Capítulo 8: Determinantes

8 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 8: Determinantes Sumário 1 Propriedades dos Determinantes 211 11 Propriedades Características 211 12 Propriedades Adicionais das Funções D 212 13 Propriedade Multiplicativa 215 2 Existência de Determinantes 218 3 Matriz Adjunta 220 4 Regra de Cramer 224 210

1 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 211 1 Propriedades dos Determinantes Estudaremos nesta seção as propriedades dos determinantes de matrizes quadradas, dividindo-as em três categorias, a saber: 1) Propriedades características, aquelas que bastam para determinar as funções determinantes; 2) Propriedades adicionais, aquelas que seguem de modo quase direto das propriedades características; 3) Propriedade multiplicativa, que relaciona determinantes de produtos de matrizes com os determinantes dos fatores Essa propriedade é consequência das propriedades características e de propriedades das matrizes anteriormente estudadas 11 Propriedades Características Seja K um corpo 1 e seja n um número natural, com n 2 Denotaremos por M K (n), ou simplesmente por M(n), o espaço das matrizes quadradas de ordem n com entradas no corpo K Nosso objetivo, neste capítulo, é estender a n > 3 a noção de determinante de uma matriz em M(n) que introduzimos no Capítulo 4 nos casos n = 2 e n = 3 Dada uma matriz A M(n), denotaremos por,, K n os seus vetores linhas e escrevemos A = Queremos xar a nossa atenção sobre as funções D : M(n) K que possuem as seguintes propriedades: (D1) D é linear como função de cada linha separadamente 1 O leitor pode xar sua atenção nos casos K = R ou K = C, se com isto se sentir mais confortável

212 CAPÍTULO 8 DETERMINANTES Isto signica que se = A j + ta j, onde A j, A j K n e t K, então D A j + ta j = D A j + td A j (D2) Se duas linhas adjacentes e +1 de A são iguais, então D(A) = 0 (D3) Se I n representa a matriz identidade de M(n), então D(I n ) = 1 Estas propriedades são satisfeitas, por exemplo, pelas funções determinantes det: M(2) K e det: M(3) K introduzidas na Seção 3 do Capítulo 4 (veja Problemas 31 e 33 do Capítulo 4) As Propriedades (D1) e (D2) de uma função D acarretam várias outras propriedades, como veremos a seguir Essas propriedades, juntamente com a Propriedade (D3), determinam uma única função que chamaremos de função determinante, ou simplesmente, determinante, conforme veremos na Seção 2 Nas próximas subseções estudaremos mais propriedades de tais funções D 12 Propriedades Adicionais das Funções D Nesta seção estudaremos as propriedades das funções D que decorrem das Propriedades (D1) e (D2) da seção anterior Proposição 811 Seja j um número natural com 1 j n 1 Se A é a matriz obtida de A por meio de uma transformação elementar L j L j+1, então D(A ) = D(A) Demonstração Considere a matriz B tal que B j = B j+1 = + +1 e B i = A i, se i j e i j + 1 Da Propriedade (D2) temos que D(B) = 0 Da Propriedade (D1) (utili-

1 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 213 zada duas vezes), obtemos a igualdade 0 = D(B) = D + D +1 + D +1 + D +1 +1, da qual segue-se o resultado, pois sabemos, por (D2), que D = D +1 +1 = 0 Corolário 812 Se A é uma matriz com duas linhas iguais, então D(A) = 0 Demonstração Com uma troca de linhas, podemos transformar a matriz A em uma matriz A com duas linhas adjacentes iguais Logo, pela proposição anterior e pela Propriedade (D2), temos que D(A) = ±D(A ) = 0 Corolário 813 Se A é uma matriz obtida de A por uma transformação elementar L i L j, i, j = 1,, n, com i j, então D(A ) = D(A) Demonstração Usando a mesma ideia da prova da Proposição 811, considerando neste caso a matriz B tal que B i = B j = A i + e B k = A k, se k i, j, obtemos o resultado com auxílio do Corolário 812

214 CAPÍTULO 8 DETERMINANTES Corolário 814 Se uma matriz A é obtida de uma matriz a qual somamos a uma linha um múltiplo de outra, mantendo as demais inalteradas, então D(A ) = D(A) Demonstração Para i < j, sejam A i A i + t A =, A = Temos da propriedade (D1) que D(A ) = D(A) + td(a ), (1) onde A = Pelo Corolário 812, temos que D(A ) = 0, logo o resultado segue da igualdade (1), acima Corolário 815 Se uma matriz A é obtida de uma matriz a qual somamos a uma linha uma combinação linear de outras, mantendo as demais inalteradas, então D(A ) = D(A) Demonstração Use repetidamente o Corolário 814

1 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 215 Corolário 816 Se os vetores linhas de uma matriz A são linearmente dependentes, então D(A) = 0 Demonstração Se os vetores linhas da matriz são linearmente dependentes, então uma das linhas é combinação linear das demais, seguindo-se o resultado do Corolário 815 13 Propriedade Multiplicativa Nesta subseção, mostraremos como funções D possuindo as Propriedades (D1), (D2) e (D3) da Seção 1 se comportam em relação à multiplicação de matrizes Proposição 817 Sejam A e B elementos de M(n) e seja D : M(n) K uma função possuindo as Propriedades (D1), (D2) e (D3) (i) (ii) Se E é uma matriz elementar, então D(EA) = D(E)D(A) Se A e B são matrizes equivalentes por linhas, então D(A) 0 D(B) 0 (iii) A é invertível se, e somente se, D(A) 0 (iv) D(AB) = D(A)D(B) Demonstração (i) Seja E 1 a matriz elementar obtida operando sobre I n com L i L j Temos que E 1 A é a matriz obtida de A mediante a operação L i L j, logo, pelo Corolário 813, temos que D(E 1 A) = D(A) Por outro lado, do Problema 13(a), temos que D(E 1 ) = 1, o que acarreta o resultado neste caso Seja E 2 a matriz elementar obtida de I n mediante a operação L i L i + tl j Temos, pelo Corolário 814, que D(E 2 A) = D(A) e pelo Problema 13(a) temos que D(E 2 ) = 1, daí obtendo o resultado neste caso também Finalmente, se E 3 é a matriz elementar correspondente a L i cl i, temos de (D1) que D(E 3 A) = cd(a) e, pelo Problema 13(a), D(E 3 ) = c Logo, D(E 3 A) = D(E 3 )D(A)

216 CAPÍTULO 8 DETERMINANTES ii) A e B são equivalentes se, e somente se, B = E r E 1 A, onde E 1,, E r são matrizes elementares De (i), por indução, temos que D(B) = D(E r ) D(E 1 )D(A) Como D(E) 0, para toda matriz elementar E, vale o resultado iii) Se A é invertível, do Teorema 216, temos que A é equivalente a I n, logo por (ii) segue-se que D(A) 0, já que D(I n ) = 1 0 Reciprocamente, se D(A) 0, seja B a matriz equivalente a a forma escalonada Como por (ii) temos que D(B) 0, segue-se que B = I n Daí, A é equivalente a I n, logo, pelo Teorema 216, tem-se que A é invertível iv) Se ão é invertível, então AB é não invertível Logo, por (iii), temos que D(AB) = 0 e D(A) = 0, seguindo-se o resultado neste caso Se A é invertível, então, pelo Teorema 216, A = E 1 E r onde os E i 's são matrizes elementares Portanto, por indução utilizando (i), temos que D(AB) = D(E 1 ) D(E r )D(B) = D(E 1 E r )D(B) = D(A)D(B) Teorema 818 Se existirem duas funções D : M(n) K e D : M(n) K satisfazendo as condições (D1), (D2) e (D3), então D = D Demonstração Seja A M(n) Se ão é invertível, então da Proposição 817(iii) temos que D(A) = 0 = D (A) Se A é invertível, logo, A = E 1 E r, onde os E i 's são matrizes elementares Pela Proposição 817(iv), temos que D(A) = D(E 1 ) D(E r ) e D (A) = D (E 1 ) D (E r ) Pelo Problema 13(b), temos que D(E i ) = D (E i ), para todo i = 1,, r, logo D(A) = D (A) Assim, temos assegurada a unicidade de uma função D : M(n) K, possuindo as Propriedades (D1), (D2) e (D3), caso tal função exista Vamos, na próxima seção, mostrar que tal função existe, a qual passaremos a denotar por det e a chamar de função determinante Para n = 2 e n = 3, as funções det: M(2) K e det: M(3) K, que introduzimos no Capítulo 4, são as

1 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 217 únicas funções que possuem as Propriedades (D1), (D2) e (D3), com domínios M(2) e M(3), respectivamente Problemas 11 Mostre que se a matriz A M(n) possui uma linha nula, então D(A) = 0 12 Seja D : M(n) K uma função que possui as Propriedades (D1) e (D2) Mostre que se A é a matriz diagonal Diag(a 11,, a nn ) (com a notação do Problema 215, Capítulo 1), então D(Diag(a 11,, a nn )) = a 11 a nn D(I n ) Em particular, conclua que D(c I n ) = c n D(I n ), onde c K 13 Seja D : M(n) K, possuindo as Propriedades (D1) e (D2), e sejam E 1, E 2 e E 3 matrizes elementares obtidas da matriz identidade I n mediante, respectivamente, uma operação do tipo L i L j, L i L i + tl j, L i cl i, para i j a) Mostre que D(E 1 ) = D(I n ), D(E 2 ) = D(I n ) e D(E 3 ) = cd(i n ) b) Se D, D : M(n) K possuem as propriedades (D1), (D2) e (D3), então D(E 1 ) = D (E 1 ) = 1, D(E 2 ) = D (E 2 ) = 1 e D(E 3 ) = D (E 3 ) = c 14 Seja A uma matriz invertível de ordem n e suponha que exista a função det: M(n) K Mostre que det(a 1 ) = 1 det A 15 Seja E M(n) uma matriz elementar Com a mesma hipótese do problema anterior, mostre que det(e t ) = det(e) Sugestão Utilize o Problema 219

218 CAPÍTULO 8 DETERMINANTES 2 Existência de Determinantes Nesta seção, estabeleceremos a existência das funções determinantes para valores de n maiores do que 3, que já sabemos existirem para n = 2 e n = 3 A demonstração de tal existência será feita por indução sobre n Mostraremos que se existe uma função D : M(n 1) K que possui as Propriedades (D1), (D2) e (D3), então existe uma função D : M(n) K que possui as mesmas propriedades Na realidade, mostraremos que a função D pode ser obtida de vários modos possíveis a partir de D, o que permitirá certa exibilidade no cálculo de D(A), onde A é uma matriz quadrada de ordem n Sejam n 2 e A M(n) Para cada par (i, j) N 2, com 1 i, j n, dene-se a matriz A(i j) como a matriz (n 1) (n 1) obtida de A suprimindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna Nosso resultado está contido no próximo teorema Teorema 821 Sejam n 3 e D : M(n 1) K satisfazendo as condições (D1), (D2) e (D3) Dado j com 1 j n, a função D j : M(n) K denida por n D j (A) = ( 1) i+j a ij D (A(i j)), i=1 onde A = [a ij ] M(n), também satisfaz as condições (D1), (D2) e (D3) Demonstração Fixemos j Para cada i, temos que D (A(i j)) é independente da linha i, ou seja, dos elementos a ik, k = 1,, n, e é separadamente linear em cada uma das n 1 linhas restantes de A Por outro lado, ( 1) i+j a ij é independente das entradas de A(i j) e é linear na linha i de A É, portanto, fácil vericar que ( 1) i+j a ij D (A(i j)) é separadamente linear nas linhas de A Logo, D j é uma soma de funções de A que são separadamente lineares na linhas de A, donde se conclui que D j possui a Propriedade (D1) Para provar que D j possui a Propriedade (D2), suponhamos que A M(n) tenha as linhas A k e A k+1 iguais Se i k e i k + 1, a matriz A(i j) tem duas linhas iguais, logo

2 EXISTÊNCIA DE DETERMINANTES 219 D (A(i j)) = 0 Daí temos D j (A) = ( 1) k+j a kj D (A(k j)) + ( 1) k+j+1 a k+1,j D (A(k + 1 j)) Mas, a kj = a k+1,j e A(k j) = A(k + 1 j), logo D j (A) = 0, já que as duas parcelas que compõem D j (A) são uma simétrica da outra Finalmente, sendo δ ij as entradas da matriz I n, temos que n D j (I n ) = ( 1) i+j δ ij D (I n (i j)) = δ jj D (I n (j j)) = D (I n 1 ) = 1, i=1 já que I n (j j) = I n 1 e D (I n 1 ) = 1, mostrando que D j possui a Propriedade (D3) Esse teorema nos mostra que para calcular o determinante de uma matriz A, escolhe-se uma coluna j qualquer de A, obtendo n det(a) = ( 1) i+j a ij det(a(i j)), i=1 que é usualmente chamado de desenvolvimento de Laplace de det(a) segundo os elementos da coluna j Exemplo 1 Calculemos det(a), onde 2 3 1 0 0 1 3 2 A = 0 5 1 0 1 2 1 1 Temos do Teorema 821, desenvolvendo segundo os elementos da primeira coluna, que 1 3 2 3 1 0 det(a) = 2 det 5 1 0 det 1 3 2 2 1 1 5 1 0 Calculando os determinantes 3 3, acima, pela Regra de Sarrus, obtemos que det(a) = 36

220 CAPÍTULO 8 DETERMINANTES Problemas 21 Mostre que se uma matriz A possui uma coluna nula, então det(a) = 0 22* Prove que o determinante de uma matriz triangular superior (resp inferior) é o produto dos elementos de sua diagonal principal Mostre que uma tal matriz é invertível se, e somente se, suas entradas na diagonal principal são todas não nulas 23* Seja a R Prove que 1 1 1 1 1 a a 2 a 3 det 1 a 2 a 3 a 4 = 0 1 a 3 a 4 a 5 24 Considere a matriz de Vandermonde 2 1 a 1 a 2 1 a n 1 1 1 a A = 2 a 2 2 a n 1 2 1 a n a 2 n a n 1 n Mostre que det(a) = i<j(a j a i ) 3 Matriz Adjunta Seja A = [a ij ] M(n) Dene-se o cofator do elemento a ij da matriz A como ij (A) = ( 1) i+j det(a(i j)) A matriz [ ij (A)] M(n) será chamada de matriz dos cofatores da matriz A e sua transposta será chamada de matriz adjunta de A e denotada adj(a) 2 Em homenagem a Alexandre-Theóphile Vandermonde (França 1735 1796)

3 MATRIZ ADJUNTA 221 Exemplo 1 Seja 1 0 0 A = 1 2 1 0 0 1 Temos que 11 (A) = 2, 12 (A) = 1, 13 (A) = 21 (A) = 23 (A) = 31 (A) = 0, 22 (A) = 32 (A) = 1 e 33 (A) = 2 Logo, 2 1 0 [ ij (A)] = 0 1 0 0 1 2 Portanto, 2 0 0 adj(a) = 1 1 1 0 0 2 A seguir, veremos uma relação entre uma matriz e a sua adjunta Proposição 831 Seja A uma matriz quadrada de ordem n Então adj(a) A = det(a) I n Demonstração Denotemos por B a matriz adj(a) A Queremos mostrar que { det(a), se i = j b ij = 0, se i j Denotando ij (A) por ij, temos que 11 n1 a 11 a 1j a n1 [b ij ] = 1i ni a i1 a ij a in 1n nn a n1 a nj a nn

222 CAPÍTULO 8 DETERMINANTES Logo, pelo Teorema 821, b jj = n a ij ij = det(a) i=1 Por outro lado, seja i j Supondo, sem perda de generalidade, que i < j, temos b ij = n a kj ki = k=1 que é o determinante da matriz n ( 1) i+k a kj det(a(k i)), k=1 a 11 a 1j a 1j a n1, a n1 a nj a nj a nn desenvolvido segundo os elementos da i-ésima coluna, o qual é nulo Corolário 832 Se A é uma matriz invertível, então A 1 = 1 det(a) adj(a) Demonstração Se A é invertível, então det(a) 0 e, portanto, ( ) 1 det(a) adj(a) A = I n, o que implica que A 1 = 1 det(a) adj(a) A expressão acima para a inversa de uma matriz A de ordem n é muito interessante do ponto de vista teórico, mas pouco útil do ponto de vista prático, pois para utilizá-la para calcular a inversa de A seria necessário calcular n 2 determinantes de ordens n 1 (os cofatores dos elementos de A) Isto é computacionalmente impraticável se n é grande Por outro lado, o

3 MATRIZ ADJUNTA 223 método de inversão por escalonamento apresentado na Seção 1 do Capítulo 2 é computacionalmente muito mais ecaz Vamos, a seguir, relacionar o determinante de uma matriz com o de sua transposta Sabemos do Problema 15 que se E é uma matriz elementar qualquer, então det(e t ) = det(e) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, qualquer Logo, existem matrizes elementares E 1,, E r tais que E r E 1 A = B, onde ou B é uma matriz com a última linha nula, ou B = I n Se B possui uma linha nula, B t terá uma coluna nula, logo det(b) = det(b t ) = 0 (cf Problema 21) Se B = I n, então det(b) = det(b t ) = 1 Podemos escrever A = F 1 F r B, (1) onde F i = E 1 i, i = 1,, n, são também matrizes elementares (cf Corolário 215) Tomando transpostas em (1), obtemos A t = B t F t r F t 1 (2) Tomando, agora, determinantes em (1) e (2), obtemos det(a) = det(f 1 ) det(f r ) det(b) e det(a t ) = det(b t ) det(f t r) det(f t 1), o que acarreta que det(a t ) = det(a), pois det(b) = det(b t ) e det(f i ) = det(f t i ), para todo 1 i r Assim, provamos o seguinte resultado: Proposição 833 determinante de sua transposta O determinante de uma matriz quadrada é igual ao Portanto, toda armação sobre o determinante de uma matriz quadrada, relativamente a suas linhas, também vale para suas colunas e vice-versa Assim, em particular, podemos calcular determinantes usando desenvolvimentos de Laplace segundo os elementos de uma linha L i, ou seja, n det(a) = ( 1) i+j a ij det(a(i j)) j=1

224 CAPÍTULO 8 DETERMINANTES Problemas 31 Mostre que a inversa de uma matriz triangular inferior é triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular superior é triangular superior 32 Mostre que se det(a) = 1 e todas as entradas de A são números inteiros, então todas as entradas de A 1 também são números inteiros 33 Mostre que se A é invertível, então adj(a) é invertível e (adj(a)) 1 = adj(a 1 ) 34 Como é afetada a matriz inversa A 1 se a) permutarmos em A a i-ésima com a j-ésima linha? b) a i-ésima linha de A é multiplicada por uma constante k não nula? c) a i-ésima linha de A é somada à k vezes a j-ésima linha? 4 Regra de Cramer Nesta seção, mostraremos como expressar a solução única de um sistema de n equações com n incógnitas AX = B, onde A é uma matriz invertível É a chamada Regra de Cramer, que apresentamos para n = 2 e n = 3 na Seção 3 do Capítulo 4, que se relaciona naturalmente com os determinantes e que serviu de motivação para a sua introdução e posterior estudo de suas propriedades Teorema 841 (Regra de Cramer) Seja AX = B um sistema linear n n Se det(a) 0, então o sistema tem uma única solução dada por x j = det(a(j) ), j = 1,, n, det(a) onde A (j) denota a matriz obtida de A substituindo a sua j-ésima coluna pela única coluna de B

4 REGRA DE CRAMER 225 Demonstração Como det(a) 0, segue-se da Proposição 817(iii) que A é invertível Portanto, a solução do sistema é dada por X = A 1 B = = 1 det(a) 1 det(a) adj(a) B 11 n1 b 1 12 n2 b 2 1n nn b n = 1 det(a) b 1 11 + b 2 21 + + b n n1 b 1 12 + b 2 22 + + b n n2, b 1 1n + b 2 2n + + b n nn mostrando que o elemento da j-ésima linha da matriz X é x j = b 1 1j + b 2 2j + + b n nj (1) det(a) Considerando a matriz a 11 a 1,j 1 b 1 a 1,j+1 a 1n A (j) =, tem-se claramente que a n1 a n,j 1 b n a n,j+1 a nn b 1 1j + + b n nj = det(a (j) ), o que conclui a prova, em vista de (1) Exemplo 1 Usemos a regra de Cramer para resolver o sistema linear x 1 + 2x 2 + x 3 = 5 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1

226 CAPÍTULO 8 DETERMINANTES Temos que 1 2 1 5 2 1 1 5 1 A = 1 2 2, A (1) = 0 2 2, A (2) = 1 0 2 1 2 3 1 2 3 1 1 3 e 1 2 5 A (3) = 1 2 0 1 2 1 Como det(a) = 8 0, det(a (1) ) = 8, det(a (2) ) = 28 e det(a (3) ) = 24, a Regra de Cramer nos dá x 1 = 1, x 2 = 7/2 e x 3 = 3 Problemas 41 Resolva pela regra de Cramer os seguintes sistemas lineares: 2x y + 2w = 1 2x + y + 3z = 0 3x + y 2z 2w = 0 (a) 4x + 2y + 2z = 0 (b) 4x y + 2z + 3w = 2 2x + 5y + 3z = 0 ; 3x + y z 2w = 1

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