Oficinas Provas sem palavras

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Instituto de Ciências Exatas ICEX Departamento de Matemática Curso de Especialização em Matemática para Professores do Ensino Básico. Oficinas Provas sem palavras Nome: Mirtes Aparecida de Figueiredo

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Instituto de Ciências Exatas ICEX Departamento de Matemática Oficinas Provas sem Palavras Monografia apresentada como parte da avaliação final da Especialização em Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais, sob orientação do Professor Alberto Berly Sarmiento Vera. Nome: Mirtes Aparecida de Figueiredo

AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por ter me dado força e coragem de realizar esse trabalho. A minha família pelo amor e paciência. Ao meu orientador Alberto Sarmiento, pela paciência, dedicação e orientação. A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza - uma beleza fria e austera, como a da escultura. Bertrand Russell

SUMÁRIO Resumo... 07 Introdução... 09 3 Capítulo I Oficinas para Ensino Fundamental... 3. Oficina Completando Quadrado... 3. Oficina Áreas de quadriláteros e triângulos... 5 3.3 Oficina 3 Ângulos internos e externos...0 3.4 Oficina 4 Teorema de Pitágoras... 5 3.5 Oficina 5 Média Aritmética e Geométrica...7 3.6 Oficina 6 Desigualdades Proporcionais... 30 3.7 Oficina 7 Soma dos números inteiros... 34 4 Capítulo II Oficinas para Ensino Médio... 37 4. Oficina 8 Soma Geométrica... 38 4. Oficina 9 Série Geométrica... 4 4.3 Oficina 0 Tangente do ângulo metade... 44 4.4 Oficina Seno da diferença... 47 4.5 Oficina Seno da soma... 50 4.6 Oficina 3 Seno e Cosseno de 5 graus... 5 5 Conclusão... 54 6 Referências Bibliográficas... 55

RESUMO Este trabalho mostra a criação de oficinas para serem aplicadas em sala de aula baseada em observações e relações entre a álgebra, aritmética e geometria, tem como objetivo motivar os alunos a pensarem e descobrirem a relação, mesmo que isso seja feito com ajuda através do procedimento e do desenvolvimento. As oficinas aqui apresentadas proporcionam aos alunos o resgate de experiências, e a partir de interações com o professor, reconstroem um outro conhecimento. Permite também despertar nos alunos a buscar por soluções, reflexões e hipóteses. Isso é possível, com a capacidade de interação do professor com o aluno, devido o professor pesquisar e planejar as aulas de acordo com a realidade deles. Como resultado da aplicação de algumas destas oficinas destaca-se a observação, a relação e a investigação por parte dos alunos. O professor ao planejar, orientar, observar, instigar, organizar e registrar as atividades em sala de aula, possui um conjunto de parâmetros que o habilita a fazer uma avaliação contínua de todo o processo de aprendizagem. Nesse processo, estão envolvidos ele próprio, os alunos, o material e a metodologia utilizados. Isso permite ao professor reformular a cada momento suas práticas pedagógicas e melhor adaptá-las às condições de sala de aula. Palavras-chaves: oficina, observação e relação.

- INTRODUÇÂO No livro Proofs Without Words, de Roger B. Nelsen, o autor apresenta variadas provas de fórmulas e resultados apenas mostrando uma figura e uma representação algébrica. Para compreender essas demonstrações, necessita-se de um minuto de abstração olhando para a figura e a fórmula, relacionando ambas e fazendo a leitura correta. Este trabalho foi motivado pelo livro Proofs Without Words, consiste em criar oficinas direcionadas para alunos do ensino fundamental ( 6-9 ) e ensino médio. Aproveitamos várias provas do livro e algumas oficinas extras para dar completude ao assunto, de modo que temos relacionado ao todo 3 oficinas. As Oficinas foram concebidas para serem o mais flexível possível em qualquer tipo de situação em sala de aula. É um programa suplementar que pode dar ao professor flexibilidade para usá-lo de maneiras diferentes. Por meio da realização de atividades matemáticas, o aluno pode vivenciar experiências matemáticas como forma de compreender a construção de conceitos. Relacionar prática e teoria como maneira de dar significado aos conceitos matemáticos. Ampliar o repertório de estratégias do professor. Cada turma tem suas características próprias, assim se constroem atividades adequadas, problematizando-se questões vivenciadas pelos alunos, estimulando o pensamento crítico e o raciocínio matemático. A monografia foi dividida em capítulos. No primeiro capítulo são envolvidas 7 oficinas direcionadas a alunos do ensino fundamental (6-9 ano), os temas são variados ( geometria, álgebra e aritmética). No segundo capítulo, 6 oficinas são direcionadas ao ensino médio, com temas diversificados. O professor deve estar atento às situações vivenciadas em sala e refletir constantemente sobre os resultados dessa prática. É necessário conhecer os limites de aprendizagem de cada aluno individualmente, antecipando possíveis desdobramentos advindos dessas atividades e criando aulas especificas para essa clientela de alunos.

Eventualmente, algumas oficinas do capítulo, podem ser aplicadas a alunos do 9 ano. Da mesma forma, as oficinas do capítulo podem ser aproveitadas para alunos do ensino médio, adaptando o tempo e a dinâmica. Todas as oficinas seguem o seguinte roteiro: - O professor apresenta a figura com a representação algébrica, que em cada oficina está em destaque, isto pode ser feito entregando ao aluno folha impressa, desenhando no quadro ou reproduzindo no data show; - Em seguida damos um tempo para o aluno ver, relacionar a figura à fórmula exposta, compreender a relação e explicar a prova. - Após o tempo dado aos alunos o professor deve proceder a oficina levando em conta que nem sempre a relação é percebida, nem entendida por todos os alunos, então realiza o procedimento e o desenvolvimento como forma de motivar os alunos a relacionarem e a pensarem um pouco mais sobre a relação.

3 - CAPÍTULO I Oficinas para Ensino Fundamental Introdução As oficinas deste capítulo são direcionadas aos alunos do ensino fundamental,. Os tópicos tratados são de álgebra, aritmética e geometria. As oficinas, 3, 4, 5, 6 e 7 induzem ao aluno a interpretação geométrica, isto é, olhando para figura entender a escrita algébrica, ou seja, relacionar com a identidade apresentada. A oficina envolve conceitos de área com desenvolvimento algébrico, a oficina 3 relaciona uma figura para mostrar que a soma dos ângulos externos de uma estrela de cinco pontas é 80, a quarta oficina mostra a relação da figura com o teorema de Pitágoras, a oficina 5 mostra a média aritmética e geométrica através da figura e da desigualdade, a sexta envolve a relação da figura com as desigualdades proporcionais e a sétima relaciona a figura com a identidade algébrica, mostrando a fórmula dos números Naturais. A oficina, trabalha o tema de áreas através de folhas dobradas e recortadas, do mesmo modo a oficina 3 item I usa dobraduras para mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 80. Estas oficinas podem ser trabalhadas em diferentes anos, desde que sejam feitas adaptações de acordo com a realidade dos alunos.

3. - OFICINA Completando Quadrado Pré-requisito: área do quadrado e do retângulo e conhecimento de álgebra. Objetivos: - Relacionar conceitos geométricos com algébricos. - Desenvolver a capacidade de comparação e o raciocínio lógico. Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Desenhar as figuras abaixo no quadro. ) Pedir para os alunos fazerem a observação da relação da figura com a igualdade. 3 ) Dar um tempo de 5 minutos para os alunos fazerem a observação. 4 ) Distribuir para os alunos papel cartão com duas cores diferentes. 5 ) Pedir para eles recortarem 3 quadrados de mesma cor e mesmo tamanho e 3 retângulos de mesma cor e mesmo tamanho. 6 ) Recortar dois retângulos ao meio. 7 ) Fazer a montagem com os recortes como está no quadro. 8 ) Relacionar a figura com a igualdade algébrica.

x + ax = ( x + a/) - (a/) x x x a/ x x x a + = + = a/ X a/ X X Desenvolvimento da Oficina: a) Ajudar os alunos na compreensão da relação: -Distribuir para os alunos papel cartão com duas cores diferentes. - Pedir para eles recortarem 3 quadrados de mesma cor e mesmo tamanho e 3 retângulos de mesma cor e mesmo tamanho. - Recortar dois retângulos ao meio. - Fazer a montagem com os recortes como está no quadro. b) Relacionar a figura com a igualdade: - Na primeira figura temos a área do quadrado de lado x mais a área do retângulo de lados a e x. - Na segunda figura temos a área do quadrado de lado x mais a área do primeiro retângulo dividido ao meio, ficando portanto com medidas de lados a/ e x.

- Área total do quadrado da terceira figura (x + a/). Temos um quadradinho de lado a/ que não faz parte (x + a/) da igualdade, então subtraímos (x + a/) (a/). Conclusão: Essa oficina foi realizada com alunos do 7 ano do ensino fundamental, houve uma grande participação e curiosidade por parte dos alunos em relacionar a figura com a igualdade. Cada aluno fez a sua observação, mas não conseguiram relacionar corretamente toda a igualdade, a princípio só conseguiram relacionar a primeira igualdade. Mas através do desenvolvimento, houve uma melhor assimilação. Uma grande dificuldade encontrada pelos alunos foi em compreender a utilização da incógnita. O tempo foi suficiente para pensarem na relação.

3. - OFICINA Áreas de Quadriláteros e Triângulos Pré requisito: Saber calcular a área do retângulo e os conceitos das formas geométricas: paralelogramo, triângulo, trapézio e losango. Objetivo: - Encontrar a área dos paralelogramos, dos triângulos, dos trapézios e do losango sabendo que a área do retângulo é o produto da base pela altura. Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir para os alunos papel quadriculado. ) Desenhar um paralelogramo no papel quadriculado. ( não deve ser retângulo). 3 ) Recortar o paralelogramo ao meio e montar as peças de modo a compor um retângulo. 4 ) Pedir para os alunos pensarem uma outra maneira de transformar o paralelogramo em retângulo. 5 ) Relacionar a área do paralelogramo com a do retângulo. 6 ) Desenhar e recortar três triângulos: retângulo, obtusângulo e acutângulo. 7 ) Encontrar suas áreas usando o retângulo e o paralelogramo. 8 ) Desenhar e recortar um trapézio qualquer. 9 ) Dividir o trapézio, de modo a obter dois triângulos. 0 ) Encontrar a área do trapézio através da área do triângulo. ) Desenhar um losango, que não seja um quadrado. ) Encontrar sua área usando o retângulo.

Desenvolvimento da Oficina: a) Área do Paralelogramo: Nesse paralelogramo, os lados paralelos AB e CD são as bases. O segmento que une vértice à base oposta, formando um ângulo reto com essa base, é chamado de altura do paralelogramo. O segmento EH, por exemplo, é uma altura do paralelogramo ABCD. D E C h h A b H B b -Outro modo: Se recortarmos um triângulo como mostra a figura, formaremos também um retângulo. h b b Note que as duas figuras (o paralelogramo e o retângulo) são equivalentes. Isso acontece sempre que um paralelogramo e um retângulo tiverem as medidas das bases iguais (b) e as medidas das alturas também iguais (h), pois nesse caso sempre temos a possibilidade de decompor o paralelogramo em figuras que, rearranjadas, compõem o retângulo.

Então a área de um paralelogramo de base medindo b e altura medindo h é igual à área de um retângulo de base medindo b e altura medindo h. Portanto, a área do paralelogramo é indicada por: A pa = b h b) Área do Triângulo: -Primeiro caso: área do triângulo retângulo h Temos então que, a área do triângulo retângulo é a Metade da área do retângulo, ou seja bh. b -Segundo caso: área do triângulo acutângulo: Formamos portanto, um retângulo, onde h o triângulo é a metade de sua área. b -terceiro caso: área do triângulo obtusângulo: D C h A b B Podemos concluir então que a área do triângulo obtusângulo ABD é a metade da área do paralelogramo ABCD, isto quando a altura for externa ao triângulo, pois quando a altura for interna ao triângulo, temos o segundo caso.

Observação: esses são todos os tipos de triângulos existentes. Logo, a área de um triângulo é igual a bh. A T = b.h c) Área do Trapézio: b b h = h + h B B A área desse trapézio, é a soma dos triângulos e : A = B.h + b.h A = ( B + b). h Podemos concluir então, que para qualquer trapézio a área é: ( B + b). h A TRA = d) Área do losango: Seja D a diagonal maior e d a diagonal menor do losango abaixo: d A = D.d D

3 3 4 4 d D 3 4 Portanto, a área do losango é igual a área de 4 triângulos, ou seja a área de 8 triângulos dividido por. A L = D.d Conclusão: A oficina foi realizada com os alunos do 7 ano do Ensino Fundamental, houve portanto, uma boa participação e assimilação por parte de alguns alunos, pois conseguiram construir as fórmulas das áreas do paralelogramo, dos triângulos, dos trapézios e do losango, a partir da área do retângulo. Para os alunos com maior dificuldade, a professora deu algumas dicas ( especificadas no desenvolvimento) que os levou à assimilação e construção. A oficina foi realizada em 3 aulas.

3.3 - OFICINA 3 Ângulo interno e externo Pré requisito: Conceitos do triângulo. Objetivos: -Encontrar a soma dos ângulos internos de um triângulo. -Relacionar os ângulos externos com os internos dos triângulos de uma figura estrelada. I) Soma dos ângulos internos de um triângulo Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir para os alunos folhas de papel sulfite. ) Pedir para os alunos desenharem um triângulo com lados de mais de 5 cm, de qualquer formato e recortar. 3 ) Com base no modelo da figura seguinte, marque os ângulos do triângulo, tanto na frente quanto no verso do papel. Depois, faça as dobras, e 3. P P 3 P 4 ) Fazer a relação do ângulo formado na figura 3 com a soma dos ângulos internos de um triângulo.

Desenvolvimento da oficina: - Depois de juntarmos os três ângulos do triângulo, formamos então um ângulo raso, ou seja, de 80. - Os alunos devem concluir que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 80. II) A soma dos ângulos dos vértices de uma estrela de cinco pontas é 80 Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir folhas para os alunos com a figura abaixo. ) Tempo para os alunos pensarem na relação da figura com a igualdade. 3 ) Explicar a relação entre os ângulos internos e os externos. 4 ) Fazer a relação do ângulo de 80 e a soma dos ângulos dos vértices de uma estrela de cinco pontas. B C b c G c + e D d α α b + d F a α A e E a + b + c + d + e = 80

Desenvolvimento da Oficina: a) - O ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. B C b c G D d β α α b + d F a α A e E - Os alunos devem concluir : No triângulo BDF: d + b + β = 80

b) B C b c D d α α σ F G c + e a α A e E - Os alunos devem concluir que: No triângulo CEG tem-se c + e +σ = 80

c) B C b c G c + e D d α α b + d F a α A e α = b + c + d + e E - Finalmente devem concluir: No triângulo AFG a + α = 80, então a + b + c + d + e = 80 Conclusão: A oficina foi desenvolvida com alunos do 7 ano do ensino fundamental, os alunos levaram algum tempo para perceber a relação, com o desenvolvimento foram capazes de concluir o que realmente esperava deles, ressaltando que alguns alunos precisaram de ajuda individualmente.

3.4 - OFICINA 4 Teorema de Pitágoras (a prova de James A Garfield) Pré-requisito: Área do triângulo e do trapézio. Objetivos:. Relacionar a figura com a igualdade.. Deduzir o Teorema de Pitágoras. Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir para os alunos folhas com a figura e as igualdades. ) Tempo de 5 minutos para os alunos observarem a figura e comentar essa observação. 3 ) Identificar os tipos de polígonos que formam a figura. 4 ) Demonstrar o Teorema de Pitágoras através das igualdades. a b c a c b A =. ab + c = c = a + b a + b ( a + b)

Desenvolvimento da Oficina: a) 3 item 3.) A figura é um trapézio, pois dois lados são paralelos. 3.) A figura é formada também por três triângulos retângulos. c) 4 item Calculamos a área do trapézio e a soma das áreas dos triângulos. I) A área S do trapézio é dado pelo produto da semi-soma das bases pela altura: S = S = ( a + b) ( a + b) (a + b) a ab b = + + II) Soma das áreas A dos triângulos: ab ab c A = + + c A = ab +, = a b + ab +, Comparando S e A. Os alunos devem concluir que: S = A, b + ab +, a b c + = a c = ab + c = a + b

3.5 - OFICINA 5 Média Aritmética e Geométrica Pré-requisitos: Triângulo retângulo, relações métricas e triângulo retângulo inscrito na circunferência. Objetivo: Mostrar a desigualdade a partir da observação da figura. Procedimento da oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir folhas para os alunos com a figura e a desigualdade abaixo. ) Pedir para os alunos observarem a relação da figura com a desigualdade. 3 ) Tempo de 5 minutos para os alunos observarem. 4 ) Fazer a relação do triângulo ABD na semicircunferência. 5 ) Fazer as relações métricas dos triângulos retângulos ACD e DCB. 6 ) Explicar a desigualdade, relacionando com a figura. E D a + b ab A C O B a b ab a + b

Desenvolvimento da Oficina: a) Após os três primeiros itens, vamos à relação do triângulo ABD. Lembrete: todo triângulo inscrito numa circunferência e tendo um lado passando pelo centro da circunferência é um triângulo retângulo. b) Relações métricas dos triângulos retângulos ACD e DCB: D h A m C n B m h = h = m n h n Após essa ajuda, os alunos devem encontrar DC = ab

d) 6 item a + b - OE é o raio da circunferência cujo diâmetro é a + b, então OE =. - Finalmente notemos que DC OE, e a igualdade é satisfeita somente quando o ponto D coincidir com E. ab a + b

3.6 - OFICINA 6 Desigualdades Proporcionais Pré-requisito: Razões e Proporções. Objetivo: Relacionar a figura com as desigualdades proporcionais. Procedimento da oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir para os alunos folhas com a figura e as desigualdades. ) Tempo de 5 minutos para observação da relação da figura com as desigualdades. a a + c 3 ) Mostrar a relação: < b b + d a + c c 4 ) Mostrar a relação: < b + d d c d a a b d a b < c d a a + c < b b + d < c d

Desenvolvimento da Oficina: a) 3 item a a + c Mostrar a relação: : < b b + d 3.) Prolongando o segmento EC até encontrar o segmento BF, denotado por H e denotando o comprimento BH de y como mostra a figura temos: y < c a + y < a + c. F C y H B c a E b D d A 3.) O triângulo EDC é semelhante ao triângulo EAH. Os alunos devem justificar a semelhança e concluir que: C H a a+y E b D E b+d A a b a + y = () b + d

3.3) Numa fração, se o numerador aumenta, mantendo o mesmo denominador a fração resultante aumenta. Os alunos devem concluir: a b + + y d < a + c b + d () De () e () a < b a + c b + d (5) b) 4 item a + c c Mostrar a relação: < b + d d 4.) Prolongando o segmento FC até encontrar o segmento ED, denotado por G e denotando o comprimento DG de x como mostra a figura, temos: x < b d + x < d + b F c C y B a E G b x D d A 4.) O triângulo CBF é semelhante ao triângulo GAF. Os alunos devem justificar a semelhança e concluir que: F F c a+c C d B G x+d A c = d a + c x + d (3)

4.3) Numa fração, se o denominador aumenta, mantendo o mesmo numerador a fração resultante diminui. a + c a + c Os alunos devem concluir: > (4) x + d b + d De (3) e (4) d c > a + c b + d (6) De (5) e (6) b a < a + c b + d < d c

3.7 - OFICINA 7 Soma dos números Naturais Pré-requisito: Números Naturais. Objetivo: Relacionar a figura com a igualdade. Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir folhas de papel com a figura e a igualdade para cada aluno. ) Tempo de 5 minutos para os alunos pensarem na relação da figura com a igualdade. 3 ) Desenvolver a figura para n = 3. 4 ) Verificar para n = 6. 5 ) Desenvolver para um n arbitrário. + + + n = n(n + )

Desenvolvimento da Oficina: a) Para n = 3 A figura correspondente é: 3 4 Notemos que, na figura acima a distribuição das bolas cinzas representa + + 3, somando as linhas; do mesmo modo as bolas azuis representa + +3. Assim o total de bolas no retângulo é 3 x 4 que representa ( + + 3), isto é: 3 ( + + 3) = 3 x 4 ( + + 3) = (3 x 4) = ( 3 + ) O que verifica a fórmula para n = 3. b) Os alunos devem verificar para n = 6. 4 6(6 + ) = 6 7 = = 6 7

c) Para um n arbitrário: n n n ( + + + n) ( + + + n) n n n n + ( + + + n) = n(n + ) ( + + + n) = n(n + ) Conclusão: Esta oficina causou muitas dificuldades, por isso foi realizada passo a passo, para que os alunos pudessem entender a relação entre a figura e a identidade algébrica.

4 - CAPÍTULO II Oficinas para o Ensino Médio Introdução As oficinas criadas neste capítulo são direcionadas ao ensino médio, para que os alunos possam construir através de uma observação a relação das figuras geométricas com a igualdade algébrica. As oficinas 8 e 9 induzem ao aluno a relacionar a figura geométrica com a identidade algébrica, desenvolvem o raciocínio da idéia de infinito. As oficinas 0, e tratam de algumas relações trigonométricas. A oficina usa conceitos geométricos e relações trigonométricas para encontrar o seno e o cosseno de 5. Fica a cargo de cada profissional que vá trabalhar com as oficinas, adequar de acordo com cada um, com cada realidade. Podendo portanto adequá-las em alguns anos do ensino fundamental.

4. - OFICINA 8 Soma Geométrica Pré-requisito: Divisão de Fração Objetivo: Relacionar a igualdade com a figura. Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir para os alunos folhas com a figura e a igualdade. ) Tempo de 5 minutos para os alunos pensarem na relação. 3 ) Pedir para os alunos relacionarem o primeiro lado da igualdade com cada divisão da figura. 4 ) Explicar a relação da igualdade com a figura. 5 ) Desenvolver algebricamente. 5 3 4 + + + + = 4 8 6

Desenvolvimento da Oficina: a) 3 item 4 / 8 /4 /4 6 /4 b) 4 item Notemos que o quadrado de lado foi decomposto em retângulos que não se sobrepõem, assim a soma das áreas dos retângulos da decomposição forma a área do quadrado que é. Logo temos: + + + + = 4 8 6

c) 5 item + + + + = 3 + n + + + + + = + 3 n Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga O que este paradoxo diz é que numa corrida em que o mais lento começa com vantagem, enquanto o mais lento estiver a correr nunca será ultrapassado pelo mais veloz, pois aquele que persegue tem primeiro de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento começou, pelo que o mais lento tem necessariamente de já estar alguma distância à frente. Ou seja, antes de apanhar o mais lento, o mais veloz terá sempre de alcançar o ponto onde o mais lento estava anteriormente. Na transmissão tradicional deste paradoxo temos uma corrida entre Aquiles, o herói grego da Ilíada de Homero, forte e corajoso como nenhum, simbolizando a velocidade, e opostamente a tartaruga, símbolo da lentidão. A conclusão parece ser um pouco estranha, mas é o resultado do seguinte raciocínio: a tartaruga (o mais lento) começa a corrida com uma determinada vantagem sobre Aquiles (o mais veloz); quando Aquiles chega ao ponto de onde começou a tartaruga, esta já lá não está e apesar de não ter andado tanto como Aquiles, já está num segundo ponto mais à frente; prosseguindo a corrida, quando Aquiles chega a esse segundo ponto, já a tartaruga estará mais à frente num terceiro ponto; quando Aquiles chegar a esse terceiro ponto, já a tartaruga estará mais à frente num quarto ponto; e assim sucessivamente. Logo, apesar de Aquiles estar cada vez mais próximo da tartaruga nunca chega a alcançá-la, pois sempre que chega ao ponto onde estava a tartaruga num momento atrás, já ela está mais à frente. Portanto, desde que não pare, a tartaruga irá sempre à frente e ganhará a corrida, pois Aquiles poderia correr infinitamente que não a apanharia!!

4. - OFICINA 9 Série Geométrica Pré-requisito: divisão de fração e soma da série geométrica infinita. Objetivo: Relacionar a igualdade com a figura. Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir para os alunos folhas com a figura e a igualdade abaixo. ) Tempo de 5 minutos para os alunos pensarem na relação da figura com a igualdade. 3 ) Pedir para os alunos relacionarem o primeiro lado da igualdade com a soma das partes sombreadas da figura. 4 ) Explicar a relação da igualdade com a figura. 5 ) Desenvolver algebricamente a igualdade. 4 /8 4 + + + 4 6 64 56 + = 3

Desenvolvimento da Oficina: a) 3 item Área sombreada = = Área sombreada = = 4 4 6 Área sombreada = = 6 64 Seguindo j Seguindo este processo a próxima área sombreada será:, 0, 8 Assim, a soma das áreas é: + + + 4 6 8 + = 3

b) 4 item Por outro lado, outra forma de calcular esta área sombreada é: /3 Em cada figura L a parte sombreada representa 3 da figura. E a união de todas as figuras L forma o quadrado todo. Assim, a parte sombreada no quadrado corresponde a 3 da área do quadrado. Finalmente de (a) e (b) está mostrado que: 4 + 6 + 64 + 56 + = 3 c) 5 item + + + + 8 6 4 = 3 ( ) ( ) ( ) + + + + 4 3 + + + + 6 4 + + + + 3 4 4 4 4 3 4 3 4 4 4 = = 3 3

4.3 - OFICINA 0 Tangente do ângulo metade Pré-requisito: I) Geometria plana (ângulo central e ângulo inscrito) II)Trigonometria no triângulo retângulo. III) Círculo trigonométrico. Objetivo: Relacionar conceitos geométricos com a igualdade trigonométrica. Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir para os alunos folhas com a figura e a igualdade. ) Tempo de 5 minutos para os alunos fazerem a observação da relação da figura com igualdade. 3 ) Verificar a relação trigonométrica no triângulo OBC. 4 ) Fazer a relação do ângulo central e ângulo inscrito com o arco correspondente. 5 ) Explicar o triângulo ABD inscrito na circunferência. 6 ) Mostrar a primeira igualdade. 7 ) Mostrar a segunda igualdade B senθ θ θ θ A O cosθ C -cosθ D Tan θ = senθ + cosθ = cosθ senθ

Desenvolvimento da Oficina: a) 3 item Como estamos trabalhando num círculo trigonométrico (r = ), as relações no triângulo OBC são verdadeiras. Isto é: θ senθ cosθ -cosθ b)4 item Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente. θ θ θ c) 5 item A informação de que o ângulo ABD é reto pode ser obtida lembrando que triângulos inscritos na circunferência e cujo lado é o diâmetro, são triângulos retângulos. d) 6 item No triângulo ABC, notar que AC = + cosθ. B senθ θ A +cosθ C

Os alunos devem concluir: Tan θ = senθ + cosθ (a) e) 7 item I) Concluir que o ângulo CBD = θ B A θ π θ - C θ π θ - D II) No triângulo BCD, devem concluir: B senθ θ C -cosθ D Tan θ = cosθ senθ (b) Finalmente, de (a) e (b) devem chegar a conclusão: Tan θ = senθ cosθ = + cosθ senθ

4.4 - OFICINA Seno da diferença Pré-requisito: Relações trigonométricas no triângulo retângulo. Objetivo: Mostrar através da figura o seno da diferença. Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir para os alunos folhas com a figura e as relações trigonométricas. ) Verificar a relação trigonométrica do triângulo OAD. 3 ) Verificar a relação trigonométrica do triângulo OCD. 4 ) Encontrar a relação x = (sinα - hsin β )cosα através do seno dos ângulos OBA e BCD. 5 ) Encontrar o seno da diferença, com as relações encontradas. B α β C α β O cosα A h x D senα - hsen β hsen β h = cosα cos β hsen( α β ) = x = ( senα hsenβ ) cosα sen( α β ) = senα cos β cosαsenβ

Desenvolvimento da Oficina: a) item No triângulo OAD, temos: D h cos β = β O cosα A cosα h h = cosα cos β b) 3 item No triângulo OCD encontrar o seno de α β e concluir o valor de x. D O x h x sen( α β ) = h α β C x = hsin( α β ) c) 4 item Denotemos por θ o valor do ângulo OBA. Os alunos devem concluir: I) No triângulo OBA senθ = cosα ; II) No triângulo BCD:senθ = BD x BD = AB AD = senα - hsenβ x senθ = senα hsenβ x = (senα - hsen β ) cosα

d) 5 item Igualando os valores de x dos itens 3 e 4 os alunos devem concluir: hsin( α β ) = (sinα - hsin β )cosα sin( α β ) = sinα cos β - cosα sin β

4.5 - OFICINA Seno da soma Pré-requisito: Relações trigonométricas no triângulo retângulo. Objetivo: Encontrar através das relações trigonométricas o seno da soma. Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir para os alunos folhas com a figura e as relações trigonométricas. ) Justificar o ângulo ACB. 3 ) Verificar a relação trigonométrica do triângulo ABE. 4 ) Encontre o seno da soma, usando a igualdade verificada. A β cos β D sen ( α + β ) sen β x senβ cosα senα B α + β α C E sinα = sin( α + β ) sin β cosα cos β + sinα sin( α + β ) = sinα cos β + cosα sin β

Desenvolvimento da Oficina: a) item Justificar o ângulo ACB = α + β. AD = cos β, CD = sen β, AB = sen( α + β ) e DE = senβ cosα senα Denotando x = DE, tgα = senβ x senα = cosα senβ x x = senβ cosα senα b) 3 item No triângulo ABE: AB senα = = AE AB AD + DE = sin( α + β ) sin β cosα cos β + sinα c) 4 item Os alunos devem desenvolver a igualdade e concluir o seno da soma: senα = sin( α + β ) sin β cosα cos β + sinα sin( α + β ) = sinα cos β + cosα sin β

4.6 - OFICINA 3 Seno e cosseno de 5 graus Pré-requisitos: Teorema de Pitágoras e relações trigonométricas no triângulo retângulo. Objetivo: Encontrar valores do seno e do cosseno do ângulo de 5 usando a figura. Procedimento da Oficina: Metodologia para o professor: ) Distribuir para os alunos folhas com a figura e a igualdade abaixo. ) Usando o teorema de Pitágoras, encontre os lados AD e BE. 3 ) Usando relações trigonométricas, encontre o lado BC e DC = x 4 ) Encontre o seno e o cosseno de 5, usando a relação trigonométrica do triângulo BCD. sen5 = 6 4

Desenvolvimento da Oficina: a) item Notar que o triângulo AED é isósceles AE = DE =. Através do teorema de Pitágoras no triângulo AED os alunos devem concluir: AD = DE No triângulo BED, como DE =, sen 30 = BD = BD =. BD que: Usando o teorema de Pitágoras no triângulo BED, o aluno deve concluir BE = 3. b) 3 item No triângulo ABC, AB = + 3 Notemos que o ângulo ACB = 90 C x + x+ 45 45 A + 3 B Sen45 = x + + 3 x + = + 3 x = 6 d) 4 item Os alunos devem chegar a conclusão do seno e cosseno de 5 : Sen5 = 6 4 Cos5 = + 4 6

4 - Conclusão As oficinas,, 3 e 7 foram aplicadas aos alunos do 7 ano do ensino fundamental, serviram como motivação despertando nos alunos a busca pela relação das figuras com as identidades algébricas, apesar das dificuldades encontradas em atividades envolvendo relações entre álgebra, aritmética e geometria, com o desenvolvimento passo a passo foi possível o acompanhamento por parte da maioria dos alunos. Diante das dificuldades oriundas das situações ensino-aprendizagem, das resistências dos alunos, torna-se necessário que o educador traga para a sala de aula, atividades que despertem interesse e desenvolvimento do raciocínio matemático. A Oficina constitui-se um duplo espaço de aprendizagem, ou seja, o aluno se apropria e ressignifica seus conhecimentos; e o professor também aprende com os educandos. Ajuda os alunos a desenvolver a independência e aprende a assumir a responsabilidade por sua própria aprendizagem.

5 Referências Bibliográficas BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. São Paulo, Moderna, 6 ed, 006. NELSEN, Roger B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking????? IMENES, Luiz Márcio. Matemática para todos. São Paulo, Scipione, ed, 005. FONSECA, Maria da Conceição F. R. Educação Matemática de Jovens e Adultos. Belo Horizonte, Autêntica,00.

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