MECÂNICA DOS FLUIDOS I Engenhaia Mecânica e Naval Exame de ª Época 0 de Feveeio de 00, 7h 00m Duação: hoas Se não consegui esolve alguma das questões passe a outas que lhe paeçam mais fáceis abitando, se necessáio, os valoes que deveia te obtido Faça as hipóteses adicionais que considea necessáias paa a esolução dos poblemas Justifique as espostas Questão Um cilindo vetical fechado de aio R e altua H enconta-se totalmente cheio de um fluido de massa volúmica ρ e viscosidade constante µ O cilindo enconta-se a oda em tono do seu eixo com uma velocidade angula Ω sujeito à acção da gavidade g O movimento do fluido pode se descito num sistema de coodenadas cilíndicas (,, ) com a oigem na base do cilindo, como se mosta na Fig Neste sistema a velocidade tem componentes ( v, v, v) a) [,0 val] A pati da equação da consevação da massa em coodenadas cilíndicas ( v) + ( v ) + ( v) = 0, detemine a componente adial da velocidade v, admitindo que v = 0 em todo o fluido b) [,0 val] As equações de Navie-Stokes em coodenadas cilíndicas paa o egime estacionáio de um fluido incompessível, no caso de se admiti v = 0 e v / = 0 em todo o fluido, eduem-se a: p v = ( v ) = 0 p = ρ g Explicite as condições de fonteia a aplica sobe as paedes lateal, de topo e de fundo do cilindo e detemine a distibuição de velocidade do fluido c) [,0 val] Detemine a distibuição de pessão no fluido, sabendo que a pessão na base sobe o eixo (oigem) é p0 = ρ gh d) [,0 val] Calcule o bináio T equeido paa mante o fluido em otação Intepete o esultado y H Fluido ρ µ O R g x R O x Fig
Questão Um canal de fundo plano e paedes veticais de secção ectangula com lagua b possui uma contacção ( caleia Ventui ) ente duas secções e de laguas b = m e b = m, como se mosta na Fig A contacção destina-se a medi o caudal que se escoa no canal atavés da medição dos níveis h na secção e h na secção O canal destina-se ao escoamento de água ( ρ = 000 kg/m ) Q h h b b L Fig a) [,5 val] Na situação inicial, com caudal nulo, os níveis em e eam de h = h = m Qual a foça que se exece sobe a paede lateal da contacção, sabendo que esta tem um compimento L=5m? b) [,5 val] Paa a calibação do medido de caudal, egistaam-se as seguintes medições do níveis h =, 9 m e h =, 5 m com um caudal conhecido de Q = 8 m /s Calcule as velocidades médias nas secções e e detemine a peda de enegia po unidade de peso de fluido que ocoe ente as secções e na apoximação unidimensional c) [,0 val] Nas condições da alínea b) calcule a componente longitudinal da foça que o fluido exece sobe as paedes e o fundo do canal ente as secções e Admita que a distibuição de pessão nas secções e é hidostática e que o escoamento é unidimensional
Questão a) A equação da continuidade em coodenadas cilíndicas (,, ) : ( v) + ( v ) + ( v) = 0 Em que ( v, v, v) são as componentes do vecto velocidade do fluido em coodenadas cilíndicas O escoamento é axisimético pelo que ( v, v, v) / = 0 e, se admitimos que v = 0 em todo o domínio a equação edu-se a Integando uma ve em, obtém-se d ( v ) = 0 d v = C Em que C é uma constante de integação Como paa = 0, v = 0, seá C = 0 e v = 0 em todo o domínio b) As condições de fonteia são apenas paa a velocidade e escevem-se v v = v = v = 0 em = 0 v = v = 0, v = Ω R em = R = v = 0, v = Ω em = 0 e = H Integando a equação d dv ( ) 0 d = d Uma ve, teemos dv ( ) d = Em que C é uma constante de integação Integando uma segunda ve, C C v = C +
Pela condição de fonteia v = 0 em = 0, necessaiamente C = 0 Pela condição de fonteia v =Ω R em = R, tem-se C = Ω, e a distibuição de velocidade do fluido é v = Ω Esta distibuição de velocidade satisfa as condições de fonteia nas paedes do fundo e do topo v =Ω em = 0 e = H c) A distibuição de pessão obtém-se po integação das equações p v = ρ, p = ρ g Substituindo a distibuição de velocidade obtemos p = ρ Ω, p = ρ g Assim a distibuição de pessão depende apenas de e Integando a pimeia equação em, vem E a teceia em : Igualando, obtém-se e p(, ) = ρω + f() + C, f ( ) p(, ) = ρ g+ f() + C, = ρg, e f() = ρω (, ) = ρω ρ + p g C A constante pode se deteminada a pati da condição de Ω = 0, em que sabemos que p( = 0, = 0) = p = ρgh Assim, a constante é E a pessão fica 0 C = ρgh p(, ) = ρω + ρgh ( )
d) A tensão de cote é dada po Com v = 0 e v =Ω, obtém-se v ( v v ) τ = µ + v v τ = µ + = µ Ω+Ω = [ ] 0 Logo o bináio é nulo Na ealidade, o fluido enconta-se em otação sólida e não existe defomação dos elementos de fluido Assim, as foças de atito que as paedes execem sobe o fluido são nulas Paa estabelece o movimento do fluido a pati do epouso (impulsivamente) é necessáio exece um bináio, já que as foças de atito nas paedes não são nulas, mas com o tempo o movimento apoximase assimptoticamente da otação sólida e o bináio tende assimptoticamente paa eo
Questão a) A foça hidostática sobe uma paede plana pode se calculada multiplicando a pessão no cento de áea pela áea da supefície da paede em contacto com o fluido Neste caso a pessão no cento de áea é p CG h m = ρg = 000 kg/m 9,8 m/s = 9800 Pa A áea em contacto com o fluido é A= hl = h L cosα Em que α é o ângulo de inclinação da paede com o eixo longitudinal do canal Este pode se calculado po O ângulo é α = 5,7º A áea é b b tanα = = L 0 L 5 A= h = = 0,04 m cosα cos5,7º Donde a foça seá F pcg A = = = 9800 Pa 0,04 m 989 N Actua na diecção pependicula à paede, isto é faendo um ângulo de 90º 5, 7º = 84,º com o eixo do canal b) A velocidade obtém-se a pati do caudal V Q = hb Logo Q 8 m /s Q 8 m /s V = = =, 40 m/s, V = = =,67 m/s hb, 90 m m hb, 50 m m A aplicação da equação da enegia ente e fonece : + + hf = + + p V p V ρg g ρg g
Com a distibuição de pessão hidostática em e tem-se p g h ρ + =, p h ρ g + = Pois p = 0 em = h e p = 0 em = h Logo V V, 4 m /s, 67 m /s f h = ( h) ( h ) (,9 m) (,5 m) 0,4 m g + g + = 9,8m/s + 9,8m/s + = c) Na apoximação unidimensional, o balanço de quantidade de movimento na diecção longitudinal ente as secções e esceve-se Fx + ρg( h b h b) = ρq( V V), sendo F x a foça longitudinal execida pelas paedes e fundo do canal sobe o fluido ente as duas secções Note-se que o º temo coesponde à esultante na diecção longitudinal das foças de pessão hidostática que actuam nas secções e : h h ρ ρ ρ 0 0 ( pnx ) ds = pds pds = ghb dh ghb dh = g( h b h b ) SC O º membo epesenta o fluxo de quantidade de movimento atavés da supefície de contolo (não há fluxo atavés do fundo, paedes lateais e supefície live da água): ρv ( V n) ds = ρv ( V n) ds+ ρv ( V n) ds = ρq( V V ), x SC pois ( V n) ds = ρva = ρq Substituindo valoes V n ds = V A = ρq e ( ) ρ Fx = ρq( V V) ρg( h b h b) = = 000 kg/m 8 m /s (,67-,4)m/s 000 kg/m 9,8 m/s (,9,5 )m 0857 N A foça do fluido sobe as paedes do canal seá a oposta actuando na diecção do escoamento = 0880 N, F x