- Conceitos Básicos Castro Soares de Oliveira
é o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios. está associada a estatística, porque sua teoria constitui a base de estatística inferencial. Conceito de esbarra no conceito da palavra aleatório
Determinístico vs Aleatório Experimentos determinísticos são experimentos que quando repetido nas mesmas condições, conduz ao mesmo resultado. Tome-se, por exemplo, a lei de Ohm, V = I.R. Se R e I forem conhecidos, então V estará precisamente determinado Experimento aleatório é aquele que, se repetido sobre as mesmas condições, não produz necessariamente o mesmo resultado. Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode-se descrever todos os resultados possíveis Se repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidade em termos de frequência de resultados.
Experimentos Aleatórios Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. Resultados possíveis 1, 2, 3, 4, 5, 6 Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido. Resultados possíveis 0, 1, 2, 3, 4 Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem reposição) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o número de peças retiradas. Resultados possíveis 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. Resultados possíveis [0, )
Espaço Amostral O espaço amostral (Ω) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis ( Ω) desse experimento. Um espaço amostral é equiprovável se as frequências relativas de seus elementos tendem a um mesmo valor quando o número de vezes que o experimento é repetido tende ao infinito Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6) - espaço equiprovável.
Espaço Amostral Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido. Ω = (0, 1, 2, 3, 4) - espaço não equiprovável 0-1 possibilidade (Co,Co,Co,Co); 1-4 possibilidades (Co,Co,Co,Ca); (Co,Co,Ca,Co); (Co,Ca,Co,Co); (Ca,Co,Co,Co); 2-6 possibilidades (Co,Co,Ca,Ca); (Co,Ca,Co,Ca); (Co,Ca,Ca,Co); (Ca,Co,Co,Ca); (Ca,Co,Ca,Co); (Ca,Ca,Co,Co) 3-4 possibilidades (Co,Ca,Ca,Ca); (Ca,Co,Ca,Ca); (Ca,Ca,Co,Ca); (Ca,Ca,Ca,Co); 4-1 possibilidades (Ca,Ca,Ca,Ca)
Espaço Amostral Um espaço amostral pode ser classificado como: Finito Infinitos Enumeráveis (ou contáveis); Não-enumeráveis (ou não contáveis.
Eventos Os subconjuntos de Ω são chamados eventos aleatórios e representam um resultado definido. Seja E um experimento aleatório com um espaço amostral associado Ω. Seja A um subconjunto de Ω. É dito que o evento A ocorre se executado E, e o resultado for um elemento de A. Se A contém apenas um elemento, então A é um evento elementar ou simples. Se A pode ser decomposto em 2 ou mais sub-eventos, então A é um evento composto. Se A corresponde ao espaço amostral Ω, então A é um evento certo Se A corresponde ao conjunto vazio, então A é um evento impossível
Eventos Todo subconjunto de um espaço amostral é um evento apenas quando ele for finito ou infinito enumerável. Se o espaço amostral é infinito não-enumerável é possível construir subconjuntos que não são eventos. Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. Ω = {t R/t 0}
Exemplos Um baralho comum consiste de 52 cartas separadas em 4 naipes (,,, ) com 13 cartas de cada um. Para cada naipe, os valores das cartas são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K e A. Um baralho comum é embaralhado. Qual o tamanho do espaço amostral. 52 Seja o evento A - a carta é uma espada O naipe de espada contém os valores (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K e A) Seja o evento B: a carta é uma figura. As figuras são J, Q, K e A, assim o evento B =(J, Q, K, A, J, Q, K, A, J, Q, K, A, J, Q, K, A )
Operações com Eventos Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostra Ω. Diz-se que ocorre o evento O evento intersecção de A e B, denotado A B, é o evento em que A e B ocorrem simultaneamente. Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos ou disjuntos se eles não podem ocorrer simultaneamente A B =.
Operações com Eventos O evento União de A e B, denotado A B, é o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos). O evento complementar de A, denotado A c, é o evento em que A não ocorre.
Exemplos Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, temos o espação espaço amostral Ω, constituído pelos 12 elementos: Ω = (Ca1, Ca2, Ca3, Ca4, Ca5, Ca6, Co1, Co2, Co3, Co4, Co5, Co6) Considere os seguintes eventos A=(caras e face do dado par ) B=(face do dado ser número primo), C=(coroas e face do dado ímpar) A = (Ca2, Ca4, Ca6) B = (Ca2, Ca3, Ca5, Co2, Co3, Co5) C = (Co1, Co3, Co5)
Exemplos A = (Ca2, Ca4, Ca6), B = (Ca2, Ca3, Ca5, Co2, Co3, Co5) C = (Co1, Co3, Co5) Considere os seguintes eventos: Ocorre em A ou B; A B = (Ca2, Ca4, Ca6, Ca3, Ca5, Co2, Co3, Co5 Ocorre em B e C; Ocorre em A e C. B C = (Co3, Co5) A C = Não ocorre em A; A c = (Ca1, Ca3, Ca5, Co1, Co2, Co3, Co4, Co5, Co6) Não ocorre em A e ocorre em C; A c C = (Co1, Co2, Co3) Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos A C = são mutuamente exclusivos
Diagrama de Venn Diagrama de Venn é uma representação para conjuntos
é uma medida que quantifica a sua incerteza frente a um possível acontecimento futuro. Definição clássica de probabilidade Seja A um evento de um espaço amostral Ω finito, cujos elementos sao igualmente prováveis. Define-se a probabilidade do evento A como P(A) = número de casos favoráveis número de casos possíveis = A Ω
Definição frequentista de probabilidade Considera-se um experimento que possa ser repetido nas mesmas condições um numero grande n de vezes. Novamente Ω denotara o espaço de resultados do experimento. Seja A um evento cuja probabilidade se deseje calcular. Neste caso o experimento sera repetido varias vezes, estimando-se a probabilidade de A pela sua frequência relativa de ocorrência, ou seja: P(A) = número de sucessos número de repetições = k n
Uma urna contém 3 bolas vermelhas, 2 brancas e 1 azul. Uma segunda urna contém 1 bola vermelha e 3 azuis. Uma bola é selecionada ao acaso em cada urna. Descreva o espaço amostral do experimento Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor.
espaço amostral do experimento (VV, VA, VA, VV, VA, VA, VV, VA, VA, BV, BA, BA, BV, BA, BA, AV, AA, AA)
Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor. A = (VV, VV, VV, AA, AA) P(A) = A Ω P(A) = 5 = 0, 2778 18
Repete-se esta experiência 100 vezes. Entre os 100 pares de bolas retiradas e recolocadas, observam-se 30 pares de bolas iguais e 70 diferentes. P(A) = k n P(A) = 30 = 0, 30 10
Propriedades de probabilidade A probabilidade de ocorrência de Ω vale 1, ou seja, P(Ω) = 1 de em evento certo e de um evento impossível P(Ω) = 1; P( ) = 0 A probabilidade de ocorrência do evento A é não negativa, ou seja, P(A) 0 Domínio da 0 P(A) 1 Regra da Adição de probabilidades de dois eventos A e B: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) complementar P(A c ) = 1 P(A)
Exemplo Numa pesquisa sobre esporte na escola entrevistou-se 500 alunos, e obteve os seguintes dados: 200 alunos não praticam esporte (evento A); 150 alunos praticam futebol (evento B); 200 alunos praticam basquetebol (evento C) Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso praticar futebol e basquetebol? Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso não praticar esporte? Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso praticar futebol ou basquetebol?
Exemplo 200 + 150 + 200 = 550 550 500 = 50 (n de alunos que praticam ambos esportes) Diagrama de Venn Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso praticar futebol e basquetebol? P(B C = 50 = 0, 10 500
Exemplo Diagrama de Venn Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso não praticar esporte? P(A) = 200 500 = 0, 4
Exemplo Diagrama de Venn Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso praticar futebol ou basquetebol? P(B C) = P(B)+P(C) P(B C) = 150 500 +200 500 50 500 = 300 = 0, 60 500
Exemplo Um pesquisador queria avaliar o grau de satisfação ao governo (ruim, bom e ótimo) de acordo com o sexo (masculino, feminino). Para isso tomou uma amostra de 450 pessoas, conforme tabela abaixo. Sexo Grau de Satisfação Total Ruim Bom Ótimo Feminino 90 60 80 230 Masculino 80 90 50 220 Total 170 150 130 450 Qual a probabilidade ter respondido que o governo é ótimo? Qual a probabilidade de ser homem e ter avaliado o governo como ruim? Qual a probabilidade de ser mulher ou ter avaliado o governo com bom?
Exemplo Qual a probabilidade ter respondido que o governo é ótimo? P(Otimo) = 130 = 0, 2889 450 Qual a probabilidade de ser homem e ter avaliado o governo como ruim? P(H Ruim) = 80 = 0, 1778 450 Qual a probabilidade de ser mulher ou ter avaliado o governo com bom? P(M Bom) = P(M)+P(Bom) P(M Bom) = 230 450 + 150 450 60 450 = 320 = 0, 71 450
Geométrica Geométrica pode ser definida como o ramo da que usa elementos de geometria em seus cálculos Sejam X e Y pontos de uma determinada linha de extremos A e B. Admite-se que a probabilidade de que um ponto da linha AB pertença à linha XY (contida em AB) é proporcional ao comprimento de XY e não depende da posição dos pontos X e Y sobre AB. Portanto, selecionando um ponto qualquer de AB, a probabilidade de que ele pertença a XY será P = comprimento de XY comprimento de AB
Geométrica supondo que a figura plana B seja parte de outra figura plana A e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de A. Se admite que a probabilidade de que esse ponto pertença a B é proporcional à área de B e não depende do lugar que B ocupa em A, então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em B será P = área de B área de A
Exemplo Qual é a probabilidade de que uma pessoa, (de olhos vendados) ao arremessar um dardo, atinja o disco central de 10 cm de raio (r) de um alvo circular de 40 cm de raio (R)? E se for agora um quadrado de 10 cm de lado (l), colocado num interior de um quadrado de lado 20 cm (L), qual a probabilidade que tenha atingido o quadrado menor? P G1 = Área do círculo menor Área do círculo menor = πr 2 πr 2 = 102 = 0, 0625 = 6, 25% 402 P G2 = Área do quadrado menor Área do quadrado maior = l2 L 2 = 102 = 0, 25 = 25% 202
Atividade 1 - Lançamento de dois dados Descrição da atividade PASSO 1 - Determinar o espaço amostral, do experimento aleatório lançamento de dois dados. PASSO 2 - Utilizando a tabela abaixo, marcar com a letra correspondente, onde ocorre os eventos abaixo relacionados Evento A - Soma das faces ser maior que 6; Evento B - Menor face ser igual a 5; Evento C - Soma das faces ser maior que 6 e menor face ser diferente de 5; Evento D - Ter face par no dado verde; Evento E - das faces ser maior que 6 ou face impar no dado verde.
Atividade 1 - Lançamento de dois dados Descrição da atividade PASSO 3 - Determinar as seguintes probabilidades: Qual a probabilidade da soma das faces ser maior que 6? Qual a probabilidade da menor face ser igual a 5? Qual a probabilidade da soma das faces ser maior que 6 e a menor face ser diferente de 5; Qual a probabilidade de ter face par no dado verde; Qual a probabilidade de face ser maior que 6 ou face impar no dado verde.
Atividade 1 - Lançamento de dois dados Descrição da atividade PASSO 4 - Responder as seguintes perguntas: O evento C é composto com qual operação entre os eventos A e B? O evento E é composto com qual operação entre os eventos A e D? Quais eventos são disjuntos?
Atividade 2 - Problema do macarrão Descrição da atividade PASSO 1 - Distribuir um espaguete de macarrão para todos os participantes (n) e pedir para dividi-lo aleatoriamente em três pedaços, sem ainda explicar a finalidade da divisão. PASSO 2 - Pedir para que todos os participantes tentem formar um triângulo com os três pedaços, anotar o número de sucessos (k) obtidos e calcular o valor de PF, utilizando-se o conceito de probabilidade frequentista, ou seja, PF = k n. PASSO 3 - Comparar e discutir o valor de PF, com o valor PG = 0, 25, sendo este valor (PG) fixo, determinado por meio do método da probabilidade geométrica (para maiores detalhes, ver Wagner 1997).
Atividade 3 - Problema do macarrão Descrição da atividade PASSO 1 - Estabelecer a família de retas paralelas. Pode ser utilizada uma folha de papel pautada, a cerâmica na sala de aula (devendo-se apenas ter o cuidado de estabelecer se as retas serão as da largura ou as do comprimento) ou qualquer outro tipo de material, sendo necessário apenas que a distância "a"entre as retas paralelas seja fixa. PASSO 2 - Lançar uma agulha ou uma vareta de madeira, de comprimento l (l < a) 50 vezes (n) e, a cada lançamento, anotar se a agulha (vareta) intercepta uma das retas, determinado assim o número de k sucessos. PASSO 3 - de que a agulha intercepte uma das retas. Calcular o valor de P, utilizando-se o conceito de probabilidade frequentista, ou seja, por meio da fórmula PF = k n
Atividade 3 - Problema do macarrão Descrição da atividade PASSO 4 - Determinar o valor de π. Utilizar o conceito de probabilidade geométrica, em que P = 2l πa (para maiores detalhes, ver TUNALA, 1995 e substituir o valor de P obtido no PASSO 3, determinando, dessa forma, assim o valor de π pela fórmula π = 2nl ka