GEOMETRIA PLANA ÁREAS QUESTÃO 01 QUESTÃO 03 A = 1 + 16/ -1 = 1 QUESTÃO 0 A hexágono = 3.R. 3 A triângulo equilátero = 3.R. 3 A hexágono =. A triângulo equilátero A triângulo equilátero A hexágono = 1 No triângulo AOT temos: sen30 0 = r r = 1 cos30 0 = a a = 3 l =. 3 A triângulo = l. 3 = (. 3). 3 = 3. 3 cm A círculo = π. r = π. 1 = π cm A = A triângulo A círculo = (3. 3 π) cm QUESTÃO 0 QUESTÃO 05 x. y = 0 e (x + 3). (y + ) = 0 + 76 = 80 x. y +. x + 3. y + 6 = 80 0 +. x + 3. y + 6 = 80. x + 3. y = 70 y = 70.x 3 x. 70.x 3 = 0. x 70. x + 61 = 0 x 35. x + 306 = 0 = 1 x = 35 ± 1 = { x = 18 x = 17 QUESTÃO 06 Temos trapézios e um retângulo: A retângulo + A trapézio1 = A trapézio 30x10 + (30+x).0 = (60 x+30).0 300 + (30 + x). 10 = (90 x). 10 300 + 300 + 10. x = 900 10. x 10. x + 10. x = 900 600 0. x = 300 x = 15 A = 50.0 + (50+9).8 = 500 + 316 = 816 m
QUESTÃO 07 QUESTÃO 10 Por Pitágoras: R = r + 8 R r = 6 A passeio = π. R π. r = π. (R r ) A passeio = 6. π QUESTÃO 08 Em 10 caixas temos 10x0,5x0,5 =,05 m. A área da região é x6 = m. O número de caixas necessárias será: /,05 = 11,85 caixas, mas as caixas são vendidas em quantidades inteiras precisaremos de pelo menos 1 caixas. área 1 + área + área 3 = 8 cm Vamos tomar a área 3 como sendo X. área = área 3 (3 1 ) área = 9 área = 9. x X área1+área+área3 área3 área = 9.X =,5 cm área 1 + área + área 3 = 8 cm área 1 +,5 + 0,5 = 8 área 1 = 3 cm. = ( 1 ) 8 X = 16 X = 8 16 = 0,5 QUESTÃO 11 A solução do problema pode se reduzir a figura seguinte que é uma peça que se repete em toda a configuração. QUESTÃO 09 tgθ = x 3 = x. x = 3. x + 15 x+5 x+5 x = 15 O triângulo tem catetos medindo 15 cm e 0 cm. Por Pitágoras, a hipotenusa mede: 15 + 0 = 5 + 00 = 65 = 5 cm O perímetro do triângulo é 15 + 0 + 5 = 60 cm. A área será igual a 15x0/ = 150 cm. A figura toda tem 9 pequenos quadrados azuis, amarelos, e vermelhos. Logo teremos 3 quadrados pretos. A razão pedida será 3/6 = 1/. QUESTÃO 1 Vamos calcular o raio da circunferência menor: C =. π. r 1. π =. π. r r = 6 cm Logo o raio da circunferência maior é: R =.r = x6 = 1 cm. A área da coroa circular: A = π. (R r ) = π. (1 6 ) = 108. π cm
QUESTÃO 13 A área em torno da porta é de 39 cm e a área da porta é 9 m, totalizando 8 m. A área do retângulo é 1xh= 8, logo h = m. QUESTÃO 16 A = b.c.sena 100. 3 = 5.16.senβ senβ = 00. 3 = 3 00 β = 60 0 = π 3 QUESTÃO 17 QUESTÃO 1 A = b. h + π. R = x3 + 3. = m QUESTÃO 18 Os triângulos X e X + Y são semelhantes, logo: X+Y X = ( 1 ) X + Y =. X Y = 3. X Os triângulos X e X + Y + Z são semelhantes, logo: X+Y+Z X = ( 3 1 ) X + Y + Z = 9. X X + 3. X + Z = 9. X Z = 5. X Os triângulos X e X + Y + Z + W são semelhantes, logo: X+Y+Z+W X = ( 1 ) X + Y + Z + W = 16. X X + 3. X + 5. X + W = 16. X W = 7. X Tomando-se X =1, teremos Y = 3, Z = 5 e W = 7, e um total X + Y + Z + W = 16. QUESTÃO 15 T 1 = 3. T l.l.senθ = 3.l.l.sen(.θ) senθ = 3.. senθ. cosθ Perímetro = 78 x + (x + ) + x + (x + ) = 78.x + = 78.x = 3 x = 8,5 m A área será 8,5x(8,5 + ) = 8,5x30,5 = 59,5 m Valor da área = 59,5x00 = R$ 103.700,00 QUESTÃO 19 A hexa = 3.l. 3 = 3..1,7 = 10, cm A círculo = π. R = 3. 1 = 3 cm A = 10, 3 = 7, cm. cosθ = 1 6
QUESTÃO 0 QUESTÃO 3 Cálculo da área do octógono regular: x + x =. x = x = Portanto, a área A1 do octógono regular será dada por: A 1 = A quadrado. A triângulo A 1 = ( +. x). x.x A 1 = ( +. ).. = 8. + 8 Cálculo da área A dos oito semicírculos: A = 8. π.r = 8. π.1 =. π A 1 = A quadrado A 1 + A = A quadrado e A = A círculo A quadrado + A círculo A quadrado A 1 + A = A círculo+a quadrado Como o lado do quadrado é 8 cm, então o raio do círculo é a metade da diagonal que mede l.. A 1 + A = π.r +L QUESTÃO = π.(. ) +8 = 8. (π + ) Logo, a área da figura será dada por: A = A 1 + A = 8. + 8 +. π QUESTÃO 1 A distância entre os lados paralelos é o dobro da altura do triângulo equilátero. h = l. 3 5 = l. 3 L = 5 3 A = 3. A hexágono = 3. 3.L. 3 A = 3. 3.L. 3 = 3. 3.(5 3 ). 3 = 1.63,8 m QUESTÃO 0%. (0x30) < A < 60%. (0x30) 0 < (1+x).0 < 360 < (1 + x) < 36 1 < x < A trapézio = (10+8).1 = 9 A triângulo = 10, 3 = 5. 3 A = 9 + 5. 3 QUESTÃO 5 O raio de cada região circular é: π. R = 16. π R = km
QUESTÃO 6 O arco mede 1 rad, pois o seu comprimento é igual a R. Logo:. π rad π. R 1 rad A Então: A = R QUESTÃO 7 Considere a figura, em que estão indicadas duas possíveis posições do esguicho. A área que não será molhada é igual a: A = 15x6. π. 3 = 33,8 m QUESTÃO 8 Sendo r o raio do semicírculo, pode-se escrever: A triâng. =.r.r = r =. k A praça = π.r = π..k = π. k QUESTÃO 9 Com os dados do enunciado, pode-se deduzir a altura da caixa, considerando sua posição inicial no plano: V = B.h, logo 180 = 5.h, temos h = cm. Se a menor aresta mede cm, então a maior aresta mede 9 cm, conforme enunciado. Assim, a área da base do paralelepípedo, quando este se encontra na posição inicial é: B = 9.x 5 = 9.x x = 5 cm Logo, as medidas do paralelepípedo são 9, 5 e cm e a menor base possível do mesmo é x5 = 0 cm. QUESTÃO 30 (.x + 0).(x + 5) = 8500.x + 90.x + 0.x + 900 8500 = 0.x + 110.x 7600 = 0 x + 55.x 3800 = 0 x = 0 m ou x = -35 m (não convém) Logo:.x + 0 = 100 m e x + 5 = 85 m.r + 3,5 + 3,5 = 85.R = 0 R = 10 m QUESTÃO 31 Como o palco (base do triângulo) possui 0 m de comprimento, concluímos que a altura do triângulo também mede 0 m. Portanto a érea do triângulo será dada por: A = 0.0 = 00 m QUESTÃO 3 O segmento 1 CC é igual ao raio de ambas as circunferências e é igual a 6. Assim, pode-se concluir:
Portanto, a área da região limitada pelos círculos é composta pela área dos círculos menos a área da intersecção entre eles. Já a área da intersecção é composta por dois triângulos equiláteros de lado 6 e segmentos circulares. Assim, considerando 3 = 1,73 e π = 3,1, podese estimar a área da intersecção como sendo: A triângulo = l. 3 = 6 x1,73 = 15,57 A segmeno = π.r 6 A triângulo = 3,7 A intersecção = xa triângulo + xa segmento A intersecção = x15,57 + x3,7 =, A delimitada =. π. R A intersecção A delimitada =. π. 6, 18 cm QUESTÃO 3 Seja y p a ordenada do ponto P, de tal sorte que 90 yp yp + 100 B = + 10 = 50 yp + 500. Assim, temos 100 100 A = B =.500 50 y p. Desse modo, se a meta é 0,3, então A = 0,3 A = 1.500 A + B.500 50 y = 1.500 y = 60. p Portanto, a resposta é (100 60)% = 0%. QUESTÃO 35 p QUESTÃO 33 Do enunciado, temos a figura: Como ABD é um triângulo isósceles e BÂD=5 o, ABD=ADB=67,5 o. Como ABC=135 o e ABC=ABD + CBD, então teremos: 135 o = 67,5 o + CBD, ou seja CBD = 67,5 o. Note que ABD e CBD são congruentes, pelo caso LAL logo, ABCD é um losango. Sendo Apolígono a área do polígono citado no enunciado, AABCD a área do losango ABCD e AABD a área do triângulo ABD, temos: A polígono = 10. A ABCD = 10.. A ABD A polígono = 0. A ABD = 0. 10.10.sen50 A polígono = 1000. sen5 0 = 1000. A polígono = 500. cm Soma dos âng. int = (n ). 180 0 = 3x180 0 = 50 0 ABC = 500 = 108 0 5 AB = BC = AE BAC = BCA = AEB = 36 0 PAE = 108 0 36 0 = 7 0 e APE = 7 0 Logo o triângulo APE é isosceles com AE = PE = 1. Portanto, a área do triângulo assinalado será dada por: A = b.c.senâ = 1.1.sen360 = sen360 QUESTÃO 36 A área da superfície de uma pizza de 0 cm de raio é igual a π.r = 3x0 = 1.00 cm. Logo, a massa dessa pizza é 1.00x1,5 = 1.800 g = 1,8 kg. Em consequência, seu preço é dado por 1,8xR$30,00 o que resulta em R$ 5,00.
QUESTÃO 37 Considerando que o setor infantil é um semicírculo e que a área total da piscina seja representada pelo espelho d água, temos: A semicírculo = π.r = 3.1 = 1,5 m A total = 3x = 6 m 1,5 = 15 = 0,5 = 5% 6 60 QUESTÃO 38 Com os dados do enunciado pode-se deduzir que a área total da sala é dada pela expressão: (1,5 + x).. x = 90. x + 3. x 90 = 0 = 79 x = 7,5 e x = 6 Somente x = 6 m convém. QUESTÃO 39 As dimensões da tela são da forma.x e 3.x, já que a razão entre elas é de :3. A figura abaixo representa esta tela: Aplicando o teorema de Pitágoras: (3.x) + (.x) =50, logo 5.x = 500 e x = 10. Logo, as dimensões do retângulo são 0 e 30 e a área será dada por 30x0 = 100 pol. quadradas. QUESTÃO 0 x = 15. sen60 0 = 15x0,85 = 1,75 m A lote1 = 1,75x30 = 38,5 m A lote = 15x30 = 50 m Logo, o lote é o único que tem área suficiente para a execução do projeto. QUESTÃO 1 Na figura B temos triângulos retângulos Sabendo que as áreas são iguais, temos: A retângulo = A triângulo1 + A triângulo x. (x + 7) = 15x15 + 1x3 = 1 x + 7. x 1 = 0 x = 9 Portanto, o comprimento e a largura devem medir, respectivamente, 16 m e 9 m. Obs.: Aparentemente houve um engano na ordem das medidas na alternativa B. QUESTÃO Sabendo que o terreno é retangular e que sua área é de 0 m pode-se deduzir suas medidas, sendo h o comprimento do terreno, 5.h = 0 e h = m. Se o terreno tem ao todo m de comprimento, então o lago terá comprimento igual a,5 m, pois ( 1 0,5) =,5 m. Sabendo a área total do terreno e considerando como L a largura do deque e do lago, pode-se escrever: Agrama + Alago + Adeque = 0 m 0,8x0 +,5xL + xl = 0 6,5xL = 0 9,6 L = 10,/6,5 = 1,6 m Logo, a área do lago será igual a:,5x1,6 = m.
QUESTÃO 3 A área A da coroa circular será dada por: A = π. (R r ) = π. (15 10 ) = 375 m QUESTÃO Desde que área do trapézio é dada por: A = (B+b).h = (3,8+3). = 13,6 m Podemos concluir que a quantidade mínima de BTUh necessária é 13,6x800 = 11.80 BTUh. Em consequência, a escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo III. QUESTÃO 5 Temos 50x1.000 = 50.000 cédulas. Logo, a área da superfície ocupada por essas cédulas é dada por: 50.000x1x6,5 =.550.000 cm = 55 m. QUESTÃO 6 Dividindo a figura em retângulos. QUESTÃO 7 Como o quadrado ABCD tem área igual a 10 cm, vem que AB = 10, logo AB = 10 cm. De acordo com as informações, temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos CP = cm e AC, que é a diagonal do quadrado: AC = AB. = 0 cm. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos: (PA) = (AC) + (CP) (PA) = ( 0) + () = 0 + 16 = 36 (PA) = 36 PA = 6 cm. QUESTÃO 8 A área sombreada onde será plantada a grama é dada pela área de triângulos retângulos de catetos medindo 3 m e m. Logo: Agrama = x(3x)/ = m. Por outro lado, como os quatro triângulos menores são triângulos retângulos pitagóricos de hipotenusa 5m. Segue que a superfície que receberá o piso de cerâmica é um quadrado, cuja área mede Acerâmica = 5 = 5 m. QUESTÃO 9 A área do polígono P será: P(x) = (x + 1). (7 x) + (8 x). (x 8) P(x) = x + 6. x + 7. x +. x 6 P(x) = 3. x + 30. x 57 O máximo dessa função acontece no vértice da parábola. x v = b = 30 = 5.a 6 P(5) = 3x5 + 30x5 57 = 18 A área hachurada é igual a área do quadrado acima de lado.r subtraída da área de quadrantes que corresponde a área de um círculo de raio R. A hachurada = (. R) π. R = ( π). R A círculo = π.r = π A hachurada ( π).r π
QUESTÃO 50 Pelo Teorema de Pitágoras: 1 = x + ( 1 ) x = 3 = 3 A superfície =. x. 5 = 5. 3 m QUESTÃO 51 A partir dos raios podemos formar o triângulo acima e por Pitágoras R r = 3 = 9. A hachurada = π. R π. r = π. (R r ) = 9. π QUESTÃO 5 A = (00 km).(300 km)/ = 30.000 km QUESTÃO 53 Como a área do círculo igual à área do quadrado, temos: π. R = L π = ( L R ) QUESTÃO 5 Chamando o lado do triângulo equilátero de a, temos: No triângulo BCD, BC = a.cos60 o = a.1/ = a/ DC = a.sen60 o = a. 3/ Determinando a razão entre as áreas de Q e P temos: ( a ).(a 3 ) a. 3 = a. 3 8 a. 3 = a. 3 8. a. 3 = 1 QUESTÃO 55 A área pedida é a soma das áreas do quadrado de lado d = l. 3. 8 = l. l = 3. 8 = 6cm e do círculo de raio r = 6/ = 3 cm. Portanto: A = l + π. r = 6 + 3. 3 = 63 cm QUESTÃO 56 Unindo as partes circulares da pista ficamos com a figura seguinte. A área da pista será igual a área da coroa circular somada a área dos retângulos. A coroa = π. (R r ) = π. (35 5 ) = 188. A retângulo = x10x100 = 000 A pista = 1.88 +.000 = 3.88 m
QUESTÃO 57 Como o triângulo ABC está inscrito em uma semicircunferência, o mesmo é retângulo de lados medindo AC = 500 m, BC = 300 m e por Pitágoras teremos AB = 00 m. A área do triângulo é 00x300/ = 60.000 m. A área do círculo é 3.50 = 187.500 m. A área pedida é 187.500 60.000 = 17.500 m. QUESTÃO 58 QUESTÃO 60 A hipotenusa mede 10, pois a = 6 + 8 e então temos a = 10. A área do triângulo retângulo é 6x8/ = e pode ser obtida da soma dos 3 pequenos triângulos: 6.r/ + 8.r/ +10.r/ =, onde 1.r = e r = cm. A = A 6 = A 7 = 1. l. l = l 8 QUESTÃO 59 L = + +. π. 6 = 8 + 18,8 = 6,8m A = L. C túnel = 6,8x1000 = 680 m n = 680 = 13 galões 0