EQUAÇÃO POLINOMIAL
Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 os coeficientes complexos (reais ou não), com a n 0, e n N*. Observe que a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + + a 0, com a n 0, é um polinômio P(x) de grau n. A equação polinomial correspondente tem grau n.
Exemplos x 2 + 5x + 6 + i = 0 é uma equação polinomial do 2 o grau cujos coeficientes são 1, 5 e (6 + i); 2x 5 + 3x 4 x 2 + x = 0 é uma equação de grau 5; kx 3 + 6x 8i = 0 é uma equação de grau 3 se k 0, e de grau 1 se k = 0.
Raiz de uma equação algébrica Um número complexo é raiz (ou zero) de uma equação algébrica P(x) = 0, de grau n, quando é raiz de P(x), ou seja: a n n + n a 1 n 1 + a n 2 n 2 +... + a 2 2 + a 1 1 + a 0 = 0 Exemplos a) Vamos verificar se 2 é raiz da equação 6x 4 + 7x 3 36x 2 7x + 6 = 0 Substituindo x por 2 na equação, temos: 6 2 4 + 7 2 3 36 2 2 7 2 + 6 96 + 56 144 14 + 6 = 0 158 158 = 0 (verdadeira). Logo, 2 é raiz da equação dada.
Exemplos b) Vamos mostrar que i é raiz da equação x 3 ( 1 + i)x 2 i x = 0, mas não é raiz da equação x 3 ( 1 i)x 2 i x = 0 Substituindo x por i na 1 a equação, temos: i 3 ( 1 + i)i 2 i i = 0 i 3 + i 2 i 3 i 2 = 0 (verdadeira) Substituindo x por i na 2 a equação, temos: i 3 ( 1 i)i 2 i i = 0 i 3 + i 2 + i 3 + i 2 = 0 2i 2 = 0 (falsa) Logo, i é raiz apenas da 1 a equação.
Conjunto solução O conjunto solução (S) ou conjunto verdade (V) de uma equação algébrica é o conjunto de todas as raízes dessa equação que pertencem ao conjunto universo considerado. Exemplo Vamos determinar o conjunto solução, em C, da equação x 2 ix + 2 = 0. Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes: x = 2i ou x = i Logo: S = {2i, i}
Teorema fundamental da Álgebra Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n, com n 1, admite pelo menos uma raiz complexa (real ou não).
Decomposição do polinômio P(x) = x 2 + 1 Sabemos que i é raiz do polinômio P(x) = x 2 + 1, pois P(i) = 0. Como i é raiz de P(x), temos, pelo teorema de D Alembert, que P(x) é divisível por (x i). Portanto, P(x) pode ser escrito da seguinte forma: P(x) = Q(x)(x i)
Decomposição do polinômio P(x) = x 2 + 1 Ao dividir P(x) por (x i), utilizando o método de Briot-Ruffini, temos: Logo: Q(x) = x + i A raiz do quociente Q(x) = x + i também é raiz de P(x). Portanto, podemos escrever P(x) na forma fatorada: P(x) = (x i)(x + i)
Decomposição do polinômio P(x) = 2x 3 6x 2 12x + 16 Vamos decompor o polinômio P(x) = 2x 3 6x 2 12x + 16, sabendo que 2 é uma de suas raízes. Se 2 é raiz de P(x), por D Alembert, temos: P(x) = Q(x)(x + 2) E, pelo método de Briot-Ruffini, temos: Q(x) = 2x² 10x + 8 As raízes do quociente Q(x) = 2x² 10x + 8 também são raízes de P(x).
Decomposição do polinômio P(x) = 2x 3 6x 2 12x + 16 Agora, vamos resolver a equação pela fórmula de Bhaskara: 2x 2 10x + 8 = 0 a = 2; b = 10; c = 8 = b 2 4 a c = ( 10) 2 4 2 8 = 100 64 = 36 x = x = 4 ou x = 1 Portanto, as raízes de Q(x) = 2x 2 10x + 8 são 1 e 4. Logo: Q(x) = 2(x 1)(x 4) Assim: P(x) = 2(x 1)(x 4)(x + 2)
Decomposição do polinômio P(x) = 2x 4 6x 3 2x 2 + 6x Sabendo que 1 é raiz do polinômio P(x) = 2x 4 6x 3 2x 2 + 6x, vamos decompor P(x) em um produto de uma constante por polinômios do 1 o grau. Como a 0 = 0, temos que 0 é raiz de P(x), portanto: P(x) = x(2x 3 6x 2 2x + 6) Agora, como 1 também é raiz de P(x), temos, pelo teorema de D Alembert, que P(x) = x(x 1)Q(x) e, pelo método de Briot-Ruffini, temos: Q(x) = 2x² 4x 6
Decomposição do polinômio P(x) = 2x 4 6x 3 2x 2 + 6x As raízes do quociente Q(x) = 2x² 4x 6 também são raízes de P(x). Resolvendo a equação do 2 o grau, por Bhaskara, obtemos as raízes 1 e 3. Portanto: Q(x) = 2(x 3)(x + 1) Como P(x) = x(x 1)Q(x), temos: P(x) = 2x(x 1)(x 3)(x + 1)
Teorema da decomposição Todo polinômio P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + + a 1 x + a 0 de grau n maior ou igual a 1, em C, pode ser fatorado da seguinte forma: P(x) = a n (x 1 ) (x 2 )... (x n 1 ) (x n ), sendo a n o coeficiente e 1, 2,..., n 1, n as raízes desse polinômio.
Teorema da decomposição Pelo teorema da decomposição, podemos concluir que: Toda equação algébrica de grau n (com n 1) admite, em C, exatamente n raízes complexas (reais ou não), não necessariamente distintas. Observações Se é uma raiz de P(x), então dizemos que (x ) é um fator do polinômio P(x). Expressar um polinômio P(x) na forma fatorada é apresentá-lo como produto de polinômios do 1 o grau e de uma constante (coeficiente dominante de P(x)).
Exercícios 1) Sabendo que 3i e 5 são duas raízes da equação a seguir, encontrar o seu conjunto solução, em C. x 4 (4 + 3i) x 3 + ( 7 + 12i) x 2 + (10 + 21i)x 30i = 0 Resolução Sendo 3i e 5 raízes da equação P(x) = 0, sabemos que o polinômio P(x) é divisível por (x 3i) e (x + 5). Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: Logo: P(x) = (x 2 + x 2)(x 3i)(x 5)
Resolução As raízes do quociente Q(x) = x 2 + x 2 também são raízes de P(x). Determinando as raízes de Q(x), encontramos 2 e 1, que são as outras duas raízes de P(x). Portanto: S = {3i, 5, 2, 1}
Multiplicidade de uma raiz Uma raiz de uma equação polinomial P(x) = 0 é uma raiz de multiplicidade m, com m natural não nulo, quando P(x) = (x ) m Q(x) e Q( ) 0. Fatorando o polinômio P(x) = x 2 2ix 1, obtemos: P(x) = (x i) (x i) = (x i) 2 Então, a equação do 2 o grau x 2 2ix 1 = 0 tem duas raízes iguais a i: x 2 2ix 1 (x i) (x i) = 0 x i = 0 x = i Portanto, i é uma raiz dupla ou de multiplicidade 2. As raízes que não se repetem são as raízes simples ou de multiplicidade 1.
Exemplos a) Vamos resolver a equação x 5 + 10x 4 6x 3 176x 2 + 133x + 294 = 0, em C, sendo 7 raiz dupla e 2 raiz de multiplicidade 1 (ou raiz simples) dessa equação. Como 7 é raiz dupla e 2 é raiz simples da equação P(x) = 0, o polinômio P(x) é divisível por (x + 7) 2 (x 2). Então, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, obtemos um quociente Q(x) e uma equação de grau menor, de fácil resolução. Assim, temos x 2 2x 3 = 0, cujas raízes 1 e 3 também são raízes da equação P(x) = 0; portanto, o conjunto solução procurado é: S = { 7, 2, 1, 3}
Exemplos b) Dado que 1 é raiz tripla ou raiz de multiplicidade 3 do polinômio P(x) = x 4 + x 3 Ax 2 Bx C, vamos calcular os valores de A, B e C. Como 1 é raiz tripla da equação P(x) = 0, temos, pelo teorema de D Alembert, que o polinômio P(x) é divisível por (x + 1) 3. Então, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: Igualando a zero os restos encontrados, temos: Portanto: A = 3, B = 5, C = 2
Raízes complexas Se um número complexo z = a + bi, com b 0, é raiz de uma equação polinomial com coeficientes reais, então o conjugado Z = a bi também é raiz dessa equação. Se o número complexo z (não real) é raiz de multiplicidade m de uma equação de coeficientes reais, então o conjugado Z também é raiz de multiplicidade m da mesma equação.
Raízes complexas Exemplo Sabendo que 5 + 2i é uma das raízes da equação x 4 11x 3 + 37x 2 9x 58 = 0, vamos determinar, em C, as demais raízes dessa equação. Como a equação tem coeficientes reais e z = 5 + 2i é sua raiz, então Z = 5 2i também é raiz da equação. Com o dispositivo de Briot-Ruffini, obtemos uma equação de grau menor cujas raízes são as demais raízes da equação dada:
Exemplo (Continuação) Resolvendo a equação obtida, x 2 x 2 = 0, temos as outras raízes, 1 e 2. Assim, além de 5 + 2i, as outras três raízes da equação são 5 2i, 1 e 2. Observe que: as raízes complexas não reais de uma equação algébrica com coeficientes reais ocorrem sempre aos pares; toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.
Raízes racionais Se p q, com p e q inteiros primos entre si, é raiz racional da equação algébrica de grau n e coeficientes inteiros a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 = 0, então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n. Esse teorema não garante a existência de raiz racional, mas, se ela existir, indica uma forma de encontrá-la. Se nenhum dos possíveis valores encontrados é raiz da equação, então a equação não tem raízes reais.
Exemplo Vamos encontrar as raízes inteiras da equação: x 4 x 3 2x 2 + x + = 0 Observe que, nesse caso, a equação não tem coeficientes inteiros; no entanto, multiplicando os dois membros por 6, obtemos a equação 6x 4 7x 3 12x 2 + 3x + 2 = 0, de coeficientes inteiros e equivalente à equação dada e, portanto, com as mesmas raízes. Assim: a 0 = 2 e a n = 6
Exemplo Aplicando o teorema das raízes racionais, temos: possíveis valores de p: possíveis valores de q: D(2) = {±1, ±2} D(6) = {±1, ±2, ±3, ±6}, com p e q primos entre si: ±1, ±, ±, ±, ±2, ± Verificando os valores encontrados, temos 1 e 2 como raízes inteiras da equação. Em equações com coeficientes inteiros e a n = 1, se existirem raízes racionais, essas raízes serão inteiras e dividirão a 0.
Exercícios 2) Encontrar as raízes inteiras da equação x 3 4x 2 + 25x 100 = 0 e depois resolvê-la em C. Resolução Como a equação tem todos os coeficientes inteiros, aplicamos o teorema das raízes racionais. p {±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±25, ± 50, ± 100} (divisores de a 0 ) e q {± 1} (divisores de a n ) Logo: {± 1, ± 2, ± 4, ± 5, ± 10, ± 20, ± 25, ± 50, ±100} Utilizando o polinômio P(x) = x 3 4x 2 + 25x 100, verificamos se algum elemento desse conjunto é raiz da equação.
Obtemos: P(1) 0, P( 1) 0, P(2) 0, P( 2) 0 e P(4) = 0. Como P(4) = 0, sabemos que 4 é raiz da equação. Com essa raiz, podemos aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini e encontrar uma equação de grau menor. Resolvendo a equação x 2 + 25 = 0, temos as outras raízes: x 2 + 25 = 0 x 2 = 25 x 2 = 25i 2 x = ±5i Logo, o conjunto solução da equação é: S = {4, 5i, 5i}
Relações de Girard Relações entre coeficientes e raízes de uma equação do 2 o grau. As raízes 1 e 2 da equação do 2 o grau ax 2 + bx + c = 0, com a 0, obedecem às seguintes condições: 1 + 2 = 1 2 =
Exemplo Vamos calcular k, sabendo que 2 + i é raiz da equação: x 2 4x + k = 0 Pelo teorema das raízes complexas não reais de equações com coeficientes reais, sabemos que 2 i também é raiz. Então, aplicando as relações de Girard na equação, temos: 1 2 = (2 + i)(2 i) = k k = 4 2i + 2i i 2 = 4 ( 1) = 5 Portanto: k = 5
Relações de Girard Relações entre coeficientes e raízes de uma equação do 3 o grau As raízes 1, 2 e 3 da equação do 3 o grau ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, com a 0, obedecem às seguintes condições: 1 + 2 + 3 = 1 2 + 1 3 + 2 3 = 1 2 3 =
Exemplo Vamos encontrar uma equação algébrica que tenha zero como raiz simples e i como raiz dupla. A equação é do 3 o grau, já que tem 3 raízes. Então: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a 0). Como zero é raiz, o termo independente de x é zero, isto é, d = 0. Assim: 0 + i + i = b = 2ia 0 i + 0 i + i i = c = a Logo, temos a equação ax 3 2iax 2 ax = 0. Portanto, fazendo a = 1, temos a equação: x 3 2ix 2 x = 0
Relações de Girard Relações entre coeficientes e raízes de uma equação de grau n Considere a equação a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + + a 1 x + a 0 = 0, com a n 0, cujas n raízes são 1, 2, 3,... n 1 e n. As relações de Girard para essa equação são: 1 + 2 +... + n = 1 2 + 1 3 +... + n 1 n = 1 2 3 + 1 2 4 +... + n 2 n 1 n = 1 2 3... n 1 n =
Exemplo Vamos encontrar as quatro raízes da equação x 4 5x 3 + 8x 2 4x = 0 O termo independente é nulo, então zero é uma raiz. Observe que a soma dos coeficientes (1 5 + 8 4) é zero. Assim, 1 também é raiz dessa equação. Pelas relações de Girard: = = 5 = 1 + 2 + 1 = = 4 = 4 = 1 2 Resolvendo o sistema,obtemos 2 como raiz dupla. Portanto, as quatro raízes da equação são: 0, 1, 2 e 2.
Exercícios 3) Dada a equação 4x 3 10x 2 + 2x 40 = 0, de raízes 1, 2 e 3, calcular + +. Resolução As relações de Girard para a equação dada são: 1 + 2 + 3 = = = 1 2 + 1 3 + 2 3 = = = 1 2 3 = = = 10
Observe que, na expressão, essas relações não aparecem. Então, vamos efetuar operações modificando-a até que possamos usar as relações anteriormente mencionadas. + + = = = = = = =
Exercícios 4) Sabendo que as raízes da equação 0,1x 3 + 3,5x 2 + 35x + 100 = 0 são distintas entre si e estão em PG, resolver essa equação em C. Resolução Seja q 0 a razão da PG formada pelas raízes. Então, podemos indicá-las por, e q. Multiplicando os dois membros da equação por 10, temos: x 3 + 35x 2 + 350x + 1000 = 0. Então pelas relações de Girard, temos: q = d a = 1000 1 = 1000 3 = 1.000 3 = ( 10) 3 = 10
Usando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 10 1 35 350 1000 Obtemos, assim, a equação: 1 25 100 0 x 2 + 25x + 100 = 0 x = 25±15 2 x = 5 ou x = 20 Note que 20, 10 e 5 estão em PG PG (q = 2). e que 5, 10, 20 também estão em Logo, a equação tem a seguinte solução: S = { 10, 5, 20}