Equaçõe Diferenciai GMA Reolução de Equaçõe Diferenciai por Série e Tranformada de Laplace Roberto Tocano Couto tocano@im.uff.br Departamento de Matemática Aplicada Univeridade Federal Fluminene Niterói, RJ 9 de julho de 3
Sumário Sequência e Série 3. Sequência............................................ 3. Série de número reai..................................... 4.3 Critério de convergência e divergência............................ 6.4 Série de potência....................................... 9.5 Série de Taylor e MacLaurin..................................6 Apêndice: prova do teorema..................................7 Exercício............................................ 7.8 Soluçõe do Exercício..................................... Reolução de equação diferencial ordinária linear por érie de potência 7. Reolução em torno de um ponto ordinário......................... 9.. Definiçõe........................................ 9.. Teorema da exitência de oluçõe em érie de potência.............. 3..3 Exemplo de reolução de EDO lineare por érie de potência em torno de ponto ordinário..................................... 3. Reolução em torno de ponto ingular............................ 33.. Definiçõe........................................ 33.. O Método de Frobeniu Parte........................... 34..3 O Método de Frobeniu Parte........................... 39.3 Exercício............................................ 46 3 Tranformada de Laplace 48 3. Definição............................................ 48 3. L é linear:............................................ 48 3.3 Condiçõe uficiente para a exitência de L{ft:..................... 48 3.4 Cálculo de L de e at, t n, enat, co at, enhat, coh at.................. 49 3.5 Propriedade epeciai..................................... 5 3.6 Tranformada de Laplace invera............................... 5 3.7 Função degrau unitário..................................... 5 3.8 Tabela de tranformada de Laplace de funçõe epecífica................. 5 3.9 Cálculo de L de fat, e at ft, t n ft, Ut aft a, ft/t................ 5 3. Tranformada de Laplace de derivada............................ 54 3. Tranformada de Laplace de integrai............................ 54 3. Cálculo de L { fḡ por convolução.......................... 55 3.3 Tranformada de Laplace de função periódica........................ 56 3.4 Tabela de tranformada de Laplace com funçõe genérica................ 56 3.5 Uma aplicação: cálculo de integrai definida........................ 57 3.6 Outra aplicação: reolução de EDO............................. 57 3.7 Exercício............................................ 58 3.8 Soluçõe do Exercício..................................... 6 4 Sitema de EDO Lineare de Coeficiente Contante 65 4. Reolução pelo método do operadore............................ 65 4.. Por eliminação..................................... 65 4.. Por determinante................................... 66 4. Reolução pela tranformada de Laplace........................... 67 4.3 Reolução pelo método matricial............................... 68
4.3. ō Cao: autovalore reai e ditinto......................... 69 4.3. ō Cao: autovalore imaginário........................... 7 4.3.3 3 ō Cao: autovalore repetido............................ 7 4.4 Sitema não-homogêneo................................... 74 4.5 Exercício............................................ 77 Referência Bibliográfica 79 Ete texto didático, que e baeia conideravelmente na referência bibliográfica, contém exatamente o que e apreenta na aula, evitando que o aluno a copie, aim obtendo mai a ua atenção e economizando tempo, bem como definindo com clareza o que e deve etudar. Para o eu aprendizado ão imprecindívei a explicaçõe dada na aula, quando, então, e detalham muita da paagen matemática. Deu die "faça-e a luz" e...!" D # 4! 4 D!$ H # J % c c t!" B # B!$ E % # c t... a luz foi feita!
Capítulo Sequência e Série. Sequência Se a cada inteiro poitivo n aociarmo um número a n, dizemo que ee número formam uma equência, que é ordenada egundo eu índice: Exemplo: a, a, a 3,, a n, a n+,. i a n / n : a /, a /4, a 3 /8, ii a n n+ n : a 4, a 9 4, a 3 6 9, Chamamo a n de termo geral da equência, o qual é uado também para indicar a própria equência, ito é, dizemo implemente, por exemplo, "que a equência a n n é formada pelo quadrado do naturai." Se o que denominamo limite da equência, dado por lim a n a for finito, ito é, e para qualquer ϵ > é poível achar N N tal que a n a < ϵ para n > N, dizemo que a equência a n converge para a. Se aquele limite não exite, dizemo que a equência a n é divergente. Oberve que uma equência a n pode er vita como uma função an da variável natural n. Com io, a definição do limite acima é formalmente a mema que aquela adotada no cao de uma função fx da variável real x. Sejam m e n naturai quaiquer, com m < n. Dizemo que uma equência a n é crecente e a m a n [Ex:, 5, 5, 6, 7, 7,, decrecente e a m a n [Ex: 6, 6, 3,,,, monótona e for crecente ou decrecente limitada uperiormente e λ R tal que a n λ n N limitada inferiormente e λ R tal que a n λ n N limitada e exitem λ e λ tai que λ a n λ n N Note que, na definição de equência crecente e decrecente, permite-e a igualdade entre termo, o que poibilita coniderar a equência contante aquela cujo termo geral é contante; por exemplo: 3, 3, 3, tanto como uma equência crecente quanto decrecente e, por coneguinte, também como monótona. 3
Teorema É convergente uma equência que é crecente e limitada uperiormente é decrecente e limitada inferiormente É divergente uma equência que é crecente e que não é limitada uperiormente ela diverge para é decrecente e que não é limitada inferiormente ela diverge para. Série de número reai Dada uma equência a k, a equência de termo geral [ou eja, n n a k n m, m +, km m a m ō termo m+ a m + a m+. n a m + a m+ + + a n termo geral é denominada de érie aociada à equência a n. O número a n ão chamado de termo da érie, e o número n, de oma parciai da érie. O limite da érie é o limite da equência da oma parciai n : lim n lim n a k km a k a m + a m+ +, km o qual, quando exite, denomina-e oma da érie, cao em que a érie é dita convergente. Se o omatório a k não exitir [limite inexitente, ito é, não-único ou infinito ±, a érie é dita divergente. km O ímbolo km a k uado para indicar a oma da érie é uado também para indicar a própria érie. Por exemplo, a oma da érie geométrica, k q k, é igual a / q e q < : k q k + q + q + q e q <. De fato: n n q k + q + q + + q n k q n n q k+ q + q + + q n+ k n q n q n q n+ n n k q k qn+ q k q k lim q n+ q q [ lim qn+ e q <. Convencionalmente, x x R, ito é, x denota a função contante fx. 4
Vejamo dua aplicaçõe da fórmula acima: k k + 4 8 + k Oberve que trabalhar com a érie k + + 4 + 8 + 3/ 3, k k a k a m + a m+ +, km /. que começa com o índice m, é equivalente a trabalhar com a érie de termo geral a m+k, a m+k a m + a m+ +, k que começa com o índice. Por io, de agora em diante, todo o reultado erão etabelecido para érie que começam com o índice : a k. Teorema k Se α é um real dado e a érie a k e b k convergem, então: a α a k α a k converge k k k k b a k + b k a k + b k converge k Teorema 3 k k Para que a érie a k convirja, é neceário que o termo geral tenda a zero, ito é, lim a k. k k Segue dee teorema o critério do termo geral para a divergência: e lim a k difere de zero ou não k exite então a érie a k é divergente. Exemplo: i k k k k k diverge, poi lim + 3 k k + 3. Em vita dio e do fato de n uma equência crecente por er formada de termo poitivo, temo que ii [ + k diverge, poi k a k + k motra que lim k a k não exite. Além dio, vemo que { e k for par e k for ímpar k n k k k + 3., +, 3 + +, 4 + + + 4,, ito é, a equência da oma parciai é crecente; logo, [ + k. k k k + 3 er iii A érie /k atifaz a condição neceária de o eu termo geral tender a zero lim /k ; k k entretanto, ela diverge para, como veremo adiante. 5
iv /k 3 atifaz a condição neceária de o eu termo geral tender a zero lim k k /k3 e é convergente, como veremo adiante. Uma érie do tipo k a k a a + a a 3 +, k na qual a k >, é dita alternada. Exemplo: i 3 + 4 5 + k k k ii + 3 4 + k k k k + k k Teorema 4: Critério de convergência para érie alternada A érie alternada k decrecente e lim k a k. k a k [a k > é convergente e a equência de termo poitivo a k é Exemplo: A érie k converge, poi atifaz a condiçõe do Teorema 4: é alternada, e a k ln k equência a k ln k k é poitiva, decrecente e tende a zero..3 Critério de convergência e divergência Teorema 5: Critério da integral Conidere uma érie k a k tal que a k > para k m. Se, para algum natural l m, exitir uma função f contínua, poitiva, decrecente e tal que fk a k para k l, então aquela érie erá convergente ou divergente conforme a integral imprópria fx dx eja convergente ou divergente, l repectivamente. Exemplo: i A érie a k, com a k. A função fx k k ln k x ln x [, e tal que fk a k para k. Como é contínua, poitiva, decrecente em fx dx lim b temo que a érie dada é divergente. dx lim x ln x lnln x b lim lnln b lnln, b b ii A chamada érie harmônica de ordem p, n n p + p + 3 p +, converge e p > e diverge e p. De fato: p Se p, o termo geral érie diverge. n p não tende a zero quando n ; portanto, egundo o Teorema 3, a Se p >, o critério da integral, com fx x p, fornece: 6
b para p : dx lim dx lim x b x ln x b lim ln b ln, b b motrando que a érie diverge. para p,, : dx lim xp b b x p dx lim b x p+ p + motrando que a érie diverge e p, e converge e p >. b { e p, lim p b b p p e p,, Teorema 6: Critério da comparação Se a k b k para k maior ou igual a algum natural l, então: a b b k converge a k converge k k a k diverge b k diverge k k Exemplo: i A érie k k en k. A figura à direita ilutra o fato de que enθ < θ e θ >. Aim, en k < k, o que no permite ecrever k en k k. Logo, como a érie converge por er a érie harmônica de ordem k k, a érie dada também converge. em radiano ii A érie k k k + k + 5. Temo, para k, que: Logo, como a érie também diverge. iii A érie e a érie n n k k k + k + 5 /k + /k + 5/k /k + + 5 8k. 8k 8 k k converge, poi n n n n n para n, geométrica é convergente: n n n diverge por er a érie harmônica de ordem, a érie dada n n / Dizemo que uma érie a k é abolutamente convergente e a k for convergente. Uma érie k convergente que não é abolutamente convergente é dita condicionalmente convergente. k 7
Teorema 7 É convergente a érie que converge abolutamente. Exemplo: A érie k enk k abolutamente: enk k k, e a érie k Teorema 8: Critério da razão Conidere a érie k é convergente, poi, pelo critério da comparação, vemo que ela converge k é convergente. a k, com a k, e eja L lim k a k+/a k. Temo que: a Se L <, a érie dada converge abolutamente b Se L > ou L, a érie diverge c Se L, o critério nada revela Exemplo: i A érie a k, com a k k /k!, converge, poi k lim a k+ a k lim k k k+ / k +! k / k! k+ k! lim k k k +! lim k k + <. ii A érie a k, com a k k k /k!, diverge, poi k lim k lim a k+ k a k lim k + k+ / k +! k k k / k! k + k k + k + k k k + lim k k k + k+ k! lim k k k k lim k k +! + k e >. k iii Cálculo de x de modo que a érie a n, com a n n x n, eja convergente. n Se x então a n, e a oma da érie é zero érie convergente. Se x, pelo critério da razão, temo que lim a n+ n + xn+ n + lim x lim n x n x x, n a n motrando que a érie é convergente para x <. Ma, para x, o critério da razão nada revela, e uma análie eparada é neceária: Para x, temo que n x n x n érie divergente. n n Para x, temo que n x n x n n, que é uma érie divergente, de acordo com n n o Teorema 3, poi lim n n não exite. Repota: a érie dada é convergente para x <. Teorema 9: Critério da raiz Conidere a érie k k a k, e eja L lim ak. Temo que: k a Se L <, a érie dada converge abolutamente 8
b Se L >, a érie diverge c Se L, o critério nada revela Exemplo: A érie a k, com a k k 3 /3 k, é convergente, poi k k k k 3 lim ak lim k k 3 k 3 lim k k3/k 3 lim e3 ln k k k 3 e3.4 Série de potência Por érie de potência de x entende-e uma érie da forma a n x n a + a x + a x +, n lim k ln k k 3 e 3 <. onde a, a, ão contante. Por érie de potência de x x entende-e uma érie da forma a n x x n a + a x x + a x x + n a contante x é denominada ponto de expanão da érie. Diz-e também que ea é uma érie de potência relativa a x ou em torno de x, ou ainda centrada em x. Aim, a primeira érie acima é uma érie de potência relativa à origem x. Uma érie de potência pode apreentar "potência negativa": Teorema n a n x n + a x + a x + a + a x + a x + + a x + +a x + a + a x + a x +. Toda érie de potência a n x x n tem um raio de convergência R tal que a érie converge n abolutamente e x x < R e diverge e x x > R. O número R pode er cao em que a érie converge omente para x x, um número real poitivo, ou cao em que a érie converge para todo x, podendo er calculado pela fórmula R lim a n convergência a n+ ou R lim, n an dede que o limite forneça um único reultado, finito ou infinito. Oberve que o teorema nada diz e x x R. O conjunto do valore reai de x para o quai a érie é convergente é chamado de intervalo de convergência. Ete, egundo o teorema, pode conitir apena no ponto x, e R, ou, e R >, no intervalo x R, x + R, [x R, x + R, x R, x + R ou [x R, x + R, conforme a érie eja convergente, ou não, em x ± R. Por exemplo, calculemo o intervalo de convergência i da érie n n x n : R lim n a n lim a n+ Uando a regra de l Hopital, vemo que n n n n lim n + n+ n + n + lim ln k lim k k lim /k k. + n n n + e ; x 9
portanto, n n x n ó converge em x. n ii da érie n R lim x n n + : a n lim a n+ n + n + 3 n x n n + converge x,. Analiemo a convergência no ponto x ±. Se x, temo a érie alternada n n n +, que, egundo o Teorema 4, é convergente. Se x, temo a érie divergente [. n n + n n x n Repota: converge no intervalo [,. n + n iii da érie R lim n x n n! a n lim a n+ : n! n +! n +! lim lim n! n+ x n n! n converge x R. iv da érie R lim n a n lim a n+ n x 3 n n n : n+ n + n n n x n n + converge x 3, 3 +, 5. Analiemo a convergência no ponto extremo dee intervalo. Se x, temo a érie divergente n. Se x 5, temo a érie alternada n, que, egundo o Teorema 4, é convergente. n n n x 3 n Repota: n converge no intervalo, 5. n n n Teorema Uma érie de potência n a n x x n com raio de convergência R > apreenta a eguinte propriedade no intervalo x R, x + R: a ua oma a n x x n fx é uma função contínua; n b ela pode er diferenciada termo a termo para e obter na n x x n f x ; n c ela pode er integrada termo a termo para e obter a n n + x x n+ fx dx. Oberve que, de acordo com ee memo teorema, a érie de potência produzida por diferenciação pode er novamente diferenciada para e obter uma nova érie de potência que converge para f x no memo intervalo x R, x + R. Ou eja, diferenciaçõe uceiva produzem a derivada f n x [n,,, toda definida no memo intervalo. Io ignifica que a oma de uma érie de potência centrada em x com raio de convergência R > é, no intervalo x R, x + R, uma função infinitamente diferenciável, ito é, uma função que admite er diferenciada um número qualquer de veze. n
.5 Série de Taylor e MacLaurin Para etabelecer o teorema abaixo, é fundamental o fato de a oma fx de uma érie de potência com raio de convergência não-nulo er, como garante o Teorema, uma função infinitamente diferenciável no intervalo de convergência: Teorema O coeficiente de uma érie de potência n a n x x n com raio de convergência R > ão dado por a n f n x /n!, onde fx é a função para a qual aquela érie converge no eu intervalo de convergência. Ee teorema admite uma recíproca, incorporada no próximo teorema: Teorema 3 Qualquer função fx infinitamente diferenciável num ponto x x pode er deenvolvida numa érie de potência como egue: fx n f n x n! x x n f + f x + f x + f 3! x 3 +. Ea é a chamada érie de Taylor relativa a x, válida no eu intervalo de convergência. A érie de Taylor relativa à origem x é denominada érie de MacLaurin. O eguinte exemplo erão deenvolvido em ala de aula: a e x x n n! + x + x + x3 3! + x4 + x R. 4! n b enx c co x d ln x e n xn+ n +! x x3 3! + x5 5! x7 + x R. 7! n n n xn n! x! + x4 4! x6 + x R. 6! n x n x n n ou, em função da variável u x, ln + u n n un + x x +. A érie geométrica n x + x 3 3 x 4 4 n u u + u3 3 u4 + < u. 4 + < x, x n + x + x +, que converge para / x e x <, pode er empregada para e obter mai facilmente a érie de Taylor de alguma funçõe. f + x x x n n x n x + x 4 x 6 + e x x <, n n i.e., < x <. g x 3 4x x 3 4x/3 x 4x/3 n 3 n e 4x/3 <, i.e., 3/4 < x < 3/4. n 4 n x n+ 3 n+ x 3 + 4x3 3 + 4x4 3 3 + 4x5 3 4 + De grande auxílio no deenvolvimento de certa funçõe em érie de Taylor é o Teorema. No doi exemplo que eguem, para e obter o deenvolvimento em érie da função fx, primeiramente deenvolvemo f x em érie, por er mai fácil, e depoi integramo ea érie termo a termo :
h fx arctan x f x + x n x n érie já obtida acima, válida para n n x n+ < x < fx + c. Como ea érie é convergente para x ± n + n egundo o critério para érie alternada, e c [ poi f, temo, finalmente, que n x n+ fx arctan x x x3 n + 3 + x5 5 x7 + x. 7 n + x i fx ln x f x x x n x n+ e < x < fx n + + c. n n Como ea érie é divergente para x ±, e c [ poi f, obtemo finalmente fx + x ln x x n+ n + x + x3 3 + x5 5 + x7 + < x <. 7 n Uma aplicação da érie de Taylor é o cálculo da integral de uma função cuja primitiva não é conhecida como um expreão fechada ito é, em termo da funçõe elementare. Por exemplo, calculemo dx não conhecemo a integral indefinida de e ex x : e x dx n [ x n dx n! n / n + n! n + /3!.6 Apêndice: prova do teorema. n! + /5! Teorema : V. prova in referência [, vol. 4, eç.., p.. Teorema : V. referência [, vol. 4, eç.., pp. 7 e 8. Teorema 3 Se a k converge então, denotando n k temo neceariamente o eguinte reultado: n lim a n lim a k n Teorema 4 a k k n k x n dx + /7 3! n + /9 4! [ x n+ n! n + +. a k e uando o fato que lim n número finito, a k lim n n. CQD. < < a < > { { + a a a > < > { { 3 a 3 + a a 3 < 3 < < > > { { 4 3 + a 4 a 3 a 4 3 < 4 < > 3 <. Raciocinando dee modo, podemo deenhar o eguinte: Aim, concluímo que < 3 < < n+ < < n < < 4 < < ;
equência crecente limite da dua equência equência decrecente ito é, que a oma parciai ímpare formam uma equência crecente, e a oma parciai pare formam uma equência decrecente, que ão limitada uperiormente e inferiormente, repectivamente, o que, de acordo com Teorema, no diz que amba convergem: Ma a n+ n n+ e, portanto, lim n+, lim n. lim a n+ lim n n : que é o limite da érie alternada coniderada veja-o na figura acima. kl+ Teorema 5 Como a k k finito { { l k a k + kl+ a k, a érie a k erá convergente ou divergente conforme a érie k a k eja convergente ou divergente, repectivamente. a No cao de fx dx convergir, conidere, para ea integral, a oma de Riemann inferior repreentada na figura abaixo, no gráfico à equerda, pela área hachurada de uma infinidade de retângulo l ituado dede x l até x. Note que área hachurada a l+ + a l+ + + a n + ou eja, a érie kl+ a k é convergente. kl+ a k l fx dx valor finito, b No cao de fx dx, conidere, para a integral fx dx que é divergente também, l l a oma de Riemann uperior repreentada na figura abaixo, no gráfico à direita, pela área hachurada de uma infinidade de retângulo. Temo que ou eja, a érie área hachurada a l + a l+ + + a n + kl+ a k O teorema etá provado. kl a k a l divergente. a k kl l fx dx, 3
y y x x Teorema 6 Prova do item a: A equência n poi n n kl a k n kl b k < k n kl a k é crecente poi a k e limitada uperiormente b k valor finito, endo, portanto, convergente, de acordo com o Teorema. Ito é, lim n a k valor finito, o que acarreta na convergência da érie a k. kl k Prova do item b: Se a érie b k foe convergente, então, pelo item a, a érie a k também k eria convergente, o que contraria a hipótee. Logo, O teorema etá provado. b k não pode er convergente. k k Teorema 7 A érie a k é convergente, poi k a k k [ ak + a k ak k ak + a k k convergente a k k convergente p/ hipótee. Seguem a dua nota indicada nee deenvolvimento: Neta paagem é uado o Teorema b. Para verificar a convergência da érie ak + a k, uamo o critério da comparação: temo, k por um lado, que a k + a k a k e, por outro, que a k é convergente, como conequência da hipótee combinada com o Teorema a. k 4
Teorema 8 a Cao L < k Seja q um real qualquer entre L e. Como b k a k+ /a k L, exite N tal que b k < q para k N. Logo, a k k N k a k valor finito σ σ + a N + a k σ + a N + a N+ + a N+ + a N+3 + kn + a N+ + a N+ a N a N+ a N+ a N + a N+3 a N+ σ + a N + b N + b N+ b N + b N+ b N+ b N + < σ + a N + q + q + q 3 + érie convergente, por er de razão q < a N+ a N+ valor finito. CQD. a N+ a N + b Cao L > Seja q um real qualquer entre e L. Como lim a k+/a k L, exite N tal que, para k N, k a k+ /a k > q >, ou a k+ > a k. Io ignifica que a N < a N+ < a N+ <, ou, em palavra, que a k é uma equência crecente que não é limitada uperiormente, endo impoível, portanto, k que a k. Logo, pelo Teorema 3, a érie a k é divergente. c Cao L A érie pode convergir ou divergir. Por exemplo, no cao da érie harmônica de ordem p, temo que k lim a k+/a k lim /k + p k k /k p lim k No entanto, já vimo que tal érie converge e p > e diverge e p. Teorema 9 p k p. k + /k p, a Cao L < k Seja q um real qualquer entre L e. Como lim ak L, exite N tal que, para k N, k k ak < q, ou a k < q k. Logo, por comparação com a érie geométrica q k convergente, poi q <, vemo que a érie a k é convergente. k b Cao L > k Seja q um real qualquer entre e L. Exite N tal que, para k N, a k > q >, ou a k >, motrando que o termo geral da érie a k não pode convergir para zero, ignificando, pelo Teorema 3, que a própria érie é divergente. k c Cao L O critério falha, como novamente motra a érie harmônica de ordem p. Vejamo: para a k /k p que converge e p < e diverge e p >, temo: k k L lim ak lim k p lim lim kp/k e onde foi uado o reultado obtido no rodapé da p. 9. p ln k k e p lim k k ln k e, k k 5
Teorema Calculemo o parâmetro L definido no Teorema 8, que é o critério da razão: a L lim n+x x n+ a n x x n x x lim a n+ a n x x x x lim a n R a n+ onde R lim a n a n+. Aim, a érie divergirá e, I ou L x x R >, i.e., x x > R L x x, i.e., x x e R ; R convergirá abolutamente e L x x <, i.e., x x < R R e, obviamente, para x, independentemente de R. Calculemo o parâmetro L definido no Teorema 9 critério da raiz: n L lim an x x n n x x lim an x x lim n an x x R, II onde R lim n. Como a equação II é emelhante à equação I, eguem a mema concluõe an acima, ma agora com uma nova fórmula de cálculo do raio de convergência, que acabamo de deduzir. CQD. Teorema : V. referência [, vol. 4, eç. 8.3. Teorema fx f x f x f x a k x x k a + a k x x k fx a! a k k k k a k x x k a + k a k x x k f x a! a k k k k a k x x k a + k k a k x x k k3 k3 f x a 3! a k k k a k x x k a 3 + k k k a k x x k 3 f x 3 a 3 3! a 3. k4 f n x n! a n a n f n x / n!. CQD. Teorema 3: V. referência [, vol.. 6
.7 Exercício. Calcule lim a n, cao exita, endo: a a n n3 + 3n + 4n 3 + b a n n + n c a n. Uando o critério do termo geral, motre a divergência de: a k en k π b k k k 3 c k k ln k + 5 k + 3. Uando o critério da integral, determine a convergência de: a k b + k ln k k k + n n d a n n n 4. Uando o critério da integral, determine a divergência de: a k k b + k c ln k k ln k k k k d k k ln kln ln k 5. Uando o critério da comparação, motre a convergência de: a k k k 3 b c + k n + n3 k k ln k d k ln k k 3 k e k ln k k 6. Uando o critério da comparação, motre a divergência de: a k + k b k + 3k 4 k c k + + 3k + 4 k 3k + 4 k e k ln k f k k ln k g k ln k k d k k ln k 7. Uando o critério da comparação, determine e é convergente ou divergente: a k + k 3 b k 6 4k 5 + 3k 6 3k 9 + k c k k + k 3k 4 k k 8. Etabeleça que a é convergente e p > e divergente e p k3 kln k p b k p é convergente e p > e divergente e p ln k k 9. Uando o critério da razão, determine a convergência ou divergência de: a k k k! b k 3 k + k k + c k k! k k k k d k 4 π k k 3 + 4. Uando o critério para érie alternada, motre a convergência de: a k+ ln k k k b k k en k c k k k 3 k 4 + 3 d k k k k k + e k+. Uando o critério da raiz, motre a convergência de: a k k b k k k + k k 7
. Motre que a érie k k k!a k k k é convergente para a < e e divergente para a e. Nota: Para a e, o problema é mai complicado, endo neceário motrar ante a deigualdade k! ek k k k! ek e e, o que e conegue a partir da deigualdade ln + ln + + lnk k obtida por meio da oma de Riemann inferior e uperior. k ln x dx ln + ln 3 + + ln k, 3. Claifique, jutificando, e ão abolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: a k b k k kk + 4 k c k en k k 4. Determinar e ão convergente ou divergente: a k k 4 k6 3k 5 b k 3k 5 k k e k ln k f + ln k k k + 3 k k ln k i k k + j 5 + co k 3 k k + k n k 5. Determine x para que a érie eja convergente: a x 3 n b nx n n n n n 3 + e x + 6 n f x n lnn + x n+ n g c k c k n e k k + co kπ k + n + x n n! d h k k k k! + ln k k + ln k d n x n+ 3 n 6. Calcule a oma da érie: a k b 3 k e k k c k k k d k/ e k k k k 7 k 7. Série telecópica Seja a k uma equência convergente e denote lim k a k a. Motre que a a k a k+ a j a b kj c kk + k f 4k + 4k + 5 5 h j k6 k4 k d k k ln k + 3 k 3 k ln k + 4 k ln k + 4 k 4k k 5 4 k k k 3 4 g k [ en a k a k+ a j + a j a kj 4 ln 7 6 i kk + k + 4 kπ + π en 3k + 6 e k + k k + 9 3 k3 kπ 3k + 3 k k+ k k + k l k 5k 35k + 5 8
8. Conidere a érie b k /k p. Motre que, e lim b k >, então a érie é convergente para p > k k e divergente para p. 9. Uando o problema 8, determine e é convergente ou divergente a érie: a do problema 7a b do problema 7b c do problema 7c d e k n k k k f k k4 k. Determine o intervalo de convergência da eguinte érie de potência: a n x n b n + 3 x 7 n n n + 5 c x n n + + d n 5 n x n n! n e n n n x n n n k k 3 3 k9 + k +. Calcule a oma da eguinte érie: n n n π n+ a b n n+ n +! n n c n n n +. Se fx enx 3, calcule f 5. 3. Deenvolva a eguinte funçõe numa érie de MacLaurin, fornecendo o intervalo de convergência: a x co t t b x ent t c x ln + 5t 3 dt 4. No intervalo,, deenvolva a eguinte funçõe numa érie de MacLaurin: a x x b x x 3 c x + 3x + 5. Identifique a eguinte funçõe: a fx n + x n b gx n x n c hx n n nx n+ n 9
.8 Soluçõe do Exercício Prob. a lim a n 3 + 3n + + 3 n + n lim 4n 3 lim n 3 + b lim a n lim n + n lim 4 + 4 n 3 n + n + + n n c Como lim + x n e n x, temo que lim a n lim d lim a n lim n/n lim e ln n n e Prob. lim ln n n n + + n lim l H e + n n e lim /n e n + + n Nete problema, bata motrar que lim a k não exite ou, exitindo, que lim a k. k k a lim a k lim en k π não exite a k ocila no valore e k b lim a k l H k ln l H k ln k lim k 3 lim 3k lim 6k c lim a k lim k ln k + 5 k + lim ln k+5 k+ l H k lim l H k ln 3 lim não exite 6 3 k+k+5 k lim 3k k + 7k + 3 Prob. 3 Oberve que, em cada integral fx dx uada, a função fx é contínua, poitiva, decrecente e K tal que fk a k o termo geral da érie para k K, aim atifazendo a condiçõe do critério da integral. Nete problema, bata motrar que ea integral imprópria exite. a b x + dx arctan x x ln x dx ln x arctan arctan π π 4 π 4 + ln + ln ln ln Prob. 4 Devemo motrar que a integral imprópria que atifaz a condiçõe do critério da integral v. o início da reolução do Prob. 3 não exite. a b c d 3 x x + dx lnx + x ln x dx ln x x ln x dx ln ln x x ln x ln ln x dx ln ln ln x 3 ln {{ ln ln {{ ln ln ln {{ ln ln ln ln {{ ln ln ln ln 3 note que ln ln x > e x 3 Prob. 5 Pelo critério da comparação entre érie de termo gerai poitivo, para motrar que uma érie é convergente, bata motrar que, aintoticamente i.e., para k maior que algum natural, ou k, o eu t.g. termo geral é menor ou igual que o t.g. de alguma ér. conv. érie convergente. k a k 3 + k + k 3 + : t.g. de uma ér. conv. k b n + n3 n + n3 : t.g. de uma ér. conv. n
c k ln k : t.g. de uma ér. conv. k d ln k k 3 k k k 3 k : t.g. de uma ér. conv. k,5 e ln k k k k : t.g. de uma ér. conv. k,5 Prob. 6 Pelo critério da comparação entre érie de termo gerai poitivo, para motrar que uma érie é divergente, bata motrar que, aintoticamente i.e., para k maior que algum inteiro poitivo, o eu t.g. é maior ou igual que o t.g. de alguma ér. div. érie divergente. k + a k 3k 4 k + k 3k 4 + 3k + 4 : t.g. de uma ér. div. k k + b k + 3k + 4 k + k + 3k + 4k : t.g. de uma ér. div. 4k k + c k 3k + 4 k + k 3k + 3k + 4k : t.g. de uma ér. div. 5k d : t.g. de uma ér. div. k ln k k k k e Para k 3: ln k ln k : t.g. de uma ér. div. k Nota: Se x então x x, donde / x /x. Aim, com x ln k, obtemo / ln k / ln k e ln k, i.e., k e, ou k 3. f ln k k : t.g. de uma ér. div. k Prob. 7 a Conv., poi k + k 3 k + k k 3 k 3 é o t.g. de uma ér. conv. k b Conv., poi k6 4k 5 + 3k 6 3k 9 + k k + k6 4k 5 + 4k 5 + 3k 6 + 6 3k 9 + k k k 9 + 5 é o t.g. de uma ér. conv. k3 k c Div., poi k 3k 4 k k k 3k + 3k 4 + 4 é o t.g. de uma ér. div. k Prob. 9 Seja L lim a k+/a k, onde a k é o termo geral da érie dada. Abaixo, o reultado L < e k L > indicam érie convergente e divergente, repectivamente. O ímbolo de módulo erá omitido no cao de termo geral poitivo. a L lim k k+ /k +! k /k! lim k k! k +! lim k 3 k+ + k + 3 k+ + k + b L lim k k+ k + + 3 k + k lim 3 k k k+ + k k +! k+ c L lim k k + k+ d L lim k Prob. 4 π k+ k + 3 + 4 k k k k! k lim k k + k 3 + 4 4 π lim 4 π k k k! k! k + lim k k k +! k! k + k 3 k + k 3 k lim k k + lim k k + < 3 + k + 3 k + k k 3 + 4 k + 3 4 π < + 4 + k k + 3 k 3 > + /k k e < Aplicamo o critério de convergência para uma érie alternada k k a k [a k >, que conite
em verificar e a equência a k é decrecente e com limite igual a zero. Abaixo, cada equência a k dada é claramente decrecente o que, cao e duvide, pode er confirmado contatando que a derivada da função fk a k é negativa. Aim, motraremo a convergência verificando tão-omente que lim k a k. a lim a ln k k lim k k k b lim k a k lim c lim k a k lim k l H k en k en k 3 k 4 + 3 lim k k k d lim k k + e k+ e lim /k lim k lim en k k k /ek k + 3/k 3 k k + Prob. k Seja L lim ak, onde a k é o termo geral da érie dada. Abaixo, o reultado L < e L > k indicam érie convergente e divergente, repectivamente. O ímbolo de módulo erá omitido no cao de termo geral poitivo. k a L lim /k k lim / k k k lim /k < k k k k b L lim k k k + k Prob. 3 a Vejamo a érie k kk+ k k k lim lim k k + k + /k k e < k k ; vemo, por comparação, que ea érie é divergente, +k poi k +k k +k k 3, que é o t.g. de uma ér. div. Aim, k kk+ não converge k [ abolutamente; ma ea érie é convergente, o que e deduz do critério para érie alternada é kk+ uma equência poitiva, decrecente e tal que lim. Logo, a érie dada é condicionalmente kk+ convergente. b Vejamo a érie k+ /4 k+ k /4 k 4 lim k k k+ k k k 4 4 k k k k 4 k ; ela é convergente egundo o critério da razão: lim k <. Ou eja, a érie dada é abolutamente convergente. c A érie é divergente egundo o critério do termo geral: lim k onde fizemo a mudança de índice / k θ quando k. Prob. 5 Segundo o critério da razão, o valore de x que tornam a érie k en k lim θ enθ/ θ, n φ n x convergente ão o que atifazem a inequação Φx <, onde Φx lim φ n+x/φ n x. Uma invetigação eparada é neceária para verificar e a convergência da érie também ocorre com o valore de x que atifazem a equação Φx. a lim x 3n+ /n + { { n x 3 n x 3 lim x 3 < < x 3 < x > e x < 4 /n n + x 3 n n, que é uma érie alternada convergente. n n x n n x 3 n, que é divergente. Repota: x [, 4 n x4 n n n
n + { { { { xn+ b lim n + 3 + nxn n + n 3 x lim + n n 3 + n + 3 + x < nx n n n 3 n n + x n n 3, que é uma érie alternada convergente. + nx n n 3 n [ + x n 3 n + n 3 é convergente. Repota: x [, n c lim n x n+ n [n + + xn+ n +! n n + xn n! x lim { { n + 3 n + d lim xn+ /3 n x x n+ /3 n 3 < x < 3 x n+ x 3 3 n 9 n, que é uma érie divergente. n n n+ { { n! x. Repota: x R n +! x3 3 n 9, que é uma érie divergente. Repota: x 3, 3 n Outro modo, que conite em uar o fato de que a érie dada é geométrica, é o eguinte: x n+ n x 3, que é convergente e 3n x <, ito é, e x < 3. 3 3 n n l H { { e lim x + 6n lnn + lnn + x + 6 n+ lim < x + 6 > x < 7 ou x > 5 lnn + x + 6 lnn + n x + 6 n n, que é uma érie alternada convergente. lnn + x 7 n lnn + x + 6 n [ é div. Repota: x, 7 5, lnn + x 5 lnn + n n n n f x n n x n+ x n. x Ea érie geométrica é convergente e <, ou x n x x x > x. Como o modulando mudam de inal em x e x, convém reolver a inequação no intervalo eparado por ee valore de x. No intervalo x < : x + > x, ou >, que é verídico x <. No intervalo, : x + > x, ou x < /; logo, x, /. No intervalo x > : x > x, ou >, um aburdo; logo, não exite olução no intervalo,. Além dio, x x x <, e x não exite. x x A união do valore de x que atifazem a inequação fornece a repota: x < /. Prob. 6 Nete problema fazemo uo da fórmula da oma da érie geométrica a k k k 3 k 3 3 3 /3 3 3 4 3 6 b e k e k k k e e e c k k k / 3 k d k/ k k k / k / / k q k q e q <. + + + + 3
e k k k 7 k k /7 k [ /7 [ 7 7 + 4 [ 4 Prob. 7 a n a k a k+ lim a k n a k+ kj kj kj a j+ a j+ a j+3 a n a n+ aj lim b kj n a k a k+ lim a k n a k+ kj kj a j+ a j+ c k d k e k3 f k6 kk + k k lim aj + a j+ + a j+ + a j+3 + + a n a n+ a lim a n a n a n+ aj + a j lim {{ a k k k k + a k+ k + k a j a aj + a j + a j+ + a j+ + + a n a n a a k a k+ a lim k k / k + + / k / a k a k+ / a + a lim k + k k + 4k + a k k3 [ g kπ + π en k 3k + 6 a k+ k [ k {{ a k 4k + 5 k6 a k+ kπ en k + {{ a k+ lim a n+ a k a k k k a k k a k a k+ a 3 lim k3 a k a k+ a 6 lim a k k 5 3k + 3 a k k a j + a j a k + a k+ a k / + / 3/4 k a k 9 a k+ a k lim k a k a en π 3 en π 6 a k { { k ln k + 3 h k ln k + 3 k + 4 k ln k4 k 3 k ln k + 4 [ k k4 ln k + 3 a 4 lim a k 4 ln 7 lim k 3 l H 4 ln 7 lim k k k k a k+ 3 { { k 3 k + ln k + 4 a k a k+ k k4 6 k 3 6k k 4 ln 7 lim k k 3 4 ln 7 6 Prob. a n a { { [ n /n x n R lim a n n /n lim n a n+ n+ x ± R ou /n + [ n /n x n x [/n é divergente n n [ n /n x n x [ n /n é uma ér. altern. convergente Repota:, n n b n + 3 n n + 5 {{ x 7 n R lim a n lim a n+ a n n + 3 n + 4 n + 6 n + 5 x ± R 6 ou 8 4
[ n + 3 x 7n n + 3 n n n + 5 x6 n n + {{ é conv., egundo o critério p/ érie alternada [ [ n + 3 x 7n n + 3 n n + 5 x8 n n + 5 n + 3n n n c n n n + + [ a n x n n + + n [ n d n e n x n n + + 5 n {{ n! a n n n {{ n a n x n x / x/ R lim a n n lim a n+ n + + n x n R lim n [ n + + n n é convergente n n n + é uma ér. alt. conv. + x n R lim lim a n lim a n+ a n lim a n+ n + 5 n n! n,5 é conv. Repota: [6, 8 n + + n+ x ±R ± Repota: [, n +! n + 5 n+ lim Repota: x R 5 n n n+ n n n lim n + n+ n + n + + /n {{ n Repota: x /e Prob. a n n n n n x n n n n n n n ln + x ln5/4. x x/4 Ob.: /4,, que é o intervalo de convergência da érie de MacLaurin de ln+x que foi uada. b n c n n π n+ n+ n +! n n + n n n x n+ n + n x n+ n +! xπ/ arctan x π x x 4 [ enx x π/ xπ/ Prob. fx f + f x + f x + + f 5 x 5 + enx 3 x 3 x3 3 + x3 5! 5! 3! 5! f 5 5! Prob. 3 5! f 5 5! 5! a x co t t dt x dt t n n t n n! n n n! x t n dt n n x n n! n [x R b x ent t dt x dt t n n t n+ n +! n n n +! x dt t 4n n n x n n! n [x R c x ln[+5t 3 dt x dt n [5t 3 n n 5 3n n n n n x t 3n dt n n 5 3n x 3n+ n3n + Nee cao, a máxima variação de t é dada por 5t 3,, ou t /5, /5 ; ee é o intervalo. 5
de integração máximo poível. Vemo então que x pode variar no intervalo /5, /5. Prob. 4 x a x x d x d dx x dx b x x 3 x n c x + 3x + x + n x n x nx n nx n n d dx x x d d dx dx nn x n 3x/ x + n x x n 3 n x n { 3 n x n n + n+ + n n a n x n, onde a e d dx n n x n x 3x n 3 n x n+ n+ + n + n nn x n n { n 3 n x n n+ [ n 3 n n + n 3 n n+ n a n n 3 n n + n 3 n n+ n 3 n n+ x n Prob. 5 a fx n + x n d dx n n x n+ d x dx b gx n x n x n x n x d n n dx n x d dx x x c hx nx n+ x 3 n x 3 n nx n x y x 3 y x 3 x x x x x x n x d dx x x x n ny n x 3 d dy x n n n x y n x 3 d dy y 6
Capítulo Reolução de equação diferencial ordinária linear por érie de potência é Sabemo que a olução geral da EDO linear de ā ordem y x yx. x n yx c e x c n n! x R.. Io ugere que também poamo reolver a EDO em. tentando uma érie de potência donde yx y x Subtituindo.3 e.4 em., obtemo n a n x n,.3 n na n x n..4 n na n x n x a n x n n n na n x n a n x n+ n n na n x n a n x n a + n na n a n x n, n uma equação que ó pode er válida para todo o valore de x e o coeficiente da potência e anularem, ito é: a e na n a n n. Deta egunda equação, deduzimo que a n n a n para n. Ea equação é chamada de relação de recorrência. Por meio dela, determinamo o coeficiente a n. 7
Fazendo n igual a naturai pare, obtemo Agora, com n igual a ímpare, temo n : a a n 4 : a 4 4 a a n 6 : a 6 6 a 4 3 a n 8 : a 8 8 a 6 4 3 a. a n n! a n. n 3 : a 3 3 a n 5 : a 5 5 a 3. a n+ n. Finalmente, ubtituindo ea expreõe do coeficiente em.3, obtemo yx a n x n a n x n a n! xn a n n n x n n n! a e x, que é a olução dada em., poi o coeficiente a permanece como uma contante arbitrária. Vejamo mai um exemplo. Conidere a eguinte EDO e a ua olução geral conhecida: 4y + yx olução geral yx c cox/ + c enx/..5 Vamo recalcular ea olução geral pelo método da érie de potência. O pao ão o eguinte: Pao - Ecrevemo a érie de potência que e admite como olução e a derivada dea érie que erão uada: y n a n x n yx a n x n n y n n a n x n n Pao Na EDO, ubtituímo y, y e y pela repectiva érie para deduzir a relação de recorrência: 4 nn a n x n + a n x n 4nn a n x n + a n x n n n n n n [4nn a n + a n x n a n a n 4nn n n Pao 3 Uamo a relação de recorrência para calcular o coeficiente em termo do coeficiente É óbvio que ee poderoo método ervirá para obter oluçõe de EDO que não abemo reolver analiticamente, ma o exemplo ora apreentado ão educativo: ilutram o método e a manipulaçõe matemática cotumeira. 8
que permanecem arbitrário a e a : a a 4 a 3 a 4 3 a 4 a 4 4 3 a 4 4 3 a 4! 4 a 5 a 3 4 5 4 a 4 5 4 3 a 5! 5 a 6 a 4 4 6 5 a 4 3 6 5 4 3 a 6! 6 a 7 a 5 4 7 6 a 4 3 7 6 5 4 3 a 7! 7. Pao 4 Deduzimo uma expreão genérica para o coeficiente em termo de a e a. Do pao 3, concluímo que, para n : a n n a n a n! n e a n+ n +! n+. Pao 5 Subtituímo a expreão genérica do coeficiente na érie de yx para deduzir uma expreão fechada para a olução: yx a n x n a n x n + a n+ x n+ n a n! n xn + n a n n n! n x n + a {{ a n n que é a olução geral apreentada em.5. n n n x n+ a co n +! x + a en x, n a xn+ n +! n+ Realte-e que o pao 4 é frequentemente difícil, e o pao 5 é raramente poível. Por io, na reoluçõe por érie de potência que eguem, não no preocuparemo, ordinariamente, com a implementação do pao 4 o que eria até elegante, ma ete pao, embora de certa importância, etá fora do noo propóito aqui, que é o entendimento do método e do pao 5.. Reolução em torno de um ponto ordinário.. Definiçõe a Uma função fx é dita analítica no ponto x x e ela pode er deenvolvida numa érie de Taylor relativa a ee ponto que tenha raio de convergência poitivo. b Conidere a EDO linear de ā ordem que pode er ecrita na forma a xy + a xy + a xyx,.6 y + P x y + Qx yx,.7 com P x a x/a x e Qx a x/a x. Dizemo que x x é um ponto ordinário, ou não-ingular, dea EDO e, nee ponto, P x e Qx ou ua extenõe contínua ão funçõe Recordação: Uma função fx definida num ponto x x é dita contínua nee ponto e lim fx fx. x x A extenão contínua de uma função fx num ponto x x em que ela não é definida, ma tem limite finito, é a função gx que é igual a fx e x x e, naquele ponto, é dada por gx lim fx. Por exemplo, a extenão contínua da x x função en x/x em x é a função gx igual a en x/x e x e com g lim en x/x. x 9
analítica. Um ponto que não é ordinário é dito um ponto ingular, ou uma ingularidade, da EDO. Exemplo: i y + ln x yx : x é ponto ingular, poi fx ln x não é analítica nee ponto não exitindo f, f, etc, fx não pode er deenvolvida numa érie de Taylor em torno de x. ii y + x 5/3 y + y : x é ponto ingular, poi x 5/3 não pode er expandida em potência de x [a egunda derivada de x 5/3, igual a /9x /3, é infinita em x. iii xy + enx y + co x yx y + enx x P x y + co x x Qx yx. Aim, ea EDO não tem ponto ingular, ito é, todo ponto de R ão ordinário, incluive x. De fato, como e x enx x x3 x 3! + x5 5! x7 7! + x 3! + x4 5! x6 7! + x co x x x! x4 4! + x6 6! x8 8! + x! x3 4! + x5 6! x7 8! + ão a érie de Taylor relativa a x da extenõe contínua de P x e Qx nee ponto, a analiticidade deta naquele ponto etá verificada. iv x + y + xy yx y + x x + y x + yx. O ponto ingulare dea EDO ão a raíze de x +, a aber, x ±i, no quai x/x + e /x + não admitem extenão contínua, poi apreentam limite infinito nee ponto. Ee exemplo ilutra que ponto ingulare não ão neceariamente reai. Percebe-e que a caracterização de ponto ordinário e ingulare com bae no conceito de analiticidade pode complicar, à veze, a determinação dele. Ora, o conceito de função analítica é pormenorizadamente etudado num curo de funçõe complexa, e é exatamente a falta dee etudo que no traz dificuldade aqui. Ma não preciamo de muita teoria para proeguir. Na verdade, etaremo na maioria da veze preocupado apena com EDO cujo coeficiente ão polinômio. Nee cao, fornecemo a eguinte receita: A EDO.6 no cao em que a x, a x e a x ão polinômio em fator comum tem, em x x real ou imaginário, um ponto ordinário e a x ingular e a x Por exemplo: i x y + xy + 6yx : o ponto ingulare ão a raíze de x, ito é, x ±. Todo o outro ponto ão ordinário. ii x y + x y + x yx x y + x + y + x yx : ponto ingular em x. iii x y + x y + x yx y + x + y + x yx : não tem ponto ingular todo ponto de R ão ordinário. iv x y + x y + xx yx xy + xy + x yx : ponto ingular em x. v x + y + yx : ponto ingulare em x ±i. 3
.. Teorema da exitência de oluçõe em érie de potência Se x x for um ponto ordinário da EDO.6, podemo empre encontrar dua oluçõe linearmente independente na forma da érie de potência a n x x n, convergindo cada érie, pelo meno, no intervalo x R, x + R, em que R é a ditância do ponto x ao ponto ingular real ou não mai próximo. Por exemplo, a olução da EDO x y + xy + y na forma a n x 4 n, ito é, na forma de uma érie de potência em torno do ponto ordinário x 4, é convergente para 4 3, 4 + 3, 7, poi, nee cao, a ditância R do ponto x 4 ao ponto ingular mai próximo, que é o ponto x, é R 4 3. Outro exemplo: a olução da EDO x + 9y + xy + y na forma a y n x 4 n, ito é, na forma de uma érie de potência em torno n do ponto ordinário x 4, é convergente para 4 5, 4 + 5, 9, poi, nee cao, a ditância R do ponto x 4 do eixo da abcia, que também é o ponto z 4 do plano complexo ao ponto ingular mai próximo, que ão o ponto z ± ±3i do plano complexo, é R z z ± 4 3i 4 + 3i 4 + 3 5. A figura à direita motra que o intervalo, 9 é a parte do eixo real que jaz no interior da circunferência de raio R 5 centrada no ponto x 4 dee eixo. n n 4 intervalo de convergência..3 Exemplo de reolução de EDO lineare por érie de potência em torno de ponto ordinário Nota: Aqui, por quetão de implicidade, upomo que a origem x eja empre o ponto ordinário em torno do qual e deeja obter a olução da EDO na forma de uma érie de potência, a n x n no cao. Io não ignifica perda de generalidade, poi, mediante a n mudança para a variável t x x, empre podemo tranformar uma EDO com ponto ordinário em x x noutra com ponto ordinário em t. Exemplo : y xy Como não há ponto ingulare, a olução em érie obtida abaixo é convergente para todo x real. nn a n x n x a n x n nn a n x n a n x n+ n n nn a n x n a n 3 x n a + [nn a {{ n a n 3 n n3 n3 n a e a n n 3 a n 3 nn Como a, temo que a 5 a 8 a 3k+ k. O coeficiente a permanece arbitrário, dele dependendo o coeficiente a 3k k : a 3 a 6 a 9. a 3 a 3 a 3 65 5 a 6 98 36 a 3 a 45 a 45 a 6 Recorde-e de que a ditância entre doi ponto z e z do plano complexo é dada por z z, e que o módulo de um número complexo z a + bi é z a + b. Por exemplo, a ditância entre o ponto 6 + 3i e + i é 6 + 3i + i 5 + i 5 + 69 3. n x n 9 x 3
O coeficiente a também permanece arbitrário, dele dependendo o coeficiente a 3k+ k : a 4 a 7 a. a 43 a 6 a 4 76 a 6 6 a 6 a 7 9 a 45 6 a 567 a {{ Logo, yx a + a x + x + a 3 {{ x 3 + a 4 x {{ 4 + a 5 x {{ 5 + a {{ 6 a 3 a 6 a x6 + a 7 x {{ 7 + a {{ 8 a 45 6 x 8 + a 9 {{ a 6 a + x3 3 + x6 45 + x9 6 + + a + x4 6 + x7 6 + x 567 + x 9 + a x + é a olução deejada, endo a érie entre parêntee dua oluçõe linearmente independente da EDO. Exemplo : x + y + xy y O ponto ingulare ão x ±i. A ditância entre ee ponto e o ponto de expanão x é R ± i i. Logo, a olução em érie obtida abaixo é convergente para x R, + R,. x + nn a n x n + x na n x n a n x n n4 n n n n n n {{ a 567 nn a n x n + nn a n x n + na n x n a n x n n n 3a n x n + nn a n x n + n a n x n a n x n n a + 6a 3 x + a x a a x + {nn a n + [ n n 3 + n a n x n a a + 6a 3 x n4 n n 3 n3 n a a, a 3 e a n n 4 n 3 a n n O coeficiente a permanece arbitrário, dele dependendo o coeficiente a k k : n a a a 4 a 4 a / a 4 8 a 6 3a 4 6 a /8 a 6. O coeficiente a também permanece arbitrário, e, como a 3, vemo, pela relação de recorrência, que a 5 a 7 a 9. Logo, yx a + a x + a {{ x + a 3 x {{ 3 + a 4 x {{ 4 + a 5 x {{ 5 + a {{ 6 x6 + a 7 x {{ 7 + a a a 8 6 3
a x + a + x x4 8 + x6 6 +. Exemplo 3: y + xy Não exitem ponto ingulare, convergindo, para todo x real, a érie que e obtém a eguir. nn a n x n + x a n x n nn a n x n a n x n a n 3 x n n donde a a / e n a a + n n [ nn an a n a n 3 x n, n3 a n n 3 a n 3 + a n nn é a relação de recorrência. Como a e a permanecem arbitrário, em termo dele ecrevemo todo o demai coeficiente: Finalmente, a a a 3 a + a 6 a 4 a + a a 5 a + a 3. a + a a 4 + a a + a + a a 6 3 + a yx a + a x + a {{ x + a 3 x {{ 3 + a {{ 4 x4 + a {{ 5 a a 6 + a a 6 4 + a a 3 + a x 5 + a + x + x3 6 + x4 4 + x5 3 + + a x + x3 6 + x4 + x5 +. n3. Reolução em torno de ponto ingular.. Definiçõe O ponto ingulare, já definido na eção.., ão, por ua vez, claificado em regulare e irregulare como egue. Dizemo que um ponto ingular da EDO.6 é um ponto ingular regular ou uma ingularidade regular e, ao reecrevermo ea EDO na forma dada por.7, contatamo que x x P x e x x Qx ou ua extenõe contínua ão funçõe analítica em x. O ponto ingular que não é regular é chamado de ponto ingular irregular ou ingularidade irregular. Novamente, para evitar a análie de analiticidade de funçõe, fornece-e a eguinte receita válida no cao de EDO cujo coeficiente ão polinômio: Conidere.6 com coeficiente polinomiai, e ecreva ea EDO como em.7, ma com P x e Qx na forma de um quociente irredutível de polinômio completamente fatorado em monômio. Se o fator x x aparece no denominadore de P x e Qx com multiplicidade m P e m Q, repectivamente, então x x é um ponto ingular regular e m P e m Q irregular e m P > ou m Q > 33
Aim, por exemplo: i O ponto x e x ± ão ponto ingulare da EDO x x 4 y +x x y +y em fator comum no coeficiente polinomiai. Reecrevendo ea equação na forma y + x + x y + x x + x y, verificamo, de acordo com a receita acima, que x é um ponto ingular irregular; já x e x ão ponto ingulare regulare. ii A EDO x x + y + x y + yx, ou y + x x x + y + x x + y, tem, em x, um ponto ingular irregular e, em x, um ponto ingular regular. iii x y xy + 3y x ± ão ponto ingulare regulare. x+x iv x 3 y xy + 5y y x y + 5 y x é ponto ingular irregular. x3 v 8xy x y + 5xy, ou cancelando o fator comum x 8y xy + 5y a EDO não tem ponto ingular omente ponto ordinário. vi x + 9y 3xy + xy y x ±3i ão ponto ingulare regulare. 3xy x x 3ix + 3i y + x 3ix + 3i y A eguir etudamo o chamado método de Frobeniu, uado para e obter olução em érie de EDO linear em torno de ponto ingular regular. Ante de explicar ee método, convém apreentar doi fato que motivam ee método: y x e y x ln x ão oluçõe de x y 3xy + 4y para x,. Ea EDO tem um ponto ingular regular em x, em torno do qual, e intentáemo uma érie de potência an x n como olução, ó obteríamo y x, poi o fator ln x na olução y não tem érie de Taylor em torno de x. A EDO 6x y + 5xy + x y tem um ponto ingular regular em x, ma não poui olução alguma em érie de potência em torno dee ponto. Pelo método de Frobeniu, podemo obter dua oluçõe em érie com a forma y a n x n+/ e y b n x n+/3... O Método de Frobeniu Parte Conidere o problema de reolver a EDO.6, ito é, n a xy + a xy + a xy, em torno de um ponto ingular regular x x. Aqui, pela mema razão dada no início da eção..3, upomo, por implicidade, ma em perda de generalidade, que x. Pelo chamado método de Frobeniu, é empre poível encontrar uma olução na forma da érie relativa a x y x r n a n x n a n x n+r a x r + a x r+ + a x r+ +, com a..8 n Não permitindo que a e anule, impomo que ee coeficiente eja o primeiro da érie. Faz parte da reolução determinar:. O valore de r para o quai a EDO tem olução na forma da érie em.8. Ee valore urgem da reolução de uma equação algébrica do ō grau, denominada equação indicial, cuja oluçõe r e r ão a chamada raíze indiciai. n 34
. A relação de recorrência para o coeficiente a n. 3. O intervalo de convergência da olução em érie obtida. O detalhe do método erão apreentado atravé de exemplo, no quai x é o ponto ingular regular em torno do qual e deeja a olução. Conforme a raíze indiciai, trê cao importante devem er coniderado:... Cao de raíze indiciai que não diferem por um inteiro: r r / Z Nete cao, o método de Frobeniu empre fornece dua oluçõe linearmente independente. Exemplo : 3xy + y y y a n x n+r y n + ra n x n+r y n + r n + ra n x n+r n n n 3x n + r n + ra n x n+r + n + ra n x n+r a n x n+r n n n 3n + r n + ra n x n+r + n + ra n x n+r a n x n+r { [3n 3r ra x r + + r n + r + n + r a n a n x n+r n 3n+3r n+r r3r a x r [ + 3n + 3r n + ran a n x n+r n r3r equação indicial r ou /3 raíze indiciai 3n + 3r n + ra n a n relação de recorrência dependente da raiz indicial n n n A relaçõe de recorrência epecífica para cada raiz indicial ão dada por r a n a n n3n ou r a n a n 3 n3n + n A ea dua relaçõe de recorrência correpondem dua érie ditinta, na quai a permanece arbitrário: A érie correpondente a r : a a a 3 a 4 Conulte a eçõe 4.3 a 4.6 da referência [3. a a a 4 a 8 a 37 a /8 a 68 a 3 4 a /68 a 4 67 35
y x x a + a {{ x+ a {{ a A érie correpondente a r /3: x + a 3 x {{ 3 + a 4 a 8 a 68 {{ a 67 x 4 + a +x+ x 8 + x3 68 + x4 67 +. a a a 3 a 4. a 5 a 5 a 8 a /5 6 a 8 a 3 a /8 a 33 64 a 3 44 a /64 a 56 4784 y x x /3 a + a {{ x + a {{ x + a {{ 3 a 5 a a 8 64 x 3 + a {{ 4 x 4 + a 4784 a x /3 + x 5 + x 8 + x3 64 + x4 4784 + Aim, obtemo dua oluçõe, cuja combinação linear é a olução geral: yx y x + y x.... Cao de raíze indiciai iguai Nete cao ó e conegue uma única olução na forma da érie em.8, na qual r é igual ao único valor da raiz indicial. Exemplo : xy + y 4y n n + r n + ra n x n+r + n + ra n x n+r 4 a n x n+r n n n n + r n + ra n x n+r + n + ra n x n+r 4 a n x n+r [r r + ra x r + r {{ n a x r +. n n { [ n + r n + r + n + r an 4a n x n+r n+r [ n + r a n 4a n n Vemo que r é o único valor da raiz indicial e que a n x n+r. 4a n para n..9 r + n Ea equação, com r, torna-e a n 4a n /n n, donde a 4a a 4a 4 a a 3 4a 3 43 a 3. a n 4n a n! 36