CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI PRAIA GRANDE - SP APRESENTAÇÃO Nesta apostila, a intenção é que você adquira a capacidade de visualizar e nomear, pontos, retas, planos, ângulos e reconhecer triângulos. É uma pequena dose da geometria que lhe fornece uma breve noção destes assuntos, que são simples e de fácil fixação. MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL Estudaremos os triângulos, importantes figuras da geometria. Condição para existência de um triângulo, dadas três medidas de segmento de retas. A soma dos ângulos internos de um triângulo. 09 Construção de ângulos com o uso de transferidor. Retas paralelas cortadas por uma transversal Diferenças e semelhanças
GEOMETRIA ELEMENTAR Inicia-se com três elementos básicos: o ponto, a reta e o plano. Esses três elementos são idéias formadas em nossa mente de modo intuitivo, quer dizer, são idéias formadas pela observação do mundo em que vivemos. Exemplos: Um furo de agulha numa folha de papel dá-nos a idéia de um PONTO. ÂNGULOS A unidade de medida usada para ângulos é o grau (que simbolizamos assim: (º). Em geral, o instrumento utilizado para realizar medidas de ângulos é o transferidor, que pode ser de dois tipos: No papel o ponto é indicado assim: ponto Um fio de cabelo bem esticado dá-nos a idéias de RETA. Você pode entender uma reta como uma quantidade muito grande (infinita) de pontos todos em uma mesma direção. A reta é indicada assim: O chão, a parede de uma sala, o tampo de uma mesa, dão-nos a idéia de um plano. Outro exemplo de plano é uma folha de papel muito grande. Os transferidores podem Ter o formato de um círculo, dividido em 360 partes, ou -01- -02-
De um semi-círculo, dividido em 180 partes. Por ser circular, o transferidor tem centro e diâmetro, o qual passa pelas graduações zero e 180. Como usar o transferidor Para medir um ângulo, devemos colocar o centro do transferidor sobre o vértice do ângulo e encaixar o diâmetro do transferidor sobre um de seus lados, como mostra a figura. A medida de um ângulo é determinada pela abertura de seus lados. A unidade dessa medida é o grau. Considere os ponteiros de um relógio; como os lados do ângulo que é o espaço determinado pela abertura dos ponteiros. Ângulos quanto às suas medidas: agudo < 90º reto = 90º obtuso > 90º raso ou meia volta = 180º 1 volta = 360º Dois ângulos poder ser: suplementares quando somados resultam 180º. Complementares quando somados resultam 90º. Peça orientação caso não saiba manuseá-lo. -03- -04-
Ângulos opostos pelo vértice: Possuem medidas iguais. Posições de três retas no plano No caso b temos oito ângulos, formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Assim como dizemos: A rua Z é paralela à rua X, e a rua Y é transversal às duas, também usamos esses termos em geometria. Quando nos referimos a essas ruas, estamos falando de duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. O que observamos? -05- -06-
Você respondeu certo se a sua conclusão foi esta: Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentemente iguais. Para falar desses elementos dos triângulos, a Matemática usa uma convenção universal. Com letras maiúsculas representamos os vértices, pois ele são pontos do plano. Com letras gregas (α, β, δ) ou letras maiúsculas com circunflexo nos ângulos. E assim temos, por exemplo: Assim, na figura anterior, temos que: a = c e b = d. TRIÂNGULOS O triângulo é uma figura geométrica de: A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º. Veja os exemplos abaixo: -07- Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre descobrir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria resolvido esse problema usando os mesmos exemplos acima. - 08 -
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos: Os triângulos não são todos iguais. Quanto à medida de seus ângulos, o triângulo pode ser: acutângulo, retângulo e obtusângulo. Observe: O triângulo acutângulo possui os 3 ângulos agudos. O triângulo retângulo possui 1 ângulo reto e 2 ângulos agudos. O triângulo obtusângulo possui 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos. Classificação quanto aos lados: - 09 - triângulo equilátero possui os 3 lados com a mesma medida. - 10 -
triângulo isósceles possui 2 lados com a mesma medida e o terceiro lado com medida diferente. Resposta: Em qualquer triângulo a medida de um lado deve ser sempre menor que a soma dos outros dois lados. 3 < 4+ 8 4 < 3 + 8 porém 8 > 4 + 3 portanto não é possível a construção do triângulo com essas medidas. Triângulos semelhantes Dizemos que dois triângulos são semelhantes se a razão de proporção entre seus 3 lados for a mesma. triângulo escaleno possui os 3 lados com medidas diferentes. Condição de existência: Será possível construir um triângulo quando seus lados medem 8 cm, 4 cm e 3 cm? -11- Logo, os triângulos são semelhantes. -12-
Exercício 01: Observe os triângulos abaixo e classifique-os quanto aos ângulos e quanto aos lados. Exercício 03: Num triângulo equilátero, quanto mede cada ângulo? Exercício 04: Num triângulo isósceles, os ângulos da base medem 50º cada um. Quanto mede o outro ângulo? Exercício 05: Verifique se existem triângulos cujos lados tenham as medidas abaixo: a) 7 cm, 10 cm e 15 cm b) 6 cm, 6 cm e 6 cm c) 4 cm, 5 cm e 10 cm d) 3 cm, 7 cm e 10 cm Exercício 06: Determine a medida do terceiro ângulo: Exercício 02: Use o transferidor e construa os seguintes ângulos: a) 30º d) 180º b) 90º e) 210º c) 120º -13- -14-
Exercício 07: Se eu pedir a um amigo, por telefone, que peque três varetas e faça um triângulo com ângulos de 77º, 69º e 34º, será que poço ter certeza de que ele fará um triângulo? Exercício 10:Em cada um destes pares de retas concorrentes, quanto medem os outros ângulos? Exercício 08: Quanto mede o suplemente de: a) 58º b) 122º.. c) 13º d) 60º e) 45º f) 0º.. g) 90º h) x graus. Exercício 09: Meça com um transferidor os ângulos a, b, c e d da figura abaixo. Se não tiver um transferidor, use papel transparente para comparar os ângulos a e b com c e d. Tente tirar uma conclusão. Exercício 11: Esta figura mostra duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. Complete-a com a medida dos outros ângulos. -15- -16-
Exercício 12: Determine a razão de semelhança entre os triângulos: Exercício 14: Sabendo que trata-se de ângulos complementares, diga qual é o valor de x em cada caso. (Lembre: dois ângulos são complementares quando a soma entre eles é igual a 90 o ) a) c) 26 o x x 40 o x Exercício 13: Classifique os ângulos das seguintes figuras como: agudo, reto ou obtuso: a) c) Exercício 15: Calcule o complemento de cada ângulo, cuja medida é dada a seguir: a) 72 o d) 33 o b) 45 o e) 66 o c) 81o f) 2 o Exercício 16: b) d) Determine o valor de x, sabendo que são ângulos opostos pelo vértice: a) c) 40 o x 2x 86 o 17 18
Exercício 17: Coloque V para verdadeiro ou F para falso, nas seguintes afirmações: a) ( ) Triângulo escaleno é aquele que possui os três lados de medidas iguais. b) ( ) Triângulo qüilátero é aquele que possui os três lados de medias iguais. c) ( ) Triângulo isósceles é aquele que tem dois lados de medidas iguais. d) ( ) Não existe triângulo retângulo isósceles. e) ( ) Todo triângulo qüilátero é também isósceles. Exercício 19: Às 15h00 os ponteiros do relógio formam entre si um ângulo Exercício 20: Às 06h00 os ponteiros do relógio formam entre si um ângulo Exercício 18: Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 o, calcule o valor de x: a) c) 75 o x 50 o x 38 o b) d) x 90 o x 45 o 50 o 30 o 19 20
Gabarito Exercício 10: Exercício 01: a) retângulo, isósceles b) obtusângulo, escaleno c) acutângulo, equilátero Exercício 02: Confira com o professor os ângulos que você construiu. Exercício 03: 60º Exercício 04: 80º Exercício 05: a) sim b) sim c) não d) não Exercício 06: a) 85º b) 92º c) 40º Exercício 07: Sim. Exercício 08: a) 122º b) 58º c) 167º d) 120º e) 135º f) 180º g) 90º h) 180º - x graus. Exercício 11: Exercício 09: Os ângulos a e c são iguais; os ângulos b e d são iguais. 21 22
Exercício 12: 1 3 Exercício 13: a) obtuso c) agudo b) reto d) reto Exercício 19: Reto Exercício 20: Raso Exercício 14: a) x = 64 o b) x = 25 o Exercício 15: a) 6 o d) 57 o b) 45 o e) 24 o c) 9 o f) 88 o Exercício 16: a) 40 o b) 43 o Exercício 17: F,V,V,F,F, Exercício 18: a) 55 o d) 60 o b) 85 o c) 52 o 23 24
BIBLIOGRAFIA Os textos e os exercícios foram retirados e/ ou pesquisados nos seguintes livros: DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, 2002. (5 a a 8 a séries) DI PIERRO NETTO, Scipione. Matemática Conceitos e Histórias. São Paulo: Scipione, 1998. ( 5 a a 8 a séries) GIOVANI, José Rui. Et all. A Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 1998. (5 a a 8 a séries). MORI, Iracema. ONAGA, Dulce Satiko. Matemática Idéias e Desafios. São Paulo: Saraiva, 1996. (5 a a 8 a séries) Este conjunto de apostilas (01 a 12) foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEESMAG, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e teoria, ora criando com base nos conteúdos observados. PROFESSORES ANA PAULA PITA PONSONI EDNILTON FELICIANO PAULO TELES DE ARAUJO REGINA E. G. BIZARRO 2007