ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO Ficha Informativa/Formativa MATEMÁTICA - A 10º Ano 2011/2012 Poliedros, Duais e Relação de Euler Poliedro - Um Poliedro é um sólido geométrico limitado por faces que são polígonos planos. Um Poliedro diz-se regular se as suas faces são polígonos regulares e os seus diedros são iguais. Nota que : Só é possível formar um poliedro regular com quadrados concorrendo no mesmo vértice : o cubo ; Só é possível formar três poliedros regulares com triângulos equiláteros concorrendo no mesmo vértice : tetraedro, octaedro e icosaedro Só existe um poliedro regular em que as faces são pentágonos : o dodecaedro. POLIEDROS DE PLATÃO (ou regulares): São poliedros em que todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e, todas se encontram em igual número em torno de cada vértice. Imagem retirada do livro Novo Espaço Belmiro Costa e Ermelinda Rodrigues Porto Editora TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO Esas Sólidos Platónicos 1
Quantos e quais os poliedros regulares cujas faces são triângulos? Se o número de faces que concorrem em cada vértice é 3, tem se o tetraedro. Se o número de faces que concorrem em cada vértice é 4, tem-se o octaedro. Se o número de faces que concorrem em cada vértice é 5, tem-se o icosaedro. Nota que : Só há um poliedro regular cujas faces são quadrados, que é o cubo; Só há um poliedro regular com faces pentágonos, chamado dodecaedro. Esas Sólidos Platónicos 2
Conclusão : Existem apenas cinco poliedros convexos regulares, conhecidos por Sólidos Platónicos, que são : tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro. Relação de Euler : a soma do número de faces com o número de vértices é igual ao número de arestas mais dois. F V A 2 Poliedros Duais : Dual de um poliedro é um outro poliedro, cujas arestas se obtêm unindo por segmentos de recta os centros das faces consecutivas do poliedro dado. Imagem retirada do livro Novo Espaço Belmiro Costa e Ermelinda Rodrigues Porto Editora Verifica-se que : O dual do tetraedro é o tetraedro. O dual do cubo é o octaedro. O dual do dodecaedro é o icosaedro. O dual do icosaedro é o dodecaedro. O dual do octaedro é o cubo. Recordando a fórmula de Euler podemos concluir que : O número de vértices de um poliedro é igual ao número de faces do seu dual. O números de arestas de um poliedro é igual ao número de arestas do seu dual. O número de faces que concorrem em cada vértice de um poliedro é igual ao número Esas Sólidos Platónicos 3
de lados de cada face do respectivo dual. Atividade : Copia e completa a seguinte tabela : Poliedros Faces Vértices Arestas tetraedro 4 tetraedro cubo 8 octaedro octaedro 12 cubo dodecaedro 12 icosaedro icosaedro 30 dodecaedro Vértices Faces Arestas Dual Exercícios : 1. Um poliedro convexo tem 9 faces e 15 arestas. O número de vértices é : ( A ) 12 ( B ) 6 ( C ) 8 ( D ) 10 2. Sabendo que um sólido tem 20 faces, então o seu dual tem : ( A ) 20 vértices ( B ) 10 vértices ( C ) 15 vértices ( D ) 5 vértices 3. O dual do cubo é : ( A ) o cubo ( B ) o octaedro ( C ) o tetraedro ( D ) o dodecaedro 4. Um dodecaedro tem 12 faces pentagonais regulares. Então os seus vértices são : ( A ) 60 ( B ) 30 ( C ) 20 ( D ) 12 5. Considera um poliedro convexo com 6 faces e 12 arestas. 5.1 O número de vértices desse poliedro é : ( A ) 6 ( B ) 8 ( C ) 12 ( D ) 18 5.2 Qual dos seguintes poliedros poderá ser o seu dual? ( A ) cubo ( B ) octaedro ( C ) prisma hexagonal ( D ) paralelepípedo 6.Um cubo tem 64 cm 3 de volume. Calcula : 6.1 o comprimento da aresta do seu dual; 6.2 o volume do seu dual. Esas Sólidos Platónicos 4
7. A figura planificada com 6 quadrados representa um sólido Platónico. Responde às seguintes questões: 7.1 Qual o nome do sólido platónico? 7.2 Quantos vértices e quantas arestas têm este sólido platónico? 7.3 Diz, justificando, qual o número máximo de faces quadrangulares que um sólido platónico pode ter, convergindo para o mesmo vértice. 8. Na figura está representado um cubo e o seu dual. Sabe-se que a aresta do cubo mede 6 cm. 8.1Mostra que a aresta do octaedro tem de comprimento 3 2 cm. 8.2 Determina a área de uma face do octaedro. 8.3 Mostra que o volume do octaedro é a sexta parte do volume do cubo. Curiosidade Platão fez a seguinte associação entre os poliedros regulares e os elementos da natureza: Tetraedro associou-o ao Fogo ; Cubo associou-o à Terra; Icosaedro associou-o ao Universo; Octaedro associou-o ao Ar; Dodecaedro associou-o à Água. Esas Sólidos Platónicos 5