Lógica de Predicados

Lógica de Predicados

Conteúdo Correção dos Exercícios (Rosen 47) Prioridade dos Quantificadores (Rosen 38) Ligando Variáveis (Rosen 38) Predicados com duas variáveis. Equivalências lógicas (Rosen 39) Negando expressões com quantificadores (Rosen 39)

Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x))

Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta.

Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x))

Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x)) Todos os animais são coelhos e saltam

Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x)) Todos os animais são c) x(r(x) H(x)) coelhos e saltam

Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x)) Todos os animais são coelhos e saltam c) x(r(x) H(x)) Existe um animal que se é coelho então ele salta.

Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x)) Todos os animais são coelhos e saltam c) x(r(x) H(x)) Existe um animal que se é coelho então ele salta. d) x(r(x) ^ H(x))

Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x)) Todos os animais são coelhos e saltam c) x(r(x) H(x)) Existe um animal que se é coelho então ele salta. d) x(r(x) ^ H(x)) Existe um coelho que salta

Exercícios Rosen 47 9) Considere P(x) como a proposição x fala russo e considere Q(x) como a proposição x sabe a linguagem computacional C++. Expresse cada uma dessas sentenças em termos de P(x), Q(x), quantificadores e conectivos lógicos. O domínio para quantificadores são todos os estudantes de sua escola.

Exercícios Rosen 47 9) Considere P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} a) Há um estudante em sua escola que fala russo e sabe C++.

Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} a) Há um estudante em sua escola que fala russo e sabe C++. x (P(x) ^ Q(x))

Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} b) Há um estudante em sua escola que fala russo mas não sabe C++.

Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} b) Há um estudante em sua escola que fala russo mas não sabe C++. x (P(x) ^ ~Q(x))

Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} c) Todo estudante em sua escola ou fala russo ou sabe C++.

Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} c) Todo estudante em sua escola ou fala russo ou sabe C++. x (P(x) v Q(x))

Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} d) Nenhum estudante em sua escola fala russo ou sabe C++.

Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} d) Nenhum estudante em sua escola fala russo ou sabe C++. x ~(P(x) v Q(x))

Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) (x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x))

Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) (x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x)) Isso nos mostra o conceito de variável ligada

Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) (x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x)) E o conceito de escopo de uma variável

Variável Ligada x (x+y = 1) x é ligada Quando um quantificador é usado na variável x, dizemos que essa ocorrência da variável é ligada.

Variável Livre x (x+y = 1) x é ligada Uma ocorrência de uma variável que não é ligada por um quantificador ou não representa um conjunto de valores particulares é chamada de variável livre (y).

Variável Livre x (x+y = 1) x é ligada Não é uma proposição, pois y é variável livre Todas as variáveis que ocorrem em um função proposicional devem ser ligadas ou devem representar um conjunto de valores particulares para ser uma proposição.

Escopo x (P(x) ^ Q(x)) v x R(x) Escopo não se sobrepõe. Escopo Escopo É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado.

Escopo x (P(x) ^ Q(x)) v y R(y) Escopo Escopo Escopo não se sobrepõe. Pode ser y ao invés de x. É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado. Uma variável é livre se não está sob o escopo de algum quantificador.

Dúvidas!!! Dúvidas sobre Variável Livre, Variável Ligada e Escopo????

Refrescar a Mente!!! Na aula passada traduzimos as seguintes sentenças: Todo estudante desta classe estudou lógica e Todo estudante da classe visitou Canadá ou México!!!

Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. C(x) = x estudou lógica S(x) = x é estudante desta classe Vamos reformular nossa primeira frase: Todo estudante desta classe estudou lógica

Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. C(x) = x estudou lógica S(x) = x é estudante desta classe Domínio 1: {estudantes desta classe} x C(x)

Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. C(x) = x estudou lógica S(x) = x é estudante desta classe Domínio 1: {estudantes desta classe} x C(x) Domínio 2: {todas as pessoas} x (S(x) C(x))

Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. C(x) = x estudou lógica S(x) = x é estudante desta classe Agora vamos definir uma novo predicado!!! Q(x,y) = estudante x estudou matéria y

Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. Q(x,y) = estudante x estudou matéria y Domínio 1: {estudantes desta classe} x Q(x,lógica)

Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. Q(x,y) = estudante x estudou matéria y Domínio 1: {estudantes desta classe} x Q(x,lógica) Domínio 2: {todas as pessoas} x (S(x) Q(x, lógica))

Predicados com duas variáveis Algum estudante da classe visitou Canadá ou México. V(x,y) = x visitou o país y x (V(x,México) v V(x,Canadá))

Equivalências (S T) Sentenças que envolvem predicados e quantificadores são logicamente equivalentes se e somente se elas têm o mesmo valor verdade quaisquer que sejam os predicados substituídos nessas sentenças e qualquer que seja o domínio para as variáveis nessas funções proposicionais.

Equivalências x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x) x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x)

Equivalências x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x) x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x) CUIDADO!!!! x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x) x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x)

Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~x P(x)

Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~x P(x) Podemos reformular a frase para: Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica. x ~P(x)

Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~x P(x) Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica. x ~P(x) Ilustramos que: ~x P(x) x ~P(x)

Negando Expressões Quantificadas Existe um estudante na classe que teve aulas de calculo. x P(x) Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~x P(x)

Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~x P(x) Podemos reformular a frase para: Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo. x ~P(x)

Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~x P(x) Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo. x ~P(x) Ilustramos que: ~x P(x) x ~P(x)

Negando Expressões Quantificadas As regras para negações de quantificadores são chamadas de Leis de De Morgan para quantificadores. ~x P(x) x ~P(x) ~x P(x) x ~P(x)

Exercícios 1) Quais as negações de: a) Existe um político honesto b) Todos os brasileiros comem churrasco 3) Negar x (x 2 > x) 4) Negar x (x 2 = x) 5) Mostre que: ~x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x))

Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} Como fica a proposição???

Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x)

Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~x H(x)

Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~x H(x) Sabemos que ~x H(x) x ~P(x) Então podemos dizer que:...

Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~x H(x) Sabemos que ~x H(x) x ~P(x) Então podemos dizer que: Todos os políticos são desonestos.

Exercícios 1) Quais as negações de: a) Existe um político honesto b) Todos os brasileiros comem churrasco 3) Negar x (x 2 > x) 4) Negar x (x 2 = x) 5) Mostre que: ~x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x)) 6) Rosen pg 47 exercícios: 6c, 6d, 6e, 6f 7) Rosen pg 48 exercício 34