UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Insttuto de Físca FNC-314 - Laboratóro de Estrutura da Matéra II MOVIMENTO BROWNIANO
FÍSICA EXPERIMENTAL - VI (Lab. de Estrutura da Matéra) MOVIMENTO BROWNIANO ÍNDICE - Estudo do Movmento Brownano... I. Introdução... II. Experênca... III. Reerêncas Bblográcas... 3 - Apêndce A... 4 Determnação de <x> pelo método de mínmos quadrados.. 4 Processos para mnmzar χ... 5 Processo para avalar o erro... 5 Caso geral de uma unção com város parâmetros... 7 -Apêndce B Correção para o valor da vscosdade do ar... 9 Gráco para estmatva do rao da gota... 10 1
I. Introdução ESTUDO DO MOVIMENTO BROWNIANO O movmento Brownano já deve ter sdo observado na experênca de Mllkan: algumas gotas tnham movmento caótco, sem dreção preerencal, que chegava a perturbar a medda dos tempos de percurso. A causa deste movmento está relaconada com a natureza dscreta do gás atmosérco; o ar não e um ludo unorme, mas e ormado de moléculas. A gota está sujeta a choques com as moléculas em todas as dreções. Se a gota or sucentemente pequena, o número de choques num dado ntervalo de tempo, num dado sentdo, pode não ser exatamente compensado pelo número de choques no sentdo oposto, daí o deslocamento. A requênca com que ocorrem as colsões, ou as dstâncas percorrdas entre colsões sucessvas estão relaconadas também com as característcas íscas do meo, que dão conta do movmento térmco das moléculas que o compõem. Consulte as reerêncas bblográcas (re. [1 a 6]). A teora cnétca dos gases também prevê uma dstrbução de energa das moléculas; a energa méda é proporconal ao produto kt (equpartção de energa). Assm, a energa cnétca das moléculas aumenta com a temperatura e aumenta também a energa transerda num choque. O movmento caótco da gotnha de óleo no ar está relaconado com a agtação das moléculas do ar e com o número de moléculas por undade de volume. A medda do deslocamento médo da gotnha permte calcular o numero de Avogadro. Para uma análse estatístca, consulte o apêndce A e as reerêncas [3,8 e 9]. II.- Experênca O nstrumental é o mesmo que o utlzado para a experênca de Mllkan. Uma gotnha de óleo de tamanho convenente é equlbrada entre as placas do condensador e são observados seus movmentos numa dada dreção. Os ajustes do aparelho e da lumnação devem ser etos da manera já conhecda. A análse quanttatva do movmento da gotnha permte calcular o número de Avogadro através da expressão: RTt N = A 3πηa x Onde R e a constante dos gases peretos (=8.37x10 7 erg/mol K), T a temperatura absoluta do sstema (K), η o coecente de vscosdade do ar, a o rao da gota, t o ntervalo de tempo em que são observados os deslocamentos e <x > o deslocamento quadrátco médo (veja por exemplo as reerêncas [1 a 6]). As questões a segur devem ser usadas como orentação para a realzação da experênca: - Qual a melhor dreção a ser escolhda para observação do movmento Brownano (vertcal ou horzontal)?
- Levando em conta o processo que produz esse movmento, aça uma estmatva do tamanho da gota escolhda. - Reportando-se a experênca de Mllkan, qual a grandeza mensurável que pode ornecer o rao da gotnha? (veja apêndce B para estmatva ncal do rao da gota). Procure uma gotnha de modo que seu rao possa ser determnado com erro da ordem de 5%. - Observe o movmento da gota na dreção escolhda e aça uma coleção de meddas de sua posção, tendo em vsta obter <x > (x o deslocamento em cada ntervalo de tempo) com um erro menor que 10%. Faça pelo menos 00 meddas de deslocamento, usando ntervalos de tempo de 10s. - Construa hstogramas de deslocamento para ntervalos de 10s, 0s e 30s. Obtenha σ para os três hstogramas, usando os métodos descrtos no apêndce A. - O numero de Avogadro N A deve ser calculado usando σ ou <x >? Justque sua resposta. - Calcule o número de Avogadro N A e analse a necessdade de correção para o coecente de vscosdade. Ver apêndce B para obter a vscosdade. - Calcule o erro assocado à determnação de N A e dscuta a nluênca dos atores sgncatvos. - Faca uma ntrodução ao trabalho baseada na bblograa ctada e no desenvolvmento da parte expermental realzada. Procure justcar o método utlzado e o calculo do numero de Avogadro. II. Reerêncas Bblográcas 1) A. Ensten - Brownan Moton ) Tppler - Foundatons o Modern Physcs 3) Re - Fundamentals o Statstcal and Thermal Physcs 4) Max Born - Fsca Atomca 6) Harnell e Lvngood - Expermental Atomc Physcs 7) Mllkan - Electrons + and - 8) Evans - The Atomc Nucleus 9) Bevngton - Data Reducton and Error Analyss or the Physcal Scences. 10) Squres - Pratcal Physcs 11) Lavenda, B.H. - Brownan Moton - Sc. Amer. p. 56 (ev. 1985) 1) Schumacher, R.T. - Am. J. Phys. 54, 137 (1986) 13) Feder, J. - Fractals - Plenum Press N.Y. (1988) 14) Mandelbrot, B.B. - The Fractal Geometry o Nature, Freeman (198) 15) Voss, R.F. - n: The Scence o Fractal Images, ed. Henz Otto - Petgen, Sprnger Verlag (1988) 3
APÊNDICE A Determnação de <x > pelo método dos mínmos quadrados. Os métodos descrtos abaxo não se restrngem à experênca de movmento Brownano, mas podem ser aplcados em geral, para ajuste de uma unção arbtrára de n parâmetros. Como o vsto acma, o número de Avogadro, cuja obtenção é um dos objetvos desta experênca, pode ser expresso como: N A = RTt 3πηa x Vamos tratar da avalação de <x >: <x > ou o desvo quadrátco médo, pode ser calculado dretamente da lutuação dos deslocamentos. De ato, lembrando a denção de varânca: σ = x ( x) N (1) = x x e lembrando que a méda <x> é nula (não há dreção preerencal para o mov-mento), temos x = σ, calculado dretamente dos dados. Esta é uma prmera estmatva e deve ser encarada como tal. Deve-se tratar o problema de um modo mas complexo, mas que pode ser generalzado para avalação de parâmetros de uma curva qualquer. Os deslocamentos de dstrbuem de acordo com uma gaussana de méda zero e varânca x = σ. A gaussana normalzada é dada pela expressão: P( x) = 1 e πσ O hstograma dos deslocamentos tem como passo utlzado no exo x dos deslocamentos, y é o número de vezes que um deslocamento x é observado e N é o número total de meddas ( N = ). Supondo uma dstrbução gaussana para os y deslocamentos e sabendo que a área sob o hstograma expermental é N, o hstograma expermental deve ser comparado com a gaussana (x) dada por: ( x ) = x σ N e πσ x σ O melhor ajuste dará σ, ou seja <x >. O melhor valor de σ pode ser estmado pelo método dos mínmos quadrados, que consste em mnmzar a expressão: N χ = = 1 y ( x ) y (3) (4) (5) () 4
onde y é o número de meddas no canal de hstograma centrado em x e (x ) o valor da gaussana no canal centrado em (ver re. [4]). Neste caso, poder-se-a colocar χ = 0 e resolver a equação em σ, mas esta é σ não lnear e complcada. Este problema pode ser contornado da manera descrta a segur. O uso de y no denomnador de (5) pressupõe que o erro assocado ao valor do canal seja y, ou seja, que a contagem no canal y se dstrbu segundo uma curva de Posson. Esta aproxmação é razoável, mas tende a superestmar o erro (a dstrbução correta é a bnomal). Processo para mnmzar o χ. O método para mnmzar o χ nos casos em que a equação χ = 0 não pode σ ser resolvda sem grandes dculdades é o segunte: - calcula-se o χ para város valores do parâmetro da curva teórca, no caso σ, em torno do valor de uma prmera estmatva (aqu a varânca, σ ). - az-se um gráco dos χ s em unção do parâmetro varado σ. - localza-se no gráco o mínmo, e repete-se o procedmento em torno do mínmo, renando o valor do parâmetro (σ). Achado este valor (σ o ), deve-se determnar seu erro. Esta tarea é bem mas complcada. Processos para avalar o erro. São apresentados três métodos usualmente empregados para esta naldade. Processo 1: (Especcamente para o caso de curvas que dependem de apenas um parâmetro) Calcula-se o erro por propagação: ε σ = σ ε = y σ y já que ε =y no nosso caso. A dculdade deste método, no presente caso, está em avalar σ, já que não temos σ em unção de y. Mas a condção de mnmzação de y χ, χ σ = 0, pode ser dervada em relação a y : χ = 0 y σ Pode-se então separar χ. Mas o cálculo é longo. y y 5
Processo : (este processo, mas numérco, é mas requentemente utlzado em programas de computador) A re. [9] trata do ajuste por mínmos quadrados de unções lneares ou não 1 nos parâmetros. Demonstra-se que o erro ε de um parâmetro a j é ε j = α 1 jj onde α jj é o elemento dagonal da matrz nversa usada na expressão: α jk = 1 σ ( x ) ( x ) a a (Veja também a apostla do prmero bmestre de Lab. Estrutura da Matéra I) No nosso caso, só ha um parâmetro, σ. Portanto: j k α 11 1 ( x ) = y σ A dervada σ ε α 1 = α = 11 1 1 ( x ) y σ é trval. Este processo que dá valores exatos para uma unção lnear nos parâmetros, ornece bons valores se calculado na stuação em que χ é mínmo em todos os parâmetros. Processo 3: (estmatva utlzada em stuações complcadas) Quando o cálculo do erro se torna demasadamente complexo, é comum em ísca expermental, se usar a segunte regra (re. [9]): - achado o valor mínmo (σ o ) com χ =χ o, procura-se o valor de σ tal que χ σ=χ o+1. Em geral há dos valores, um neror e um superor. Estes delmtam uma axa de ncerteza e pode-se estmar ε σ como a metade deste ntervalo. Do mesmo modo que o possível avalar <x > a partr dos dados, exste a possbldadede avalar o erro de <x >. De ato, quando se az uma medda repetdas vezes, espera-se que os valores se dstrbuam segundo uma gaussana, com largura gual ao erro. É possível achar um erro do erro dado por: ε σ = σ N (re. [10], pg. 18) onde σ é o erro da medda. Veja a semelhança com a experênca realzada. Tentar medr a posção da gota que sore movmento Brownano leva a uma ndetermnação grande da posção. Mas o nteresse não está na posção, mas na lutuação da posção, ou seja no erro da posção, que sera dado por <x >. então o erro de <x > nada mas é que o erro do erro e pode-se escrever: 6
ε σ = x N É claro que, do mesmo modo que σ = x, é uma prmera aproxmação que deve ser encarada como tal, como ponto de partda e ordem de grandeza. Caso geral de uma unção de város parâmetros Desde o níco, o mposto, como justcatva que a dstrbução tnha méda zero e área N. No entanto, pode acontecer que por alguma razão haja uma dreção preerencal: vento, capactor não nvelado etc. Além dsso, a curva pode ter uma deormação e sua área não ser N mas um outro valor próxmo (embora seja dícl acetar que a área não seja o número de dados tomados!). Mas para eeto de exemplo, vamos consderar que os três parâmetros não sejam determnados (embora seja necessáro ter valores ncas estmados). A re. [9], cap. 11, trata de város modos de determnar estes parâmetros. O processo mas smples é o da grade, descrto a segur. A unção que queremos ajustar é: com valores ncas σ = x ( x ) = N e πσ x ( µ ) σ ε σ, N o número de dados e µ=<x>. - xa-se dos parâmetros (por exemplo σ e N) - vara-se o parâmetro lvre (no caso a posção µ) até achar o mínmo χ. - xa-se este parâmetro no valor correspondente ao mínmo χ, µ o e mantendo um dos outros xos (p. ex. N), vara-se s até achar o novo χ mínmo. - xa-se σ em σ o (no mínmo) e vara-se o tercero parâmetro (N) até encontrar o menor χ. - volta-se ao níco, recomeçando-se com o novo (e melhor) conjunto de parâmetros. O processo é repetdo até que os parâmetros não varem sgncatvamente de uma teração para outra, assm como o valor de χ mínmo. Tem-se então, o melhor valor para os três parâmetros smultaneamente. Este método pode ser estenddo a n parâmetros mas torna-se tedoso e de convergênca lenta. Para avalar o erro pode-se usar o processo, montando-se a matrz α no mínmo χ e nvertendo-a. Ou então, o processo 3, para cada parâmetro, mantendo os outros xos em seus pontos de mínmo. Caso os dados apresentem uma méda sgncatvamente não nula (em relação à largura da dstrbução), deve-se mnmzar o χ em σ e µ smultaneamente como descrto logo acma. No caso de µ=<x> ser desprezível em relação a σ, o processo de um parâmetro, σ, pode ser usado. No caso de µ 0, o que se usa na equação (1) para calcular N A, σ ou <x >? Justque. 7
APÊNDICE B I - Correção para o valor da vscosdade do ar Tendo em vsta que o dâmetro da gota é comparável com o lvre camnho médo das moléculas no ar (L ~ 10-5 cm), não se pode desprezar a não homogenedade do ludo. Desta manera, requer-se eetuar uma correção no coecente de vscosdade do ar: b η = η 0 1 + p. a onde p é a pressão atmosérca, η 0 o coecente de vscosdade à temperatura ambente e b=6.17.10-4 (cm de Hg) cm, quando a pressão or medda em cm Hg. Os valores de h 0 em unção da temperatura estão representados no gráco segunte. 1 1,89 1,88 1,87 1,86 ν 0.10-4 (cgs) 1,85 1,84 1,83 1,8 1,81 1,80 16 18 0 4 6 8 30 3 Temperatura (C) Varação do coecente de vscosdade (ν o ) com a temperatura do ar. 8
II - Estmatva do rao da gota Rao da gota (cm. 10-5 ) 10 9 8 7 6 5 4 3 1 10 0 30 40 50 60 70 8090100 00 300 400 500600700800 t c (s -1 ) Representação do rao da gota em unção do tempo de queda. O tempo representado na abcssa corresponde a um espaço percorrdo de 1mm. 9