PRTMTO GHR V TUR M GHR V TOR STRUTURS MÉTOO S ORÇS 50 k mm 4 m,5 mm T +0 T +0 60 k 0 k m 00 k m m SSTM RTUO PO (SP) HPRSTÁTO S VM TS
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS XRÍO PROPOSTO onsidere a estrutura articulada plana representada na figura. Todas as barras são constituídas por perfis cuja secção transersal apresenta uma área de 0 cm. Para além dos deslocamentos dos apoios e das forças nos nós indicadas, algumas barras estão submetidas a ariações uniformes de temperatura: barras e : T -5 barras e : T +0 aracterísticas do material constituinte das barras: 00 GPa α,5 x 0-5 / Resola as alíneas seguintes aplicando o Método das orças. a) etermine as reações nos apoios e os esforços instalados em todas as barras; b) etermine o deslocamento do nó ; c) etermine a rotação da barra ; d) etermine o deslocamento ertical do nó ; e) etermine qual deeria ser o assentamento ertical do apoio para que a barra se mantiesse horizontal após deformação; 50 k mm 4 m,5 mm T +0 T +0 60 k 0 k m 00 k m m ersão 0 /6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS RSOUÇÃO línea a) estrutura é ez hiperestática por condições externas e ez hiperestática por condições internas. ogo a estrutura é hiperestática de grau. O sistema base (S 0) adotado na resolução será a estrutura isostática que se obtém substituindo o apoio duplo em por um apoio simples (suprimiu-se a incógnita correspondente à reação horizontal em ) e eliminando-se a barra. incógnita hiperestática X corresponderá à reação horizontal ertical do apoio do nó e a incógnita hiperestática X corresponderá ao esforço axial da barra. S + X x + X x S 50 k 60 k 0 k 00 k 50 k + X x + X x 60 k k 0 k k 00 k ersão 0 /6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS álculo da estrutura 50 k V X 0 Y 0 M 0 H 00 + 60 V + V 50 + 0 00 7 + 60 4 + 50 6 V H 4 m H 60 k V 5 k V 695 k V 60 k 00 k 0 k m m m 50 k 5 k -60 k 60 k - 49,75 k -00 k 06,5 k 5 k 4 m 60 k -,5 k -,5 k 695 k 00 k -00 k 0 k m 00 k m m ersão 0 /6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS álculo da estrutura k -k -,5 k,5 k - k 4 m -0,5 k -0,5 k k m m m álculo da estrutura 0,65 k - k - k 0,65 k -0,875 k -0,875 k 4 m m m m ersão 0 4/6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS MÉTOO S ORÇS Δ ext R Δ ext R + + α ΔT α ΔT 0 onsiderando: Δ +. X +. X + α ΔT ext R 0 + X 0 + X Δ +. X +. X + α ΔT ext R δ0 + δ. X δ0 + δ. X + δ. X 0 + δ. X 0 sendo: δ 0 δ 0 0 0 + + α ΔT α ΔT ext R ext R δ δ δ δ 00 x 0 6 x 0 x 0-4 x 0 5 kpa x m α,5 x 0-5 / RRS (m) 0 (k) (k) (k) 0 0. α. T.. α. T. -60-0,400x0-0,500x0-5 0 0 - - 5 49,75,5 0,65,49x0 - -,6 x0 -,76x0-5 -,84x0-5,95x0-5 - - 4-00 0 0,88x0-0 0 4,000x0-5 0 4,4x0-4 5 4 06,5 5,5 0,65,7x0 -,56x0 -,76x0-5,84x0-5,95x0-5 - - 0-5.x0-4 0 8,889x0-6 0 0 - - -.5-0,5 0,875 9.75x0-6,0x0-5,750x0-6 9,8x0-6,97x0-5 -,5x0-4 -5,568x0-4 -.5-0,5 0,875 9.75x0-6,0x0-5,750x0-6 9,8x0-6,97x0-5 -,5x0-4 -5,568x0-4 00 0 0,000x0-0 0,x0-5 - - -00 0 0,x0-0 0,000x0-5 0,8x0-4 - - 0 0 0 0,x0-5 - - 7,46x0-6,65x0-6,6x0-5,856x0-5,974x0-4 -4,50x0-4 -,7x0-4 ersão 0 5/6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS δ0 0 + α ΔT ext R - -4-7,46x 0 4,5 x 0 0,00+ 0,005 4,846 x 0 δ0 0 + α ΔT - -4-6,65x 0,7x 0 0 6,44 x 0 ext R -5 δ 6,6x 0-5 δ δ,856 x 0-4 δ,974 x 0 δ + δ. X 0 δ + δ. X 0 + δ. X 0 + δ. X 0 - -5 4,846 x 0 + 6,6x 0 X - - 5 6,44 x 0 +,856 x 0 X - 5 +,856 x 0 X 0-4 +,974 x 0 X 0 X 66,7 X 5,4 H (H ) + X.(H ).(H ) + X V ( V ) + X.( V ) + X.( V ) H (H ) + X.(H ) + X.(H ) V ( V ) + X.( V ) + X.( V ) H 60 + ( 66,7) ( ) + ( 5,4) 0 V 5 ( 66,7) ( + ) + ( 5,4) 0 H 0 + ( 66,7) + ( 5,4) 0 V 695 ( 66,7) + + ( 5,4) 0 H 9,8 k V 8,45 k H 88,7 k V 87,55 k ersão 0 6/6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS sforços nas barras b arra (barra) + X.(barra) + X.(barra) 60 + ( 66,7) ( ) + ( 5,4) 0 9,8 k (compressão) 49,75,5 + ( 66,7) ( ) + ( 5,4) 0,65,90 k (compressão) 00 + ( 66,7) 0 + ( 5,4) ( ) 64,06 k (compressão) 06,5,5 + ( 66,7) + ( 5,4) 0,65 4,48 k (tracção) 5 + ( 66,7) ( ) + ( 5,4) 0 8,45 k (tracção),5 + ( 66,7) ( 0,5) + ( 5,4) ( 0,875 ) 6,8 k (tracção),5 + ( 66,7) ( 0,5) + ( 5,4) ( 0,875 ) 6,8 k (tracção) 00 + ( 66,7) 0 + ( 5,4) 6,0 (tracção) 00 + ( 66,7) 0 + ( 5,4) ( ) 64,06 k (compressão) 0 + ( 66,7) 0 + ( 5,4) 5,4 k (compressão) 8,45k -9,8 k 9,8k -,90k -64,06k 4,48k 8,45k 88,7k 6,8 k 6,8 k 87,55k 6,0k -64,06k -5,4 ersão 0 7/6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS línea b) eslocamento horizontal de : h δ SSTM R SSTM VRTU mm k -9,8k -k k -,90k -64,06k 4,48k 8,45k -,5 k,5 k - k,5 mm T +0 T +0 6,8 k 6,8k h 0,5k 0,5k 6,0k -64,06k -5,4 k 00 x 0 6 x 0 x 0-4 x 0 5 kpa x m α,5 x 0-5 / RRS (m) (k) (k). α. T. -9,8 -,400x0 - - 5 -,90,5,49x0 - - 4-64,06 0 0 0 5 4,48 4 8,45,5,7x0 - - -5.x0-4 - 6,8-0,5 9.75x0-6,5x0-4 6,8-0,5 9.75x0-6,5x0-4 6,0 0 0 - -64,06 0 0 0 h x δ + R x assent. apoio + α ΔT h δ h δ 4 + 0,00 4,55 0 + 4,5 0-4,40 x 0 m 4,0 mm -5,4-0 - 4,55x0-4,50x0-4 ersão 0 8/6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS eslocamento ertical de : δ SSTM R SSTM VRTU mm k -9,8k -,90k -64,06k 4,48k 8,45k k,5 mm T +0 T +0 6,8 k 6,8k 6,0k -64,06k -5,4 00 x 0 6 x 0 x 0-4 x 0 5 kpa x m α,5 x 0-5 / RRS (m) (k) (k). α. T. -9,8 0 0-5 -,90 0 0-4 -64,06 0 0 0 5 4,48 0 0-4 8,45.649x0 - - 6,8 0 0 0 6,8 0 0 0 6,0 0 0 - -64,06 0 0 0-5,4-0 -,649x0-0 x δ + R x assent. apoio + α ΔT δ + ( 0,00),649 0 + 0 δ -,65 x 0 m,65 mm eslocamento do nó h δ (δ ) + (δ ) 4,0 +,65 5,05 mm δ h δ δ ersão 0 9/6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS línea c) 0,5 k Rotação da barra : θ m Solicitação do sistema irtual: 0,5 k SSTM R SSTM VRTU -9,8k θ mm -0,5k 6 k 0,5 k -,90k -64,06k 4,48k 8,45k - 0,65 k 0,65 k - k 6,5 mm T +0 T +0 6,8k 6,8k 0,5k 0,5k 0,5 k 6,0k -64,06k -5,4k 6 k RRS (m) (k) (k) -9,8-0,5,5x0-4 5 -,90 0,65 6,870x0-4. α. T. 4-64,06 0 0 0 5 4,48 4 8,45 0,65,75x0-4 -,748x0-4 6 6,8 0,5,87x0-4 5,65x0-5 6,8 0,5,87x0-4 5,65x0-5 6,0 0 0 - -64,06 0 0 0 00 x 0 6 x 0 x 0-4 x 0 5 kpa x m α,5 x 0-5 / xθ + R x assent. apoio + α ΔT θ θ + 0,00,9 0 +,5 0 4 6 -,075 x 0 rad -5,4-0 -,9 x0 -,5x0-4 ersão 0 0/6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS línea d) eslocamento ertical de : δ SSTM R SSTM VRTU δ mm 0,5k -9,8 k -,90k -64,06k 4,48k 8,45k -0,65k -0,65k 0,5k,5 mm T +0 T +0 6,8k 6,8k 0,75 k 0,75k 6,0k -64,06k -5,4k 0,5k 00 x 0 6 x 0 x 0-4 x 0 5 kpa x m α,5 x 0-5 / RRS (m) (k) (k). α. T. -9,8 0 0 5 -,90-0,65,06x0-4 -64,06 0 0 0 5 4,48-0,65 -,85x0-4 4 8,45 0,5 8,45 x0-4 x δ + R x assent. apoio + α ΔT 6,8 0,75,560x0-4,688x0-4 6,8 0,75,560x0-4,688x0-4 6,0 0 0 - δ δ + 0,5 ( 0,00),5 0 + - 4,05 x 0 m 4,05 mm 4,75 0-64,06 0 0 0-5,4-0 -,5 x0 -,75x0-4 ersão 0 /6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS línea e) O nó tem um deslocamento ertical de mm (). Para que a barra se mantenha horizontal, o nó terá que ter também um deslocamento ertical de mm (). omo o nó tem um deslocamento ertical de 4,05 mm (), o assentamento de apoio do nó tem que produzir um leantamento() de,05 mm no nó. Se soubermos qual o deslocamento ertical do nó deido a um assentamento unitário do nó, poderemos depois determinar qual o assentamento que produzirá um leantamento de,05 mm. Vamos então determinar qual o deslocamento ertical do nó deido a um assentamento ertical de mm () do apoio. Para proceder a este cálculo, é necessário preiamente calcular as reacções e esforços instalados na estrutura deido ao assentamento ertical de mm () do apoio. S + X x + X x S mm + X x + X x k k ersão 0 /6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS δ0 + δ. X δ0 + δ. X + δ. X 0 + δ. X 0 sendo: δ 0 δ 0 0 0 ext R ext R δ δ δ δ SSTM k SSTM -k k -0,5 k -,5 k,5 k -0,5 k - k 0,65 k - k - k 0,65 k -0,875 k -0,875 k RRS (m) 0 (k) (k) (k) 0 0 0-0 0 0,500x0-5 0 0 5 0,5 0,65 0 0,76x0-5 -,84x0-5,95x0-5 4 0 0 0 0 0 0 4,000x0-5 5 0 4 0,5 0,65 0 0,76x0-5,84x0-5,95x0-5 0 0 0 8,889x0-6 0 0 0-0,5 0,875 0 0,750x0-6 9,8x0-6,97x0-5 0-0,5 0,875 0 0,750x0-6 9,8x0-6,97x0-5 0 0 0 0 0 0,x0-5 0 0 0 0 0 0,000x0-5 - - 0 0 0 0,x0-5 0 0 6,6x0-5,856x0-5,974x0-4 ersão 0 /6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS 0 - δ 0 ext R 0 0,00 0 0 δ 0 0 0 0 ext R -5 δ 6,6x 0-5 δ δ,856 x 0-4 δ,974 x 0 δ + δ. X 0 δ + δ. X 0 0,8 X X 0,974 + δ. X 0 + δ. X 0 - -5 x 0 + 6,6x 0 X - 5 0 +,856 x 0 X - 5 +,856 x 0 X 0-4 +,974 x 0 X 0 H (H ) + X.(H ).(H ) + X V ( V ) + X.( V ) + X.( V ) H (H ) + X.(H ) + X.(H ) V ( V ) + X.( V ) + X.( V ) H 0 + 0,8 ( ) + ( 0,974) 0 V 0 0,8 ( + ) + ( 0,974) 0 H 0 + 0,8 + ( 0,974) 0 V 0 0,8 + + ( 0,974) 0 H 0,8 k V 6,885 k H 0,8 k V 6,885 k sforços nas barras b arra (barra) + X.(barra) + X.(barra) RRS 0 (k) (k) (k) (k) 0-0 -0, 0,5,65 0-9,47 0 0,8 0 0,5,65 0 7,75 0-6,89 0-0,5 0,875 -,96 0-0,5 0,875 -,96 0 0-0,97 0 0,8 - - -0,97 ersão 0 4/6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS SOTÇÃO SORÇOS RÇÕS -0,k 6,89k 0,k -9,47k,8k 4,48k -6,89k 0,k -,96k -,96k mm 6,89k -0,94k,8k -5,4k eterminação do deslocamento ertical de deido a um deslocamento de mm () do apoio SSTM R SSTM VRTU δ -0, k 6,89k 0,k 0,5k -9,47k,8k 4,48k -6,89k -0,65k -0,65k 0,5k 0,k -,96 k -,96 k 0,75 k 0,75 k 6,89k -0,94k,8k -5,4 0,5k ersão 0 5/6 Mét. orças SP hiperestático
TOR STRUTURS PRTMTO GHR V S VM TS 00 x 0 6 x 0 x 0-4 x 0 5 kpa x m RRS (m) (k) (k) -0, 0 0 5-9,47-0,65,480x0-4 4,8 0 0 5 7,75-0,65 -,x0-4 4-6,89 0,5-6,890x0-5 -,96 0,75 -,8x0-5 -,96 0,75 -,8x0-5 -0,97 0 0,8 0 0 x δ R x assent. apoio + δ δ 5 + 0,5 0,00-8,658 0-4 5,87 x 0 m 0,587 mm -0,97-0 -8,658x0-5 ssentamento de apoio de mm () δ 0,587 mm Qual o assentamento do apoio?,05 mm δ,05 0,587 5,0 mm ersão 0 6/6 Mét. orças SP hiperestático