Exercício 01. Dada à hipérbole de equação 5x 2 4y 2 20x 8y 4 = 0 determine os focos e as equações das assintotas. Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x 2 4x + 4 4] 4[y 2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x 2) 2 4(y + 1) 2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x 2) 2 / 4 (y + 1) 2 / 5 = 1. Então o centro é C(2, 1). Como a incógnita x vem na parte positiva o eixo real está na horizontal, e os valores de a = 2 e b =. Como na hipérbole c 2 = a 2 + b 2 vem que c 2 = 4 + 5 = 9 e daí, c = 3. Os focos são F 1 (2 3, 1) = ( 1, 1) e F 2 (2 + 3, 1) = (5, 1). As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m = b / a, logo temos: r 1 : y y o = m(x x o ) onde y o = k = 1 e x o = h = 2 e m = / 2, logo 2(y + 1) = (x 2) e; r 2 : y y o = m(x x o ) é dada por: 2(y + 1) = (x 2). Exercício 2. Identifique a cônica de equação 25x² - 36y² - 100x - 72y - 836 = 0; seus elementos e faça um esboço de seu gráfico. Solução: Dada a equação 25x² - 36y² - 100x - 72y - 836 = 0; primeiro agrupamos os termos em x e os termos em y: 25(x² - 4x) - 36(y² + 2y) - 836 = 0; completamos o quadrado: 25[(x - 2)² - 4] - 36[(y + 1)² - 1] - 836 = 0; e reescrevemos: 25(x - 2)² - 100-36(y + 1)² + 36-836 = 0 ) 25(x - 2)² - 36(y + 1)² - 900 = 0; finalizamos colocando no formato canônico: (x - 2)² / 62 - (y + 1)² / 52 = 1 Vemos, portanto (observe o sinal -), que se trata de uma hipérbole com a = 6; b = 5 e 61 ; pois c² = 36+25 = 61: Além disto, temos: c = Elementos: Centro: C = (2;_1) Vértices: V1 = (_4;_1) e V2 = (8;_1)
Focos: F1 = (2 _ p61;_1) e F2 = (2+p61;_1) Assíntotas: y = 5/6(x - 2) - 1 e y = - 5/6(x - 2) - 1 Excentricidade: e = 61/6 Exercício 3. Identifique a cônica de equação -16x²2 + 9y² - 160x - 54y - 885 = 0; seus elementos e faça um esboço de seu gráfico. Solução: Dada a equação -16x² + 9y² - 160x - 54y - 885 = 0; primeiro agrupamos os termos em x e os termos em y : -16(x² + 10x) + 9(y² - 6y) - 885 = 0; completamos o quadrado: -16[(x + 5)² - 25] + 9[(y - 3)² - 9] - 885 = 0; e reescrevemos: -16(x + 5)² + 390 + 9(y - 3)² - 81-885 = 0 # -16(x + 5)² + 9(y - 3)² - 576 = 0; finalizamos colocando no formato canônico: (y _ 3)² / 8² - (x + 5)² / 6² = 1: Vemos, portanto (observe o sinal -), que se trata de uma hipérbole com a = 8; b = 6 e c = 10; pois c2 = 64 + 36 = 100: Além disto, temos: Elementos: Centro: C = (-5; 3) Vértices: V1 = (-5;-5) e V2 = (-5; 11) Focos: F1 = (-5;-7) e F2 = (-5; 13) Assíntotas: y =4/3 (x+5)+3 e y = -4/3 (x+5)+3 Excentricidade: e = 10/8 = 5/4 Referências Bibliográficas 4) A distância entre o centro da circunferência de equação x² + y² + 8x 6y = 0 e o foco de coordenadas positivas da elipse de equação x225+y216=1 é:
5) Encontre a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da parábola de equação y = x² - 25 e excentricidade e = 3/5. 6) Encontre a equação da parábola que passa pelo ponto P(0,10) e pelos focos da hipérbole de equação 9x² - 16y² = 144
7) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3) e é perpendicular à reta que passa pelo centro da circunferência de equação x² + y² + 8x 4y + 11 = 0 e pelo foco de coordenadas positivas da hipérbole de equação x264 y236=1
8)Dado um triângulo cujos vértices são A(1,1), B(4,0) e C(3,4), determine: a) O pé da altura relativa ao vértice C. b) A área do triângulo ABC. Solução: Neste tipo de exercício, a primeira coisa e se fazer é encontrar as equações das retas que unem os vértices do triângulo. Faremos isso; Reta AC: Passa pelo ponto (1,1) e (3,4), logo, como é uma reta, tem a forma:
y = ax + b, substituindo os pontos: 1 = a*1 + b 4 = a*3 + b a = 3/2 b = -1/2 A equação da reta AC: y = (3/2)x - (1/2) Analogamente, achamos que A reta AB será: y = (-1/3)x + (4/3) A reta BC será: y = -4x + 16 Agora vamos ao exercício: a) Para determinar este ponto, devemos encontrar a reta que passa por C e é perpendicular à reta AB, pois a altura relativa a algum ponto de um triângulo é, por definição, a reta que passa por esse ponto e é perpendicular à reta que une os outros dois pontos. Como retas perpendiculares tem coeficientes angulares com sinal trocado e inversas, teremos: Coeficiente angula da reta AB: -1/3 Logo, coeficiente angular da reta altura: 3 Logo, ela tem a forma: y = 3x + b Mas essa reta deve passar pelo ponto C (3,4) 4 = 3*3 + b b = 4-9 = -5 Logo, a reta é: y = 3x - 5 O pé dessa altura é o ponto que as retas AB e a reta altura se interceptam: Reta AB: y = (-1/3)x + 4/3 Reta altura: y = 3x - 5 3x - 5 = (-1/3)x + 4/3 (10/3)x = 19/3 x = 19/10 = 1,9 y = 3*(19/10) - 5 y = 5,7-5 = 0,7 Ponto = (1,9, 0,7)
b) Sabendo que a altura deste triângulo vai do ponto P(1,9, 0,7) ao ponto C(3,4), a distância 'd' entre esses pontos será o valor desta altura: h² = (3-1,9)² + (4-0,7)² h² = 1,1² + 3,3² h² = 1,21 + 10,89 = 12,1 h = 3,479 O tamanho da base, é a distância do ponto A ao ponto B. d² = (4-1)² + (0-1)² d² = 3² + 1² = 10 d = 3,1623 A área será: (3,1623 * 3479) / 2 = 5,5 9 E.E. Lins/1968 Dados os vértices P(1,1), Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q é: a) 12,32 b) 10,16 c) 15,08 d) 7,43 e) 4,65 Solução: Seja o triângulo PQR abaixo: Sendo M o ponto médio do lado PR, o segmento de reta QM será a mediana relativa ao lado PR. Sendo os pontos P(1,1) e R(-5,2), o ponto
médio M será: M(-2, 3/2). Observe que: -2 = [1 + (- 5)]/2 e 3/2 = (1 + 2)/2. Em caso de dúvida, reveja Geometria Analítica clicando AQUI. O comprimento da mediana procurado, será obtido calculando-se a distancia entre os pontos Q e M. Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, vem: Portanto, a alternativa correta é a letra D. 10 EPUSP/1966 Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equação sen(x y) = 0 constituem: a) uma reta b) uma senóide c) uma elipse d) um feixe de retas paralelas e) nenhuma das respostas anteriores Solução: O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, p, 2p, 3p, 4p,..., kp, onde k é um número inteiro. Logo: sen(x - y) = 0 Þ x y = kp. Daí, vem: - y = - x + kp \ y = x - kp, k Î Z. Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de retas de mesmo coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja:... k = - 1 reta: y = x + p k = 0 reta: y = x k = 1 reta: y = x - p, e assim sucessivamente.... Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas). 11 A equação x 2 y 2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas cartesianas: a) uma hipérbole b) uma elipse c) uma circunferência d) uma parábola e) duas retas
Solução: Temos: x 2 y 2 + x + y = 0 ; podemos escrever: (x y)(x + y) + (x + y) = 0; Observe que (x-y)(x+y)= x 2 - y 2 Fatorando, fica: (x + y) (x y + 1) = 0 Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter necessariamente: x + y = 0 ou x y + 1 = 0 ; Logo, y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que nos leva à alternativa E. 12) FEB- SP O valor de k, tal que a reta que passa por A(k,2) e B(6,k) forme um angulo de 45 com o eixo Ox (no sentido positivo), é: a) 45 b)1 c)4 d)nda m (coeficiente angular) é igual à tangente do ângulo. tg45=1 y-yo=m(x-xo) > m= (y-yo)/(x-xo) 1=(k-2)/(6-k) -> k-2=6-k logo k=4. 12)Escrever a equação da circunferência cujo centro é o ponto ( 3, 5) e raio igual a 7.
13)Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto P(2, 4) e é tangente ao eixo Y. Solução: A distância entre o ponto central e o eixo y é a coordenada x do ponto P, logo o raio r = 2. yx P Logo com centro (2, 4) e r = 2 15)Uma circunferência tem seu centro no ponto (0, 2) e é tangente a reta 5x 12y+2=0. Encontrar a equação.
Solução: O raio pode ser determinado pela equação da distância entre um ponto e uma reta: Logo com centro (0, 2), e Raio r = 2: r y reta cbyax dpr 16) A equação de uma circunferência é (x 3)2 + (y + 4)2 = 36. Mostrar que o ponto ( 2, 5) se encontra no interior da circunferência e o ponto ( 4, 1), no exterior. Solução: Para descobrirmos de o ponto está dentro ou fora da circunferência, simplesmente substituímos o valor dos pontos no x e no y da equanção da circunferência. Se o resultado for menor que r2, está dentro. Se o resultado for maior que r2, está fora. No nosso caso r = 6, ou seja, r2 = 36. Ponto está dentro Ponto está fora 17) Determinar a equação da circunferência cujo raio é 5 e cujo centro é a interseção das retas 3x 2y 24 = 0 e 2x+7y+9 = 0 Solução:
O centro da circunferência está no ponto em comum entre as duas retas: Logo para encontrar o ponto em comum O entre as retas, temos que resolver um sistema de equações. Substituímos o valor de y em I, temos: y y y y y y y y y y x x y x
18) Determinar a equação da circunferência cujo centro se encontra sobre o eixo X e que passa pelos dois pontos ( 1, 3 ) e ( 4, 6). Solução: Como o centro está na origem, então o ponto é do tipo: (x, 0). Como a distância AO é igual a distância BO, logo podemos igualar a eq. da distância entre 2 pontos de AO e BO. IIyxxd Iyxxd Elevando ambos ao (quadrado), temos: x x x x Logo o centro é (7,0) Então a eq. da circunferência com centro Substituindo o x =7 em (I), temos: (7,0) e raio r = 45, é:
19) Determinar os valores da constante k se a reta R : 2x + 3y + k = 0 é tangente à circunferêcia x2 + y2 + 6x + 4y = 0. Solução: Para encontrar o ponto P que pertence a reta e a circunferência, devemos colocar ambas as equações em um sistema. IxII ky x Iyxyx xiikyx Iyxyx em substitui 2 Usando Báskara: = 0. Logo: Para retas tangentes fazemos (-1) 0270716 k k k k k 4)( 0439 kkyky kkykyy ykykkyy ykyyk kyy y kyy cab b y
20)A equação de uma circunferência é x2 + y2 8x 6y = 0. Determinar a equaçãoda reta que passa pelo ponto P ( 1, 4 ), e é tangente a esta circunferência ( duas soluções). Solução: Sabemos que a derivada de uma função de 2º grau resulta em uma reta tangente a curva em um certo ponto, logo: derivando em relação a x. x2 + y2 + 8x 6y = 0 Isolando y : Sabemos que y é o coef. angular da reta R ou S, e pela definição, temos: Esta equação é a condição para encontrar uma reta tangente à circunferência em questão, para isto, devemos colocar esta equação junto com a eq. da circunferência para encontrar os pontos em que as retas encostam na circunferência. :Temos fazendo :cadeia da regra a Usando yyyx dx dy dx dy yx y dx dy y dy dx dy dxd dx dx dx dx dy dy dx dy dx dy2 )2( 028)62( x y xyy xyy xyy y my xy yx xyy x x y