Lista de Exercícios 03 Aplicações das relações e funções no cotidiano Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano. O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Domínio e Contradomínio de uma Relação As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma: O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R).
Relações que não são funções Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) } não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3. Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) } não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B. Domínio, contradomínio e imagem de uma função Exemplos f:r R definida por f(x)=x² Dom(f) = R, CoDom(f) = R e Im(f)=[0, )
f: [0,2] R definida por f(x)=x² Dom(f) = [0,2], CoDom(f) = R e Im(f)= [0,4] f: R + R + definida por f(x)= x 1/2 f: R + R definida por f(x)=1/(x - 2) Funções injetoras Uma função f:a B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: x 1 x 2 implica que f(x 1 ) f(x 2 ) ou de forma equivalente f(x 1 )=f(x 2 ) implica que x 1 =x 2 Exemplos: 1. A função f:r R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). 2. A função f:r R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6. Funções sobrejetoras Uma função f:a B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). Exemplos: 1. A função f:r R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. 2. A função f:r (0, ) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento pertencente a (0, ) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função. 3. A função f:r R definida por f(x)=2 x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio. Funções bijetoras Uma função f:a B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo: A função f:r R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora. Funções crescentes e decrescentes Funções Compostas Dadas as funções f:a B e g:b C, a composta de f com g, denotada por g f, é a função definida por (g f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g). Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por: (f g)(x)=f(g(x))=g(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14 (g f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10 Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos: (g f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10 Observação:Em geral, f g é diferente de g f. Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4. Então: (f g)(x)=f(g(x))=f(2x-4)=(2x-4)²+1=4x²-16x+17 (g f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)-4=2x²-2 Funções Inversas Exemplo
Obtenção da inversa: Seja f:r R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Assim fog=gof=identidade. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade. Exemplo: Exercícios 1) Um garoto brinca de arrumar palitos fazendo uma sequência de quadrados como na figura. a) Quanto palitos ele deve usar para construir 7 quadrados. b) Quanto palitos ele deve usar para construir k quadrados (ou seja, construir uma função que relaciona o número de palitos com o número que quadrados). c) Determina o domínio e a imagem da função apresentada no intem anterior. 2) (Vunesp-SP) Uma função de variável real satisfaz a condição f(x+2)=2f(x)+f(1), qualquer que seja a variável x. Sabendo que f(3) = 6, determine o valor de: a) f(1) b) f(5) c) f(9) 3) Seja f: R R uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos A (1, 2) e B (2, 3), a função f -1 (inversa de f ) é: 4) Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para seus assinantes: Plano A - Assinatura mensal de R$8,00 mais R$0,30 por cada Gigabite de download. Plano B - Assinatura mensal de R$10,00 mais R$0,20 por cada Gigabite de download. a) Dê a expressão de y(x), onde y é a conta de Internet e x é a quantidade de Gigabite de download. b) Acima de quantos Gigabite de download por mês é mais econômico optar pelo plano B? c) Faça, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das contas de Internet dos dois planos. 5) Sejam as funções f(x) = (x + 1)/(x - 1) definida para todo x real e x 1 e g(x) = 2x+3 definida para todo x real. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
02. ( ) O valor de g(f(2)) é igual a 4/3. 04. ( ) O domínio da função fog (f composta com g) é D(fog) = IR - {-1}. 08. ( ) A função inversa da g é definida por g -1 (x)=(x-3)/2. 16. ( ) A reta que representa a função g intercepta o eixo das abscissas em (-3/2, 0). 32. ( ) A função f assume valores estritamente positivos para x < -1 ou x > 1. 6) Os 87 alunos do 3ª ano do ensino médio de certa escola prestaram vestibular para três universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo menos uma das outras duas. Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número de aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C. Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos três vestibulares prestados? Justifique. 7) Determine a função capaz de gerar o gráfico abaixo: 8) Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d. Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se: a) b(1 - c) = d(1 - a) b) a(1 - b) = d(1 - c) c) ab = cd d) ad = bc e) a = bc 9) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é: 10) O gráfico abaixo expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus Celsius. Considere que a função é do tipo y = mx + n
a) Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius; b) Determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit. 11) Determine o domínio das seguintes funções a) y = 3 x b) f(x) = c) f(x) = 12) Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a: a) -1/3 b) 1/3 c) 0 d) 1 e) -1 13) Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é: a) 2-2x b) 3-3x c) 2x - 5 d) 5-2x 14) Que número excede o seu quadrado o máximo possível? a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) -1/2 15) Sendo f(x) = -2x+6 e g(x) = 6x-2, determine f(g(x)) e g(f(x)). 16) Um marreteiro compra diariamente objetos por R$ 3,00 e os vende por R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se x é a quantidade vendida e y o lucro diário do marreteiro, determine a lei de formação da função:
17) Determine o domínio e a imagem da função representada no gráfico abaixo: Respostas: 1) a) P=32 b) P=3k+1 c)d=naturais Im={x:x=3k+1,k N} 2) a) 2 b) 14 c) 62 3) f -1 (x)=x-1 4) y A =8+0,3G y B =10+0,2G b)20 5) 60 6)15 x; 0 x 4 4; 4 < x 6 7)f(x) = 2x + 16; 6 < x 8 8) a 9) 3/4 10)a) 1,8C+32 b) 21,333.. 11)a) x 3 b) x ± 2 c) x - 7 12) a 13) d 14) a 15) f(g(x)) = -12x + 10 g(f(x)) = -12x +34 16) y = 2x - 100 17) [-3;5]-{3} Profº Leandro Colombi Resendo