2012.2 Fundamentos da Matemática e Estatística Prof. Eric Vinícius Freitas
2 Divisão entre dois números é chamada de razão (toda fração é também uma razão) Exemplo: Dos 50 alunos de uma classe, apenas 30 foram aprovados. Qual a razão dos alunos aprovados (ou taxa de aprovação)? As razões aparecem muito na Física. Exemplo são a velocidade média ( definida como a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto) e a aceleração (definida como a razão entre a velocidade e o tempo). Exemplo: Um móvel percorreu 2,7KM em 7,5 minutos. A velocidade média do móvel nesse percurso, em unidade do SI, foi de: Uma proporção é uma igualdade entre dias razões. Proporções são extremamente úteis e importantes na matemática e na física. Uma proporção deve ser lida como a está para b, assim como c está para d. Os valores a e d são chamados de extremos (estão nas extremidades) e os valores b e c, de meios (estão no meio). Para toda a proporção vale a seguinte regra: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. De fato, = => 2.15 = 6.5 EXERCÍCIOS 1- Descubra o valor de x em cada proporção abaixo: a) = b) = 2- A razão entre as idades de um filho e seu pai é de Se o filho tem 24 anos, qual a idade do pai? 3- Para se obter tinta verde de uma certa tonalidade, usam-se tinta amarela e tinta azul na razão de 2 para 3.Se o litro da tinta amarela custa R$ 7,00 e o da tinta azul, R$ 5,00, então o custo, em reais, para se produzirem 20 litros da tinta verde é de quanto? 4- Dois pintores, A e B, foram contratados para pintar um muro e receberam juntos um total de R$ 80,00 pelo serviço. Esses pintores trabalham durante o mesmo período, sendo que A pintava 8 do muro a cada duas horas; e B, 6 por hora. Sabendo-se que o pagamento foi diretamente proporcional à área pintada por cada um, pode-se afirmar que A recebeu, em reais: a) 50,00 b) 48,00 c) 32,00 d) 20,00 e) 16,00 5- Considere a,b, e c números reais, em que a< b< c. Se o maior é igual à soma dos outros dois e o menor, a um quinto do maior, então a, b e c são proporcionais, respectivamente a: a) 1, 2 e 4 b) 1,4 e 5 c) 1,6 e 8 d)2,3 e 4 e)2,4 e 5
3 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA: Uma regra de três é uma proporção na qual um dos elementos é desconhecido. Regra de três simples envolve apenas dois tipos de grandezas, enquanto a composta envolve mais de dois tipos. Duas grandezas são diretamente proporcionais se,quando uma aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção e vice-versa; elas serão inversamente proporcionais se, quando uma aumentar, a outra diminui também na mesma proporção e vice-versa. Passos para se resolver uma regra de três: 1- Organize as grandezas de mesmo tipo em colunas. A incógnita (a grandeza desconhecida) deve ser chamada de x ( ou de outra letra qualquer); 2- Verifique se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais; 3- Inverta apenas as grandezas que forem inversamente proporcionais ( a referência é a grandeza desconhecida); 4- Monte e opere as proporções Exemplo: Uma casa de 3 quartos é construída em 21 dias. Em quantos dias será construída uma outra de 5 quartos, se o número de operários for mantido? Exemplo: (Regra de Três Composta) Uma casa de 3 quartos é construída em 21 dias por 10 operários.em quantos dias será construída uma outra de 5 quartos, se o número de operários aumentar para 35? 1- Uma pessoa recebe R$ 300,00 por 18 dias de trabalho. Quanto receberá por 30 dias de trabalho? 2- Um carro faz um percurso a uma velocidade constante de 60 Km/h durante 7 horas. Se viajar pelo mesmo percurso durante 4 horas, qual a velocidade média desenvolvida por esse carro? 3- Oitenta operários constroem um muro de 100 m de comprimento e 3m de altura em 5 dias, trabalhando 6 horas por dia.em quantos dias, 60 operários deverão trabalhar para construir um novo muro semelhante ao primeiro com 150 m de comprimento, 4 m de altura, trabalhando 8 horas por dia? PERCENTAGEM (OU PORCENTAGEM) Significa por cem. Ela surge da razão entre um número de 100 (razão centesimal) e é indicada pelo símbolo %. Uma razão pode ser escrita na forma percentual.por exemplo, a razão pode ser escrita como = 0,4.100% = 40 %
4 Em outras palavras, para calcular uma porcentagem, faça a divisão indicada pela razão e multiplique o resultado por 100% Exemplo 1: quanto é 15% de 300? Exemplo 2: Se um objeto foi comprado por R$ 20,00 e depois foi revertido por R$ 26,00, qual foi a taxa percentual de lucro obtida? EXERCÍCIOS 1- Que percentagem representa 360 de 1500? 2- Em um mês típico,50 % dos OVNIS observados nas vizinhanças de Brasília são atribuídos a aviões, e das restantes observações de OVNIS é atribuído a balões atmosféricos.se, durante um mês típico, 108 OVNIS foram observados, quantas dessas aparições são atribuídas a balões atmosféricos? 3- Sabe-se que a distância percorrida em uma Meia Maratona é 24 Km e que um atleta que ocorre a uma velocidade média de 320 metros por minuto em de hora terá percorrido x% do percurso total. Com base nessa informação, pode-se afirmar que o valor de x é: a) 30 b) 24 c) 22 d) 16 e) 12 4- Para atrair clientes uma loja resolve fazer uma promoção, dando desconto de 15% para compras entre R$ 900,00 e R$ 1800,00,o que não aumentou o volume de vendas. Resolveu então aumentar em 10% o desconto já anunciado. Com base nessa informação, uma compra no valor de R$ 1600,00 teve quanto de desconto, em reais? a) 400 b) 424 c) 264 d) 250 e) 240 Área de Figuras Planas Área do Retangulo: A área de um retangulo de base b e altura h é dada pelo produto b x h Área do quadrado: O quadrado é um espécie de retângulo em que a base e a altura tem medidas iguais.logo, a área de um quadrado de lado l é dada pelo produto de l x l Área do Paralelogramo: A área de um paralelogramo de base b e altura h é dada por b x h Área do Triângulo: A área do triângulo de base b e altura h é definida por Área do trapézio: A área de um trapézio de medidas b (base menor) e B (base maior) e h(altura) é dada pelo semiproduto de (b+b) por h. A = ( ) Áreade um Círculo: A área de um círculo de raio r é igual ao produto da constante pelo quadrado de r. A =.
5 Função do 1º Grau As funções de 1º grau estão presentes em diversas situações do dia-a-dia.vejamos este por exemplo. Uma loja de eletrodoméstico contrata vendedores com as seguintes condições salariais: um fixo de R$ 100,00 mais 5% sobre as vendas efetuadas. Vamos procurar uma fórmula que forneça o salário no final de cada mês. Lembremos que: 5% = 0,05.Chamemos o total do salário de y. Se o vendedor fizer uma venda de R$ 500,00, receberá: Y = 100 + 0,05.500 = R$ 125,00 Façamos uma tabela para visualizar melhor a situação. Y = 100 + 0,05x Salário Fixo ( em reais) Venda (em reais) % Total 100 500 5 125 100 1000 5 150 100 2000 5 200 De modo geral, se ele venderx, teremos que: A fórmulay = 100 + 0,05x expressa uma função de 1º grau. A representação gráfica de uma função deste tipo sempre será uma reta: (esboçar o gráfico). Definição: Chama-se função do 1º grau a função f:r R definida por y = ax + b, com a e b números reais e a 0 e a é o coeficiente angular da reta e determina sua inclinação, b é o coeficiente linear da reta e determina a intersecção da reta com o eixo y. A função de 1º grau pode ser classificada de acordo seus gráficos.considere a forma genérica y = ax + b 1.1- Função Constante: se a=0, entãoy = b, b є R. Desta maneira, y=4 é função constante, pois, para qualquer valor de x, o valor de y ou f(x) será sempre 4. (Esboçar o gráfico). 1.2- Função Identidade: Se a = 1 e b =0, então y = x. Nesta função, x e y têm sempre o mesmos valores. Graficamente temos: (Esboçar o gráfico) A reta y =x ou y = f(x) é denominada bissetriz dos quadrantes ímpares.
6 1.3- Função linear: é a função do 1º grau quando b = 0, a 0 e a 1, a e b є R.Exemplos: F(x) = 5x; y = x; f(x) = -2x; y = 10x 1.4- Função afim`: é a função do 1º grau quando a 0, b 0, a e b є R.Exemplos: F(x) = 3x + 1; y = 4x; f(x) = -x + 5 Função Crescente e função decrescente: a) Se f(x) é crescente se a é um número positivo ( a>0) b) Se f(x) é crescente se a é um número negativo (a<0) Exercício Resolvido: 1- Obtenha o valor de m є R para que a função seja do 1º grau, em cada caso: (Resolver com os alunos na sala) a) F(x) = ( m + 1) x + 3 b) F(x) = ( 4)x + 5 Exercício Proposto: 1-Determine, em cada caso, o valor de k є R para que a função seja do 1º grau: a) F(x) = (3k + 6)x + 1 b) F(x) = (2k 8)x +7 c) F(x) = ( 25)x 2 d) Y = ( 9)x 1 2-Esboce o gráfico das funções e determine se são crescentes ou decrescentes: a) Y= 2x + 1 b) Y=-2x +4
7 Raíz ou zero de um função de 1º grau: A raiz ou zero de uma função de 1º grau é o valor de x para o qual y = f(x) = 0.Graficamente é o ponto em que a reta corta o eixo x.portanto, para determinar a raiz de uma função de 1º grau, basta a igualarmos a zero: F(x) = ax +b => ax + b =0 ax = -b => x = Exercício Resolvido: 1-determine a raiz da função F: R R, tal que f(x) = 3x +1.(Resolver em sala) 2-Determine m є R para -5 seja a raiz da função f: R R, dada por f(x) = -x + 3m.( Resolver em sala) 3-Determine o valor de K є R para que a função f(x) = (4k + 12)x + 1seja crescente. (Resolver em Exercícios Propostos: 1- Determine em R a raiz de cada uma das funções: a) F(x) = -x +7 b) F(x) = 3x + 9 c) F(x) = 7 d) Y = -4x -12 e) Y = x + 5
8 2-Determine k є R para que -3 seja raiz da função y = 12x + k 3-Determine m є R para que as funções sejam crescentes: a) Y = (m + 3) x b) y = (2m + 5)x 1 Funções do 2º grau Chama-se função do 2º grau ou função quadrática, de domínio R e contradomínio R, a função f(x) = a + bx + c, onde a,b e csão números reais e a 0. A é coeficiente de ; B é coeficiente de x; C é o termo independente Chama-se função completa aquela em que a, b e c não são nulos e incompleta quando b e c são nulos. Observe os exemplos : a) F(x) = + 2x 1 é função quadrática completa onde a=1, b= 2 e c = -1 b) Y= 2 8 é função quadrática incompletaonde a=2, b= 0 e c=-8 Exercícios Resolvido ( Resolver em sala) 1-Em cada caso determine m para que a função seja do 2º grau. a) Y= (2m + 1) + 3x 1 b) Y= ( - ) + 5 Exercícios Propostos:
9 1-Em cada caso, determine k є R para que a função seja do 2º grau: a) Y= (-k + 1) 2x -1 b) Y= ( + 7) c) Y= ( -3k+ 15) Raízes da função do 2º grau Analogamente à função do 1º grau, para encontrar as raízes da função quadrática, devemos igualar f(x) a zero. Teremos então: a + bx + c = 0 A expressão assim obtida denomina-se equação do 2º grau.as raízes da equação são determinadas utilizando-se a fórmula de Bháskara: Onde 4ac Δ( letra grega: delta) é chamado de discriminante da equação. Observe que o discriminante terá um valor numérico, do qual temos de extrair a raiz quadrada. Neste caso, temos três casos a considerar: Δ> 0 => duas raízes reais e distintas Δ = 0 => duas raízes reais iguais Δ< 0 => não existem raízes reais ( ) Exercício resolvido( Resolver em sala)
10 1-Calcule as raízes das funções do 2º grau e esboce os gráficos: a)y = -7 + 6x + 1 b)y = 3x c)y = 81 Exercícios Propostos 1-Esboçe o gráfico das funções do 2º grau abaixo: a) F(x) = - 4x-3 b) F(x) = 2 c) F(x) = 5 4x + 11 Pontos importantes da parábola Vértice (V): É o ponto de coordenadas ( lê-se: x do vértice) e (lê-se y do vértice) dadas por: e
11 Ponto de intersecção com o eixo Oy: Para x=0 => y= a. + b.0 + c=> y= c Ocorre sempre no ponto (0,c) Eventuais pontos de intersecção com o eixo Ox: Para y = 0=> a + bx + c=0 A resolução da equação do 2º grau é facilitada com o emprego da fórmula de Bháskara Nem sempre a equação do 2º grau apresenta solução, na realidade existem três possibilidades considerando que pode ser positivo, nulo ou negativo. 1ª possibilidade: A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos tendo em vista que a equação admite duas soluções reais distintas(raízes da função): Esboçar o gráfica na sala 2ª possibilidade: Neste caso a equação admite duas soluções reais iguais.portanto, a parábola intercepta o eixo Ox em um único ponto, ou seja, a parábola tangencia o eixo Ox no ponto (, 0).Esboçar o gráfico na sala
12 3ª possibilidade: Neste caso a equação não admite solução real. Logo a parábola não intercepta o eixo OX. Esboçar o gráfico na sala Exercício Proposto: 1-As coordenadas do vértice da função y = 2x + 1 são : a)(1;4) b) (1;2) c) (1;1) d) (0;1) e) (1;0) 2-Calcule as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função do 2º y = 3 + 6x 2 3-Em um reservatório de água, o nível y varia com o tempo contado em horas a partir da meianoite, conforme função: y= -1,3 + 7,8t 4,2.O instante em que o reservatório está mais cheio é:
13 Sistema de unidade de medidas Medidas de comprimento: KM HM DAM M dm cm mm 1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01 0,001m Medidas de massa KG HG DAG G dg cg mg 1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01 0,001g Medidas de capacidade KL HL DAL l dl cl ml 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l Medidas de area K H DA d c m 1 Medidas de volume K H DA d c m 1 Relações importantes: 1. 1d = 1l 2. 1 = 1000l 3. 1 = 1ml Medidas de tempo( Unidade de medida no SI) 1 hora = 60 minutos = 3600s 1 minuto = 60 segundos 1 dia = 24 horas = 1440 minutos = 86400 segundos
14 Exercícios Propostos: 1-Escreva os seguintes valores em unidades de : a) 2K b) 0,08 K c) 9000 c d) 12000m e) 150 d f) 10 c 2-Um antibiótico de uso pediátrico é apresentado sob a forma de 400 mg de amoxilina para cada 5 ml de solução.uma criança com a idade de 30 meses, com 15 Kg de massa, deve fazer o uso de 4ml desse medicamento a cada 12 horas. Considerando que o tratamento deve durar 9 dias, qual será a quantidade de amoxilina consumida pela criança até o término do tratamento? a) 28,8g b) 0,0288 Kg c) 5,76 g d) 0,0576 Kg e) 6,8 g 3-Converta em Da : a) K b) H c) m d) d e) f) 4-Converta as seguintes medidas de volume em medidas de capacidade: a) 2,8 em litros c) 70 d b) 3 c em militros