OQ 083 - Fenômenos de Tanspote I FT I Escoamento viscoso inteno e incompessível of. ucécio Fábio dos Santos Depatamento de Engenhaia Química OQ/EE Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a sevi como oteio de estudo. Figuas e tabelas de outas fontes foam epoduzidas estitamente com fins didáticos.
. Intodução Consideações hidodinâmicas Quando analisamos um escoamento exteno, basta pegunta se o escoamento é lamina ou tubulento. Entetanto, no escoamento inteno devemos também indaga a existência de uma egião de entada e de uma egião completamente desenvolvida. Mas, o que são escoamentos intenos?
. Intodução Escoamentos intenos São aqueles completamente limitados po supefícies sólidas. Ex: escoamentos em tubos, dutos, bocais, difusoes, contações e expansões súbitas, válvulas e acessóios. Os escoamentos intenos podem se laminaes ou tubulentos. 3
Escoamento amina vesus Tubulento Como visto, o egime de escoamento em um tubo é deteminado pelo númeo de eynolds. egime de escoamento amina Tansição Tubulento <.300.300 < e <.000 >.000
Escoamento lamina Alguns casos podem se esolvidos analiticamente Escoamento tubulento As soluções analíticas não são possíveis Devemos nos apoia em: o teoias semiempíicas; e Expeiências vividas e Obsevação o em dados expeimentais Função do númeo de eynolds 5
egião de entada amos considea o escoamento lamina, no inteio de um tubo liso, cicula de aio o e compido, confome Figua, no qual o fluido enta com uma velocidade unifome (U). egião do escoamento invíscido egião da camada limite egião de entada hidodinâmica egião completamente desenvolvida Figua Escoamento na egião de entada de um tubo Sabe-se que, quando o fluido enta em contato com a supefície, os efeitos viscosos tonam-se impotantes e desenvolve-se uma egião chamada de camada limite com o avanço do escoamento na dieção x. 6
O desenvolvimento ocoe à custa do etaimento da egião com o escoamento invíscido e temina quando a camada limite se tona única no eixo do tubo. Após a unificação da camada limite, os efeitos viscosos se estendem sobe toda seção eta e o pefil de velocidade não mais se altea com o cescimento de x. Diz-se então que o escoamento é completamente desenvolvido. A distância ente a entada e o ponto do início desta condição é o compimento de entada hidodinâmica. egião do escoamento invíscido egião de entada hidodinâmica egião da camada limite egião completamente desenvolvida 7
aa escoamento lamina, o compimento de entada () é uma função do númeo de eynolds, sendo a velocidade média D ρd 0,06 μ Q A então Q A AU onde : U Escoamento lamina em um tubo pode se espeado apenas paa: e < 300 Assim, o compimento de entada pode se dado po: 0,06300 0,06 ed D 38D ou apoximadamente 0 vezes o diâmeto do tubo. 8
Escoamento tubulento No escoamento tubulento, a mistua intensa ente as camadas de fluido causa o cescimento mais ápido da camada limite. Assim, o compimento de entada é muito mais cuto no escoamento tubulento e sua dependência do númeo de eynolds é mais faca. ( tubulento ) D ρd, μ /6 Expeiências mostam que o pefil de velocidades médias tona-se plenamente desenvolvido paa distâncias ente 5 e 0 diâmetos de tubo a pati da entada 9
. Escoamento lamina plenamente desenvolvido em um tubo Uma das fomas de obte os esultados do escoamento lamina plenamente desenvolvido é a pati da segunda ei de Newton (F = ma). Assim sendo, considee o esquema apesentado abaixo: Elemento cilíndico de fluido efil de velocidade Elemento fluido no instante t Elemento fluido no instante t + Δt D x Fluxo = u()i () () Movimento de um elemento fluido cilíndico em um tubo 0
Aplicando a segunda lei de Newton (F = ma x ) no elemento fluido cilíndico, que emboa esteja em movimento, não está aceleado (a x = 0), o escoamento plenamente desenvolvido no tubo é esultado do equilíbio ente as foças de pessão e as viscosas. x x Diagama de copo live do elemento fluido cilíndico Fluxo 0 x x ( ) A equação () epesenta o equilíbio de foças necessáias paa move cada patícula fluida atavés de um tubo com uma velocidade constante.
x constante x Sabe-se que: x d d o lei de Newton da viscosidade Igualando as duas equações acima, tem-se: d d Integando, d d C ( )
3 p/ =, = 0 C 0 C ( 3 ) Substituindo a equação 3 na equação, temos: ( ) Condição de contono: ( ) C
Distibuição da tensão de cisalhamento Deivando a equação (), obtém-se tensão de cisalhamento: () d x ( 5 ) d azão em volume no tubo cicula em função da queda de pessão Q A.dA 0 d Substituindo a expessão da velocidade (equação ), tem-se: Q 0 Δ d
esolvendo a integal, tem-se a vazão: Q 8 ( 6 ) ou Q D 8 ( 7 ) A equação 7 é utilizada paa escoamento lamina (num tubo hoizontal) e é conhecida ei de Hagen-oiseuille, em homenagem Hagen-oiseuille (839). 5
Q Q elocidade média ( 8 ) A Substituindo a equação (6) na equação (8), tem-se: 8 ( 9 ) 8 E, substituindo a equação (7) na equação (8), tem-se Q A D 8 D D 3 ( 0 ) 6
elocidade máxima aa detemina o ponto de velocidade máxima, fazemos d d esolvemos paa o valo coespondente de ( ) na equação (). igual a zeo e ( ) d d d d 7
8 máx 8 máx ( ) Condição de contono: p/ = 0, d/d = 0, a velocidade é máxima no cento do tubo, potanto temos: 0 máx máx ( )
9 O pefil de velocidade (equação ) pode se escito em temos da velocidade máxima (na linha de cento), como: máx ( 3 ) máx A equação (3) epesenta o pefil paabólico paa escoamento inteiamente desenvolvido, em egime lamina, num tubo hoizontal.
Exemplo 0: Um viscosímeto simples e com boa pecisão pode se feito com um tubo capila. Se a vazão em volume e a queda de pessão foem medidas, bem como se a geometia do tubo fo conhecida, a viscosidade de um fluido newtoniano podeá se calculada a pati da equação 7. Um teste de ceto líquido num viscosímeto capila foneceu os seguintes dados: azão em volume: 880 mm 3 /s Compimento do tubo: m Diâmeto do tubo: 0,50 mm Queda de pessão:,0 Ma Detemine a viscosidade do líquido. 0
Consideações: - Escoamento lamina. - Escoamento pemanente. 3- Escoamento incompessível. - Escoamento completamente desenvolvido. 5- Tubo hoizontal. Equação básica (7): Q D 8 Isolando, tem se D 8Q 6 N x,0 x 0 m 3 mm 8 x 880 s x 0,50 mm 3 0 mm xm m 3 N s,7x0 m [a.s]
Escoamento lamina completamente desenvolvido em um tubo inclinado aa faze o ajuste paa um tubo inclinado, basta inclui ao modelo de escoamento lamina paa tubo hoizontal o efeito gavitacional da foça peso (W) na dieção x (W x ). Ө Movimento de um elemento fluido cilíndico em um tubo
Elemento cilíndico de fluido x W W x W x = Mgsen = gsen = sen = sen γ senθ 0 x x γsenθ ( ) 3
x x γsenθ γsenθ constante Tendo: x d d o lei de Newton da viscosidade Igualando as duas equações acima, tem-se: Integando, d d d γsenθ d γsenθ C γsenθ ( )
5 Condição de contono: aa =, = 0 C senθ 0 γ senθ C γ ( 3 ) Substituindo a equação 3 em, temos: γsenθ γsenθ γsenθ γ senθ ( )
Distibuição da tensão de cisalhamento A tensão de cisalhamento é dado po: d x γ senθ ( 5 ) d azão em volume no tubo cicula em função da queda de pessão Q A.dA 0 d 0 Δ γ senθ d Q γ senθ 8 ( 6 ) Q γ senθ 8 D ( 7 ) 6
elocidade média Q A Q ( 8 ) Q γ senθ 8 ( 6 ) Combinando as equações (6) e (8), fica: γ senθ γ senθ 8 8 ( 9 ) Combinando as equações (7) e (8), fica: Q A γ senθ D 8 D γ senθ 3 D ( 0 ) 7
8 elocidade máxima aa detemina o ponto de velocidade máxima, fazemos d/d igual a zeo e esolvemos paa o valo coespondente de na equação. γ senθ γ senθ d d γ senθ d d ( )
9 8 γ senθ γ senθ máx máx ( ) Condição de contono: aa = 0, d/d = 0, a velocidade é máxima no cento do tubo, potanto temos: 0 γ senθ máx γ senθ máx ( ) ( )
30 O pefil de velocidade (equação ) pode se escito em temos da velocidade máxima (na linha de cento), como: máx ( 3 ) γ senθ máx
Exemplo 0: Um óleo, com viscosidade dinâmica = 0, N.s/m e massa específica = 900 kg/m 3, escoa num tubo que tem diâmeto inteno: D = 0 mm. a)qual é a queda de pessão, =, necessáia paa poduzi uma vazão de Q =,0 x 0-5 m 3 /s se o tubo fo hoizontal com = 0 m? b)qual deve se a inclinação do tubo () paa que o óleo escoe com a mesma vazão que no item (a), mas com =? c)aa as mesmas condições do item (b), detemine a pessão em = 5 m, sabendo que = 00 ka. Equações básicas: e ρd μ Q D 8 Q γ senθ D 8 3
solução Inicialmente vamos detemina o tipo de egime, se lamina ou tubulento: e ρd μ?, oém: Q D 0,0637 m/s,0x0 0,0m 3 m /s 5 e e ρd μ,87 3 900kg/m 0,0637m/s 0,0m (amina) 0,kg/m.s 3
a) queda de pessão, =? Como o escoamento é lamina, podemos calcula a queda de pessão pela equação de Hagen-oiseuille. Q D 8 8μQ πd 8 5 3 0,kg/m.s 0m x0 m /s 0,0m 000 N/m 0, ka 33
b) inclinação do tubo? aa = 0 e utilizando a equação 6 paa tubos inclinados, temos: Q γ senθ 8 D senθ 8Q γd 8Q ρgd 5 3 80,kg/m.s x0 m /s 3 900kg/m 9,8m/s 0,0m senθ 0,3 θ 3,3 0 3
c) pessão em = 5 m? = 3 e usando a equação 6 paa tubos inclinados, paa = 00 ka e = 5m, temos: N m 8 Q γ senθ 8 8Q D γ senθ 8Q 3 D γ senθ 8Q 3 D γ senθ 5 3 0,kg/m.s 5m x0 m /s D 0 5msen 3, 3 3 00x0 900 9,8 3 3 0,0m kg m m s 3 N 00x0 m 3 00 ka 35
Exemplo 03: aa escoamento lamina completamente desenvolvido em um tubo hoizontal, detemine a distância adial a pati do eixo do tubo na qual a velocidade iguala-se à velocidade média. aa fluxo lamina completamente desenvolvido em tubo hoizontal, temos: x A velocidade média é dado pela seguinte equação: () Q A A A da 0 d () Combinando as equações () em (), tem-se: 36
37 x 0 d v () () x 8 x x d x d x 0 0 0
38 Igualando a velocidade do fluido com a velocidade média, temos: 0,707 x 8 x
oposto 0: Água ( = 6, lbf/ft 3 ) escoa, de modo plenamente desenvolvido, num tubo com ft de diâmeto. A tensão de cisalhamento na paede é,85 lbf/ft. Detemine o gadiente de pessão, x, onde x é a dieção do escoamento, se o tubo fo: a) hoizontal, b) vetical com escoamento ascendente e c) vetical com escoamento descendente. 39
oposto 0: O pefil de velocidade paa escoamento completamente desenvolvido ente placas paalelas estacionáias é dado po (y) h a y onde a é uma constante, h é o espaçamento ente as placas e y é a distância medida a pati da linha de cento da folga. Desenvolva a azão. Solução: / máx y x h esposta: máx 3 0
oposto 03: Um óleo viscoso escoa em egime pemanente ente duas placas paalelas estacionáias. O escoamento é lamina e completamente desenvolvido. O espaçamento ente as placas é h = 5 mm. A viscosidade do óleo é 0,5 N/sm e o gadiente de pessão é -000 N/m /m. Detemine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento sobe a placa supeio e a vazão em volume atavés do canal po meto de lagua. h 8 x y h y x h = 5mm esposta: yx,5n/m (paa a dieita) Q 5 3 b,08x0 m /s/m
oposto 0 Um mancal hidostático deve supota uma caga de 50.000 N po meto de compimento pependicula ao diagama. O mancal é alimentado com óleo SAE 30 a 35 o C e 700 ka (man) atavés do asgo cental. Como o óleo é viscoso e a folga é esteita, o escoamento na folga é consideado completamente desenvolvido. Calcule: a) a lagua equeida paa a platafoma do mancal; b) o gadiente de pessão esultante, dp/dx; c) a altua h da folga, se Q = m/min po meto de lagua. Dado: μóleo (35 o C) = 0,5 N.s/m ; υóleo (35 o C) =,6 x 0 - m /s