Introdução a sistemas não-lineares

Introdução a sistemas não-lineares ENGC65: Sistemas de controle III Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 13 de maio de 2019 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 17

Sumário 1 Introdução 2 Revisão 3 Fenômenos não-lineares 4 Representação de sistemas não-lineares 5 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 17

Introdução Caracterização de sistemas não-lineares Objetivos da aula de hoje: Apresentar os principais conceitos de sistams não-lineares de forma introdutória. Caracterizar as principais diferenças com respeito a sistemas lineares. Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 17

Revisão Aula passada 1 Linearidade: Um sistema é dito linear se é válido o principio da superposição (aditividade e homogeneidade). u 1 [n] y 1 [n] u 2 [n] y 2 [n] Sistema Sistema αu 1 [n] αy 1 [n] u 1 [n]+u 2 [n] y 1 [n]+y 2 [n] Sistema Sistema Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 17

Revisão Sistemas Lineares O principio da superposição simplifica os procedimentos de análise de sistemas e síntese de controladores lineares; O problema linear ferramentas matemáticas mais simples; Muitas vezes é possível utilizar uma boa aproximação linear na vizinhança de um ponto de equiĺıbrio; A linearização permite apenas um estudo local do problema; Existem fenômenos essencialmente não lineares não ocorrem em sistemas lineares. Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 17

Fenômenos não-lineares Problemas tipicamente não-lineares Tempo de escape finito. O estado de um sistema linear instável vai para infinito quando o tempo tende a infinito. Um estado de um sistema não-linear, no entanto, pode ir para infinito num tempo finito. Múltiplos equiĺıbrios isolados. Um sistema linear pode ter apenas um ponto de equiĺıbrio isolado; portanto ele apresenta apenas um ponto de operação de regime estacionário que atrai os estados do sistema independente do estado inicial. Um sistema não-linear pode ter mais de um ponto de equiĺıbrio isolado. Ciclo limite. Para sistemas lineares invariantes no tempo oscilarem, é necessário ter um par de auto-valores sobre o eixo imaginário o que é uma condição quase impossível de ser mantida devido a presença de incertezas. Na prática, oscilações são produzidas por sistemas não-lineares. Existem sistemas não-lineares que apresentam oscilações de amplitude e frequência fixa, as quais não dependem das condições iniciais. Este tipo de oscilação é conhecida como ciclo limite. Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 17

Fenômenos não-lineares Problemas tipicamente não-lineares Oscilações harmônicas, sub-harmônicas e quase periódicas. Um sistema linear estável cuja entrada é um sinal periódico produz uma saída de mesma frequência. Um sistema não-linear estável cuja entrada é um sinal periódico pode gerar um sinal de saída cuja frequência é múltipla ou submúltipla da frequência do sinal de entrada. Caos. Um sistema não-linear pode ter uma noção mais complicada do comportamento em regime permanente que não é nem um ponto de equiĺıbrio, nem oscilações periódicas ou quase periódicas. Este comportamento é geralmente chamado de caótico. Alguns destes movimentos caóticos exibem aleatoriedade a despeito do comportamento determinístico do sistema. Comportamento de múltiplos modos. Sistemas não-lineares podem exibir mais de um tipo de comportamento. Sistemas não forçados, por exemplo, podem apresentar mais de um ciclo limite. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 17

Representação de sistemas não-lineares Representação completa Sistemas não-lineares variantes no tempo: ẋ 1 = f 1 (t,x 1,...,x n,u 1,...,u n ) ẋ 2 = f 2 (t,x 1,...,x n,u 1,...,u n )... ẋ n = f n (t,x 1,...,x n,u 1,...,u n ) onde x 1, x 2,..., x n são os estados, u 1, u 2,..., u n são as entadas e t representa o tempo; Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 17

Representação de sistemas não-lineares Representação completa Sistemas não-lineares invariantes no tempo: ẋ 1 = f 1 (x 1,...,x n,u 1,...,u n ) ẋ 2 = f 2 (x 1,...,x n,u 1,...,u n )... ẋ n = f n (x 1,...,x n,u 1,...,u n ) onde x 1, x 2,..., x n são os estados e u 1, u 2,..., u n são as entadas Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 17

Representação de sistemas não-lineares Representação compacta Sistemas não-lineares variantes no tempo: ẋ = f(t,x,u) onde: x 1 u 1 f 1 (t,x,u) x 2 x =.., u = u 2.., f(t,x,u) = f 2 (t,x,u).. f n (t,x,u) x n u n A mesma notação vale para o caso invariante no tempo. Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 17

Representação de sistemas não-lineares Sistemas não forçados e autonomos Sistemas não-lineares variantes no tempo: ẋ = f(t,x,u). Sistemas não-lineares invariantes no tempo: ẋ = f(x,u). Sistemas não-forçados: ẋ = f(t,x). Sistemas autônomos: ẋ = f(x). Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 17

Comentários Finais Nesta aula começamos a discussão a respeito de sistemas não-lineares. Na próxima aula discutiremos sobre: Plano de Fase, Pontos de Equiĺıbrios e Bifurcações. Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 17