Criptografia e Segurança de Rede Capítulo 4 Quarta Edição por William Stallings
Capítulo 4 Corpos Finitos Na manhã seguinte, ao nascer o dia, Star entrou em casa, aparentemente ávida por uma lição. Eu disse, "Mostre oito". Ela fez uma exibição brilhante, primeiro batendo 4-4, depois batendo rapidamente 2-2-2-2, antes de entrar. É incrível como Star aprendeu a contar até oito sem dificuldade. E do seu próprio jeito descobriu que cada número pode ser dado com diferentes divisões, isso não deixa dúvida de que estava conscientemente pensando em cada número. De fato, ela fez a aritmética mental, embora não possa, como os humanos, dar nome aos números. Mas ela aprendeu a reconhecer seus nomes falados quase imediatamente e lembrar dos sons dos nomes. Star é um pássaro silvestre único que, por vontade própria, buscou a ciência dos números com ávido interesse e incrível inteligência. Living with birds, Len Howard
Introdução Tópico de importância crescente na criptografia AES, Curvas Elípticas, IDEA, Chave pública Diz respeito à operações com números Onde o conceito de número e os tipos de operação podem variar consideravelmente. Começaremos com conceitos de grupos, anéis e corpos da álgebra abstrata.
Grupo Um conjunto de elementos ou números Com algumas operações cujo resultado também está no conjunto (fechado) Obedece: Associatividade: (a.b).c = a.(b.c) Possui identidade e: e.a = a.e = a Possui elemento inverso a -1 :a.a -1 = e Se for comutativa a.b = b.a Então constitui um grupo abeliano.
Grupo Cíclico Define-se exponenciação como a aplicação repetida de um operador exemplo: a 3 = a.a.a A identidade é: e=a 0 Um grupo é cíclico se cada elemento for uma potência de um elemento fixo. Ex.: b = a k para algum a e todo b no grupo a é dito gerador do grupo
Anél Um conjunto de números Com duas operações (adição e multiplicação) que formam: Um grupo comutativo em relação à operação de adição: Fechado Associativo Distributivo em relação à adição: a(b+c) = ab + ac Se a operação de multiplicação for comutativa, constitui um anel comutativo Se a operação de multiplicação tem um elemento identidade e nenhum divisor que resulte em zero, consitui um domínio integral
Corpos Um conjunto de números Com duas operações que formam: Um grupo comutativo para adição Um grupo comutativo para multiplicação (ignorando o 0) Um anél Segue uma hierarquia de axiomas/leis grupo -> anél -> corpo
Aritmética Modular Define-se módulo a a mod n como o resto da divisão de a por n Congruência: : para a = b mod n Quando divididos por n, a & b tem o mesmo resto Ex.: 100 mod 11 = 34 mod 11 b é chamado o resíduo de a mod n Uma vez que com inteiros pode-se sempre escrever: a = qn + b Normalmente escolhe-se o menor inteiro positivo para deixar como resíduo 0 <= b <= n-1 o processo é conhecido como Redução de Módulo
Divisores Dizemos que b divide a se a=mb para algum m, onde a,b e m são inteiros b divide a se não houver resto na divisão A notação é b a Dizemos que b é um divisor de a Ex.: todos 1,2,3,4,6,8,12,24 dividem 24
Operações de Aritmética Modular Usa um número finito de valores e considera contíguos ambos os extremos Aritmética modular considera adição & multiplicação, com a redução de módulo do resultado Pode-se fazer a redução a qualquer momento, Ex.: a+b mod n = [a mod n + b mod n] mod n
Aritmética Modular Pode-se realizar aritmética modular com qualquer grupo de inteiros: Z n = {0, 1,, n-1} Formando um anel comutativo para adição Com um elemento identidade para multiplicação Algumas peculiaridades se (a+b)=(a+c) mod n então b=c mod n mas se (a.b)=(a.c) mod n then b=c mod n somente se a e n forem primos entre si
Modulo 8 Addition Example + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 0 2 2 3 4 5 6 7 0 1 3 3 4 5 6 7 0 1 2 4 4 5 6 7 0 1 2 3 5 5 6 7 0 1 2 3 4 6 6 7 0 1 2 3 4 5 7 7 0 1 2 3 4 5 6
Máximo Divisor Comum (MDC) Um problema comum na teoria dos números MDC (a,b) de a e b é o maior número que divide a e b Ex.: MDC(60,24) = 12 Dizemos que dois inteiros a e b são primos entre si quando o MDC = 1 Ex.: MDC(8,15) = 1 8 & 15 são primos entre si
Algoritmo Euclidiano Um método eficiente para encontrar o MDC(a,b) Baseado no teorema: MDC(a,b) = MDC(b, a mod b) O algoritmo euclidiano para encontrar MDC(a,b) é: EUCLID(a,b) 1. A = a; B = b 2. if B = 0 return A = mdc(a, b) 3. R = A mod B 4. A = B 5. B = R 6. goto 2
Exemplo MDC(1970,1066) 1970 = 1 x 1066 + 904 gcd(1066, 904) 1066 = 1 x 904 + 162 gcd(904, 162) 904 = 5 x 162 + 94 gcd(162, 94) 162 = 1 x 94 + 68 gcd(94, 68) 94 = 1 x 68 + 26 gcd(68, 26) 68 = 2 x 26 + 16 gcd(26, 16) 26 = 1 x 16 + 10 gcd(16, 10) 16 = 1 x 10 + 6 gcd(10, 6) 10 = 1 x 6 + 4 gcd(6, 4) 6 = 1 x 4 + 2 gcd(4, 2) 4 = 2 x 2 + 0 gcd(2, 0)
Corpo de Galois GF(p) Pode-se mostrar que o número de elementos em um corpo finito deve ser a potência de um número primo p (p n ) Conhecidos por corpo de Galois Denotados por GF(p n ) De interesse em particular os corpos: GF(p) GF(2 n )
Corpo de Galois GF(p) É o conjunto de inteiros {0,1,2...p-1} juntamente com as operações aritméticas de módulo p (primo) Forma um anel comutativo
GF(7) Exemplo para Multiplicação 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1
Algoritmo Euclidiano Extendido Encontra não somente o MDC(a,b) = d, mas também os inteiros x e y que satisfazem a sequinte relação: ax+by = d = MCD(a,b)
Algoritmo Euclidiano Extendido EXTENDED EUCLID(m, b) 1. (A1, A2, A3)=(1, 0, m); (B1, B2, B3)=(0, 1, b) 2. if B3 = 0 return A3 = gcd(m, b); no inverse 3. if B3 = 1 return B3 = gcd(m, b); B2 = b 1 mod m 4. Q = A3 div B3 5. (T1, T2, T3)=(A1 Q B1, A2 Q B2, A3 Q B3) 6. (A1, A2, A3)=(B1, B2, B3) 7. (B1, B2, B3)=(T1, T2, T3) 8. goto 2
Aritmética Polinomial Um polinômio de grau n é uma expressão na forma f(x) ) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 = a i x i Podemos distinguir três classes de aritmética de polinômios: Aritmética de polinômios ordinária; Aritmética de polinômios em que a aritmética sobre os coeficientes é realizada mod p Aritmética de polinômios em que os coeficientes estão em GF(p)
Aritmérica Polinomial Comum Adição ou subtração dos coeficientes correspondentes Multiplicação de cada termo pelos outros Ex.: let f(x) ) = x 3 + x 2 + 2 and g(x) ) = x 2 x + 1 f(x) ) + g(x) ) = x 3 + 2x2 2 x + 3 f(x) ) g(x) ) = x 3 + x + 1 f(x) ) x g(x) ) = x 5 + 3x3 2 2x 2 + 2
Aritmética de Polinomial com Coeficientes em Módulo No cálculo de do valor de cada coeficiente, utiliza aritmética de módulo Forma um anel polinomial Pode ser modulo com qualquer número primo, mas existe interesse especial no módulo 2. Isto é, os coeficientes são 0 ou 1 Ex.: f(x) ) = x 3 + x 2 e g(x) ) = x 2 + x + 1 f(x) ) + g(x) ) = x 3 + x + 1 f(x) ) x g(x) ) = x 5 + x 2
Divisão Polinomial Pode-se escrever qualquer polinômio da seguinte forma: f(x ) = q(x) g(x) ) + r(x) r(x ) é o resto. r(x ) = f(x) ) mod g(x) Se r(x) = 0, diz-se que g(x) ) divide f(x) se g(x) ) não tem outro divisor além dele mesmo & 1 dizemos ser um polinômio irredutível (ou primo) Arimética de módulo com um polinômio primo constitui um corpo
Encontrando o Máximo Divisor Comum Pode-se encontrar o maior divisor comum para um polinômio c(x) = MDC(a(x), b(x)) ) se c(x) for o polinômio de maior grau que divide os dois a(x), b(x) Pode-se usar o algoritmo euclidiano pra tal: EUCLID[a(x),, b(x)] b 1. A(x) ) = a(x); B(x) ) = b(x) 2. if B(x) ) = 0 return A(x) ) = mdc[a(x),, b(x)] b 3. R(x) ) = A(x) ) mod B(x) 4. A(x) ) B(x) 5. B(x) ) R(x) 6. goto 2
Aritmética Polinomial Modular Interesse principal em GF(2 n ) Polinômios com coeficientes de módulo 2 Cujo grau é inferior a n Por isso deve-se reduzir o modulo a um polinômio irredutível de grau n (para multiplicação somente) Isso forma um corpo finito Pode-se sempre encontrar o inverso Usando o algoritmo do Inverso Euclidiano.
Examplo: GF(2 3 )
Considerações Computacionais Como os coeficientes são 0 ou 1, pode-se representar qualquer polinômio como uma string de bits Adições se tornam um XOR bit a bit Multiplicação é deslocamento a esquerda seguido de um XOR
Exemplo Computacional para GF(2 3 ) temos (x 2 +1) é 101 2 & (x 2 +x+1) é 111 2 Então a adição é: (x 2 +1) + (x 2 +x+1) = x 101 XOR 111 = 010 2 E a multiplicação é: (x+1).(x 2 +1) = x.(x 2 +1) + 1.(x 2 +1) = x 3 +x+x 2 +1 = x 3 +x 2 +x+1 011.101 = (101)<<1 XOR (101)<<0 = 1010 XOR 101 = 1111 2 Redução do modulo polinomial (get q(x) & r(x)) é (x 3 +x 2 +x+1 ) mod (x 3 +x+1) = 1.(x 3 +x+1) + (x 2 ) = x 2 1111 mod 1011 = 1111 XOR 1011 = 0100 2
Usando um Gerador Técnica equivalente para definir um corpo finito um gerador g é um elemento cujas potências geram todos os elementos diferentes de zero 0, g 0, g 1,, g q-2 Implementa-se a multiplicação adicionando expoentes do gerador
Resumo Considerações Conceito de grupos, anéis, corpos Aritmética modular com inteiros Algoritmo Euclidiano para MDC Corpos Finitos GF(p) Aritmética Polinomial em geral e para GF(2 n )