Topografia Exercícios de Trigonometria Agronomia / Arquitetura e Urbanismo / Engenharia Civil Prof. Luiz Miguel de Barros Luizmiguel.barros@yahoo.com.br
1) Some os ângulos. A) 19 23 15 + 72 21 12 (graus centesimais) R: 91 44 27 B) 37 54 56 + 41 14 28 (graus sexagesimais) R: 79 09 24
2) Subtraia os ângulos A) 255 23 15 183 68 44 (graus centesimais) R: 71 54 71 B) 315 00 08 30 51 19 (graus sexagemais) R: 284 08 49
3) Solucione a equação e transforme o resultado de forma longa para a forma decimal. A) 35 12 43 + 50 29 20 (graus sexagesimais) R: 85 42 03 = 85,750833 B) 35 12 55 + 50 29 45 (graus centesimais) R: 85 42 00 = 85,4200 C) 56 49 55 30 56 45 (graus sexagesimais) R: 25 53 10 = 25,886111 D) 56 49 55 30 56 45 (graus centesimais) R: 25 93 10 = 25,9310
4) No triângulo abaixo determine as relações solicitadas. 1/2 3/2 1/ 3 1/2 3/2 3
5) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem, segundo um ângulo de 56 00 00. Afastando-se 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35 00 00. Calcule a largura do rio. Tg 35 = CO/CA Tg 35 = h/(d+20) 0,700 = h/(d+20) 0,700 (d+20) = h 0,700d +14 = h Tg 56 = h/d 1,48 = (0,7d +14)/d 1,48d = 0,7d +14 1,48d 0,7d = 14 0,78d = 14 d = 14/0,78 = 17,948m h = 0,700d +14 h = 0,700(17,948) +14 h = 26,563 m
6) Determine a distâncias entre os extremos da lago (lado AC), conforme os dados da figura abaixo. a/sena = b/senb 254,09/sen52 42 51 = b/sen88 56 44 254,09/0,795623 = b/0,999830 (319,359). 0,999830 = b b = 319,304 m
7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos. cosa = (b 2 + c 2 a 2 )/2bc cosa = (5 2 + 5 2 5,40 2 )/2.5.5 cosa = (25 + 25 29,16)/50 cosa = 20.84/50 cosa = 0,4168 A= 65,3672777 = 65 22 02 a/sena = b/senb 5,40/sen65 22 02 = 5/senB 5,40/0,908998 = 5/senB senb = 5/(5,40/0,908998) senb = 0,841648 B = 57,314583 = 57 18 52 A + B + C = 180 C = 180 - A B C = 180-65,367277 57,314583 C = 57.31814 = 57 19 05
7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos. cosa = (b 2 + c 2 a 2 )/2bc cosa = (5 2 + 4 2 5,20 2 )/2.5.4 cosa = (25 + 16 27,04)/40 cosa = 16,96/40 cosa = 0,349 A= 69,573837 = 69 34 26 cosb = (a 2 + c 2 b 2 )/2ac cosb = (5,2 2 + 4 2 5 2 )/2.(5,2).(4) cosb = (27,04 + 16 25)/41,6 cosb = 18,04/41,6 cosb = 0,433654 B= 64,300323 = 64 18 01 A + B + C = 180 C = 180 - A B C = 180-69,573837 64,300323 C = 46.12584 = 46 07 33
7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos. cosa = (b 2 + c 2 a 2 )/2bc cosa = (4 2 + 6,1 2 5.6 2 )/2.6,1.4 cosa = (16 + 37,21 31,36)/48,8 cosa = 21,85/48,8 cosa = 0,447746 A= 63,400838 = 63 24 03 a/sena = b/senb 5,6/sen63 24 03 = 4/senB 5,6/0,894161 = 4/senB senb = 4/(5,6/0,894161) senb = 0,635641 B = 39,467589 = 39 28 03 A + B + C = 180 C = 180 - A B C = 180-63,400838 39,467589 C = 77,132028= 77 07 55
8) Determine as dimensões da base e da altura de um triângulo retângulo, que possui como valor para a tangente 2 m e área 25 m 2. Tg a = a/b 2 = a/b a = 2b α A = (a. b)/2 25 = (2b. b)/2 25 = b 2 b = 25 b = 5 m a = 2b a = 2. 5 = 10m
9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo. Isolar o triângulo ABD A + B + D = 180 B = 180 - A D B = 180-94 19 40 33 59 08 B = 51 41 12 = 51,686666 Usar Lei do seno para determinar distancia AB b/senb = d/send 322,54/sen51 41 12 = d/sen33 59 08 322,54/0,784632 = d/0,558984 d = (322,54/0,784632).0,558984 d = 229,782 m Portanto distância entre AB é de 229,782m
9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo. Isolar o triângulo ACD A + C + D = 180 C = 180 - A D C = 180-46 29 00 92 45 25 C = 40 45 35 = 40,759722 Usar Lei do seno para determinar distancia CD a/sena = c/senc a/sen46 29 00 = 322,54/sen92 45 25 a/0,725174 = 322,54/0,998842 d = (322,54/0,998842).0,725174 d = 234,168 m Portanto distância entre CD é de 234,168 m
9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo. E Isolar o triângulo ADE A + D + E = 180 E = 180 - A D E = 180-46 29 00 33 59 08 E = 99 31 52 = 99,531111 E Portanto o ângulo oposto possui o mesmo valor para o Triângulo BCE, por ser uma projeção dos lados do triângulo ADE.
9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo. E Isolar o triângulo ABE, lembrando que o ângulo B já foi calculado, obtendo o valor de 51 41 12 O ângulo A para o triângulo ABE é (94 19 40 46 29 00 ) portanto A = 47 50 40 A + B + E = 180 E = 180 - A B E = 180-47 50 40 51 41 12 E = 80 28 08 = 80,468888 E Portanto o ângulo oposto possui o mesmo valor para o Triângulo CDE, por ser uma projeção dos lados do triângulo ADE.
9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo. Isolar o triângulo ABE, lembrando que o ângulo B já foi calculado, obtendo o valor de 51 41 12 e o lado AB com distância de 229,782 m. E O ângulo A para o triângulo ABE é (94 19 40 46 29 00 ) portanto A = 47 50 40 Usar lei do seno para determinar o lado BE a/sena = e/sene a/sen47 50 40 = 229,782/sen80 28 08 a/0,741325 = 229,782/0,986196 a = (229,782/0,986196).0,741325 a = 172,727 m
9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo. E Isolar o triângulo CDE, lembrando que o ângulo C já foi calculado, obtendo o valor de 40 45 35 e o lado CD com distância de 234,168 m. O ângulo D para o triângulo CDE é (92 45 25 33 59 08 ) portanto D = 58 46 17 Usar lei do seno para determinar o lado CE d/send = e/sene d/sen58 46 17 = 234,168/sen80 28 08 d/0,855105 = 234,168/0,986196 d = (234,168/0,986196).0,855105 a = 203,041 m
9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo. E Isolar o triângulo BCE, lembrando que o ângulo E já foi calculado, obtendo o valor de 99 31 52 e o lado BE com distância de 172,727 m e o lado CE com distância de 203,041m. cose = (b 2 + c 2 e 2 )/2bc Cos99 31 52 = (172,727 2 + 203,041 2 e 2 )/2 x 172.727 x 203,041-0,165583 = (29834,616 + 41225,648 e 2 )/70141,325 (-0,165583)x70141,325 = 71060,264 e 2-11641,211 71060,264 = e 2-82674,475 = e 2 x(-1) e 2 = 82674,475 e = 82674,475 e = 287,532 m Usar lei do cosseno para determinar o lado BC Portanto distância entre BC é de 287,532 m
9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo. Portanto os lados do terreno possuem: AB = 229,782 m BC = 287,532 m CD = 234,168 m DA = 322,54 m
Fórmulas Teorema de Pitágoras Hip 2 = Cat. Adj 2 + Cat. Opo. 2 cos A = (b 2 + c 2 a 2 )/2bc cos B = (a 2 + c 2 b 2 )/2ac Seno senα = CO/H cos C = (a 2 + b 2 c 2 )/2ab Cosseno cosα = CA/H Tangente tgα = CO/CA a/sen A = b/sen B = c/sen C P = a + b + c p = (a + b + c)/2 A = p.(p-a).(p-b).(p-c)