o que é equivalente a s(m) = m + n = s(n).
Exemlo: Mostrar que os inteiros 0 e 84 são números amigos. 0 =.5. s(0) 0 = s( ).s(5).s() 0 = 7.6. 0 = 504 0 = 84 84 =.7 s(84) 84 = s( ).s(7) 84 = 7.7 84 = 504 84 = 0 Logo, or definição, os inteiros 0 e 84 são números amigos. Números Deficientes e Abundantes Um inteiro ositivo n diz-se um número deficiente se e somente se s(n) n < n ou s(n) < n e diz-se um número abundante se e somente se s(n) n > n ou s(n) > n. Assim, or exemlo, os inteiros 5 e 8 são resectivamente um número deficiente ou abundante, ois, temos: s(5) = s(3.5) = s(3).s(5) = 4.6 = 4 <.5 s(8) = s(.3 ) = s().s(3 ) = 3.3 = 39 >.8 Números Pseudorimos Já sabemos que, elo Teorema de Fermat, se n é rimo então n n. Números comostos n ara os quais n n são denominados seudorimos. Os seudorimos 000 são 34 =.3, 56 = 3..7, 645 = 3.5.43, 05 = 5.3.7, 387 = 9.73, 79 = 7.3.9, 905 = 3.5.7. Teorema: Se n é um número ímar seudorimo, então o número m = n seudorimo. também é um número ímar Teorema Simles de Fermat Teorema (de Fermat): Se é um rimo e se não divide o inteiro a, então a (mod. ). Exemlo: Verificar o Teorema de Fermat com a = 3 e = 7. O inteiro 7 é rimo e 7 não divide 3. Temos: 3 7 = 3 6 = 79 e como 7 (79 ), segue-se que 79 (mod. 7), isto é: 3 7 (mod. 7) Função e Teorema de Euler Função de Euler é uma função aritmética simbolizada or (n), definida ara todo inteiro ositivo n de tal modo que (n) é igual ao número de inteiros ositivos que não sueram n e que são rimos com n. Exemlo: Se n = 30, então os inteiros ositivos menores que 30 e rimos com 30 são, 7,, 3, 7, 9, 3 e 9, de modo que (30) = 8. Teorema: Se o inteiro n >, então (n) = n se e somente se n é rimo. k k k Teorema: Se n r... r é a decomosição canônica do inteiro ositivo n >, então: (n) k k k k... kr r kr r n... Exemlo: Calcular (7865). Sendo 7865 = 5..3, temos: (7865) = (5 )( )(3 ) = 4.0. = 580. (n) Teorema (de Euler): Se n é um inteiro ositivo e se o mdc (a, n) =, então a r. (mod. n).
Exemlo: Determine os dois últimos dígitos de 3. I) (00) = (00)( /)( /5) = (0)(4) = 40 II) Pelo Teorema de Euler: 3 (00) (mod. 00) 3 40 (mod. 00) 3 0 (mod. 00) (3 0 ).3 3 (mod. 00) 3 3 (mod. 00) III) Ou seja, os dois últimos dígitos (dezenas e unidades) de 3 são 03 Exemlo: Quais os ossíveis resultados ara os restos quando n 00 é dividido or 5, quando n assume todos os valores inteiros ositivos. I) Se n = 5k 5 n 00 resto = 0 II) Se mdc (n, 5) = temos que (5) = (5 3 ) = 5 3 ( /5) (5) = 00 Assim, elo Teorema de Euler, n 00 (mod. 5) resto = ) Resolver a equação y 3 x 3 = 9, ara x e y inteiros. 5 ) Prove que N 5 é um número comosto. 5 5 3) Determine (com rova) todos os ares de inteiros (x, y) satisfazendo a equação: + 996x + 998y = xy 4) Sejam a, b, c, d, e, números naturais consecutivos tais que a + b + c + d + e é um cubo erfeito e b + c + d é um quadrado erfeito. Achar o mínimo valor ossível de c. 5) Iniciando de um certo inteiro ositivo, é ermitido fazer aenas uma oeração: o dígito das unidades é searado e multilicado or 4, e então este valor é somado ao restante do número. Por exemlo, o número 997 é transformado ara 7.4 + 99 = 7. A oeração é feita reetidamente. Prove que se a seqüência de números obtida contem 00, então nenhum dos números na seqüência ode ser um número rimo. 6) Qual é o maior divisor rimo de 6 6? a) 7 b) c) 3 d) 7 e) 3 7) O menor inteiro ositivo x ara os quais 60x = N 3, onde N é um inteiro, é: a) 050 b) 60 c) 7350 d) 4400 e) nda 8) Assuma que x y = 63, com x, y N. Quantos valores distintos de x + y odem ser obtidos? a) b) c) 3 d) 4 e) nenhum dos anteriores 9) O menor número rimo que divide 3 + 5 é: a) b) 3 c) 5
d) 3 + 5 e) nda 0) Determine o maior natural n ara o qual existe uma reordenação (a, b, c, d) de (3, 6, 9, ) (isto é, {a, b, c, d} = {3, 6, 9, }) tal que o número n 3 a 6 b 9 c d seja inteiro. Justifique sua resosta. ) Determine o roduto entre o mdc e o mmc de {, 4, 7, 0, 88} a) 8640 b) 780 c) 34560 d) 50 e) nda ) Determinar a quantidade de ares de números naturais (a, b) que verificam simultaneamente as seguintes duas condições: o máximo divisor comum entre a e b é igual ao roduto dos 5 rimeiros números naturais; o mínimo múltilo comum entre a e b é igual ao roduto dos 5 rimeiros números naturais. Ou seja, mdc (a, b) =..3.4.5 e mmc (a, b) =..3.4.5.6.7.8.9.0...3.4.5. 3) Achar o inteiro ositivo da forma.5 m.7 n e que admite 36 divisores ositivos. 4) Um número natural N que é múltilo de 83 é tal que N ossui 63 divisores. Calcular N, sabendo que é o menor número ossível que cumre tais condições. 5) Determine todos os inteiros ositivos n que ossuem exatamente 6 divisores inteiros ositivos d, d,, d 6 tais que = d < d < < d 6 = n, d 6 = 8 e d 9 d 8 = 7. 6) Determinar todos os números inteiros n tais que (n + 98)/(n + 9) é um número inteiro. 7) Quantas soluções inteiras e ositivas ossui a equação x + 3y = 997? 8) Assuma que m e n são inteiros tais que 5m + 6n = 00. Então, o maior valor ossível de m.n é: a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) nda 9) Determinar o menor inteiro ositivo que dividido or 8 e or 5 deixa os restos 6 e 3, resectivamente. 0) Exrimir 00 como soma de dois inteiros ositivos de modo que o rimeiro seja divisível or 7 e o segundo seja divisível or. ) Determinar as duas menores frações ositivas que tenham 3 e 7 ara denominadores e cuja soma seja igual a 305/. ) Demonstrar que, se a e b são inteiros ositivos rimos entre si, então a equação diofantina ax by = c tem um número infinito de soluções inteiras e ositivas. 3) Um raaz recebeu R$ 00,00 da sua mãe ara comrar alguns itens A, reço R$ 3,00 alguns B, reço R$ 7,00 e outros C, reço R$ 8,00, em um suermercado, mas esqueceu a quantidade exata de cada item, lembrando-se aenas que não haveria troco. Encontre a robabilidade de que acerte o edido de sua mãe. Encontre o menor inteiro ositivo a ara o qual a equação 00x + 770y = 0 6 + a tem solução inteira. Neste caso, quantas soluções inteiras ositivas (x > 0 e y > 0) existem? 4) Uma das soluções inteiras e ositivas da equação 9x + 97y = 997 é, evidentemente, (x 0,y 0 ) = (00,). Além desse, há aenas mais um ar de números inteiros e ositivos, (x, y ), satisfazendo a equação. O valor de x + y é:
a) 3 b) 5 c) 54 d) 0 e) 997 5) Quantos são os ares (x, y) de inteiros ositivos que satisfazem a equação x + 3y = 0? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 6) Quantos ares de inteiros (n, k) ossuem a roriedade que = 3n + 5k? a) 0 b) 7 c) 8 d) 5 e) infinitos 7) Se x e y são inteiros ositivos tais que 3x + 4y = 000, então x + y vale: a) 0 b) c) 4 d) 6 e) 8 8) Demonstrar que 70 + 3 70 é divisível or 3. 9) Mostre que 5555 + 5555 é divisível or 7. 30) Mostrar que 0 (mod. 00) 3) Determine o dígito das centenas de 999 + 000 + 00. 3) Mostre que o número 998 998 998 65 998 N 760 0 90 é divisível or 998. 33) Achar os dois últimos algarismos de 34) Achar o algarismo das unidades de 7 355. 9 9 9 e de 4 4 4. 35) Calcular o resto da divisão or 8 de 4365 43 x 7937 67. 36) Achar o resto da divisão de (37 56 + 34) 8 or. 37) Determine os três últimos dígitos de 7 9999. n 6n 38) Demostrar que ara todo n natural verifica-se: 3 0 (mod. ). 39) Prove que 36 36 + 4 4 é divisível or 77. 40) Prove que 0 5 é divisível or.3.6. 4) Prove que: a) 9 9 + 69 69 é divisível or 44; b) 70 + 3 70 é divisível or 3.
4) Prove que o número 5 5k + + 4 5k + + 3 5k é divisível or, ara todo número natural k. 43) Prove que se um inteiro n é rimo com 0, a 0 a otência de n termina com os mesmo 3 dígitos de n. Por exemlo, 33 0 termina com os dígitos 33, e 37 0 termina com os dígitos 037. 44) Prove que 997.996 é divisível or 997. 45) Prove que 47 é divisível or 343. 46) Prove que ara todo inteiro n, n 30 n 4 n 8 + n é divisível or 4640. 47) Mostrar que 340 (mod. 34) 48) Se n é inteiro não divisível or 5, demonstre que ao dividir n 4 99 or 5, o resto é zero. 49) Mostrar: a) 56 ( 56 ); b) 56 (3 56 3). 50) Usando o Teorema de Fermat, achar o algarismo das unidades de 3 00. 5) Achar o algarismo das unidades de 7 355. 5) Achar o resto quando 34 6 é dividido or 63. 53) Mostre que 98 (44 980 44 776 ) 54) Qual é o resto quando 3 + 3 + 3 3 + 4 3 + + 990 3 é dividido or 7? 55) Calcule o resto da divisão de 00 or 0. 56) Determine o resto das divisões de: a) 4 34 or 3 b) 0 00 or 7 c) 000. 000 or 3 57) Entre o resto da divisão de 5 0 or 6. 58) Mostre que (835 5 + 6) 8 é divisível or. 59) Encontre os dois últimos dígitos de: a) 7 000 b) 000 c) 5 600 + 9 00 d) 7 000. 300 60) Prove que, ara todo n natural, 37 n + + 6 n + + 3 n é divisível or 7.
Solução de várias questões: ) Análise inicial: Podemos decomor y 3 x 3 da forma: y 3 x 3 = (y x)(y + xy + x ) = 9 = 7.3 Como y + xy + x é uma equação de segundo grau em y, que ossui < 0, então y + xy + x > 0 Assim, odemos ter as seguintes situações: (y x) (y + xy + x ) = 9 9 9 9 3 7 9 7 3 9 Assim, analisando cada situação: ) y x = y + xy + x = 9 (y x) + 3xy = 9 + 3xy = 9 xy = 30 e y = x + x = 5 e y = 6 ou x = 6 e y = 5 ) y x = 9 y + xy + x = xy = 760 e y = x + 9 não existem inteiros x e y 3) y x = 7 y + xy + x = 3 xy = e y = x + 7 x = 3 e y = 4 ou x = 4 e y = 3 4) y x = 3 y + xy + x = 7 xy = 53 e y = x + 3 não existem inteiros x e y ) Inicialmente notemos que fazendo x = 5 5 temos N 5 x = x 4 + x 3 + x + x +. x Então: N = x 4 + x 3 + x + x + N = (x + 3x + ) 5x(x + ) [( x 3x ) 5x(x )][(x 3x ) 5x(x )]. Como x = 5 5 temos: N = [(5 50 + 3.5 5 + ) 5 3 (5 5 + )][(5 50 + 3.5 5 + ) + 5 3 (5 5 + )], ou seja, N é a multilicação de dois inteiros maiores que, imlicando que N é comosto. 3) Podemos escrever a equação da seguinte forma: xy 996x 998y = (x 996)(y 998) 996.998 = (x 996)(x 998) = + 996.998 (x 996)(x 998) = + (997 )(997 + ) = + 997 (x 996)(x 998) = 997 Assim temos as ossibilidades: i) x 996 = 997 e y 998 = 997 x = 3993 e y = 3995 ii) x 996 = 997 e y 998 = 997 x = e y = iii) x 996 = 997 e y 998 = x = 997 996 e y = 999 iv) x 996 = 997 e y 998 = x = 996 997 e y = 997 v) x 996 = e y 998 = 997 x = 997 e y = 997 + 998 vi) x 996 = e y 998 = 997 x = 996 e y = 998 997 4) Podemos escrever os números da seguinte forma: c, c, c, c +, c + Assim, temos que a + b + c + d + e = 5c = x 3 e b + c + d = 3c = y 3x 3 = 5y 5 x e 3 y x = 5x e y = 3y 5 x 3 = 3y 3 x e 5 y x = 3x e y = 5y 3 x 3 = y x = e y = 3 x = 3 e y = 5 x = 5 e y = 45 Como 5c = x 3 5c = 3 3.5 3 c = 3 3.5 5) Se n = 0a + b, sendo b é dígito das unidades, então a oeração transforma n ara n = a + 4b. Notemos que 0n = 0a + 40b = (0a + b) + 39b n = 0n 39b n = 0.n 3.3.b. Assim, se n é divisível or 3 então n é divisível or 3, recirocamente, se n é divisível or 3, n também é divisível or 3. Desta forma, se a seqüência contem 00 = 3.77, então todo termo da seqüência deve ser divisível or 3.
Ou seja, se existe um número rimo na seqüência, então este número deve ser 3. Note que o número 3 não ode vir antes de 00 orque a oeração transforma 3 ara 4.3 + = 3, imlicando que todo termo subsequente de 3 na seqüência é igual a 3. Por outro lado, 3 não ode vir deois de 00 ois a oeração transforma 00 ara 4. + 00 = 04, e deois 4.4 + 0 = 6, e deois 4.6 + = 6, e assim todo termo deois de 6 é igual a 6. Concluímos, ortanto, que se a seqüência contem 00, então não contem 3, imlicando que não existe nenhum número rimo na seqüência. 0) Temos: a b c d b d a b c d 3 6 9 3. Para (a, b, c, d) dados, o maior n ossível é mdc {b d,a b c d} b d. Note que b + d é máximo (com b e d elementos distintos de {3, 6, 9, }) quando d = e b = 9. Neste caso, b + d = 33, e a + b + c + d = + a + c. Tomando a = 6 e c = 3, temos também a + b + c + d = 33, que é obviamente o maior valor ossível ara n, obtido ara (a, b, c, d) = (6, 9, 3, ). 3) Sendo x =.3 m.5 m.7 n temos que d(x) =.(m + ) (n + ) Como d(x)= 36 (m + ) (n + ) =.3 m = e n = x =.5.7 x = 0 4) Como d(n ) = 63 = (8 + )(6 + ) = (0 + )( + ) = (6 + ) = ( + )( + )(6 + ), odemos ter as seguintes ossibilidades: n = (83) 6. 8 ou n = (83).() 0 ou n = (83) 6 ou n = 6.3.83 Assim, o menor valor de n é n = 3.3.83 5) I) d(n) = 6 = 4 = ( + ) 4 = (3 + ).(3 + ) = (3 + )( + )( + ) Assim o números n ode ser das formas: i) n = a.b.c.d, com a, b, c e d rimos. Entretanto, d 6 = 8 =.3, imlicando que 3 divide n, que é imossível ara esta caso. ii) n = a 3.b 3, a e b rimos, a > b. Como um divisor é d 6 =.3, temos que a = e b = 3, imlicando que n = 3.3 3 = 6: Conferindo os divisores temos: a =, a =, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 6, a 6 = 8 que é imossível. iii) n = a 3.b.c, com a, b e c rimos: Como um divisor é d 6 =.3, temos que a = 3 e b =. Assim, temos n =.3 3.c Escrevendo os divisores de n temos:,, 3, 6, 9, 8, 7, 54, c, c, 3c, 6c, 9c, 8c, 7c, 54c Notemos que ara 8 ser o d 6, então c deve ser maior que 8, e rimo com e 3. I) 9 c 6:,, 3, 6, 9, 8, c, 7, c, 54, 3c, 6c, 9c, 8c, 7c, 54c Assim, d 9 d 8 = 7 c 7 = 7 c = 44 c =, imossível ois é múltilo de. II) 8 c 53:,, 3, 6, 9, 8, 7, c, 54, c, 3c, 6c, 9c, 8c, 7c, 54c Assim, d 9 d 8 = 7 54 c = 7 c = 37 n =.3 3.37 n = 998. III) c 55:,, 3, 6, 9, 8, 7, 54, c, c, 3c, 6c, 9c, 8c, 7c, 54c Assim, d 9 d 8 = 7 c 54 = 7 c = 7 n =.3 3.7 n = 3834. 6) Como (n + 98)/(n + 9) = + 79/(n + 9) então este valor vai ser inteiro se n + 9 dividir 79, que vai acontecer ara os casos: i) n + 9 = 79 n = 60 ii) n + 9 = 79 n = 98 iii) n + 9 = n = 8 iv) n + 9 = n = 0 7) Seja a equação diofantina x + 3y = 997. Como d = mdc (, 3) = d 997 existe solução ara a equação diofantina. Como x 0 = 000 e y 0 = é uma solução, ois ()(000) + (3)( ) = 000 3 = 997, então todas as soluções são dadas or: x = x 0 + (b/d)t y = y 0 (a/d)t x = 000 + 3t y = t Assim, y será ositivo somente ara valores negativos de t t.
Desta forma: 000 + 3t > 0 3t > 000 t 333. Assim, temos: 333 t, que corresonde a 333 soluções inteiras e ositivas. 8) Como mdc (5, 6) =, e m 0 = 0 e n 0 = 0 é uma solução, temos que todas as soluções são dadas or: m = 0 + 6t e n = 5t Assim, m.n = (0 + 6t)( 5t) m.n = 30t 00t 30t + 00t + m.n = 0 m.n max = (0000)/(4( 30)) m.n max = 83,33333 que não é inteiro, mais já dá uma dica do maior valor inteiro de m.n, ois m.n 83. Para que t seja inteiro, devemos ter o discriminante igual a um quadrado erfeito: 00 0mn = x 00 x = 0mn (00 x)(00 + x) = 0mn Podemos ter x = 0 0mn max = 0000 400 = 9600 mn max = 80 Conferindo: 30t + 00t + 80 = 0 3t + 0t + 8 = 0 (3t + 4)(t + ) = 0 t =. 8) I) 6 = 64 = 65 = 5.3 6 (mod. 3) ( 6 ) ( ) (mod. 3) 66 (mod. 3) ( 66 ) 4 ( ) 4 (mod. 3) 70 6 (mod. 3) 70 3 (mod. 3) II) 3 3 = 7 = 6 + =.3 + 3 3 (mod. 3) (3 3 ) 3 () 3 (mod. 3) 3 69 (mod. 3) (3 69 )3.3 (mod. 3) 3 70 3 (mod. 3) III) Somando as duas congruências temos 70 + 3 70 3 + 3 (mod. 3) 70 + 3 70 0 (mod. 3) Outra solução: + 3 0 (mod. 3) 3 (mod. 3) ( ) 35 ( 3 ) 35 (mod. 3) 70 3 70 (mod. 3) 70 + 3 70 0 (mod. 3) 9) I) 3 (mod. 7) 5555 3 5555 (mod. 7) 3 3 (mod. 7) (3 3 ) 85 ( ) 85 (mod. 7) 3 5553 (mod. 7) 3 5553.3 ( ).3 (mod. 7) 3 5555 9 (mod. 7) 5555 9 (mod. 7) II) 5555 4 (mod. 7) 5555 4 (mod. 7) 4 3 (mod. 7) (4 3 ) 740 () 740 (mod. 7) 4 0 (mod. 7) 4 0.4.4 (mod. 7) 4 6 (mod. 7) 5555 6 (mod. 7) Somando as duas congruências: 5555 + 5555 9 +6 (mod. 7) 5555 + 5555 7 (mod. 7) Ou seja, 7 5555 + 5555 30) 0 = ( )( 9 + 8 + 7 +... + + + ) 0 = 0.( 9 + 8 + 7 +... + + + ) Basta rovar que ( 9 + 8 + 7 +... + + + ) é divisível or 0. (mod. 0) 3 4... 8 9 (mod. 0) Somando temos: 9 + 8 + 7 +... + + + + + +... + (mod. 0) 9 + 8 + 7 +... + + + 0 (mod. 0) 9 + 8 + 7 +... + + + 0 (mod. 0) 3) Notemos que 999 + 000 + 00 = 999 ( + + 4) = 999.7 0 = 04 0 4 (mod. 00) 0 76 (mod. 00) ( 0 ) 99 (76) 99 (mod. 00) 980 76 (mod. 00) ( 0 )( 980 ) (4)(76) (mod. 00) 990 4 (mod. 00) ( 9 )( 990 ) (5)(4) (mod. 00) 999 88 (mod. 00) 999.7 6 (mod. 00) Desde modo concluímos que os dois últimos dígitos de 999.7 são 6. Como 999.7 é divisível or 8, e um número é divisível or 8 se e somente se o número formado elos seus três últimos algarismos é divisível or 8, os últimos 3 dígitos de 999.7 odem ser 6, 46, 66 ou 86, ou seja, o algarismo das centenas é ar. 3) Notemos inicialmente que 998 =.3 3.37 760 0 = 740 =.5.37 760 0 (mod..37) 760 998 0 998 (mod..37) 760 998 0 998 0 (mod..37) 90 65 = 58 =.7.37 90 65 (mod..37) 90 998 65 998 (mod..37) 90 998 65 998 0 (mod..37) Assim: 760 998 0 998 + 90 998 65 998 0 (mod..37).37 760 998 0 998 + 90 998 65 998 760 65 = 08 =.3 3 760 65 (mod. 3 3 ) 760 998 65 998 (mod. 3 3 ) 760 998 65 998 0 (mod. 3 3 )
90 0 = 890 =.33.5.7 90 0 (mod. 3 3 ) 90 998 0 998 (mod. 3 3 ) 90 998 0 998 0 (mod. 3 3 ) Assim: 760 998 0 998 + 90 998 65 998 0 (mod. 3 3 ) 3 3 760 998 0 998 + 90 998 65 998 Como.37 760 998 0 998 + 90 998 65 998 e 3 3 760 998 0 998 + 90 998 65 998.3 3.37 760 998 0 998 + 90 998 65 998 998 760 998 0 998 + 90 998 65 998 43) Se mdc (n, 0) = odemos alicar o Teorema de Euler: (000) = 400 n 400 (mod. 000) n 400 = 000k (n 00 )(n 00 + ) = 000k (n 00 + )(n 00 )(n 00 + ) = 000k (0) = 4 n 4 (mod. 0) n 00 (mod. 0) n 00 + (mod. 0) Analogamente: n 00 (mod. 0) n 00 + (mod. 0) Desde que (n 00 + )(n 00 )(n 00 + ) = 000k e n 00 + e n 00 + não são divisíveis or 000, temos que n 00 é divisível or 000. Deste modo n 00 0 (mod. 000) n 00 (mod. 00) n 0 n (mod. 000) n 0 termina com os mesmos 3 dígitos de n. 44) Como mdc (, 997 ) = odemos alicar o Teorema de Euler. Desde que (997 ) = 997( /997) = 996.997 (n) (mod. n) 996.997 (mod. 997 ) 46) Notemos inicialmente que X = n 30 n 4 n 8 + n = n (n )(n 6 ) e que 4640 =.3.5.7.3.7. É suficiente mostrar que divide n 30 n 4 n 8 + n ara =, 3, 5, 7, 3 e 7. Como n ou n é ar, então X. () Se divide n, a conclusão é direta, ara =, 3, 5, 7, 3 ou 7. Se mdc (n, ) =, elo Teorema de Fermat temos que n (mod. ). Assim: n (mod. 3) e n 6 (mod. 7) 3.7 (n )(n 6 ) 3.7 X () Como n 30 n 4 n 8 + n = n (n )(n 6 ) = n (n 6 )(n 6 + )(n 4 )(n 4 + )(n 8 + ). Analogamente, sendo mdc (n, ) =, temos elo Teorema de Fermat: n 6 (mod. 7) e n 4 (mod. 5) Deste modo 5.7 (n 4 )(n 6 ) 5.7 X (3) Finalmente, notemos que n 30 n 4 n 8 + n = n (n )(n 6 ) = n (n 3 )(n 3 + )(n 6 + )(n 4 )(n 4 + )(n 8 + ). Pelo Teorema de Fermat n (mod. 3) 3 (n ) 3 X (4) De (), (), (3) e (4) concluímos que.3.5.7.3.7 n 30 n 4 n 8 + n. 47) Notemos que: 34 =.3 e 0 = 04 = 3.33 + =.93 +, o que imlica: 0 (mod. 3) e 0 (mod. ) 3 = ( 0 ) 3. 3 (mod. ) Os inteiros e 3 são rimos, de modo que, elo teorema acima temos:.3 (mod..3) ou 34 (mod. 34), ou seja, cancelando o fator comum : 340 (mod. 34) 48) Como mdc (n, 5) =, elo Teorema de Fermat temos que n 4 (mod. 5) () Como 99 (mod. 5) 99 (mod. 5) () Somando () e () temos que n 4 99 0 (mod. 5)