Matrizes Sadao Massago 20-05-05 a 204-03-4 Sumário pré-requisitos 2 Tipos de matrizes 3 Operações com matrizes 3 4 Matriz inversa e transposta 4 5 Determinante e traço 5 Neste texto, faremos uma breve revisão sobre matrizes pré-requisitos Denição, tipo de matrizes, operações básicas são assumidas conhecidas Aqui faremos somente uma revisão de alguns pontos importantes 2 Tipos de matrizes Uma matrizé disposição de números em linhas e colunas A m n a m a mn Nós denotamos a matriz com a letra romana maiúscula e seus elementos, denominados de entradas, pela letra minuscula correspondente com sua posição indicada pelos índices O número de linhas e de colunas (m e n no exemplo acima) é denominado de dimensão da matriz Os elementos que cam na coluna igual a da linha (a ii ) são chamados de elementos do diagonal e onde cam os elementos do diagonal é chamado do diagonal da matriz Neste texto, vamos considerar somente os caso em que todas entradas da matriz são números reais [ ] 2 4 Exemplo 2 A 3 3 i+j 2 4 4 5 5 6
Exercício 22 Escreva a matriz A 3 3 [a ij ] com a ij i j A matriz pode ser classicada quanto as dimensões (número de linhas e colunas) matriz quadrada quando número de linhas for igual ao número de colunas, isto é, é do tipo a n a nn matriz coluna quando só tem uma coluna Isto é, é do tipo a matriz linha quando só tem uma linha Isto é, é do tipo [ ] A matriz pode ser classicada quanto as quanto aos seus elementos a n matriz_diagonal matriz quadrada cuja os elementos fora do diagonal são nulas a 0 0 0 a 22 0 tipo 0 0 a nn 0 0 matriz nula todos elementos são nulas Isto é, é do tipo 0 0 Isto é, é do matriz_identidade matriz quadrada cuja elementos do diagonal são ' s e fora do diagonal são 0 nulas Isto é, é do tipo 0 matriz triangular superior matriz quadrada cuja embaixo do diagonal são nulas Isto é, é do tipo 0 a nn matriz triangular inferior matriz quadrada cuja acima do diagonal são nulas Isto é, é do tipo a 0 a n a nn Exercício 23 Dê exemplo numérico de cada uma das matrizes acima 2
3 Operações com matrizes Duas matrizes de mesma dimensão podem ser somadas uma nas outras A matriz soma é a matriz cuja seus elementos são soma elemento a elemento, isto é, a soma dos elementos que ocupa a mesma posição Em símbolos, C A + B se c ij a ij + b ij para todo i, j b b n a + b a n + b n + a m a mn b m b mn a m + b m a mn + b mn Quando trabalhamos com matrizes, o número é chamado de escalar O produto por escalar é o produto de um número com a matriz, obtido, multiplicando o número em todos os elementos da matriz B λa se b ij λa ij para todo i, j λa λa n λ a m a mn λa m λa mn Também podemos multiplicar uma matriz por outra, mas esta operação é mais sosticada Intuitivamente, poderia ser produto elemento a elemento, mas não é Lembremos que as operações devem ser denidos para reetir as propriedades de interesse e não a facilidade de cálculo em si O produto elemento a elemento é interessante para manipulação de tabelas de números dispostas como matrizes, mas não para estudar a matriz propriamente dita A multiplicação de matriz A m p com B p n é obtido como segue p C AB se c ij a ik b kj a i b j + + a ip b pj O elemento c ij é a soma dos produtos k elemento a elemento da linha i da matriz A com a coluna j da matriz B a a j a p a i a ij a ip a m a mj a mp b b j b n b i b ij b in b p b pj b pn c c j c n c i c ij c in c m c mj c mn [ ] 2 2 3 Exemplo 3 Obter 2 3 2 3 4 3 4 [ O elemento da primeira linha da primeira coluna do produto é 2 3 ] multiplicado por 2 elemento a elemento e somados Então será ( ) + 2 ( 2) + 3 ( 3) 4 A 3 primeira linha da segunda coluna é efetuar o cálculo análogo para linhas e colunas marcadas a seguir, obtendo 20 e assim por diante 3
[ ] 2 3 2 2 3 2 3 4 3 4 4 20 20 29 O símbolo é chamado de somatória e indica que soma todas expressões onde o índice indicado varia Somatória aparece frequentemente nos estudos das matrizes para encurtar a escrita das expressões envolvidas Na parte de baixo coloca-se o índice que vai variar e onde ele inicia Na parte de cima, coloca-se onde termina o índice Quando a variação do índice é óbvia, poderá abreviar, colocando-se somente o índice na parte de baixo Exercício 32 Escreva a expressão expandida para as somatórias 2 0 i i k N /k 3 Sejam i,, 3 e j,, N i,j i j + Algumas observações sobre o produto das matrizes [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 AB nem sempre é BA Por exemplo, e [ ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 0 AB 0 não implica que A 0 ou B 0 Por exemplo, 0 0 0 0 0 [ ] [ ] 2 0 Note que multiplicar a matriz identidade não altera a matriz Por exemplo, [ ] [ ] [ ] 3 4 0 0 2 2 0 3 4 3 4 4 Matriz inversa e transposta Uma matriz quadrada A tem a inversa A se AA A A Id, onde Id é a matriz identidade [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 Exemplo 4 Temos que Então 0 0 0 [ ] [ ] 0 0 4
Algumas propriedades de A são: (A ) A, (AB) B A, (λa) λ A Uma das operações denominadas de transposição é importante para estudar a simetria das matrizes B A t se b ij a ji para todo i, j Isto signica que as linhas de A t são colunas de A Também oode dize que as colunas de A t sãolinhas de A [ ] 2 2 3 Seja A então B 2 3 é a transposta de A Note que a primeira linha de A é 2 3 4 3 4 primeira coluna de B A t e a segunda linha de A é a segunda coluna de B A t Quando A A t, dizemos que matriz é simétrica e quando A A t, dizemos que matriz é anti simétrica Note que a matriz simétrica e anti simétrica são matriz quadradas Algumas propriedades de A t são: (A t ) t A, (A + B) t A t + B t, (λa) t λa t, (AB) t B t A t, (A t ) (A ) t Exercício 42 Mostre que diagonal da matriz anti simétrica é nula 5 Determinante e traço Dada uma matriz quadrada, existem dois números importantes associados a ele que são erminante e traço Determinante é obtido como segue x: [a] [ a ] Ele mesmo a b 2x2: ad bc Produto do diagonal - produto do diagonal oposta c d 3x3: Costuma calcular através da regra de Sarrus Copia duas primeiras colunas no lado direito e calcula como sendo soma dos produtos dos diagonais completos, menos a soma dos produtos dos diagonais opostos completos a a 2 a 3 a a 2 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 Assim, a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 (a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 ) (a 3 a 22 a 3 + a a 23 a 32 + a 2 a 2 a 33 ) nxn (n > ): Recursividade pela expansão de Laplace Desenvolvimento em linha A a i ( ) i+ A i + + a ij ( ) i+j A ij + + a in ( ) i+n A in onde A Ij é a matriz obtido, eliminando i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz A Desenvolvimento em coluna A a j ( ) +j A j + + a ij ( ) i+j A ij + + a nj ( ) n+j A nj Note que o desenvolvimento de Laplace pode ser usado para qualquer matriz quadrada a partir de 2x2 para reduzir ao caso de dimensão menor Ele é importante para estudos teóricos, mas não é eciente para obter erminantes numéricos através dele, exceto para casos especiais 5
2 0 Exemplo 5 A 0 2 0 0, então podemos desenvolver o Laplace em torno da segunda 0 2 linha na qual tem bastante zeros A 2 0 0 2 0 0 0 2 A ( ) 2+ 0 A 2 + ( ) 2+2 A 22 + ( ) 2+3 2 A 23 + ( ) 2+4 0 A 24 0 2 0 A 22 2 A 23 2 0 3 2 ( 5) 3 0 2 0 2 Alguma das propriedades importantes dos erminantes são E linear nas linhas λa i λa in λ a i a in a n a nn a n a nn b i + c i b in + c in b i b in + c i c in a n a nn a n a nn a n a nn a k a kn troca de linha muda o sinal do erminante a i a in a n a nn a i a in a k a kn a n a nn e 6
Se uma linha for múltipla da outra linha, o erminante é nulo a k a kn λa k λa kn a n a nn 0 Com isso, temos que: somar múltipla de uma linha na outra não altera o erminante a i + λa k a in + λa kn a i a in a n a nn a n a nn A t A (AB) A B Temos que A tem a inversa se, e somente se, A 0 e A A Exercício 52 Mostre que (λa n n ) λ n A Exercício 53 Mostre que (AB t ) (A t B) para matriz quadradas A,B de dimensão n Quando não há ambiguidade, o traço vertical em vez de colchetesna matriz indica o erminante, isto é, A A ou a m a mn a m a mn Regra de Cramer Seja A uma matriz quadrada inversível Então a solução do sistema Ax b é dado por x i A j A onde A j é a matriz obtido, trocando a j -ésima coluna pelo vetor b { [ ] 2x + 3y 2 3 Exemplo 54 3x + 4y então A 3, A 3 4 e A2 4 de onde x 3 4 2 3 3 4 e y 2 3 2 3 3 4 2 3 A inversa da matriz pode ser obtida através da matriz adjunta Note que esta técnica é importante para estudos teóricos, mas não é eciente para inverter matriz numérica Dado matriz A, denimos a matriz adjunta como sendo adja [ A ij ] t, então podemos provar [ ] [ ] [ ] a b a b d b que A A adja Aplicando para matriz 2 2, A, temos c d c d A c a Traço é a soma dos elementos dos diagonais 7
a a n tr a + + a nn a n a nn tra t tra, tr(a + B) tra + trb, tr(λa) λtra Exercício 55 Obtenha o traço de AA t 2 3 Exemplo 56 tr 4 5 6 + 5 + 9 5 7 8 9 Referências [] Boldrini, José L et al, "Álgebra Linear", Editora Harbra Ldta, 986 [2] Santos, Reginaldo J, "Matrizes, Vetores e Geometria Analítica", Imprensa Universitária da UFMG, 200 8