PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM JULHO DE 009. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO 0. Na figura vemos um retângulo ABCD e um triângulo equilátero FGI. Sabe-se que EA = 8cm, AD = cm e que a altura do triângulo equilátero mede 4 cm. Sendo H o ponto médio de DC, Calcule a área do triângulo DGF. 0) 8(6 ) 0) 6 0) 6(8 ) 04) 8 05) 8(8 ) Os triângulos retângulos DAE e FHD são semelhantes ( DÊA FDˆ H, são ângulos correspondentes formados por duas paralelas e uma transversal), logo é verdadeira a proporção: AD HF 4 HD HD. AE HD 8 HD No triângulo retângulo FHG, pelo Teorema de Pitágoras: (4 ) 4 9 9 64 8. Uma das formas de calcular a área do triângulo DFG é aplicando a relação S DFG = DG FGsen0, então: 8 48 S DFG = DG FH 4 64 8 8(8 ). 6 RESPOSTA: Alternativa 05.
QUESTÃO 0. Dados os conjuntos A = {,,, {, 4}, {5}}, B = {, } e C = {, 4} considere as proposições: I) C A II) {{5}} A III) B A IV) B A V) O conjunto A tem exatamente subconjuntos. O número de afirmativas verdadeiras dentre as acima é: 0) 0 0) 0 0) 0 04) 04 05) 05 I) C A (Falsa porque A C = {} C). II) {{5}} A ( VERDADEIRA, porque {5} A). III) B A (Falsa porque {, } não é elemento de A). IV) B A (VERDADEIRA, porque, A). V) VERDADEIRA, porque n(a) = 5 e 5 =. RESPOSTA: Alternativa 0. QUESTÃO 0. Numa planta na escala : 50 está representado um terreno triangular. Calcule em m, a área desse terreno. Considerar sen05 = 0,97 e =,4 0) 7,50 0) 5,40 0) 75,0 04) 80,60 05) 8,0 Traçando a altura AH relativa ao lado AC, ficam determinados dois triângulos retângulos: o triângulo isósceles AHB de hipotenusa medindo AB = 40cm, e o triângulo BHC com hipotenusa medindo BC = x. No triângulo AHB, 40 h h 0. No triângulo BHC, h x sen0 0 x x 40 40,4 56, 4. Um dos modos de determinar a área do triângulo ABC é: SABC AB BCsen05 4056,40,97 094,6cm. Como a planta foi desenhada na escala : 50, a área do terreno pode ser calculada através da relação: S S ABC terreno 094,6 Sterreno 75400cm. 50 S 500 terreno
75400cm = 7,54m. RESPOSTA: Alternativa 0. QUESTÃO 04. (FCC) Um seminário foi constituído de um ciclo de três conferências: uma de manhã, outra à tarde e a terceira à noite. Do total de inscritos, sabe-se que exatamente: 44 compareceram de manhã, 68 à tarde e 80 à noite. Dentre os que compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para o seminário, 6 compareceram às três conferências e compareceram também à tarde, mas não compareceram à noite. 8 pessoas compareceram à tarde e a noite, mas não de manhã. um oitavo do total de inscritos não compareceu a nenhuma das três conferências. Nessas condições, é verdade que, exatamente : 0) 87 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências. 0) 8 pessoas compareceram a somente uma das conferências. 0) 08 pessoas compareceram a pelo menos duas das conferências. 04) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário. 05) 40 pessoas se inscreveram no seminário. Como dos 44 que compareceram de manhã, 54 não retornaram ao seminário, esses apenas compareceram pela manhã. Dos 44 que compareceram pela manhã compareceram também à tarde, mas não compareceram à noite, então esse é o número de (M T) N. Como 8 pessoas compareceram à tarde e a noite, mas não de manhã, 8 = n[(n T) M]. Sabendo que um oitavo do total de inscritos não compareceu a nenhuma das três conferências, e considerando esse número igual a x, tem-se: n(a) + n(b A) + 04 +x = 8x 44 + 0 + 04 = 7x 7x = 78 x = 54 (número de pessoas inscritas que não compareceram às conferências). RESPOSTA: Alternativa 04 QUESTÃO 05. Considere o polinômio p(x) = x 5x +. È verdade que: (0) p 0. (0) Existe raiz de p(x) no intervalo [0,]. (0) O resto da divisão de p(x) por x é. 8 (04) A soma das raízes de p(x) é 5. (05) O resto da divisão de p(x) por x é x + 4.
0) Falsa, pois, p(x) x 5x p 5 4 5 0 0) VERDADEIRA. Tomemos para x alguns valores do intervalo [0,]. Sendo p(0) = > 0 e p() = 5 + = < 0, isto implica em que existe um valor do intervalo [0,] para o qual p(x) = 0 y x (0) Falsa. 5 p(x) x 5x p 5 5. 4 4 4 (04) Falsa. p(x) x 5x S (05) Falsa. raízes 0 x + 0x 5x + x x +x x (quociente) x + (resto) RESPOSTA: alternativa 0. QUESTÃO 06. 7 54 7 0 0 x 0 Considere a equação 6. 8 6 8 Calcule o valor de x. 0) 0) 0) 4 04) 5 05) 6 4
0 0 x 7 54 7 0 5 6 x- 78 6. 8 6 8 4 6 4 4 x x 6 x 5. RESPOSTA: Alternativa 04. 6 6x 6 6 6 QUESTÃO 07. Fez-se uma pesquisa com os alunos de um colégio, para se analisar o índice de aprovação nos vestibulares da Federal, da Católica e da Bahiana. Verificou-se que, exatamente: I) 80% dos alunos passaram em pelo menos um desses vestibulares; II) 5% dos alunos passaram na Federal, 44% na Católica e 6% na Bahiana; III) % dos alunos passaram na Católica, mas perderam na Federal; IV) 8% dos alunos passaram na Federal e na Bahiana. V) % dos alunos passaram apenas na Federal; Sendo x% o percentual de alunos aprovados em apenas um desses vestibulares, calcule x. 0) 9 0) 40 0) 5 04) 8 05) 4 Como 80% dos alunos passaram em pelo menos um desses vestibulares: a+b + c + d + e + f + g = 80%. Como % dos alunos passaram apenas na Federal, a = %, b + c + d + e + f + g = 68. Como % dos alunos passaram na Católica, mas perderam na Federal, c + d = %, b + e + f + g = 47%. Como 8% dos alunos passaram na Federal e na Bahiana, e + f = 8%, b + g = 9%. b (e f) 40 b g 7 d (e f) g 6 d 8 7 6 d Como c+ d = c =0 Sendo x% o percentual de alunos aprovados em apenas um desses vestibulares, a + c + g = x x = +0 + 7 = 9. RESPOSTA: Alternativa 0 5
QUESTÃO 08. Em Geologia para se determinar a densidade de uma amostra de minério, usa-se um recipiente cilíndrico graduado. Coloca-se a amostra na água contida no recipiente de modo que ela fique totalmente submersa e mede-se a elevação do nível da água. Supondo que esse nível sobe mm, que a amostra pesa 0g e que o raio do recipiente é de 0cm, calcule, em gramas, por centímetro cúbico, a densidade desse minério. 0) 7, 0) 8, 0) 9, 04) 9,6 05) 0,5 Considere-se h a altura inicial do nível da água. Colocado o metal dentro do líquido esse nível elevou-se 0,cm. Considere-se as dimensões do cilindro determinado pelas marcas dos níveis inicial e final da água: 0,cm de altura e 0cm de raio. O volume desse cilindro é: V = (0) 0, cm =,4cm. A densidade do minério é pela razão entre a massa do minério e 0g o volume acima: 0,5g/cm.,4cm RESPOSTA: Alternativa 05 QUESTÃO 09. Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 70% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher? 0) 44% 0) 5% 0) 50% 04) 48% 05) 58% MULHERES HOMENS TOTAL FUMANTES 0,40,4x=0,6x 0,4x 0,6x = 0,4x 0,4x NÃO-FUMANTES 0,7 0,6x = 0,4x 0,6x 0,4x = 0,8x 0,6x TOTAL 0,58x 0,4,x,0x RESPOSTA: Alternativa 05 QUESTÃO 0. O sistema x y ax tem infinitas soluções. Calcule a + b. ax y b 0) 0) 0) 0 04) 05) 6
O sistema x y ax com b > 0, tem infinitas soluções. Calcule a + b. ax y b 0) 0) 0) 0 04) 05) Se o sistema x y ax tem infinitas soluções: ax y b x y ax a x y 0 que tem infinitas soluções: ax y b ax y b a 0 a a 0 a a x y x x y 0 x y 0 b 0 x y b x y b x y (b ) b Então a + b = RESPOSTA: Alternativa 0 QUESTÃO. Num acampamento escolar com crianças que supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida suficiente para exatamente 70 dias. Passados 0 dias, chegaram inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram 0 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 60 dias, a contar do início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida havia acabado, quantas eram elas? 0) 0 0) 0 0) 0 04) 40 05) 50 Supondo que cada criança come kg de alimento por dia, então o total de alimentos levados para o acampamento que havia para os 70 dias era de (70x) kg. crianças dias Consumo por dia x 0 0x (x + 0) 0 0x+400 x 0 0x Logo todo o alimento foi consumido em 60 dias. 0x + 0x + 400 + 0x = 70x 0x =400 x = 40. RESPOSTA: Alternativa 04 7
QUESTÃO. A reta r é perpendicular ao plano e A é o ponto de interseção de r com. Os pontos B e C são distintos de A e pertencem, respectivamente, à reta r e ao plano. É verdade que: 0) Se a reta s é perpendicular à reta r, então é paralela ao plano, 0) As retas perpendiculares à reta r passando pelo ponto B constituem um plano perpendicular ao plano. 0) Se a reta t, então r e t são perpendiculares. 04) Se a reta u possui o ponto C e u AC, então BC é perpendicular à reta u. 05) Se, então // r. 0) Falsa. ) Falsa. Na figura acima tem-se r s e s, porém r não é paralela ao plano. Na figura acima tem-se t r, u r, t e u, porém o plano não é perpendicular ao plano. ) Falsa. 05) Falsa. Na figura acima tem-se t // s, t, porém t não é perpendicular à reta r, mas sim ortogonal. Seja um dos infinitos planos que contêm a reta r; sendo r então. Como r, não é paralelo a r. 8
04) VERDADEIRA. Na figura ao lado tem-se r s (se r, então r é perpendicular a toda reta contida em no ponto A = r ). Pelo ponto C traçou-se a reta u e perpendicular à reta AC. Rotacionando a reta r em torno do ponto C, de modo que as retas resultantes estejam sempre apoiadas sobre a reta r determina-se um conjunto de infinitas retas, entre elas a reta r coincidente com a reta s, todas perpendiculares à reta u. Então BC u. QUESTÃO. O termo independente de x no desenvolvimento de x é: x 0) 84 0) 0,5 0) 04) 4 05) n.r.a. O termo geral do desenvolvimento do binômio (x + a) n n é dado por: T p+ = a p Logo o termo geral do desenvolvimento de x 9 é T p+ = x p x 9 p p9 8 p T p+ = x x p p 8 p 0 p 8 p 6 T 7 = 9 9 9 7 8 0, 5 6 8 6 8 RESPOSTA: Alternativa 0. 9 9 p p p x n 9p x QUESTÃO 4. Um bloco de madeira com a forma de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros de lado 60cm, esta assentado numa mesa. Uma formiga está no ponto A e deve chegar ao ponto C onde se encontra um grão de açúcar. Qual o comprimento, em centímetros, do menor caminho a ser percorrido pela formiga? 0) 60 0) 60 04) 0 04) 60 05) 0 4 9
Inicialmente planifique-se a pirâmide quadrangular regular. Como suas faces laterais são triângulos equiláteros de lado 60cm, a planificação terá a forma de um hexágono formado por quatro triângulos equiláteros. O menor caminho a ser percorrido pela formiga está representado pelo segmento AC, lado oposto ao ângulo de 0 do triângulo isósceles ABC. Entre outros modos logicamente corretos, o comprimento desse segmento pode ser calculado pela aplicação da Lei dos Cossenos: AC 60 60 6060cos0 AC 700 700 0800 AC 60 RESPOSTA: Alternativa 0 QUESTÃO 5 - DISCURSIVA A base de um pilar de concreto de altura m, tem a forma de um hexágono regular de lado 0 cm. Ele deve ser revestido, lateralmente, com placas de granito de 0 cm por 0 cm. Sabe-se que um metro quadrado desse granito é de R$ 55, 00, e que para se obter um metro cúbico de concreto gasta-se 00 quilos de cimento. a) Calcule o custo do granito necessário para revestir esse pilar. b) Verifique se é necessário comprar mais de um saco de cimento para fazer o pilar, sabendo que cada saco tem 50 quilos. a) O pilar tem a forma de um prisma hexagonal regular. Para avaliar o custo do granito para o revestimento lateral, basta que se calcule em m a área lateral do prisma hexagonal regular e multipliquese o número dessa área pelo preço unitário de m. Como são 6 faces retangulares de lados 0,m por m, a área lateral é de 0,m m 6 =,6m. Então o custo é de,6 55 = 98. RESPOSTA: O custo do granito é CR$98,00. b) Sendo a base do prisma um hexágono regular, o volume do concreto necessário par a edificação do pilar é: 0, 0,04 V = 6 m 0,06m m. 4 RESPOSTA: O saco do cimento é suficiente para a construção do pilar. 0