FUNÇÃO DE º GRAU A função de º grau, ou função quadrática é aquela que possui a forma f ( ) = a + b + c, com a, b e c reais e a 0. Tem uma grande aplicação prática, principalmente no cálculo de maimização e minimização. A ilustração acima, nos dá uma idéia de onde podemos encontrar algumas aplicações da função de º grau. No 1º desenho temos um arco de ponte, o º desenho nos mostra uma ponte com passagem para o barco, a 3ª figura que nos mostra um coletor solar, embaio, temos um túnel. Veja que com isso, percebemos que o gráfico da função de º grau descreve uma curva denominada parábola. Eemplos de função de º grau: a) y = 4 + 3, onde a = 1, b = 4 e c = 3 b) f ( ) = + + 3, onde a = 1, b = e c = 3 1
CÁLCULO DOS ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Denomina-se zero ou raiz da função f ( ) = a + b + c, o valor de que anula a função, isto é f ( ) = 0. Eemplos: Calcule os zeros (ou raízes) da função: a) y = 4 + 3 Basta igualar a função f() a zero, daí temos: 4 + 3 = 0 (agora temos uma equação de º grau, que pode ser resolvida pela fórmula de Bháskara) a + b + c = 0 b ± =, onde é chamado de discriminante e é calcu- a lado por = b 4ac. Note que esse discriminante é quem vai nos dizer a quantidade de raízes que possui a equação de º grau. Se > 0 (isto é, positivo, significa que teremos duas raízes reais e diferentes na e- quação) Se = 0 (isto é, nulo, significa que teremos duas raízes reais e iguais, ou uma única raiz) Se < 0 (isto é, negativo, significa que não teremos nenhuma raiz real) Assim, voltando a nossa equação 4 + 3 = 0, vamos calcular o valor de b = 4ac = ( 4) 4 1 3 = 16 1 = 4, como = 4 (positivo, então teremos duas raízes reais e diferentes) b ± ( 4) ± 4 4 ± 4 = = = = = = 1 e a 1 4 + 6 = = = 3, logo, as raízes são: 1 e 3. b) f ( ) = + + 3 Igualando a função a zero, temos + + 3 = 0 (fica mais fácil fazer as contas, se multiplicarmos a epressão + + 3 = 0 por 1) O que temos agora 3 = 0, calculando = b 4ac = ( ) 4 1 ( 3) = 4 + 1 = 16, mais uma vez, teremos duas raízes reais e diferentes. b ± ( ) ± 16 ± 4 4 = = = = = = 1 e a 1 + 4 6 = = = 3, logo, as raízes são 1 e 3.
c) f ( ) = 5 + 10 Igualando a função a zero, temos 5 + 10 = 0, e podemos notar que a equação de º grau que se apresentou é incompleta, pois está faltando o termo c, que neste caso, será zero. Fica mais fácil, então, no lugar de usar a fórmula de Bháskara, colocar o em evidência, assim: 5 + 10 = 0 ( 5 + 10) = 0 = 0 e 5 + 10 = 0 10 5 = 10 = =, logo, as raízes são 0 e. 5 d) f ( ) = 4 Igualando a função a zero, temos 4 = 0, e também podemos notar que essa equação, também é incompleta, pois está faltando o termo b, que neste caso, é zero. Também fica mais fácil resolver sem usar a fórmula de Bháskara, assim: 4 = 0 = 4 = ± 4 = ±, logo, as raízes são e. GRÁFICO Como vimos, na definição introdutória, o gráfico da função de º grau é uma curva denominada parábola, que terá concavidade voltada para cima se a > 0 ou voltada para baio se a < 0. Concavidade voltada para cima (a > 0) Corta o eio em dois pontos, logo, temos duas raízes reais e diferentes, isto é, > 0 Corta o eio em um único ponto, logo, temos uma única raiz real, isto é, = 0 Não corta o eio, logo, não temos raízes reais, isto é, < 0 3
Concavidade voltada para baio (a < 0) Corta o eio em dois pontos, logo, temos duas raízes reais e diferentes, isto é, > 0 Corta o eio em um único ponto, logo, temos uma única raiz real, isto é, = 0 Não corta o eio, logo, não temos raízes reais, isto é, < 0 ( V COORDENADAS DO VÉRTICE Podemos observar que, se a concavidade da parábola, estiver voltada para cima (ou seja a > 0), a parábola apresenta um ponto que é o mais baio (ponto de mínimo da função), mas, se a concavidade estiver voltada para baio (a < 0), então a parábola apresenta um ponto que é o mais alto (ponto de máimo da função). Esse ponto (mínimo ou máimo) é chamado de vértice V V, y ) da parábola e suas coor- b denadas são v = e y v =, sendo que a reta que contém o vértice da parábola a 4a e é paralela ao eio y é denominada de eio de simetria. a > 0 a < 0 Eio de simetria Eio de simetria V (vértice) V (vértice) 4
Com esses dados, podemos calcular maimização ou minimização em várias situações: Eemplo: O lucro mensal de uma empresa é dado por L ( ) = + 10 16, em que é a quantidade vendida. a) Para que valores de, o lucro é nulo, ou seja, não houve lucro? b) Qual será o valor de para obtermos o maior lucro possível? c) Qual é esse maior lucro? Resolução a) se queremos saber, para que valor de o lucro é nulo, basta igualar a função a zero + 10 16 = 0 ( 1) 10 + 16 = 0 (usando a fórmula de Bháskara, temos) = e = 8, ou seja, quando para = ou = 8 b ( 10) 10 b) basta calcular o v, então temos: v = v = = = 5, significa que a 1 quando vender 5 unidades, a empresa terá conseguido seu lucro máimo. c) agora é só calcular o y v, que nesse caso, fica mais fácil se substituirmos o v na função assim, L ( ) = + 10 16 L (5) = 5 + 10 5 16 L ( 5) = 5 + 50 16 = 9, ou seja, quando a empresa tiver conseguido vender 5 unidades, então terá o seu maior lucro que será de 9 unidades monetárias. EXERCÍCIOS Questão 01 Dadas as funções de IR em IR, marque com um X aquelas que são funções de º grau: a) ( ) f ( ) = 3 6 + 1 b) ( ) y = + 4 c) ( ) f ( ) = 8 d) ( ) f ( ) = 3 + 7 e) ( 5 4 ) f ( ) f) ( 5 ) y = 8 6 g) ( 3 ) f ( ) = 16 3 Questão 0 Dada a função f ( ) = 5 + 6, calcule: a) f( 1) b) f(0) c) f(1) d) f() e) f(3) Questão 03 Calcule os zeros (raízes) de cada função: a) y = 5 4 b) y = 4 + c) f ( ) = 6 + 9 d) f ( ) = 9 5
Questão 04 Dizer se as funções quadráticas abaio têm concavidade voltada para cima ou para baio: a) y = 3 + 4 b) f ( ) = + 6 9 c) f ( ) = d) f ( ) = + 16 Questão 05 O valor mínimo de y em y = 5 + 6 é: a) 0, 5 b) 0, 5 c) 0 d), 5 e) 3, 0 Questão 06 A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada pela função f ( t ) = t 7t + A, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t = 0, a temperatura é de 10º C, o tempo gasto pra que a temperatura seja mínima, em minutos, é: a) 3, 5 b) 4, 0 c) 4, 5 d) 6, 5 e) 7, 5 Questão 07 Para um indivíduo sadio em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente t (em graus Celsius), segundo a função N ( t) = 0, 1t 4t + 90. Nessas condições, em qual temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo? a) 31º C b) 1, 4º C c) 0º C d) 5º C 6
Questão 08 O físico francês Poiseuille, foi o primeiro a descobrir que o sangue flui mais perto do centro de uma artéria do que nas etremidades. Testes eperimentais mostraram que a velocidade do sangue num ponto a r cm do eio central de um vaso sanguíneo é dada pela função V ( r) = C ( R r ) em cm/s em que C é uma constante e R é o raio do vaso. Supondo, para um determinado vaso, 4 que seja C = 1, 8 10 e R = 10 cm, calcule: a) a velocidade do sangue no eio central do vaso sanguíneo; b) a velocidade do sangue no ponto médio entre as parede do vaso e o eio central. Questão 09 Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela epressão h( t) = 3t 3t, onde h é a altura máima atingida em metros. a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? b) Qual é a altura máima, em metros, atingida pelo grilo? Questão 10 Uma espécie animal, cuja família no início era composta de 00 elementos, foi testada num laboratório sob a ação de uma certa droga. Constatou-se que a lei de sobrevivência nesta família obedecia à relação n ( t) = at + b em que n(t) é igual ao número de elementos vivos no tempo t (dado em horas); a e b são parâmetros que dependem da droga ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu seu último elemento) quando t = 10h (após o início da eperiência). Calcular quantos elementos tinha essa família 8 horas após o início da eperiência. Questão 11 Num certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máimo às 14 horas. Suponhamos que, nesse dia, a temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t, medido em horas, dada por f ( t) = t + bt 160, quando 8 t 0. Obtenha: a) o valor de b; b) a temperatura máima atingida nesse dia; Questão 1 De uma folha de papel retangular de 30 cm por 0 cm são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de lado. Determine a epressão que indica a área da parte que sobrou em função de. 7
Questão 13 Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e o espaço em volta dela com tela de alambrado. Tendo recebido 00 m de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível. Questão 14 Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular. O retângulo onde a casa será construída tem 80 m de perímetro. Calcule as dimensões desse retângulo sabendo que a área de sua região deve ser a maior possível. Questão 15 Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que a sua área seja máima. y Questão 16 O espaço percorrido S por um corpo em queda livre, durante um certo tempo t, é dado pela função S ( t) = 4, 9t. Considerando que um corpo está em queda livre: a) Qual é o espaço, em metros, que ele percorre após 3s? b) Em quanto tempo ele percorre 1, 5m? Questão 17 Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h = t + 4t + 6. Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máima; b) a altura máima atingida pela bola; c) quantos segundos depois de lançada, ela toca o solo? 8
Questão 18 A trajetória de uma bola, num chute a gol, descreve aproimadamente uma parábola. Supondo que a sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada pela fórmula h = t + 6t, determinar: a) em que instante a bola atinge a altura máima? b) qual é a altura máima atingida pela bola? Questão 19 Nos acidentes de trânsito, uma das preocupações dos especialistas em tráfego é descobrir qual a velocidade do veículo antes da colisão. v Uma das fórmulas utilizadas é d = 0,1 v + na qual v é a velocidade, em quilômetros 50 por hora, desenvolvida pelo veículo antes do choque e d, a distância, em metros, que o mesmo percorre desde que o motorista pressente o acidente até o mesmo parar. Essa é uma função do º grau que relaciona uma distância, muitas vezes determinada pelas marcas de pneus na pista, após utilização brusca dos freios, e a velocidade que o carro trafegava. Quantos metros percorre um carro a 80 km/h, desde o momento em que vê o obstáculo, até o carro parar? Questão 0 O impacto de colisão I (energia cinética) de um automóvel com massa m e velocidade v é dado pela fórmula I = k m v. Se a velocidade triplica, o que acontece ao impacto de colisão de um carro de 1.000 kg? Questão 1 Sabe-se que o custo C para produzir unidades de certo produto é dado pela fórmula C = 80 + 3.000. Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. b) o valor mínimo do custo. Questão A receita diária de um estacionamento para automóveis é R = 100 p 5 p, em que p é o preço cobrado por dia de estacionamento por carro. a) Qual o preço que deve ser cobrado para dar uma receita diária de R$ 375,00? b) Qual o preço que deve ser cobrado para que a receita seja máima? 9
Questão 3 Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa em que se produziu unidades, verificou-se que R ( ) = 6.000 e C ( ) =. 000. Nessas condições, qual deve ser a produção para que o lucro da empresa seja máimo? Questão 4 A venda de milhares de unidades de um determinado CD-ROM produzido para microcomputadores Compaq gera uma receita dada por R = 7 unidades monetárias. O custo para produzir estas unidades é dado por C = + 5 unidades monetárias (u.m). Nestas condições: a) determine o valor do lucro máimo (em u.m) b) o nível de produção para que o lucro seja máimo. Questão 5 Define-se custo médio de produção Cm () o valor de produção de uma peça de um lote de peças. Assim, o custo médio é calculado dividindo-se o custo total pelo número de C ( ) peças produzidas: Cm ( ) =. Se o custo médio de produção de certa mercadoria é 10 dado por Cm( ) = + 3 + e a função receita é dada por R ( ) = 10 ( é dado em milhares), obtenha o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máimo. Questão 6.000 O custo médio de fabricação de unidades de um produto é Cm ( ) = + 0 + e a função receita é R ( ) = 00. Nestas condições, obtenha a quantidade que deve ser produzida e vendida para maimizar o lucro. Questão 7 Um sitiante plantou 30 abacateiros e cada árvore produz 100 abacates em média. Pretendendo aumentar o número de árvores, o sitiante consultou um especialista que o informou que cada árvore nova plantada fará diminuir em abacates o número médio produzido pelas árvores. Nestas condições, quantas árvores ele deverá plantar para obter o número máimo de abacates? Questão 8 Para uma determinada viagem, foi fretado uma avião com 100 lugares. Cada pessoa deve pagar à companhia R$ 500,00 além de uma taa de R$ 6,00 para cada lugar não ocupado do avião. a) Qual a receita arrecadada se compareceram 80 pessoas para a viagem? b) Qual a receita máima que pode ser arrecadada nas condições do problema? 10
RESPOSTAS 1. a, b, f. a) 1 b) 6 c) d) 0 e) 0 3. a) 3 e 8 b) não eiste raiz real c) 3 d) 3 e 3 4. a) para cima b) para baio c) para cima d) para baio 1. a) 40 b) R$ 1.400,00. a) 5 ou 15 b) 10 3..000 4. a) 4 b) 3 5. 3.500 peças 6. 30 unidades 7. 10 8. a) R$ 49.600,00 b) R$ 50.416,00 5. A 6. A 7. C 8. a) 1,8 cm/s b) 1,35 cm/s 9. a) após 1 s b) 0,75 m 10. 7 elementos 11. a) 8 b) 36º C 1. A ( ) = 4 + 600 13. 50 50 14. 0 0 15. = 4 e y = 8 16. a) 44,1 m b) 5 s 17. a) s b) 10 m c) 5,16 s 18. a) 3 s b) 9 m 19. 33,6 m 0. O impacto será 9 vezes maior 11