Título : B1 FUNÇÕES Conteúdo : 1. FUNÇÕES Na matemática, uma relação é apenas um conjunto de pares requisitados. Se utilizamos {} como o símbolo para o conjunto, temos abaixo alguns exemplos de relações entre pares ordenados: {(0.1), (55.22), (3, 50)}; {(0, 1), (5, 2), ( 3, 9)}; {( 1.7), (1, 7), (33, 7), (32, 7)}. Por vezes podemos identificar, em várias situações práticas, variáveis que estão em relação de dependência. Aqui, buscamos explicitar situações que envolvam essa relação de dependência, determinando, assim, suas variáveis. Essa identificação será baseada em parte da teoria de conjuntos. Lá verificamos que podemos relacionar números por meio de relações gráficas em um plano cartesiano, números que de maneira geral são chamados x e y pelos matemáticos. Apesar de amplamente rejeitado, em diversos momentos de nosso dia a dia, empregamos o conceito de função, até sem perceber. Exibiremos aqui algumas situações do nosso cotidiano nas quais podemos destacar tais relações funcionais: Quando completamos velozmente o cálculo de um lanche, ao pedirmos dois salgados e um refrigerante, não sabemos imediatamente quanto iremos gastar? Ao completarmos uma previsão de gastos residenciais e compará los com a renda familiar, sabemos se teremos condições de adquirir um bem? Ao finalizarmos um crediário, verificamos se o valor final terá um acréscimo e de quanto, isto é, iremos ou não aceitar os juros propostos pela empresa? Ao calcularmos a quantidade de material necessária para uma reforma, podemos estimar os gasto iniciais? É fato que o conceito de função, juntamente com sua representação gráfica, é a ferramenta matemática mais potente na formatação de problemas empresariais, motivo que nos levará a estudá lo de modo amplo. Além disso, deve ser continuamente exercitado, pois na figura de gestor a tomada de decisões, quando amparada por ferramentas matemáticas, é essencial para o sucesso pretendido. Claramente, em uma relação entre pares ordenados não há absolutamente nenhuma condição especial que a estabeleça. Isto é: qualquer conjunto de números é uma relação, contanto 1/9
que esses números sejam pares ordenados. Já para uma função temos condições precisas que definem sua existência. Ainda assim, funções são um tipo especial da relação. Vejamos: Uma relação f: A B é chamada de função se i. não há elemento x em A sem correspondente y em B (não podem sobrar elementos de A); ii. qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B (não pode haver elemento de A associado a mais de um elemento de B). Observação: No entanto, elementos distintos de A podem ser associados a um mesmo elemento de B e podem sobrar elementos de B. Outra representação mais conveniente e muito mais utilizada é: uma função é uma relação entre duas variáveis x e y, de forma que o conjunto de valores para x seja atribuído, e a cada valor x seja associado um e somente um valor para y, como y = f(x). Nesse caso: o conjunto de valores de x é nomeado o domínio da função; as variáveis x e y são nomeadas, simultaneamente, independente e dependente A relação entre as variáveis x e y tem uma significação de grande apelo visual, que destaca propriedades da função. Pode se, por meio da descrição gráfica da função, observar diretamente, por exemplo, se as variáveis estão em relação crescente (isto é, aumento em x associado a aumento em y) ou se a variação de y é dependente quadrática da variação de x etc. 1.1 FUNÇÂO CONSTANTE É toda a função y = k, em que k é uma constante real. Verifica se que o gráfico dessa função é uma reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k. 2/9
1.2 FUNÇÃO LINEAR Sendo A e B conjuntos de números reais, e m uma constante real diferente de zero, dizemos que uma função f: A B, com f (x) = m. x é uma função linear. O gráfico de uma função linear é um conjunto de pontossobre uma reta que passa pelo ponto (0,0) ou a origem do gráfico cartesiano. 1.3 FUNÇÃO DO 1º GRAU Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações em nosso dia a dia. Mesmo problemas muito complexos podem ser representados em primeira aproximação por esse tipo de função. Daí seu uso frequente em economia, gestão de recursos humanos, descrições de mercado, por exemplo. Uma função é chamada de função afim (ou função do 1º grau) se sua sentença for dada por: y = m. x + n, sendo m e n constantes reais com m 0. 3/9
Verifica se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Assim, ele pode ser obtido por meio de dois pontos distintos. 1. a constante n é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo y. 2. a constante m é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a um aumento do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir de qualquer ponto da reta; quando m > 0, o gráfico corresponde a uma função crescente, e, quando m < 0, o gráfico corresponde a uma função decrescente. Seja X 1 a abscissa de um ponto qualquer da reta e seja X 2 X 1 + 1. Sejam y 1 e y 2 as ordenadas dos pontos da reta correspondentes àquelas abscissas. Teremos: y 1 m. x 1 + n y 2 m. x 2 + n Subtraindo membro a membro as duas relações anteriores, e tendo em conta que x 2 = x 1 + 1, obtêm se: coeficiente angular 3 Assim, conhecendo se dois pontos de uma reta A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ), o coeficiente angular m é facilmente determinado. 4.Da mesma forma, conhecendo se um ponto P (X 0, Y 0 ) de uma reta e seu coeficiente angular m, a função correspondente é dada por Y Y 0 = m (X X 0 ). Ou seja: equação da reta y=m.(x x0) + y0 Aplicações O valor a ser pago na conta de água de uma empresa depende do consumo medido no período; o 4/9
tempo de uma viagem de caminhão entre duas cidades depende da velocidade média desenvolvida no trajeto. São cálculos que nos levam a um custo logístico. Quando uma indústria lança um produto no mercado, para fixar seu preço, ela tem que levar em conta os custos para sua produção e sua distribuição, que dependem de diversos fatores, entre eles as despesas com energia, aluguel de prédio, custo das matérias primas e salários. Como esses custos podem variar, a indústria tem que equacionar essas variáveis, a fim de compor o preço do seu produto. Podemos utilizar a linguagem matemática para representar essas relações de dependência entre duas ou mais grandezas. Dizemos que: o preço de uma peça de carne é dado em função do peso da peça; a taxa de desemprego é dada em função do mês. Vamos ver algumas definições úteis em uma análise gerencial e em que se utilizam os conceitos e métodos analíticos das funções: Função demanda de mercado: a demanda (ou procura) de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano...). Podemos entender a demanda como: a quantidade de produtos que compradores desejam e podem adquirir a diversos níveis de preço. Devemos observar uma relação inversa/negativa entre preço e quantidade ( Lei Geral da Demanda ). O que isso significa? quando se tratar de demanda, pense como um consumidor, ou seja: se o preço estiver subindo eu vou comprar menos. A demanda de um bem é função de várias variáveis: preço por unidade do produto, renda do consumidor, preços de bens substitutos, gostos e outros. Supondo se que todas as variáveis mantenham se constantes, exceto o preço unitário do produto (p), verifica se que o preço p relaciona se com a quantidade demandada (x). Chama se função de demanda à relação entre p e x, indicada por p = f(x). O que regula a demanda de consumo? Fatores como: 1. preço 2. renda 3. preço de produtos similares 4. gosto 5. expectativa 6. número de consumidores 7. marca 8. atendimento 9. localização 10. forma de pagamento 11. qualidade 12. propaganda 13. status 5/9
14. etc. Existe a função de demanda para um consumidor individual e para um grupo de consumidores (nesse caso, x representa a quantidade total demandada pelo grupo, a um nível de preço p). Em geral, quando nos referimos à função de demanda, faremos referência a um grupo de consumidores e o chamaremos de função de demanda de mercado. Qd= a.p +b Onde: Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo; P é o preço do bem. Essa função de primeiro grau é representada por uma reta decrescente, já que a<0. Isso está em concordância com o gráfico de p em função de x (que chamaremos de curva de demanda). Trata se um gráfico de uma função decrescente, pois quanto maior o preço, menor a quantidade demandada. Cada função de demanda depende dos valores em que ficaram fixadas as outras variáveis (renda, preço de bens substitutos e outros). Assim, se for alterada a configuração dessas outras variáveis, teremos nova função de demanda. Função oferta de mercado: é a quantidade de produtos que vendedores desejam e podem produzir para vender a diversos níveis de preço. Existe uma relação direta/positiva entre preço e quantidade ( lei geral da oferta ). quando se tratar de oferta, pense como um empresário: se o preço estiver subindo eu vou vender mais produtos. Quais são os fatores que influenciam a oferta feita ao mercado? 1. preço; 2. preço dos insumos; 3. tecnologia; 4. expectativa; 5. concorrência; 6. demanda; 7. sazonalidade; 8. impostos; 9. temperatura; 10. disponibilidade dos insumos; 11. tecnologia; 12. religião; 13. etc. Chamamos de oferta de um bem, em certo intervalo de tempo, a quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado. A oferta é dependente de várias variáveis: preço do 6/9
bem, preço dos insumos utilizados na produção, tecnologia utilizada e outros. Mantidas constantes todas as variáveis, exceto o preço do próprio bem, chamamos de função de oferta a relação entre o preço do bem (p) e a quantidade ofertada (x) e a indicamos por p = g(x). Normalmente, o gráfico de p em função de x é o de uma função crescente, pois quanto maior preço, maior a quantidade ofertada. Tal gráfico é chamado curva de oferta. Observemos que termos uma curva de oferta para cada configuração das outras variáveis que afetam a oferta. preço e quantidade de equilíbrio: é o ponto de intersecção entre as curvas de demanda e oferta. Assim, temos um preço e uma quantidade de equilíbrio; Por exemplo: receita total: seja x a quantidade vendida de um produto, chamamos de função receita o produto de x pelo preço de venda e indicamos por R; custo total: seja x a quantidade produzida de um produto, o custo total de produção (ou simplesmente custo) depende de x, e a relação entre eles chamamos de função custo total (ou simplesmente função custo), e a indicamos por C. Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por C f. A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por C V. Assim, podemos escrever: C = C F + C V Verificamos também que, para x variando dentro de certos limites (normalmente não muito grandes), o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante é chamada custo variável por unidade. ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento: o ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x); função lucro: é definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C; assim, indicando a função lucro por L, teremos: 7/9
L(x) = R(x) C(x); margem de contribuição: é a diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade. Vamos, agora, resolver exercícios, repetindo e exemplificando essas definições administrativas de grande importância em atividades empresariais. 1. Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é R$ 100,00, nenhuma é vendida. Quando a mercadoria é fornecida gratuitamente, 50 são procuradas. Ache a função do 1º grau ou equação da demanda e calcule a demanda para o preço de R$ 30,00. Solução: sejam: p = preço de venda e D = demanda. Do enunciado, temos: 1º) p = 100 D = 0 e 2º) p = 0 D = 50. Como a função é do 1º grau, y = ax + b e, calculando x = p e y = D, temos: D = ap + b. Devemos achar os valores de a e b da função. Substituindo p = 100 e D = 0 0 = a.100 + b (equação I); substituindo p = 0 e D = 50 50 = a.0 + b b = 50; Voltando à equação I, temos: 0 = a.100 + 50 a = 0,5. E daí, D = 0,5p + 50. A equação de demanda ou função demanda é: D = 0,5p + 50; substituindo p = 30 na equação D = 0,5p + 50, temos: D = 0,5. 30 + 50 = 35; assim, para o preço de R$ 30,00 a demanda é de 35 unidades. 2. Suponha que as funções demanda e oferta sejam dadas por funções lineares, tais que: D(p) = 34 5p S(p) = 8+2p Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções? De acordo com a definição dada, o equilíbrio de mercado é um par (p, y), tal que y = D(p) = S(p), ou seja: 8/9
34 5p = 8 +2p 34 + 8 = 2p + 5p 42 = 7p p = 6 logo, o preço do equilíbrio é R$ 6,00. Para obter a quantidade de equilíbrio, basta substituir p =6,00 em umas das funções. Utilizando a função oferta, temos: S = 8 + 2.6 = 4 Logo, a quantidade de equilíbrio é de 4 unidades. 3. Considere a função RT = 20,5.q, onde o preço é fixo (R$20,50) e q, a quantidade de produtos vendidos (0 < q < 120 unidades). Qual a quantidade de produtos vendidos quando a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00? RT = 1.025 20,5.q = 1.025 q = 1.025 20,5 q = 50 unidades vendidas Portanto, a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00, quando são vendidas 50 unidades do produto. 9/9